高職院校單招考試總復(fù)習(xí)指導(dǎo)與同步練：數(shù)學(xué)目錄立體幾何09概率與統(tǒng)計初步10邏輯代數(shù)初步11復(fù)數(shù)12集合01不等式02函數(shù)03指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)04三角函數(shù)05數(shù)列06平面向量07算法與程序框圖13平面解析幾何08

第1章

集合考情聚焦考查方向本章是單招考試的必考內(nèi)容，一般以選擇題的形式考查，難度不大；常與不等式、函數(shù)等內(nèi)容結(jié)合進(jìn)行考查，主要考查方向為：①集合之間的關(guān)系和集合的運算；②充分必要條件復(fù)習(xí)建議在本章的復(fù)習(xí)過程中，要準(zhǔn)確理解元素的概念與性質(zhì)，集合的概念、分類及其與元素的關(guān)系，學(xué)會應(yīng)用常用數(shù)集、空集和全集；同時熟練掌握集合的兩種表示法和集合間關(guān)系的判定方法，并能夠進(jìn)行集合的運算和充分必要條件的判斷知識框架知識點1集合與元素知識點2集合之間的關(guān)系知識點3集合的運算目

錄章節(jié)導(dǎo)航知識點4充分必要條件集合與元素知識回顧

典例精講

活學(xué)活練

01知識回顧1）集合集合是由某些確定的對象組成的整體，簡稱集．集合常用大寫英文字母表示，如A，B，C，…．2）元素組成集合的對象稱為這個集合的元素，常用小寫英文字母表示，如a，b，c，…．集合中元素的特征有：1．集合的概念①確定性②互異性③無序性點擊此處播放微課知識回顧1．集合的概念3）元素與集合的關(guān)系如果a是集合A的元素，就稱a屬于A，記作a?A．如果a不是集合A的元素，就稱a不屬于A，記作

．4）集合的分類知識回顧1．集合的概念易錯警示①

。②區(qū)分

和0：

表示集合，0表示元素。③區(qū)分

和

：

代表的是空集，本質(zhì)是一個集合；

代表的是含有一個元素“

”的集合．5）常用數(shù)集及其記法知識回顧1．集合的概念知識回顧2．集合的表示法典例精講

例1

下列對象能否組成一個集合？（1）所有短發(fā)的女生； （2）1～10以內(nèi)的所有奇數(shù)；（3）非常大的數(shù)； （4）方程

的所有實數(shù)根；（5）不等式

的所有解．解析（1）由于“短發(fā)”沒有具體的標(biāo)準(zhǔn)，表述的對象是不確定的，所以不能構(gòu)成一個集合．（2）由于1～10以內(nèi)的所有奇數(shù)包括1，3，5，7，9五個數(shù)，它們是確定的對象，因此可以構(gòu)成一個集合．（3）由于“非常大的數(shù)”沒有具體的標(biāo)準(zhǔn)，表述的對象是不確定的，所以不能構(gòu)成一個集合．（4）方程

的所有實數(shù)根為

和

，它們是確定的對象，因此可以構(gòu)成一個集合．（5）解不等式

，可得

，它們是確定的對象，因此可以構(gòu)成一個集合．【名師點睛】本題考查集合的概念，即集合是由某些確定的對象組成的整體；如果表述的對象是不確定的，就不能構(gòu)成一個集合．點擊此處播放微課典例精講

變式訓(xùn)練1

以下對象能構(gòu)成集合的是__________．（1）某校2035年招收的高個子學(xué)生； （2）著名的數(shù)學(xué)家；（3）與0接近的全體實數(shù)； （4）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，第一象限內(nèi)的所有點．典例精講

例2

設(shè)集合

，

，則下列表述中正確的是（）．A． B． C． D．解析元素a與A集合的關(guān)系應(yīng)是屬于與不屬于，因為

，所以

．故選A．【名師點睛】本題考查元素與集合的關(guān)系及其符號表示．典例精講變式訓(xùn)練2

設(shè)集合

，

，則（）．A． B． C． D．典例精講例3

若

，求實數(shù)ɑ的值．解析因為

，所以

，解得

．故實數(shù)ɑ的值為2或-1．【名師點睛】本題考查根據(jù)元素與集合之間的關(guān)系計算集合中的未知數(shù)ɑ，但應(yīng)注意要將計算結(jié)果代入集合中進(jìn)行檢驗，觀察是否滿足集合中元素的互異性特征，即集合中的任何兩個元素必不相同．典例精講變式訓(xùn)練3

