珠海市九中中考數(shù)學(xué)期末幾何綜合壓軸題易錯(cuò)匯編一、中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題1．定義：如果一個(gè)三角形一條邊上的高與這條邊的比值是3：5，那么稱這個(gè)三角形為“準(zhǔn)黃金”三角形，這條邊就叫做這個(gè)三角形的“金底”．（概念感知）（1）如圖1，在中，，，，試判斷是否是“準(zhǔn)黃金”三角形，請(qǐng)說明理由．（問題探究）（2）如圖2，是“準(zhǔn)黃金”三角形，BC是“金底”，把沿BC翻折得到，連AB接AD交BC的延長線于點(diǎn)E，若點(diǎn)C恰好是的重心，求的值．（拓展提升）（3）如圖3，，且直線與之間的距離為3，“準(zhǔn)黃金”的“金底”BC在直線上，點(diǎn)A在直線上．，若是鈍角，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，線段交于點(diǎn)D．①當(dāng)時(shí)，則_________；②如圖4，當(dāng)點(diǎn)B落在直線上時(shí)，求的值．解析：（1）是“準(zhǔn)黃金”三角形，理由見解析；（2）；（3）①；②．【分析】（1）過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，先求出AD的長度，然后得到，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意，由“金底”的定義得，設(shè)，，由勾股定理求出AB的長度，根據(jù)比值即可求出的值；（3）①作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，先求出AC的長度，由相似三角形的性質(zhì)，得到AF=2DF，由解直角三角形，得到，則，即可求出DF的長度，然后得到CD的長度；②由①可知，得到CE和AC的長度，分別過點(diǎn)，D作，，垂足分別為點(diǎn)G，F(xiàn)，然后根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，得到，然后求出CD和AD的長度，即可得到答案．【詳解】解：（1）是“準(zhǔn)黃金”三角形．理由：如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，∵，，∴．∴．∴是“準(zhǔn)黃金”三角形．（2）∵點(diǎn)A，D關(guān)于BC對(duì)稱，∴，．∵是“準(zhǔn)黃金”三角形，BC是“金底”，∴．不防設(shè)，，∵點(diǎn)為的重心，∴．∴，．∴．∴．（3）①作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，如圖：由題意得AE=3，∵，∴BC=5，∵，∴，在Rt△ABE中，由勾股定理得：，∴，∴；∵∠AEC=∠DFA=90°，∠ACE=∠DAF，∴△ACE∽△DAF，∴，設(shè)，則，∵∠ACD=30°，∴，∴，解得：∴．②如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，則．∵是“準(zhǔn)黃金”三角形，BC是“金底”，∴．∴．∵，∴．∴．∴，．分別過點(diǎn)，D作，，垂足分別為點(diǎn)G，F(xiàn)，∴，，，則．∵，∴．∴．∴設(shè)，，．∵，∴，且．∴．∴．∴，解得．∴，．∴．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，主要考查了重心的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是依據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解答．2．問題背景如圖1，點(diǎn)E在BC上，AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥DC，求證：．嘗試應(yīng)用如圖2，在?ABCD中，點(diǎn)F在DC邊上，將△ADF沿AF折疊得到△AEF，且點(diǎn)E恰好為BC邊的中點(diǎn)，求的值．拓展創(chuàng)新如圖3，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，DC邊上，∠AFE＝∠D，AE⊥FE，F(xiàn)C＝2．EC＝6．請(qǐng)直接寫出cos∠AFE的值．解析：（1）見解析；（2）；（3）cos∠AFE=．【分析】(1)根據(jù)相似三角形的判定定理證△ABE∽△ECD即可；(2)在AB邊取點(diǎn)G，使GE=BE，則∠B=∠BGE，證△AGE∽△ECF，列比例式即可；(3)作FM=FD，F(xiàn)N⊥AD，同（2）構(gòu)造△AMF∽△FCE，證△AEF∽△FHD，求出AM長即可．【詳解】解：（1）∵AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥DC∴∠B=∠C=90°，∠BAE+∠AEB=90°，∠CED+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CED，∴△ABE∽△ECD∴．（2）在AB邊取點(diǎn)G，使GE=BE，則∠B=∠BGE又∵∠B+∠C=180°，∠BGE+∠AGE=180°∴∠AGE=∠C∵∠B=∠D=∠AEF又∵∠B+∠BAE=∠AEF+∠FEC∴∠BAE=∠FEC，∴△AGE∽△ECF∴，即∵EF=FD，∴∵GE=BE，AE=BC=2BE，∴（3）cos∠AFE=如圖：作FM=FD，F(xiàn)N⊥AD，由（2）同理可證△AMF∽△FCE，∴設(shè)AM=，F(xiàn)M=FD=，則AD=CD=，MD=，ND=∵∠AEF=∠FND=90°，∠AFE＝∠D，∴△AEF∽△FND，∴，即，∵，∴，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解；∴cos∠AFE=．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形，解題關(guān)鍵是依據(jù)已知條件構(gòu)造相似三角形，列比例式解決問題．3．（基礎(chǔ)鞏固）（1）如圖①，，求證：．（嘗試應(yīng)用）（2）如圖②，在菱形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊上兩點(diǎn)，將菱形沿翻折，點(diǎn)A恰好落在對(duì)角線上的點(diǎn)P處，若，求的值．（拓展提高）（3）如圖③，在矩形中，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，連接，若，求的長．