第第頁湖南省岳陽市平江縣2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)1月期末試卷一、單選題1．已知an=3n?2，則數(shù)列A．一條直線 B．一條拋物線C．一個圓 D．一群孤立的點2．若向量a，b，c是空間的一個基底，向量m=a+b，n=A．a(chǎn) B．b C．c D．23．已知A、B、C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，下列條件中能確定點M與點A、B、C一定共面的是（）A．OM=OA+C．OM=OA+4．已知集合A={（x，y）|x，y為實數(shù)，且x2+y2=1}，B=|（x，y）|x，y為實數(shù)，且x+y=1}，則A∩B的元素個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．15．在等比數(shù)列{an}中，如果aA．135 B．100 C．95 D．806．函數(shù)f(A． B．C． D．7．設(shè)F1、F2分別為雙曲線x2a2?y2bA．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=08．青銅器是指以青銅為基本原料加工而成的器皿?用器等，青銅是紅銅與其它化學(xué)元素（錫?錦?鉛?磷等）的合金.其銅銹呈青綠色，故名青銅.青銅器以其獨特的器形，精美的紋飾，典雅的銘文向人們揭示了我國古代杰出的鑄造工藝和文化水平.圖中所示為觚，飲酒器，長身，侈口，口底均成喇叭狀，外形近似雙曲線的一部分繞虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)而成的曲面.已知，該曲面高15寸，上口直徑為10寸，下口直徑為7.5寸.最小橫截面直徑為6寸，則該雙曲線的離心率為（）A．53 B．135 C．52二、多選題9．（多選）在棱長為1的正方體ABCD﹣A1A．直線D1BB．存在點M使得二面角M?BD?C為90°的二面角C．存在點M使得異面直線BM與AC所成角為90°D．三棱錐A1?ABD10．已知無窮等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，A．數(shù)列{an}單調(diào)遞減 C．數(shù)列{Sn}單調(diào)遞減 11．下列不等式中正確的是（）A．ln3<3ln2 B．lnπ<12．在平面直角坐標系中，A，B是圓C：(x?2)A．△ABCB．∠APB的取值范圍為[C．若AB為直徑，則|D．若直線過點P.則點A到直線距離的最大值為32三、填空題13．在長方體ABCD?A1B1C1D1中，14．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=15．已知三棱錐P?ABC的每個頂點都在球O的球面上，PA，PB，PC兩兩互相垂直，且16．f(x)=x3?3x+m四、解答題17．圓C：(x?1（1）求證：直線l過定點；（2）求l被圓C截得的弦長最短時m的值以及最短弦的長度.18．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，（1）求證：數(shù)列{1（2）設(shè)bn=2nS19．如圖，三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1（1）求證：C1B⊥平面（2）求二面角A?EB20．某地出現(xiàn)了蟲害，農(nóng)業(yè)科學(xué)家引入了“蟲害指數(shù)”數(shù)列{In}，{In}表示第n周的蟲害的嚴重程度，蟲害指數(shù)越大，嚴重程度越高．為了治理害蟲，需要環(huán)境整治、殺滅害蟲，然而由于人力資源有限，每周只能采取以下兩個策略之一：策略A：環(huán)境整治，“蟲害指數(shù)”數(shù)列滿足：In+1＝1.02In﹣0.2．策略B：殺滅害蟲，“蟲害指數(shù)”數(shù)列滿足：In+1＝1.08In﹣0.46．當某周“蟲害指數(shù)”小于1時，危機就在這周解除．（1）設(shè)第一周的蟲害指數(shù)Ⅰ1∈[0，8]，用哪一個策略將使第二周的蟲害的嚴重程度更小？（2）設(shè)第一周的蟲害指數(shù)Ⅰ1＝3，如果每周都采用最優(yōu)策略，蟲害的危機最快將在第幾周解除？21．已知橢圓C：x2a2+y2b（1）求C的方程；（2）P、Q為橢圓C上兩個動點，且直線AP、AQ的斜率之積為?16，求證直線22．已知函數(shù)f(（1）已知點P(1，e)（2）當m≤2時，求證f(

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】數(shù)列{an}的通項公式為an=3n?2數(shù)列若用圖象表示，從圖象上看是一群孤立的點.故答案為：D．

【分析】可以看作為an關(guān)于n的一次函數(shù)，變量n∈2．【答案】C【解析】【解答】向量a，b，c是空間的一個基底，則a，b，c不共面，對于A：a=12[(a+對于B：b=12[（a+b）﹣（a?b）]=對于C：c，m，n不共面，故可以構(gòu)成空間的另一個基底，C符合題意，對于D：由A得：2a=m+n，故2a，故答案為：C．

【分析】向量a，b，c是空間的一個基底的充要條件為a，b，c不共面，逐項進行判斷，可得答案.3．【答案】B【解析】【解答】若OM=故可得1即13則AM=?故AM整理得AM又因為AB，故可得AM，即可得A，B，C，M四點共面.故答案為：B.【分析】根據(jù)空間向量的運算，將向量AM用向量AB和AC表示出來，即可證明.4．【答案】C【解析】【解答】由題得{∴{x=1，y=0故答案為：C.