集合

，若

，求實數(shù)ɑ的值．典例精講例4

用列舉法表示下列集合．（1）英文單詞good中的字母組成的集合； （2）方程

的解集；（3）大于-7且小于7的偶數(shù)組成的集合．解析（1）

； （2）

； （3）

．【名師點睛】本題考查集合列舉法的應(yīng)用，用列舉法表示集合時，需先確定元素，同時需注意集合中元素的互異性特征．典例精講變式訓(xùn)練4

用列舉法表示下列集合．（1）

； （2）

；（3）

．例5

用描述法表示大于3的所有奇數(shù)組成的集合．典例精講解析該集合中元素的共同屬性可以描述為

且

，所以這個集合可以表示為

．【名師點睛】本題考查集合描述法的應(yīng)用．敲黑板用描述法表示集合時，應(yīng)注意以下幾點：（1）用于描述元素特征性質(zhì)的語句要簡明、準(zhǔn)確，不產(chǎn)生歧義；多特征描述時，應(yīng)準(zhǔn)確使用“且”“或”等關(guān)聯(lián)詞；（2）所有描述的內(nèi)容都要寫在大括號內(nèi)；（3）在不引起混淆的情況下，還可用描述法的簡略形式表示集合，如{正整數(shù)}{實數(shù)}等．典例精講

變式訓(xùn)練5

用描述法表示下列集合．（1）不超過6的整數(shù)構(gòu)成的集合； （2）不等式組

的解集；（3）不小于2的全體實數(shù)．若集合中的元素較少，通常用列舉法表示；若集合中的元素較多或無限，則通常用描述法表示，但如果這些元素存在一定的規(guī)律，在不產(chǎn)生誤解的情況下，也可以用列舉法表示．解題通法活學(xué)活練一、單項選擇題

1．下列對象中，不能構(gòu)成集合的是（）．A．本專業(yè)全體女生B．本專業(yè)全體學(xué)生家長C．本專業(yè)所有任課教師D．本專業(yè)所有成績較好的學(xué)生

2．下列關(guān)系中，正確的是（）．A． B． C． D．

3．若集合

，則集合中元素的個數(shù)是（）．A．1 B．2 C．3 D．4

活學(xué)活練一、單項選擇題

4．集合

中的a不能取的值是（）．A．-2 B．-1

C．0 D．1

5．下列集合中，屬于空集的是（）．A． B．C． D．

6．用描述法表示集合

，下列表示中錯誤的是（）．A．

B．

C． D．活學(xué)活練一、單項選擇題7．以下集合中，屬于有限集的是（）．A． B． C． D．

8．直線

與

y軸的交點所組成的集合為（）．A． B． C． D．9．集合

表示第（）象限內(nèi)的點集．A．一、三 B．一 C．三 D．二、三

10．不等式

且

，

用列舉法可表示為（）．A． B． C． D．活學(xué)活練二、填空題1．將適當(dāng)?shù)姆枺?/p>

，

）填入下列空格中．（1）0________； （2）-2________Z；（3）_______Q； （4）e________R．

2．?dāng)?shù)集

中，x的取值范圍是______．

3．集合

用列舉法可表示為_____________．

4．用描述法表示所有正偶數(shù)組成的集合為_____________．

5．在直角坐標(biāo)系中，第二象限內(nèi)所有的點組成的集合為_____________．活學(xué)活練三、解答題

1．分別指出下列集合中的空集、有限集和無限集．（1）

； （2）

；（3）

； （4）

．

2．設(shè)集合

，已知

，求

ɑ

的值．課堂小結(jié)這小結(jié)我們學(xué)習(xí)了集合與元素包括：集合的概念和集合的表示法，并進(jìn)行了活學(xué)活練，希望大家課下多加復(fù)習(xí)，可以更加深刻的了解集合的概念。集合之間的關(guān)系知識回顧

典例精講

活學(xué)活練

02知識回顧典例精講例1

設(shè)集合

，試寫出集合A的子集、非空子集、真子集和非空真子集．解析由集合A可得其子集為

，共8個；非空子集為

，共7個；真子集為

，共7個；非空真子集為

，共6個．【名師點睛】一般地，如果集合A有n個元素，那么它共有

2n個子集、2n-1個非空子集、2n-1個真子集和2n-2個非空真子集．典例精講

變式訓(xùn)練1

一個集合的非空子集有

63

個，則這個集合的非空真子集的個數(shù)為________．典例精講

例2

已知集合

，

，集合M滿足

．這樣的集合M共有（）．A．7個 B．255個 C．256個 D．254個解析集合

M應(yīng)是集合A與集合

的非空子集的并集，所以集合M的個數(shù)即為集合

的非空子集的個數(shù)．因為集合C的元素個數(shù)為8，所以集合C的非空子集的個數(shù)為

，即集合M的個數(shù)為255．故選B．【名師點睛】根據(jù)子集和真子集的定義，可得集合M的個數(shù)即為集合

的非空子集的個數(shù)．典例精講變式訓(xùn)練2

滿足

的集合A的個數(shù)為（）．A．1 B．2 C．3 D．4典例精講

例3

下列選項中，A和B表示同一個集合的是（）．A．

，

B．

， C．

， D．

，解析

A選項中，

，集合A與B相等；B選項中，集合A與B的元素個數(shù)不同，故兩集合不相等；C選項中，集合A與B的元素完全相同，兩集合相等；D選項中，集合A與B中的元素不同，即兩個點的坐標(biāo)不同，故兩集合不相等．故選C．【名師點睛】判斷兩個集合是否相同，需判斷它們的元素是否相同，與元素的排列順序無關(guān)．典例精講變式訓(xùn)練3