解析：（1）見解析；（2）；（3）．【分析】（1）由證明，再根據(jù)相似三角形的判定方法解題即可；（2）由菱形的性質(zhì)，得到，，繼而證明是等邊三角形，結(jié)合（1）中相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，設(shè)，則可整理得到，據(jù)此解題；（3）在邊上取點(diǎn)E，F(xiàn)，使得，由矩形的性質(zhì)，得到，結(jié)合（1）中相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)解題即可．【詳解】解：（1）證明：∵，∴，即，∵，∴；（2）∵四邊形是菱形，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，由（1）得，，∴，設(shè)，則∴，可得①，②，①－②，得，∴，∴的值為；（3）如圖，在邊上取點(diǎn)E，F(xiàn)，使得，設(shè)AB=CD=m，∵四邊形是矩形，∴，∴，=DF，，由（1）可得，，∴，∴，整理，得，解得或（舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合題、等邊三角形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．4．和都是等邊三角形，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，連接．猜測發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，與是否相等？若相等，加以證明；若不相等，請(qǐng)說明理由．問題解決：（2）若三點(diǎn)不在一條直線上，且，求的長．拓展運(yùn)用：（3）若三點(diǎn)在一條直線上（如圖2），且和的邊長分別為1和2，的面積及的值．解析：（1）AE=BD，理由見解析；（2）5；（3）面積為，＝【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，容易證明△BCD≌△ACE，從而問題即可解決；（2）根據(jù)∠ADC=30゜及△DCE是等邊三角形，可得∠ADE=∠ADC+∠CDE=90゜，從而可計(jì)算出AE，再由（1）即可得BD的長；（3）過A點(diǎn)作AF⊥CD于F，根據(jù)和都是等邊三角形，可得∠ACD=60゜，于是在直角△ACF中利用三角函數(shù)知識(shí)可求得AF的長，從而可求得△ACD的面積；在△ACF中還可求得CF的長，從而可得DF的長，這樣在直角△ADF中即可求得結(jié)論．【詳解】（1）AE=BD．理由如下：∵和都是等邊三角形，∴，∴，即，在和中，，∴，∴；（2）如圖3，由（1）得：，∵是等邊三角形，∴，∵，∴，在中，，∴，∴；（3）如圖2，過作于，∵三點(diǎn)在一條直線上，∴，∵和都是等邊三角形，∴，∴，在中，，∴，，∴，，在中，．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)，帶有一定的綜合性．5．已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點(diǎn)，DE與CF交于點(diǎn)G．問題發(fā)現(xiàn)如圖，若四邊形ABCD是矩形，且于G，，填空：______；當(dāng)矩形ABCD是正方形時(shí)，______；拓展探究如圖，若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當(dāng)與滿足什么關(guān)系時(shí)，成立？并證明你的結(jié)論；解決問題如圖，若于G，請(qǐng)直接寫出的值．解析：（1）①，②1；（2）當(dāng)+=180°時(shí)，成立，理由見解析；（3）.【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)先一步證明△AED~△DFC，然后進(jìn)一步利用相似三角形性質(zhì)求解即可；（2）在AD的延長線上取一點(diǎn)M，使得CM=CF，則∠CMD=∠CFM，通過證明△ADE~△DCM進(jìn)一步求解即可；（3）過C點(diǎn)作CN⊥AD于N點(diǎn)，CM⊥AB交AB延長線于M點(diǎn)，連接BD，先證明△BAD≌△BCD，然后進(jìn)一步證明△BCM~△DCN，再結(jié)合勾股定理求出CN，最終通過證明△AED~△NFC進(jìn)一步求解即可.【詳解】（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A=∠FDC=90°，AB=CD，∵CF⊥DE，∴∠DGF=90°，∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，∴∠CFD=∠AED，∵∠A=∠CDF，∴△AED~△DFC，∴，∴①，②若四邊形ABCD為正方形，，故答案為：①，②1；（2）當(dāng)+=180°時(shí)，成立，理由如下：如圖，在AD的延長線上取一點(diǎn)M，使得CM=CF，則∠CMD=∠CFM，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠A=∠CDM，∵∠B+∠EGC=180°，∴∠BEG+∠FCB=180°，∵∠BEG+∠AED=180°，∴∠AED=∠FCB，∵AD∥BC，∴∠CFM=∠FCB，∴∠CMD=∠AED，∴△ADE~△DCM，∴，即：；（3），理由如下：過C點(diǎn)作CN⊥AD于N點(diǎn)，CM⊥AB交AB延長線于M點(diǎn)，連接BD，設(shè)CN=x，∵∠BAD=90°，即AB⊥AD，∴∠A=∠M=∠CAN=90°，∴四邊形AMCN為矩形，∴AM=CN，AN=CM，在△BAD與△BCD中，∵AD=CD，AB=BC，BD=BD，∴△BAD≌△BCD（SSS），∴∠BCD=∠A=90°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC+∠CBM=180°，∴∠MBC=∠ADC，∵∠CND=∠M=90°，∴△BCM~△DCN，∴，∴，∴，在Rt△CMB中，，BM=AM?AB=，由勾股定理可得：，∴，解得：（舍去）或，∴，∵∠A=∠FGD=90°，∴∠AED+∠AFG=180°，∵∠AFG+∠NFC=180°，∴∠AED=∠CFN，∵∠A=∠CNF，∴△AED~△NFC，∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形性質(zhì)與判定和全等三角形性質(zhì)與判定及矩形性質(zhì)的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.6．