【分析】兩集合表示兩點集，兩集合交集元素的個數(shù)即為求兩函數(shù)圖象交點的個數(shù)，聯(lián)立兩關(guān)系式，求出方程組的解，即可得兩集合交集的元素個數(shù).5．【答案】A【解析】【解答】利用等比數(shù)列{an}的性質(zhì)有S2，S4-S2，S6-S4，S8-S6成等比數(shù)列，∴S2=40，S4-S2=a3+a4=60，則S6-S4=90，S8-S6=135，故a7+a8=S8-S6=135．，故選A6．【答案】D【解析】【解答】函數(shù)f(x)當x<0時，ex>0，有當0<x<12時，1<e顯然D符合題意.故答案為：D

【分析】根據(jù)函數(shù)值在x>0，x<0上的正負以及單調(diào)性，逐項進行判斷，可得答案.7．【答案】C【解析】【解答】依題意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一個等腰三角形，F(xiàn)2在直線PF1的投影是其中點，由勾股定理知，可知|PF1|="2"4c2?4a2=4b根據(jù)雙曲定義可知4b-2c=2a，整理得c=2b-a，代入c2=a2+b2整理得3b2-4ab=0，求得ba=48．【答案】B【解析】【解答】依題意，該酒杯可近似看成雙曲線模型，建立直角坐標系，并作出雙曲線如下：設(shè)AM，BN均和y軸垂直.則AM=5，BN=154，MN=15，OC=3，設(shè)雙曲線的方程為：x2a2?y2b2=1(a，b>0)，根據(jù)OC=3雙曲線經(jīng)過(3，0故答案為：B

【分析】將實際問題轉(zhuǎn)化成坐標系中的雙曲線模型，列方程求解.9．【答案】A,B,C【解析】【解答】由題意可知，D1B1⊥A1當M為A1C1中點時，二面角M?BD?C異面直線BM與AC所成的角可轉(zhuǎn)化為直線BM與A1△BA1C1三棱錐A1?ABD的體積為故答案為：ABC．

【分析】由，D1B1⊥A1C1，A1C110．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1且數(shù)列{an}又Sn=d2n故數(shù)列{S因為n=a1?d2?d=12故答案為：ABD．

【分析】結(jié)合數(shù)列單調(diào)性的定義檢驗A，B；結(jié)合等差數(shù)列的和取得最值的條件及單調(diào)性條件檢驗C，D，即可判斷.11．【答案】A,C【解析】【解答】A，令f(x)=2log2x?x，即f(x)在(0∴f(3)<0，即2loB，令g(x)=lnx?xe，即g(x)在(0，4e)C，ln3D，令h(x)=elnx?x，∴h即h(x)在(e，+∞)上單調(diào)遞減，h故答案為：AC．

【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)逐項進行判斷，可得答案.12．【答案】A,B,D【解析】【解答】S△圖1由于∠AOB∈(0，當∠AOB=π2時，sin∠AOB設(shè)當直線PA，PB分別與圓相切時，此時圖2由于|PC|=22，r=2當AB是直徑時，C是AB的中點，則PA+當l⊥CP時，此時圓心到直線的距離最大，且最大值為|CP圖3故點A到直線距離最大值為|CP|故答案為：ABD

【分析】根據(jù)三角形面積公式即可判斷A，根據(jù)直線與圓相切可判斷B，根據(jù)向量的加法法則可判斷C，根據(jù)點到直線的距離可判斷D.13．【答案】12【解析】【解答】建立如圖所示的空間直角坐標系，則A1(0，0，3)，B(0，4，0)故答案為：12

【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標系，由此即可求出各個點以及向量的坐標，然后由數(shù)量積的坐標公式即可求出平面的法向量，結(jié)合點到平面的距離公式，代入計算出結(jié)果即可。14．【答案】3【解析】【解答】當n=1時，a1=S當n≥2時，ananan即an故an故答案為：3n?1