判斷下列各組集合之間的關(guān)系．典例精講

例4

若集合

，

，

，求m的值．典例精講

變式訓(xùn)練4

設(shè)集合

，

，

，求實數(shù)

ɑ

的取值范圍．典例精講例5

已知

，

，若

，求實數(shù)

a

的取值范圍．解析因為

，所以B不是空集．因為

，所以有

解得

．【名師點睛】如圖所示，可利用數(shù)軸比較兩個集合的端點，列出不等式，進(jìn)而求解未知數(shù)的取值范圍．解題通法對于此類實數(shù)不等式問題，可借助數(shù)軸，將集合語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，通過觀察圖形進(jìn)而求解實數(shù)的值或取值范圍．典例精講

變式訓(xùn)練

5

已知

，

，若

，求實數(shù)ɑ的取值范圍．活學(xué)活練一、單項選擇題

1．集合

共有（）個非空真子集．A．14 B．15 C．16 D．17

2．若集合

，則（）．A． B． C． D．3．滿足

的集合A的個數(shù)為（）．A．6 B．7 C．8 D．9活學(xué)活練一、單項選擇題

4．?dāng)?shù)集

之間的關(guān)系是（）．A． B． C． D．5．

下列四個命題中，錯誤命題的個數(shù)是（）．①子集只有本身的集合為空集；②任何一個集合必有兩個或兩個以上的子集；③空集是任何一個集合的子集；④

．A．0 B．1 C．2 D．3

6．已知集合

，則集合B=

且

的子集有（）．A．5個 B．6個 C．7個 D．8個活學(xué)活練一、單項選擇題7．已知集合

，，且

，則實數(shù)

ɑ

的取值范圍是（）．A． B． C． D．8．已知集合

，

，集合C滿足

，則滿足條件的集合C有（）．A．5個 B．4個 C．3個 D．2個

9．若集合

，且A=B，則

（）．A．1 B．±1 C．2 D．±1或210．集合

的真子集的個數(shù)為（）．A．1 B．2 C．3 D．4活學(xué)活練二、填空題1．集合

的非空子集的個數(shù)為__________．

2．將適當(dāng)?shù)姆枺?/p>

，

，

等）填入下列空格中．3．已知集合

，

，若

，則

m=_________．4．若集合

，則ɑ=_____，b=______，c=______．

5．滿足

的集合M的個數(shù)為__________．活學(xué)活練三、解答題1．已知集合

，試寫出集合A的子集和非空真子集．2．判斷下列各組集合之間的關(guān)系．

3．已知集合

，集合

，且

，求實數(shù)ɑ

的值．

4．若集合

，集合

，且

，求實數(shù)ɑ的值．課堂小結(jié)這小結(jié)我們學(xué)習(xí)了集合之間的關(guān)系，并學(xué)習(xí)了典例精講，希望大家課下多加復(fù)習(xí)，在做題中能夠靈活運用集合之間的關(guān)系。集合的運算知識回顧

典例精講

活學(xué)活練

03知識回顧1．交集點擊此處播放微課知識回顧2．并集敲黑板知識回顧1）全集的定義在研究某些集合時，這些集合常常是一個給定集合的子集，這個給定的集合叫作全集，一般用

U

來表示．在研究數(shù)集時，經(jīng)常將實數(shù)集

R作為全集．3．補集易錯警示全集是一個相對的概念，在不同的情況下，全集的概念也不同．知識回顧2）集合的補集3．補集典例精講

例

1

設(shè)全集

，集合

，

，則

（）．解析因為

，

，所以

．故選C．【名師點睛】先求

，再求

，計算時需注意所求集合中的元素不要遺漏或重復(fù)．典例精講

變式訓(xùn)練

1

設(shè)全集

，集合

，

，則下列關(guān)系式中錯誤的有（）． 典例精講例2

已知集合

，

，求

．解析由題意得，集合A，B的交集就是二元一次方程組

的解集．解方程組，得

所以

．【名師點睛】掌握描述法表示集合的交集的求法．典例精講

變式訓(xùn)練2

已知集合

，

，求

．典例精講進(jìn)行集合的交、并、補運算的步驟：①根據(jù)元素滿足的條件解方程或不等式，將集合化簡；②利用交集、并集、補集的定義進(jìn)行運算，必要時可借助數(shù)軸和Venn圖，方便求解．解題通法典例精講