綜合與實(shí)踐（1）（探索發(fā)現(xiàn)）在中.，，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．如圖（1），當(dāng)點(diǎn)在線段上，且時(shí)，試猜想：①與之間的數(shù)量關(guān)系：______；②______．（2）（拓展探究）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)在線段上，且時(shí)，判斷與之間的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)，請(qǐng)說明理由．（3）（解決問題）如圖（3），在中，，，，點(diǎn)在射線上，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．當(dāng)時(shí)，直接寫出的長．解析：（1）①；②；（2），．理由見解析；（3）的長為1或2．【分析】（1）由“SAS”△ADF≌△EDB，可得AF=BE，再利用“8字型”字母∠OBE=∠ADO=90°即可解決問題；（2）結(jié)論：AF=BF，∠ABE=a．由“SAS”△ADF≌△EDB，即可解決問題；（3）分當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上和當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上兩種情形討論，利用平行線分線段成比例可求解．【詳解】解：（1）如圖1中，設(shè)AB交DE于O．∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠ABC=45°，∵DF∥AC，∴∠FDB=∠C=90°，∴∠DFB=∠DBF=45°，∴DF=DB，∵∠ADE=∠FDB=90°，∴∠ADF=∠EDB，且DA=DE，DF=DB∴△ADF≌△EDB（SAS），∴AF=BE，∠DAF=∠E，∵∠AOD=∠EOB，∴∠ABE=∠ADO=90°故答案為AF=BE，90°．（2），.理由：∵，∴，.∵，∴.∴.∴∵，，，∴.又∵，∴.∴，.∴，，∴.（3）1或2.解：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，如圖（1）.∵，∴.∵，∴.∵，∴，.∵，，∴.∵，∴.∴.∴.又，∴，.當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，如圖（2）.∵，∴.∴.∴.同理可得.綜上可得，的長為1或2.【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合題、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．7．觀察猜想：（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，點(diǎn)E在斜邊AB上，連接DE，且DE＝AE，將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接EF，則＝______，sin∠ADE＝________，探究證明：（2）在（1）中，如果將點(diǎn)D沿CA方向移動(dòng)，使CD＝AC，其余條件不變，如圖2，上述結(jié)論是否保持不變？若改變，請(qǐng)求出具體數(shù)值：若不變，請(qǐng)說明理由．拓展延伸（3）如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝a，點(diǎn)D在邊AC的延長線上，E是AB上任意一點(diǎn)，連接DE．ED＝nAE，將線段DE繞著點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至點(diǎn)F，連接EF．求和sin∠ADE的值分別是多少？（請(qǐng)用含有n，a的式子表示）解析：（1）；；（2）不變；（3）＝；sin∠ADE＝．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定得到∠A＝∠ACE＝30°，△BEC是等邊三角形，據(jù)此求得CE的長度，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)來求EF的長度，易得答案；（2）不變．理由：如圖2，過點(diǎn)D作DG∥BC交AB于點(diǎn)G，構(gòu)造直角三角形：△ADG，結(jié)合含30度角的直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義，結(jié)合方程求得答案；（3）如圖3，過點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義列出方程并解答．【詳解】（1）如圖1，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝60°．又CE＝AE，∴∠ACE＝∠A＝30°，∴∠BCE＝60°，∴△BEC是等邊三角形，∴BE＝CE．∴AE＝CE＝BE．∴AD＝AB＝CE．又由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：FC＝EC，∠FCE＝90°，∴EF＝CE，∴＝＝．∵∠ADE＝30°，∴sin∠ADE＝．故答案是：；；（2）不變，理由：如圖2，過點(diǎn)D作DG∥BC交AB于點(diǎn)G，則△ADG是直角三角形．∵∠DAG＝30°，DE＝AE，設(shè)DG＝x，∴∠AED＝30°，AD＝x，∠DEG＝∠DGE＝60°．∴DE＝DF＝x，sin∠ADE＝．∵∠EDF＝90°，∴EF＝x．∴＝＝．∵∠ADE＝30°，∴sin∠ADE＝．（3）過點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G，設(shè)AE＝x，則DE＝nx．∵∠CAB＝a，∴AG＝cosα?x，EG＝sinα?x．∴DG＝＝?x．∴AD＝cosα?x+?x．∵∠EDF＝90°，DE＝DF，∴EF＝DE＝nx．∴＝＝，sin∠ADE＝＝＝．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定，作輔助線構(gòu)造直角三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解．8．