凸集課件XX有限公司匯報(bào)人：XX目錄凸集的基本概念01凸集的分類03凸集在優(yōu)化中的應(yīng)用05凸集的運(yùn)算02凸集的性質(zhì)04凸集的拓展概念06凸集的基本概念01定義與性質(zhì)包括閉包、凸組合等基本性質(zhì)任意兩點(diǎn)連線在集內(nèi)凸集定義凸集的例子01多邊形區(qū)域如三角形、矩形等，內(nèi)部任意兩點(diǎn)連線仍在區(qū)域內(nèi)。02球體球體內(nèi)任意兩點(diǎn)連線形成的線段完全位于球體內(nèi)，符合凸集定義。非凸集的識(shí)別01邊界判斷觀察集合邊界，若存在內(nèi)凹部分則為非凸集。02連線測(cè)試任選集合內(nèi)兩點(diǎn)連線，若連線不完全在集合內(nèi)，則為非凸集。凸集的運(yùn)算02交集與并集凸集交集任意兩凸集交集仍為凸集凸集并集凸集并集不一定是凸集凸包與內(nèi)部凸包定義包含點(diǎn)集的最小凸集凸包性質(zhì)內(nèi)部角均小于180度支撐超平面凸集邊界點(diǎn)存在支撐超平面定義與存在性01支撐超平面證明凸集性質(zhì)作用與意義02凸集的分類03開集與閉集01開集定義在凸集中，開集指其內(nèi)部任意點(diǎn)都有鄰域完全包含于該集。02閉集特性閉集包含其所有極限點(diǎn)，在凸集中，閉集邊界上的點(diǎn)也屬于該集。緊凸集定義與特性應(yīng)用實(shí)例01緊凸集是閉且有界的凸集，具有良好的幾何和拓?fù)湫再|(zhì)。02在優(yōu)化問題中，緊凸集常作為可行域，保證解的存在性和唯一性。多面體凸集包括凸多面體，邊界有限01有界多面體邊界不封閉，可無限延伸02無界多面體凸集的性質(zhì)04線性組合性質(zhì)凸集中任意兩點(diǎn)線段均屬集合內(nèi)部。線段在集合內(nèi)多個(gè)凸集的交集仍為凸集。凸集交集性質(zhì)極點(diǎn)與極面01凸集中無法表示為其他兩點(diǎn)凸組合的點(diǎn)02描述無界凸集無限延伸的方向極點(diǎn)定義極方向凸集的分離定理兩凸集可用超平面分隔定義與直觀01基于凸集特有性質(zhì)證明過程02凸集在優(yōu)化中的應(yīng)用05凸優(yōu)化問題凸優(yōu)化問題中，局部最優(yōu)解即為全局最優(yōu)解，簡化求解過程。全局最優(yōu)解01存在多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜度的算法，可高效求解凸優(yōu)化問題。高效算法02凸集與最優(yōu)解在凸集中，局部最優(yōu)即全局最優(yōu)，確保解的唯一性。唯一最優(yōu)解凸集使優(yōu)化問題更易求解，保證全局最優(yōu)。簡化優(yōu)化問題約束條件的凸性凸集保證局部最優(yōu)即全局最優(yōu)凸優(yōu)化問題具有高效求解算法凸集優(yōu)化應(yīng)用凸優(yōu)化問題凸集的拓展概念06凸函數(shù)二次函數(shù)f(x)=x2是凸函數(shù)典型代表典型實(shí)例函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)連線值不小于函數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)值函數(shù)圖像特性凸分析01凸集分離定理兩個(gè)無公共內(nèi)點(diǎn)凸集可被平面分開。02凸函數(shù)理論包括連續(xù)、微分性質(zhì)及極限函數(shù)性質(zhì)。凸幾何中的其他概念01仿射集仿射集是直線在集內(nèi)，凸集特例。02