變式訓(xùn)練3

已知全集為R，集合

，

，求解以下各式．（1）

；

（2）

； （3）

； （4）

．典例精講

例

4

已知集合

，

，若

，則實數(shù)

m的取值范圍是（）．A．

B．

C．

或

D．解析集合

，在數(shù)軸上畫出集合B，如圖所示．由圖可得

或

，解得

或

．故選C．【名師點睛】先化簡集合B，再用數(shù)軸表示集合，根據(jù)端點之間的關(guān)系列出不等式進(jìn)行求解，最后將結(jié)果代入進(jìn)行驗證．典例精講

變式訓(xùn)練

4

已知集合

，

，且

，求實數(shù)

a的取值范圍．典例精講例

5

已知集合

，

，且

，

求

p，q，r的值．解析因為

，所以由交集的定義可得-2是方程

和

的根，將x=-2代入方程

，解得

p=-1，進(jìn)而解得方程

的另一個根為x=1，所以集合

．又因為

，所以集合

．將x1=-2，x2=5代入方程

可得

解得【名師點睛】由交集的定義可得-2既在集合A中，又在集合B中，即-2是兩個一元二次方程的解，將-2代入集合A的方程中可求出

P的值，再由并集的定義得出集合B中方程的另一個根，進(jìn)而求出

q，r的值．典例精講變式訓(xùn)練

5

已知集合

，

，若

，

，求實數(shù)

a，b

的值．活學(xué)活練一、單項選擇題

1．已知集合

，則

（）．A． B．C． D．

2．設(shè)集合

，

，則

（）．A． B．RC． D．

3．已知集合

，

，則下列關(guān)系式中正確的有（）．①

； ②

；③

； ④

．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

活學(xué)活練一、單項選擇題4．設(shè)全集為R，集合

，

，則

（

）．A． B．C． D．

5．已知集合

，

，那么

（）．A． B．C． D．

6．設(shè)集合

，

，若

，則

（）．A．2 B．3 C．3或5 D．5活學(xué)活練一、單項選擇題7．已知全集

，集合

，

，則

（）．A． B． C． D．

8．設(shè)集合

，集合

B滿足

，則集合

B的個數(shù)為（）．A．7 B．8 C．9 D．10活學(xué)活練一、單項選擇題9．已知集合

，,則

（）．A． B．C． D．

10．已知集合

集合

，則

的非空真子集有（）個．A．4 B．5 C．6 D．7活學(xué)活練二、填空題1．已知集合

，則

_______．

2．設(shè)A為奇數(shù)集，B為偶數(shù)集，則有（1）

______；（2）

_______；（3）

______；（4）

_______．

3．設(shè)集合

{平行四邊形}，

{矩形}，

{菱形}，則

_______，

________，

_______．

4．已知集合

，若

，則實數(shù)

m的取值范圍是_______．

5．已知集合

，

，且

，則實數(shù)ɑ

的取值范圍是______．活學(xué)活練三、解答題

1．已知全集

，集合

，

，求

，

，

，

．

2．設(shè)集合

，

，若

，求實數(shù)ɑ

的取值范圍．活學(xué)活練三、解答題3．設(shè)全集

，且集合

，若

，求

m，n的值．

4．某培訓(xùn)中心舉辦計算機和英語培訓(xùn)班，參加總?cè)藬?shù)為80．計算機考試合格的人數(shù)為58，英語考試合格的人數(shù)為42，兩科考試都合格的人數(shù)為38，求兩科考試都不合格的人數(shù)．課堂小結(jié)這小結(jié)我們學(xué)習(xí)了集合的運算包括：交集、并集、補集，并進(jìn)行了活學(xué)活練。希望大家課下多加復(fù)習(xí)，將集合的運算熟記于心。充分必要條件知識回顧

典例精講

活學(xué)活練

04知識回顧能夠唯一判定真假的陳述句稱為命題，常用小寫字母

p，q，r，…表示．命題有真有假，正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題．命題由條件和結(jié)論兩部分組成．1．命題知識回顧設(shè)條件

p對應(yīng)的集合為

p，結(jié)論

q對應(yīng)的集合為Q，則充分必要條件的定義、集合表示、記法與讀法．2．充分必要條件的定義敲黑板與充分必要條件等價的詞語有“當(dāng)且僅當(dāng)”“等價于”“有且只有”“反過來也成立”等．知識回顧3．充分、必要條件的傳遞性若

p是

q的充分條件，q是

r的充分條件，則

p是

r的充分條件，即若

，則

．若

p是

q的必要條件，q是

r的必要條件，則

p是

r的必要條件，即若

，則

．典例精講例1

將“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充分必要條件”“既不充分也不必要條件”填入下列空格中．（1）“x是實數(shù)”是“x是有理數(shù)”的_______________；（2）“x是正方形”是“x是矩形”的_______________；（3）“

”是“

”的_______________；（4）“x=0”的_______________是“x2+x=0”．典例精講解析（1）x是有理數(shù)時必然也是實數(shù)，但x是實數(shù)時不一定是有理數(shù)，故“x是實數(shù)”是“x是有理數(shù)”的必要不充分條件．（2）正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形，故“x是正方形”是“x是矩形”的充分不必要條件．（3）因為