（1）探究發(fā)現(xiàn)：下面是一道例題及解答過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：如圖①在等邊△ABC內(nèi)部，有一點(diǎn)P，若∠APB=150°，求證：AP2+BP2=CP2證明：將△APC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP’B，連接PP’，則△APP’為等邊三角形∴∠APP’=60°，PA=PP’，PC=∵∠APB=150°，∴∠BPP’=90°∴P’P2+BP2=，即PA2+PB2=PC2（2）類比延伸：如圖②在等腰△ABC中，∠BAC=90°，內(nèi)部有一點(diǎn)P，若∠APB=135°，試判斷線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）聯(lián)想拓展：如圖③在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，點(diǎn)P在直線AB上方，且∠APB=60°，滿足（kPA）2+PB2=PC2（其中k＞0），請(qǐng)直接寫出k的值．解析：（1）P’B，P’B2；（2）2PA2+PB2=PC2，見解析；（3）k=【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理直接寫出即可．（2）將△APC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AP′B，連接PP′，論證PP′=2PA，再根據(jù)勾股定理代換即可．（3）將△APC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△AP′B，連接PP′，過點(diǎn)A作AH⊥PP′，論證PP′=PA，再根據(jù)勾股定理代換即可．【詳解】（1）PC=P’B，P’P2+BP2=P’B2（2）關(guān)系式為：2PA2+PB2=PC2證明：將△APC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AP’B，連接PP’，則△APP’為等腰直角三角形，∴∠APP’=45°，PP’=PA，PC=P’B，∵∠APB=135°，∴∠BPP’=90°，∴P’P2+BP2=P’B2，∴2PA2+PB2=PC2．（3）k=將△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△AP’B，連接PP’，過點(diǎn)A作AH⊥PP’，可得【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)三角形的問題，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理是解題的關(guān)鍵．9．?dāng)?shù)學(xué)課上，李老師出示了如下框中的題目．在等邊三角形中，點(diǎn)E在上，點(diǎn)D在的延長線上，且，如圖，試確定線段與的大小關(guān)系，并說明理由．小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：（1）特殊情況，探索結(jié)論當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線段與的大小關(guān)系．請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：_____（填“>”，“<”或“=”）．（2）特例啟發(fā)，解答題目解：如圖2，題目中，與的大小關(guān)系是：____（填“>”“<”或“=”）．理由如下：（請(qǐng)你完成以下解答過程）（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題在等邊三角形中，點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)D在直線上，且．若的邊長為1，，求的長（請(qǐng)你直接寫出結(jié)果）．解析：（1）=；（2）=；（3）3或1【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可；（2）過E作EF∥BC交AC于F，求出等邊三角形AEF，證△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；（3）當(dāng)D在CB的延長線上，E在AB的延長線式時(shí)，由（2）求出CD=3，當(dāng)E在BA的延長線上，D在BC的延長線上時(shí)，求出CD=1．【詳解】解：（1）如圖1，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，為等邊三角形，，∠A=60°，∴為等邊三角形，，，，，，，在和中，，，，故答案為：；（2）如圖1，過E作EF∥BC交AC于F，∵等邊三角形ABC，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF是等邊三角形，∴AE=EF=AF，∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF，在△DEB和△ECF中，∴△DEB≌△ECF（AAS），∴BD=EF=AE，即AE=BD，故答案為：=．（3）CD=1或3，理由是：分為兩種情況：①如圖2過A作AM⊥BC于M，過E作EN⊥BC于N，則AM∥EN，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，∵AB=1，AE=2，∴AB=BE=1，∵EN⊥DC，AM⊥BC，∴∠AMB=∠ENB=90°，在△ABM和△EBN中，∴△AMB≌△ENB（AAS），∴BN=BM=，∴CN=1+=，CD=2CN=3；②如圖3，作AM⊥BC于M，過E作EN⊥BC于N，則AM∥EN，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，∵AM∥EN，∴，∴，∴MN=1，∴CN=1-=，∴CD=2CN=1，即CD=3或1．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解（2）小題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等的三角形后求出BD=EF，解（3）小題的關(guān)鍵是確定出有幾種情況，求出每種情況的CD值，注意，不要漏解?。?0．如圖1，在中，,，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，連接．