第二十講矩形、菱形、正方形1．已知四邊形ABCD是平行四邊形，AC，BD相交于點O，下列結(jié)論錯誤的是(B)A．OA＝OC，OB＝ODB．當(dāng)AB＝CD時，四邊形ABCD是菱形C．當(dāng)∠ABC＝90°時，四邊形ABCD是矩形D．當(dāng)AC＝BD且AC⊥BD時，四邊形ABCD是正方形2．(2021·紹興中考)數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)從“中國結(jié)”的圖案(圖1)中發(fā)現(xiàn)，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形．如圖2，用2個相同的菱形放置，得到3個菱形．下面說法正確的是(B)A．用3個相同的菱形放置，最多能得到6個菱形B．用4個相同的菱形放置，最多能得到16個菱形C．用5個相同的菱形放置，最多能得到27個菱形D．用6個相同的菱形放置，最多能得到41個菱形3．如圖，四邊形ABCD是菱形，E，F(xiàn)分別是BC，CD兩邊上的點，不能保證△ABE和△ADF一定全等的條件是(C)A．∠BAF＝∠DAEB．EC＝FCC．AE＝AF D．BE＝DF4．(2021·威海中考)如圖，在?ABCD中，AD＝3，CD＝2.連接AC，過點B作BE∥AC，交DC的延長線于點E，連接AE，交BC于點F.若∠AFC＝2∠D，則四邊形ABEC的面積為(B)A．eq\r(5)B．2eq\r(5)C．6D．2eq\r(13)5．(2021·黑龍江中考)如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件__∠ABC＝90°(答案不唯一)__，使平行四邊形ABCD是矩形．6．(2021·新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團中考)如圖，在矩形ABCD中，點E在邊BC上，點F在BC的延長線上，且BE＝CF.求證：(1)△ABE≌△DCF；(2)四邊形AEFD是平行四邊形．【證明】(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，AD＝BC，AD∥BC，∴∠ABE＝∠DCF＝90°，在△ABE和△DCF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DC，,∠ABE＝∠DCF，,BE＝CF，))∴△ABE≌△DCF(SAS)；(2)∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，∴BC＝EF＝AD，又∵AD∥BC，∴四邊形AEFD是平行四邊形．7．(2021·南充期末)如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，EF⊥AD于點F，DG⊥AE于點G，DG與EF交于點O.(1)求證：四邊形ABEF是正方形；(2)若AD＝AE，求證：AB＝AG；(3)在(2)的條件下，已知AB＝1，求OD的長．【解析】(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAF＝∠ABE＝90°，∵EF⊥AD，∴四邊形ABEF是矩形，∵AE平分∠BAD，∴EF＝EB，∴四邊形ABEF是正方形；(2)∵AE平分∠BAD，∴∠DAG＝∠BAE，在△AGD和△ABE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DAG＝∠BAE，,∠AGD＝∠ABE，,AD＝AE，))∴△AGD≌△ABE(AAS)，∴AB＝AG；(3)∵四邊形ABEF是正方形，∴AB＝AF＝1，∵△AGD≌△ABE，∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，∵AD＝AE，∴AD－AF＝AE－AG，即DF＝EG，在△DFO和△EGO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠FOD＝∠GOE，,∠DFO＝∠EGO＝90°，,DF＝EG，))∴△DFO≌△EGO(AAS)，∴FO＝GO，∵∠DAE＝∠AEF＝45°，∠AFE＝∠AGD＝90°，∴DF＝FO＝OG＝EG，∴DO＝eq\r(2)OF＝eq\r(2)OG，∴DG＝DO＋OG＝eq\r(2)OG＋OG＝1，∴OG＝eq\f(1,1＋\r(2))＝eq\r(2)－1，∴OD＝eq\r(2)(eq\r(2)－1)＝2－eq\r(2).8．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線EF分別交BC，AD于點E，F(xiàn)，若BE＝3，AF＝5，則AC的長為(A)A．4eq\r(5)B．4eq\r(3)C．10D．89．已知：點D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點，如圖所示．求證：DE∥BC，且DE＝eq\f(1,2)BC.證明：延長DE到點F，使EF＝DE，連接FC，DC，AF，又AE＝EC，則四邊形ADCF是平行四邊形，接著以下是排序錯誤的證明過程：①∴DF綊BC；②∴CF綊AD.即CF綊BD；③∴四邊形DBCF是平行四邊形；④∴DE∥BC，且DE＝eq\f(1,2)BC.則正確的證明順序應(yīng)是(A)A．②→③→①→④B．②→①→③→④C．①→③→④→②D．①→③→②→④10．(2021·十堰中考)如圖，O是矩形ABCD的對角線AC的中點，M是AD的中點．若AB＝5，AD＝12，則四邊形ABOM的周長為__20__．11．如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的對角線AC上的兩點，AC＝8，AE＝CF＝2，則四邊形BEDF的周長是__8eq\r(5)__．12.(2021·來賓質(zhì)檢)如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O.(1)若AO＝eq\f(1,2)BD，求證：四邊形ABCD為矩形；(2)若AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F，求證：AE＝CF.【證明】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝eq\f(1,2)BD，∴OA＝OC＝OB＝OD，∴AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形；(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∵AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE與△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEB＝∠CFD，,∠ABE＝∠CDF，,AB＝CD，))∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE＝CF.13.如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AD的中點，點F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.(1)求證：四邊形OEFG是矩形；(2)若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的長．【解析】(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO.∵E是AD的中點，∴AE＝OE＝eq\f(1,2)AD，∴∠EAO＝∠AOE，∴∠AOE＝∠BAO，∴OE∥FG.∵OG∥EF，∴四邊形OEFG是平行四邊形．∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四邊形OEFG是矩形；(2)∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中點，∴OE＝AE＝eq\f(1,2)AD＝5；由(1)知，四邊形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，∵AE＝5，EF＝4，∴AF＝eq\r(AE2－EF2)＝3，∴BG＝AB－AF－FG＝10－3－5＝2.【核心素養(yǎng)題】如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上移動，但A到EF的距離AH始終保持與AB長相等，問在E，F(xiàn)移動過程中：(1)∠EAF的大小是否有變化？請說明理由；(2)△ECF的周長是否有變化？請說明理由．【解析】(1)∠EAF的大小沒有變化．理由如下：根據(jù)題意，知AB＝AH，∠B＝90°，又∵AH⊥EF，∴∠AHE＝90°，∵AE＝AE，∴Rt△BAE≌Rt△HAE(HL)，∴∠BAE＝∠HAE，同理，△HAF≌△DAF，∴∠HAF＝∠DAF，∴∠EAF＝∠EAH＋∠FAH＝eq\f(1,2)∠BAH＋eq\f(1,2)∠HAD＝eq\f(1,2)(∠BAH＋∠HAD)＝eq