，故“

”是“

”的充分必要條件．（4）x=0能推出x2+x=0，但x2+x=0不一定能推出x=0，所以“x2+x=0”是“x=0”的必要不充分條件，即“x=0”的必要不充分條件是“x2+x=0”．【名師點睛】應(yīng)用充分、必要和充分必要條件的定義進(jìn)行條件和結(jié)論的正推和反推，進(jìn)而作出判斷．充分、必要條件的判斷方法有兩種：①定義法，先分別確定條件

p和結(jié)論

q，再嘗試由條件

p推理結(jié)論

q，由結(jié)論

q推理條件

p，最后確定條件

p和結(jié)論

q的關(guān)系；②集合法，根據(jù)條件

p和結(jié)論

q成立時對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷．解題通法典例精講

變式訓(xùn)練1

將“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充分必要條件”“既不充分也不必要條件”填入下列空格中．（1）“x=4”是“（x-4）2=0”的_______________；（2）“ɑ>0”是“

”的________________；（3）“x2=49”是“x-7=0”的_______________；（4）“ɑ是4的約數(shù)”是“ɑ是8的約數(shù)”的_______________．敲黑板（1）確定條件為不充分或不必要的條件時，常用構(gòu)造反例的方法來說明．（2）對一個命題而言，使結(jié)論成立的充分條件可能不止一個，必要條件也可能不止一個．典例精講例

2

已知集合

，若“

”是“

”的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．解析因為“

”是“

”的充分條件，所以

，所以

，解得

，故實數(shù)ɑ的取值范圍是

．【名師點睛】理解充分條件的定義，根據(jù)命題中條件與結(jié)論對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系列出不等式，進(jìn)而求解參數(shù)的取值范圍．典例精講

變式訓(xùn)練

2

已知

，

，且

p

是

q

的充分不必要條件，求實數(shù)

m

的取值范圍．活學(xué)活練一、單項選擇題1．“

”是“

”的（）條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要2．下列命題中，為真命題的是（）．A． B．C．D．x=3是x2=9的充分不必要條件

活學(xué)活練一、單項選擇題3．“b=0”是“直線y=kx+b過原點”的（）條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要

4．“x>3”是“x2+5x-6<0”的（）條件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要

5．p是

r的必要條件，s是

r的充分條件，則

s是

p的（）條件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要活學(xué)活練一、單項選擇題6．“

”是“

”的（）條件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要

7．下列三個命題中，有（）假命題．①若

，

，則

p是

q的充分必要條件；②“

”是“

”的必要不充分條件；③“

”是“

”的必要不充分條件．A．0個 B．1個

C．2個 D．3個

活學(xué)活練二、填空題1．若

，

，則

p是

q的_______條件．

2．“

”是“

”的_______條件．

3．“ɑ是2的倍數(shù)”是“ɑ是4的倍數(shù)”的_______條件．

4．“

”是“

”的_______條件．

5．“

”是“

”的_______條件．活學(xué)活練三、解答題指出下列命題中，條件

p是

q結(jié)論的什么條件．（1）

，

；（2）p:方程

有實根，

；（3）

，

；（4）p:x和

y都是偶數(shù)，q:x+y是偶數(shù)．課堂小結(jié)這小結(jié)我們學(xué)習(xí)了充分必要條件：命題、充分必要條件的定義和充分、必要條件的傳遞性。希望大家課下多加復(fù)習(xí)，加深對本節(jié)課的理解。對課件有修改、優(yōu)化建議，作業(yè)布置遇到問題，想免費使用平臺或免費建課，請掃描右側(cè)二維碼，添加客服微信解決文旌客服聯(lián)系方式文旌客服謝

謝

觀

看高職院校單招考試總復(fù)習(xí)指導(dǎo)與同步練：數(shù)學(xué)

第2章

不等式考情聚焦考查方向本章是單招考試的必考內(nèi)容，一般以選擇題的形式考查，難度不大；常與集合的內(nèi)容一起考查，主要考查方向如下：①不等式基本性質(zhì)的應(yīng)用；②解一元二次不等式和含絕對值的不等式復(fù)習(xí)建議在本章的復(fù)習(xí)過程中，要理解不等式的基本性質(zhì)及各類區(qū)間的概念，掌握一元二次不等式與一元二次方程及判別式之間的關(guān)系，熟記一元二次不等式的解集公式，學(xué)會利用多種方法求解一元一次不等式（組）、一元二次不等式及含絕對值的不等式，并能夠用區(qū)間表示出不等式的解集和函數(shù)的定義域，重點需注意區(qū)間端點的取值情況知識框架知識點1不等式的基本性質(zhì)與區(qū)間知識點2一元二次不等式知識點3含絕對值的不等式目