(1)探索發(fā)現(xiàn)：圖１圖２圖３圖1中，的值為_____________；的值為_________；(2)拓展探究若將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中的大小有無變化，請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；(3)問題解決當(dāng)旋轉(zhuǎn)至三點(diǎn)在同一直線時(shí)，直接寫出線段的長．解析：(1);(2)見解析(3)或【分析】（1）先判斷出∠AEB=90°，再判斷出∠B=30°，進(jìn)而的粗AE，再用勾股定理求出BE，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出，進(jìn)而得出△ACD∽△BCE，即可得出結(jié)論；（3）分點(diǎn)D在線段AE上和AE的延長線上，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，最后用線段的和差求出AD，即可得出結(jié)論．【詳解】解:解:(1)如圖1，連接AE,∵AB=AC=2，點(diǎn)E分別是BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC,∴∠AEC=90°,∵AB=AC=2，∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,在Rt△ABE中，AE=AB=1，根據(jù)勾股定理得，BE∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),∴BC=2BE∴∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AD=CD=AC=1,∴故答案為：,;(2)無變化,理由:由(1)知,CD=1,,∴,∴,由(1)知,∠ACB=∠DCE=30°,∴∠ACD=∠BCE,∴△ACD∽△BCE,∴,(3)線段BE的長為或，理由如下：當(dāng)點(diǎn)D在線段AE上時(shí),如圖2,過點(diǎn)C作CF⊥AE于F,∠CDF=180°﹣∠CDE=60°,∴∠DCF=30°,∴,∴,在Rt△AFC中,AC=2,根據(jù)勾股定理得,,∴AD=AF+DF=,由(2)知,,∴當(dāng)點(diǎn)D在線段AE的延長線上時(shí),如圖3,過點(diǎn)C作CG⊥AD交AD的延長線于G,∵∠CDG=60°,∴∠DCG=30°,∴,∴,在Rt△ACG中,根據(jù)勾股定理得,,∴,由(2)知,,∴即:線段BE的長為或.【點(diǎn)睛】此題是相似形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造出直角三角形是解本題的關(guān)鍵．11．如圖1，在等腰三角形中，點(diǎn)分別在邊上，連接點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．（1）觀察猜想圖1中，線段的數(shù)量關(guān)系是____，的大小為_____；（2）探究證明把繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接判斷的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，請(qǐng)求出面積的最大值．解析：（1）相等，；（2）是等邊三角形，理由見解析；（3）面積的最大值為.【分析】（1）根據(jù)＂點(diǎn)分別為的中點(diǎn)＂，可得MNBD，NPCE，根據(jù)三角形外角和定理，等量代換求出．（2）先求出，得出，根據(jù)MNBD，NPCE，和三角形外角和定理，可知MN=PN，再等量代換求出，即可求解．（3）根據(jù)，可知BD最大值，繼而求出面積的最大值．【詳解】由題意知：AB=AC，AD=AE，且點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，∴BD=CE，MNBD，NPCE，MN=BD，NP=EC∴MN=NP又∵M(jìn)NBD，NPCE，∠A=，AB=AC，∴∠MNE=∠DBE，∠NPB=∠C，∠ABC=∠C=根據(jù)三角形外角和定理，得∠ENP=∠NBP+∠NPB∵∠MNP=∠MNE+∠ENP，∠ENP=∠NBP+∠NPB，∠NPB=∠C，∠MNE=∠DBE，∴∠MNP=∠DBE+∠NBP+∠C=∠ABC+∠C=．是等邊三角形．理由如下：如圖，由旋轉(zhuǎn)可得在ABD和ACE中．點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，是的中位線，且同理可證且．在中∵∠MNP=，MN=PN是等邊三角形．根據(jù)題意得:即，從而的面積．∴面積的最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中點(diǎn)的性質(zhì)、三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及圖形旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)；正確掌握三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及圖形旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．12．我們定義:如果一個(gè)三角形一條邊上的高等于這條邊,那么這個(gè)三角形叫做“等高底”三角形,這條邊叫做這個(gè)三角形的“等底”．（1）概念理解:如圖1,在中,,.,試判斷是否是“等高底”三角形，請(qǐng)說明理由.（2）問題探究:如圖2,是“等高底”三角形,是“等底”，作關(guān)于所在直線的對(duì)稱圖形得到,連結(jié)交直線于點(diǎn).若點(diǎn)是的重心,求的值.（3）應(yīng)用拓展:如圖3,已知,與之間的距離為2.“等高底”的“等底”在直線上,點(diǎn)在直線上,有一邊的長是的倍.將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到,所在直線交于點(diǎn).求的值.解析：（1）證明見解析；（2）（3）的值為,,2【解析】分析：（1）過點(diǎn)A作AD⊥直線CB于點(diǎn)D，可以得到AD=BC=3，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)ΔABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，得到AD=BC，再由ΔA′BC與ΔABC關(guān)于直線BC對(duì)稱，得到∠ADC=90°，由重心的性質(zhì)，得到BC=2BD．