【分析】由已知可得an=Sn?S15．【答案】36【解析】【解答】如圖，將三棱錐P?ABC補全成如圖的長方體，則根據(jù)對稱性可得：三棱錐P?ABC的外接球的直徑為長方體的體對角線，設(shè)球的半徑為R，又2PB=PA=PC=4，∴(2R)∴球O的表面積為4π故答案為：36

【分析】將三棱錐P?ABC補全成如圖的長方體，從而得三棱錐P?ABC的外接球的直徑為長方體的體對角線，從而可得球的半徑，最后代入球的表面積公式即可求解出球O的表面積.16．【答案】[?2【解析】【解答】若關(guān)于x的方程f(x)=0在[0令g(x)0≤x<1時，g'(x)>0則g(x)在[g(0)=0所以g(若使x3?3x+m=0在則?2≤m≤2．故答案為：[?2

【分析】根據(jù)題意，若關(guān)于x的方程f(x)=0在[0，2]上有根，即?x3+3x=m在[0，17．【答案】（1）證明：將直線l的方程變形為m(解方程組2x+y?7=0x+y?4=0，解得x=3因此，直線l過定點A(（2）解：如下圖所示，設(shè)直線l交圓C于M、N兩點，設(shè)圓心C到直線l的距離為d.①當l⊥AC時，d=|②當l不與AC垂直時，d<|綜上所述，d≤|所以，|MN此時，l⊥AC，由已知可得kAC?k【解析】【分析】(1)通過直線l轉(zhuǎn)化為直線系，求出直線l過定點；

(2)說明直線|被圓C截得的弦長最小時，圓心與定點連線與直線l垂直，求出斜率即可求出m的值，再由勾股定理即可得到最短弦長.18．【答案】（1）證明：由Sn+1?可得1S則數(shù)列{1（2）解：由（1）可得1Sn=1+n?1=n所以bn則Tn2T上面兩式相減可得?T化簡可得T【解析】【分析】(1)對遞推式兩邊同除以SnSn+1，由等差數(shù)列的定義，可證明出數(shù)列{1Sn}是等差數(shù)列；

(2)由等差數(shù)列的通項公式求得bn=219．【答案】（1）證明：連接B∵BC=1，CC1=2∴由余弦定理得：BC∴BC2+BC又AB⊥側(cè)面BB1C1C，B又AB∩BC=B，AB，BC?面ABC，∴C1B⊥（2）解：由題意及（1）中的垂直關(guān)系，以B為原點，BC，BC1，BA所在直線分別為x，y，則B(0，0，0)，A(則EA=(?1設(shè)平面AEB1的一個法向量為則n?EA=0令x1=1，得y1=設(shè)平面A1EB則m?EB令x2=1cos?∴由圖知二面角A?EB1【解析】【分析】(1)根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明出C1B⊥平面ABC；

(2)以B為原點，BC，BC1，BA所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，平面AEB1的一個法向量和平面20．【答案】（1）解：策略A：In+1策略B：In+1當1.08I當I1當I1當I1（2）解：由（1）可知：當I1所以當I1因為In+1=1.In+1=1.由等比數(shù)列的通項公式可得：In正整數(shù)范圍內(nèi)解不等式?2.75×1所以蟲害的危機最快在第9周解除．【解析】【分析】(1)根據(jù)兩種策略，分別計算第二周蟲害指數(shù)I2，比較它們的大小可得結(jié)論；

(2)由(1)可知，最優(yōu)策略為策B，得I21．【答案】（1）解：因為A(?a，0)因為點M在橢圓上，所以14+6所以橢圓C的方程為x2（2）證明：由（1）可得A(當直線PQ的斜率存在時，設(shè)直線PQ的直線方程為y=kx+t，設(shè)P(x1聯(lián)立y=kx+tx2+2Δ=16k2t由韋達定理可得x1+x則k=k由題意可得t2?4k22t2當t=2k時，則直線PQ的方程為y=kx+2k=t(x+2)當t=?k時，則直線PQ的方程為y=kx?k=k(x?1)當直線直線PQ的斜率不存在時，設(shè)直線x=1，代入橢圓的方程可得y2=3設(shè)P(1，62)、Q(綜上所述，直線PQ恒過定點(1【解析】【分析】(1)由直線MA的斜率可得a的值，再將M點代入橢圓的方程，可得b的值，進而可得橢圓的方程；

(2)分直線PQ的斜率存在和不存在兩種情況討論，設(shè)直線PQ的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，求出直線AQ，AP的斜率之積，將兩根之和及兩根之積代入整理，由題意使斜率之積為