錄章節(jié)導(dǎo)航不等式的基本性質(zhì)與區(qū)間知識回顧

典例精講

活學(xué)活練

01知識回顧設(shè)

，則有1．比較實數(shù)的大小這種作差比較兩個實數(shù)（或代數(shù)式）大小的方法稱為作差比較法．知識回顧2．不等式的性質(zhì)點擊此處播放微課知識回顧3．區(qū)間由數(shù)軸上兩點間的所有實數(shù)所組成的集合稱為區(qū)間，這兩個點稱為區(qū)間端點．設(shè)

，且

，則各種區(qū)間表示的集合．知識回顧3．區(qū)間敲黑板（1）我們常用區(qū)間來表示數(shù)集，特別是不等式的解集．另外，利用不等式表示的集合，也常用區(qū)間來表示．（2）實數(shù)集R是無窮區(qū)間，記作

．典例精講例1

當(dāng)

時，判斷

與

的大小．解析應(yīng)用作差比較法，因為

，且當(dāng)

時，

恒成立，所以

．【名師點睛】對于用字母表示的兩個實數(shù)，一般通過判斷它們之間差的符號來比較它們的大?。鞑畋容^法比較實數(shù)（或代數(shù)式）大小的步驟：作差→變形（可利用因式分解、配方法，將差轉(zhuǎn)化為積的形式或配成完全平方式）→判斷符號．解題通法典例精講變式訓(xùn)練1

設(shè)a，b為兩個不相等的實數(shù)，判斷

與

的大?。淅v解析

A選項缺少對a，b，c，d同為正數(shù)的限制；B選項缺少對c為正數(shù)的限制；C選項要成立，還要求

a，b同號；D選項滿足同向不等式的可加性．故選D．【名師點睛】本題考查不等式的基本性質(zhì)及其推論．

例2

下列命題中，正確的是（）．A．若

，

，則 B．若

，則C．若

，則 D．若

，

，則易錯警示

不一定成立，需分情況討論：①若

，

，則

；

②若

，

，則

；③若

，

，則

無意義．典例精講變式訓(xùn)練2

下列各選項中，正確的是（）．A．

B．C． D．

且敲黑板在判斷不等式是否成立時，部分情況下可使用特殊值法，即根據(jù)條件取特殊值代入不等式進(jìn)行驗證．典例精講例3

已知集合

，

，求

，

．解析由集合A，B可得

，

．【名師點睛】用區(qū)間表示集合的交集、并集和補集時，可通過數(shù)形結(jié)合準(zhǔn)確表示集合．易錯警示在使用區(qū)間表示集合時，要特別注意判斷區(qū)間端點能否取到．典例精講

變式訓(xùn)練3

設(shè)全集為R，集合

，

，求：（1）

，

； （2）

，

； （3）

，

．典例精講例4

設(shè)全集

，集合

，

，則_________，

_________．（用區(qū)間表示）解析解不等式可得集合

，

，所以

．由全集

可得

，所以

．【名師點睛】本題考查不等式的求解、集合的運算及區(qū)間的表示方法．典例精講變式訓(xùn)練4

不等式組

的解集用區(qū)間表示為_________．典例精講例

5

函數(shù)

的定義域用區(qū)間表示為__________________．解析要使函數(shù)

有意義，則其分母

，解得

．因此，函數(shù)的定義域為

．【名師點睛】對于此類求函數(shù)定義域的問題，應(yīng)考慮全面，重點注意區(qū)間端點的取舍．典例精講變式訓(xùn)練5

函數(shù)

的定義域是（）．A．

B．C．

D．活學(xué)活練一、單項選擇題

1．若

，則下列結(jié)論中錯誤結(jié)論的個數(shù)是（）．① ； ②

；③ ； ④

．A．1 B．2 C．3 D．4

2．下列命題中，正確的是（）．A． B．C． D．

3．下列說法中，不正確的是（）．A．若，則B．若，，則C．若

，則D．若，則活學(xué)活練一、單項選擇題

4．若

，則下列結(jié)論中錯誤的是（）．A． B．C． D．5．若

，則下列各式中一定成立的是（）．A． B．C． D．

6．若

，

，且

，則以下四個不等式中正確的是（）．①

；

②

；

③

；

④

．A．①③ B．①④

C．②④

D．②③活學(xué)活練一、單項選擇題

7．設(shè)全集

，集合

，則

（）．A． B．C． D．

8．不等式

的解集用區(qū)間表示為（）．A． B． C． D．活學(xué)活練一、單項選擇題

9．不等式

的解集用區(qū)間表示為（）．A． B．C． D．10．已知集合

，則

（）．A． B．C． D．活學(xué)活練二、填空題

1．如果

且

，那么

______

．

2．已知

，

，則

______

．3．“

且

”是“

且

”的____________條件．4．函數(shù)