設(shè)BD=x，則AD=BC=2x，CD=3x，由勾股定理得AC=x，即可得到結(jié)論；（3）分兩種情況討論即可：①當(dāng)AB=BC時(shí)，再分兩種情況討論；②當(dāng)AC=BC時(shí)，再分兩種情況討論即可．詳解：（1）是．理由如下：如圖1，過點(diǎn)A作AD⊥直線CB于點(diǎn)D，∴ΔADC為直角三角形，∠ADC=90°．∵∠ACB=30°，AC=6，∴AD=AC=3，∴AD=BC=3，即ΔABC是“等高底”三角形．（2）如圖2，∵ΔABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，∴AD=BC，∵ΔA′BC與ΔABC關(guān)于直線BC對(duì)稱，∴∠ADC=90°．∵點(diǎn)B是ΔAA′C的重心，∴BC=2BD．設(shè)BD=x，則AD=BC=2x，∴CD=3x，∴由勾股定理得AC=x，∴．（3）①當(dāng)AB=BC時(shí)，Ⅰ．如圖3，作AE⊥l1于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．∵“等高底”ΔABC的“等底”為BC，l1//l2，l1與l2之間的距離為2，AB=BC，∴BC=AE=2，AB=2，∴BE=2，即EC=4，∴AC=．∵ΔABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到ΔA'B'C，∴∠CDF=45°．設(shè)DF=CF=x．∵l1//l2，∴∠ACE=∠DAF，∴，即AF=2x．∴AC=3x=，可得x=，∴CD=x=．Ⅱ．如圖4，此時(shí)ΔABC是等腰直角三角形，∵ΔABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到ΔA'B'C，∴ΔACD是等腰直角三角形，∴CD=AC=．②當(dāng)AC=BC時(shí)，Ⅰ．如圖5，此時(shí)△ABC是等腰直角三角形．∵ΔABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到ΔA′B′C，∴A′C⊥l1，∴CD=AB=BC=2．Ⅱ．如圖6，作AE⊥l1于點(diǎn)E，則AE=BC，∴AC=BC=AE，∴∠ACE=45°，∴ΔABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到ΔA′B′C時(shí)，點(diǎn)A′在直線l1上，∴A′C∥l2，即直線A′C與l2無交點(diǎn)．綜上所述：CD的值為，，2．點(diǎn)睛：本題是幾何變換-旋轉(zhuǎn)綜合題．考查了重心的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及閱讀理解能力．解題的關(guān)鍵是對(duì)新概念“等高底”三角形的理解．13．問題背景：我們學(xué)習(xí)等邊三角形時(shí)得到直角三角形的一個(gè)性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．即：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，則：AC=AB．探究結(jié)論：小明同學(xué)對(duì)以上結(jié)論作了進(jìn)一步研究．（1）如圖1，連接AB邊上中線CE，由于CE=AB，易得結(jié)論：①△ACE為等邊三角形；②BE與CE之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，點(diǎn)D是邊CB上任意一點(diǎn)，連接AD，作等邊△ADE，且點(diǎn)E在∠ACB的內(nèi)部，連接BE．試探究線段BE與DE之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想并加以證明．（3）當(dāng)點(diǎn)D為邊CB延長線上任意一點(diǎn)時(shí)，在（2）條件的基礎(chǔ)上，線段BE與DE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．拓展應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣，1），點(diǎn)B是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊作等邊△ABC，當(dāng)C點(diǎn)在第一象限內(nèi)，且B（2，0）時(shí)，求C點(diǎn)的坐標(biāo)．解析：（1）EC=EB；（2）ED=EB，理由見解析；（3）ED=EB；拓展應(yīng)用：C（1，2+）．【分析】探究結(jié)論：（1）只要證明△ACE是等邊三角形即可解決問題；（2）如圖2中，結(jié)論：ED=EB．想辦法證明EP垂直平分線段AB即可解決問題；（3）結(jié)論不變，證明方法類似；拓展應(yīng)用：利用（2）中結(jié)論，可得CO=CB，設(shè)C（1，n），根據(jù)OC=CB=AB，構(gòu)建方程即可解決問題.【詳解】探究結(jié)論（1），如圖1中，∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，∵AC=AB=AE=EB，∴△ACE是等邊三角形，∴EC=AE=EB，故答案為：EC=EB；（2）如圖2中，結(jié)論：ED=EB．理由：連接PE，∵△ACP，△ADE都是等邊三角形，∴AC=AD=DE，AD=AE，∠CAP=∠DAE=60°，∴∠CAD=∠PAE，∴△CAD≌△PAE，∴∠ACD=∠APE=90°，∴EP⊥AB，∵PA=PB，∴EA=EB，∵DE=AE，∴ED=EB；（3）當(dāng)點(diǎn)D為邊CB延長線上任意一點(diǎn)時(shí)，同法可證：ED=EB，故答案為：ED=EB；拓展應(yīng)用：如圖3中，作AH⊥x軸于H，CF⊥OB于F，連接OA，∵A（﹣，1），∴∠AOH=30°，由（2）可知，CO=CB，∵CF⊥OB，∴OF=FB=1，∴可以假設(shè)C（1，n），∵OC=BC=AB，∴1+n2=1+（+2）2，∴n=2+，∴C（1，2+）．【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，正確添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵.14．如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)．