的定義域為__________．5．已知集合

，

，則

______，

_________．活學(xué)活練三、解答題

1．試比較以下各組式子的大?。?）

與

；

（2）

與

．

2．求解下列不等式．（1）

； （2）

；

（3）

．活學(xué)活練三、解答題

3．已知全集

，集合

，

，求下列集合．（1）

，

； （2）

，

；

（3）

，

．

4．已知集合

，

，且

，求a的取值范圍．課堂小結(jié)這小結(jié)我們學(xué)習(xí)了不等式的基本性質(zhì)與區(qū)間，并進(jìn)行了活學(xué)活練，希望大家課下多加復(fù)習(xí)，可以更加深刻的了解集合的概念。一元二次不等式知識回顧

典例精講

活學(xué)活練

02知識回顧1．解一元一次不等式（組）1）求解一元一次不等式任何一元一次不等式最后都能化為形如

（或

）或

（或

）

的不等式（

），然后進(jìn)行求解．以

為例的一元一次不等式的解集．知識回顧2）求解一元一次不等式組求解一元一次不等式組的方法有兩種：1．解一元一次不等式（組）②口訣法．以兩個一元一次不等式組成的不等式組為例，其解集如表2-4所示，其中

．①圖象法．分別求出每一個不等式的解集，然后利用數(shù)軸找出它們的公共部分．知識回顧表2-41．解一元一次不等式（組）知識回顧1）一元二次不等式的含義含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式，稱為一元二次不等式．其一般形式為2．解一元二次不等式知識回顧2）求解一元二次不等式（1）利用因式分解法求解．同解變形后的判斷依據(jù)是：2．解一元二次不等式或或點擊此處播放微課知識回顧2）求解一元二次不等式2．解一元二次不等式具體步驟：①②③將一元二次不等式的右端化為0將左端進(jìn)行因式分解，并利用以上同解變形后的判斷依據(jù)，轉(zhuǎn)化為兩個一次不等式求出解集．知識回顧2．解一元二次不等式（2）利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)求解．當(dāng)

時，函數(shù)

的圖象、方程

的解及不等式

的解集之間的關(guān)系

．知識回顧（2）利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)求解．2．解一元二次不等式敲黑板（1）當(dāng)

時，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可先將其轉(zhuǎn)化為

的形式，得到與原不等式同解的不等式，再按步驟進(jìn)行求解．（2）當(dāng)

且

時，也可以先求出對應(yīng)的一元二次方程的兩個實數(shù)解，再結(jié)合口訣“大于取兩邊，小于取中間”得出解集．典例精講例1

解關(guān)于x

的不等式：

．解析原不等式移項后，得

．（1）當(dāng)

時，

，即不等式的解集是

．（2）當(dāng)

時，

，即不等式的解集是

．【名師點睛】本題考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想．不等式移項后，需分別討論

和

兩種情況的解集．解題通法解一元一次不等式的步驟：去分母→去括號→移項→合并同類項（轉(zhuǎn)化為

或

的形式）→將未知數(shù)的系數(shù)化為1（若系數(shù)為負(fù)，則不等式需變號）．典例精講變式訓(xùn)練1

解關(guān)于x

的不等式：

．典例精講解析由原不等式組解得

所以原不等式組的解集為

．【名師點睛】先按照解一元一次不等式的步驟分別求出每一個不等式的解集，然后根據(jù)“大小、小大取中間”的口訣求其交集，即為原不等式組的解集．例2

解不等式組：典例精講變式訓(xùn)練2

解不等式組：典例精講例3

解不等式：

．解析

可變形為

．因為方程

中，

，所以方程

有兩個實數(shù)解，求得該方程的解分別是

，

，所以不等式

的解集為

，即原不等式的解集為

．【名師點睛】本題可利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)及一元二次不等式的解集公式進(jìn)行求解．解題通法解一元二次不等式的步驟：①化：將不等式轉(zhuǎn)化為

且右端為0的形式；②判：計算對應(yīng)一元二次方程的判別式?，判斷方程是否有實數(shù)解；③求：求出一元二次方程的實數(shù)解

；④寫：利用口訣“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集．典例精講

變式訓(xùn)練3

解不等式：

．典例精講例4

已知一元二次不等式

的解集是

，則a-b=_________．解析由不等式

的解集為

可知，方程

的兩個實數(shù)解為

和

．由韋達(dá)定理，得

解得

，

，所以

．【名師點睛】題中一元二次不等式的解集的區(qū)間端點取值即為對應(yīng)的一元二次方程的兩個實數(shù)解．典例精講變式訓(xùn)練4

若不等式

的解集為

，求不等式

的解集．典例精講例5

當(dāng)

時，不等式

的解集是____________．解析將原不等式

因式分解后，得

因為

，所以

．根據(jù)同解變形后的判斷依據(jù)可得，不等式

的解集為

，即原不等式的解集為

．【名師點睛】解此題的關(guān)鍵是根據(jù)