當(dāng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上時(shí)，填空：線段DE與AC的位置關(guān)系是；②設(shè)△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2．則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是．（2）猜想論證當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時(shí)，小明猜想（1）中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC，CE邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，點(diǎn)D是其角平分線上一點(diǎn)，BD=CD=4，OE∥AB交BC于點(diǎn)E（如圖4），若在射線BA上存在點(diǎn)F，使S△DCF=S△BDC,請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的BF的長解析：解：（1）①DE∥AC．②．（2）仍然成立，證明見解析；（3）或．【詳解】（1）①由旋轉(zhuǎn)可知：AC=DC，∵∠C=90°，∠B=∠DCE=30°，∴∠DAC=∠CDE=60°．∴△ADC是等邊三角形．∴∠DCA=60°．∴∠DCA=∠CDE=60°．∴DE∥AC．②過D作DN⊥AC交AC于點(diǎn)N，過E作EM⊥AC交AC延長線于M，過C作CF⊥AB交AB于點(diǎn)F．由①可知：△ADC是等邊三角形,DE∥AC，∴DN=CF,DN=EM．∴CF=EM．∵∠C=90°，∠B=30°∴AB=2AC．又∵AD=AC∴BD=AC．∵∴．（2）如圖，過點(diǎn)D作DM⊥BC于M，過點(diǎn)A作AN⊥CE交EC的延長線于N，∵△DEC是由△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），即S1=S2；（3）如圖，過點(diǎn)D作DF1∥BE，易求四邊形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此時(shí)S△DCF1=S△BDE；過點(diǎn)D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，F(xiàn)1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°，∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等邊三角形，∴DF1=DF2，過點(diǎn)D作DG⊥BC于G，∵BD=CD，∠ABC=60°，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，∴∠CDF1=180°-∠BCD=180°-30°=150°，∠CDF2=360°-150°-60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴點(diǎn)F2也是所求的點(diǎn)，∵∠ABC=60°，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，又∵BD=4，∴BE=×4÷cos30°=，∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，故BF的長為或．15．（1）（探究發(fā)現(xiàn)）如圖1，的頂點(diǎn)在正方形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)處，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，的兩邊分別與正方形的邊和交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合）．則之間滿足的數(shù)量關(guān)系是．（2）（類比應(yīng)用）如圖2，若將（1）中的“正方形”改為“的菱形”，其他條件不變，當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)猜想結(jié)論并說明理由．（3）（拓展延伸）如圖3，，，，平分，，且，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，求的長．解析：（1）（2）結(jié)論不成立．（3）【分析】（1）結(jié)論：．根據(jù)正方形性質(zhì)，證，根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得結(jié)論；（2）結(jié)論不成立．．連接，在上截取，連接．根據(jù)菱形性質(zhì)，證，四點(diǎn)共圓，分別證是等邊三角形，是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)證，根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得結(jié)論；（3）由可知是鈍角三角形，，作于，設(shè)．根據(jù)勾股定理，可得到，由，得四點(diǎn)共圓，再證是等邊三角形，由（2）可知：，故可得．【詳解】（1）如圖1中，結(jié)論：．理由如下：∵四邊形是正方形，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為．（2）如圖2中，結(jié)論不成立．．理由：連接，在上截取，連接．∵四邊形是菱形，，∴，∵，∴四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵，，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，（3）如圖3中，由可知是鈍角三角形，，作于，設(shè)．在中，，∵，∴，解得（舍棄）或，∴，∵，∴四點(diǎn)共圓，∵平分，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，由（2）可知：，∴．【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：正方形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，等邊三角形判定和性質(zhì)，圓的性質(zhì).綜合運(yùn)用各個(gè)幾何性質(zhì)定理是關(guān)鍵；此題比較綜合.16．（1）證明推斷：如圖（1），在正方形中，點(diǎn)，分別在邊，上，于點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，．①求證：；②推斷：的值為；（2）類比探究：如圖（2），在矩形中，（為常數(shù)）．將矩形沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，得到四邊形，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．試探究與CP之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接，當(dāng)時(shí)，若，，求的長．解析：（1）①證明見解析；②解：結(jié)論：．理由見解析；（2）結(jié)論：．理由見解析；（3）．【解析】【分析】（1）①由正方形的性質(zhì)得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE=DQ．②證明四邊形DQFG是平行四邊形即可解決問題．（2）結(jié)論：如圖2中，作GM⊥AB于M．證明：△ABE∽△GMF即可解決問題．（3）如圖2-1中，作PM⊥BC交BC的延長線于M．利用相似三角形的性質(zhì)求出PM，CM即可解決問題．【詳解】（1）①證明：∵四邊形是正方形，∴，．∴．∵，∴．∴．∴≌，∴．②解：結(jié)論：．理由：∵，，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴．故答案為1．（2）解：結(jié)論：．理由：如圖2中，作于．∵，∴，∴，，∴，∴∽，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴．（3）解：如圖2﹣1中，作交的延長線于．∵，，∴，∴，∴可以假設(shè)，，，∵，，∴，∴，∴或﹣1（舍棄），∴，，∵，∴，∴，，∵，∴，，∴，∴∽，∴，∴，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?jí)狠S題．17．如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)．（1）問題解決：如圖①，連接，分別取，的中點(diǎn)，，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是_____，位置關(guān)系是____；（2）問題探究：如圖②，是將圖①中的繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的三角形，連接，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，連接，．判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；（3）拓展延伸：如圖③，是將圖①中的繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的三角形，連接，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，連接，．若正方形的邊長為1，求的面積．解析：（1），；（2）的形狀是等腰直角三角形，理由見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)題意可得PQ為△BOC的中位線，再根據(jù)中位線的性質(zhì)即可求解；（2）連接并延長交于點(diǎn)，根據(jù)題意證出，為等腰直角三角形，也為等腰直角三角形，由且可得是等腰直角三角形；（3）延長交邊于點(diǎn)，連接，．證出四邊形是矩形，為等腰直角三角形，，再證出為等腰直角三角形，根據(jù)圖形的性質(zhì)和勾股定理求出O′A，O′B和BQ的長度，即可計(jì)算出的面積．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別為，的中點(diǎn)，∴PQ為△BOC的中位線，∵四邊形是正方形，∴AC⊥BO，∴，；故答案為：，；（2）的形狀是等腰直角三角形．理由如下：連接并延長交于點(diǎn)，由正方形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)可得，∠，是等腰直角三角形，，．∴，．又∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴．∴．∴，．∴，∴．∴為等腰直角三角形．∴，．∴也為等腰直角三角形．又∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，且．∴的形狀是等腰直角三角形．（3）延長交邊于點(diǎn)，連接，．∵四邊形是正方形，是對(duì)角線，∴．由旋轉(zhuǎn)得，四邊形是矩形，∴，．∴為等腰直角三角形．∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，，．∴．∴，．∴．∴．∴為等腰直角三角形．∵是的中點(diǎn)，∴，．∵，∴，，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)、三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．18．（1）（閱讀與證明）如圖1，在正的外角內(nèi)引射線，作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E（點(diǎn)E在內(nèi)），連接，、分別交于點(diǎn)F、G．①完成證明：點(diǎn)E是點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，，，．正中，，，，得．在中，，______．在中，，______．②求證：．（2）（類比與探究）把（1）中的“正”改為“正方形”，其余條件不變，如圖2．類比探究，可得：①______；②線段、、之間存在數(shù)量關(guān)系___________．（3）（歸納與拓展）如圖3，點(diǎn)A在射線上，，，在內(nèi)引射線，作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E（點(diǎn)E在內(nèi)），連接，、分別交于點(diǎn)F、G．則線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為__________．解析：（1）①60°，30°；②證明見解析；（2）①45°；②BF=(AF+FG)；（3）．【分析】（1）①根據(jù)等量代換和直角三角形的性質(zhì)即可確定答案；②在FB上取AN=AF，連接AN．先證明△AFN是等邊三角形，得到∠BAN=∠2=∠1，然后再證明△ABN≌△AEF，然后利用全等三角形的性質(zhì)以及線段的和