來判斷a與2a的大小，進(jìn)而求解不等式．典例精講變式訓(xùn)練5

若

，求不等式

的解集．易錯警示求解含參數(shù)的不等式時，不僅要判斷兩個實數(shù)解的大小關(guān)系，還需注意二次項系數(shù)的正負(fù)，若二次項系數(shù)為負(fù)，需先將其化為二次項系數(shù)為正的不等式，以便正確寫出解集．典例精講

例6

關(guān)于x的不等式

對任意實數(shù)都成立，求實數(shù)

k的取值范圍．解析（1）當(dāng)

時，原不等式可變形為

，x取任意實數(shù)時都成立．（2）當(dāng)

時，由題意，得一元二次函數(shù)

的圖象如圖所示．由圖得

即

解得

．綜上所述，k的取值范圍是

．【名師點睛】（1）因為x2項的系數(shù)含有參數(shù)k，所以需要分別討論

和

兩種情況．（2）當(dāng)

時，先大致確定對應(yīng)一元二次函數(shù)的圖象，再根據(jù)圖象得出k與

的范圍，進(jìn)而求解．解題通法對于在R上恒成立的含參一元二次不等式，要求解參數(shù)的取值范圍，首先，若二次項系數(shù)為參數(shù)，需分類討論參數(shù)為零、不為零的兩種情況；其次，若二次項系數(shù)不為零，則可以利用圖象法，先確定對應(yīng)二次函數(shù)的大致圖象，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)將圖象特點轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言；最后，綜合所有情況，得出結(jié)論．典例精講變式訓(xùn)練6

已知不等式

的解集是空集，則實數(shù)

k的取值范圍是________．活學(xué)活練一、單項選擇題

1．不等式

的解集為（）．A． B．C． D．2．不等式組

的解集為（）．A．

B． C． D．3．不等式

的解集為（）．A．

B．

C． D．R活學(xué)活練一、單項選擇題

4．不等式

的解集為（）．A． B．C． D．

5．不等式

的解集為（）．A． B．C． D．活學(xué)活練一、單項選擇題

6．已知集合

，

，則

（）．A． B．C． D．7．已知

的兩根分別是-2和3，若

，則

的解集是（）．A． B．C． D．8．若不等式

的解集為

，則b的取值范圍是（）．A． B．C． D．

或活學(xué)活練一、單項選擇題

9．一元二次方程

有兩個不相等的實數(shù)解的條件是（）．A． B．C． D．

10．一元二次不等式

的解集是R的條件是（）．A． B．C． D．活學(xué)活練二、填空題1． 不等式

的解集為_____________．2． 不等式

的解集為________．3． 已知不等式

的解集是

，則

_____________．4． 若根式有意義

，則

______．5． 不等式

的解集為___________．活學(xué)活練三、解答題

1． 解下列一元二次不等式．（1）

； （2）

；（3）

； （4） ．

2． 當(dāng)x

為何值時，

有意義？活學(xué)活練三、解答題

3．若方程

有實數(shù)解，求

k

的取值范圍．

4．當(dāng)

m為何值時，方程

有兩個不相等的實數(shù)解？課堂小結(jié)這小結(jié)我們學(xué)習(xí)了一元二次不等式包括：解一元一次不等式和解一元二次不等式，希望大家課下多加復(fù)習(xí)，更加深刻的了解一元二次不等式的概念。含絕對值的不等式知識回顧

典例精講

活學(xué)活練

03知識回顧絕對值內(nèi)含有未知數(shù)的不等式稱為含絕對值的不等式．1．含絕對值的不等式的定義知識回顧解含絕對值的不等式的總體思想是將含絕對值的不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式．2．解含絕對值的不等式敲黑板對于形如

與的不等式，可以通過“變量替換”的方法求解，就是用單一的字母表示一個代數(shù)式，從而使一些數(shù)學(xué)問題化難為易，化繁為簡．例如，不等式

中，設(shè)

，則原不等式可轉(zhuǎn)化為

，其解集為

或

，即

或

，進(jìn)而求出原不等式的解集．典例精講

例1

解不等式：

．解析由絕對值的幾何意義可得

，所以不等式

的解集是

．【名師點睛】

的幾何意義是指數(shù)軸上表示實數(shù)x的點到原點的距離，因此有

．典例精講變式訓(xùn)練1

解不等式：

．典例精講例2

解不等式：

．解析不等式

可變形為

，展開，得

，可變形為

，解得

，所以不等式

的解集是

．【名師點睛】題中絕對值內(nèi)x的系數(shù)是負(fù)的，需先化負(fù)為正，再利用“變量替換”的方法解不等式，變量替換的書寫過程可以省略．解題通法解含絕對值的不等式，既可以通過“變量替換”的方法求解，也可以應(yīng)用“大于取兩邊，小于取中間”的規(guī)律去掉絕對值符號，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元一次不等式（組）再進(jìn)行求解．典例精講

變式訓(xùn)練2

解不等式：

．典例精講例3

解不等式：

．解析不等式

可變形為

，解得