北師大版初中數(shù)學(xué)七年級上冊知識點匯總

第一章豐富的圖形世界

r什//圓柱:底面是圓面?zhèn)让媸乔?/p>

CH.柱體I

［棱體:底面是多邊形側(cè)面是正方形或長方形

CP錐體1圓錐:底面是圓面?zhèn)让媸乔?/p>

,錐體［棱錐:底面是多邊形側(cè)面都是三角形

03.球休：由球面圍成的（球面是曲面）

m.幾何圖形是由點、線、面構(gòu)成的。

①幾何體與外界的接觸面或我們能看到的外表就是幾何體的表面。幾何的表面有平面和曲面；

②面與面相交得到線；

③線與線相交得到點。

X5.棱：在棱柱中，任何相鄰花個面的交線都叫做核。

派6.側(cè)棱：相鄰兩個側(cè)面的交線叫做型犢，所有側(cè)棱長都相等0

07.棱柱的上、下底面的形狀相似，側(cè)面的形狀都是長方形。

Q8.根據(jù)底面圖形的邊數(shù)，人們將棱柱分為三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它們底面圖形的形狀

分別為三邊形、四邊形、五邊形、六邊形……

09.長方體和正方體都是四棱柱。

010.圓柱的表面展開圖是由兩個相似的圓形和?種長方形連成。

QH.圓錐的表面展開圖是由一種圓形和一種扇形連成。

※工.設(shè)一種多邊形的邊數(shù)為n（n23,且n為整數(shù)），從一種頂點出發(fā)的對角線有（廣3）條：可以把n邊

形成（n-2）個三角形；這個n邊形共有〃（〃一"條對角線。

2

?13.圓上兩點之間的部分叫做貝，弧是一條曲線。

?14.扇形，由一條弧和通過這條弧的端點的兩條半徑所構(gòu)成的圖形。

□15.凸多邊形和凹多邊形都屬于多邊形。有弧或不封閉圖形都不是多邊形。

第二章有理數(shù)及其運算

零（0）

正分?jǐn)?shù)（如:―，—,5.3,3.8…）

23

※數(shù)軸的三要素：原點、正方向、單位長度（三者缺一不可）。

※任何一種有理數(shù)，都可以用數(shù)軸上的一種點來表達。（反過來，不能說數(shù)軸上所有的點都表達有理

數(shù)）

※假如兩個數(shù)只有符號不一樣，那么我們稱其中一種數(shù)為另一種數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個數(shù)互為相反

數(shù),（0的相反數(shù)是0）

※在數(shù)軸上，表達互為相反數(shù)的兩個點，位于原點的側(cè)，且到原點的距離相等。

0數(shù)軸上兩點表達的數(shù)，右邊的總比左邊的人。正數(shù)在原點的右邊，負數(shù)在原點的左邊。

※絕對值的定義：一種數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表達數(shù)a的點與原點的距離。數(shù)a的絕對值記作|a|。

※正數(shù)的絕對值是它自身；負數(shù)的絕對值是它的數(shù)；0的絕對值是0。

a(a>0)____越米越太.._〉

a(a>0)

\a\-0(。=0)或]I11[1I

-a[a<0)-3-2-10123

-a(a<0)

※絕對值的性質(zhì)：除0外，絕對值為?正數(shù)的數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)：

互為相反數(shù)的兩數(shù)（除0外）的絕對值相等；

任何數(shù)的絕對值總是非負數(shù)，即|a|20

※比較兩個負數(shù)的大小，絕對值大的反而小。比較兩個負數(shù)的大小的環(huán)節(jié)如下：

①先求出兩個數(shù)負數(shù)的絕對值；

②比較兩個絕對值的大?。?/p>

③根據(jù)“兩個負數(shù)，絕對值大的反而小”做出對的的判斷。

※絕對值的性質(zhì)：

①對任何有理數(shù)a,均有|a20

②若la|=0,則|a|二0,反之亦然

③若|a|=b,則a=±b

④對任何有理數(shù)a,均有|a|二|-a|

※有理數(shù)加法法則：①同號兩數(shù)相加，取相似符號，并把絕對值相加。

②異號兩數(shù)相加，絕對值相等時和為0;絕對值不等時取絕對值較大的數(shù)的符

號，并用較大數(shù)的絕對值減去較小數(shù)的絕對值。

③一種數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)，

※加法的互換律、結(jié)合律在有理數(shù)運算中同樣合用。

0靈活運用運算律，使用運算簡化，一般有下列規(guī)律：①互為相反的兩個數(shù)，可以先相加；

②符號相似的數(shù)，可以先相加；

③分母相似的數(shù)，可以先相加；

④幾種數(shù)相加能得到整數(shù)，可以先相加。

※有理數(shù)減法法則：減去一種數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。

0有理數(shù)減法運算時注意兩“變”：①變化運算符號；

②變化減數(shù)的性質(zhì)符號（變?yōu)橄喾磾?shù)）

有理數(shù)減法運算時注意一種“不變”：被減數(shù)與減數(shù)的位置不能變換，也就是說，減法沒有互換律。

0有理數(shù)的加減法混合運算的環(huán)節(jié)：

①寫成省略加號的代數(shù)和。在一種算式中，若有減法，應(yīng)由有理數(shù)的減法法則轉(zhuǎn)化為加法，然后再

省略加號和括號；

②運用加法則，加法互換律、結(jié)合律簡化計算。

（注意：減去一種數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，當(dāng)有減法統(tǒng)一成加法時，減數(shù)應(yīng)變成它自身的相反

數(shù),）

※有理數(shù)乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，絕對值相乘。

②任何數(shù)與0相乘，積仍為0。

135

※假如兩個數(shù)互為倒數(shù)，則它們的乘積為1。（如：-2與一、二與二…等）

253

※乘法的互換律、結(jié)合律、分派律在有理數(shù)運算中同樣合用。

。有理數(shù)乘法運算環(huán)節(jié)：①先確定積的符號；

②求出各因數(shù)的絕對值的積。

。乘積為1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)。注意：

①零沒有倒數(shù)

②求分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是把分?jǐn)?shù)的分子分母顛倒位置。一種帶分?jǐn)?shù)要先化成假分?jǐn)?shù)。

③正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)。

※有理數(shù)除法法則：①兩個有理數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。

②0除以任何非0的數(shù)都得0。0不可作為除數(shù)，否則無意義。

※有理數(shù)的乘方_出一，指數(shù)

QXQXQX……=|數(shù)

￥

※注意：①一種數(shù)可以看作是自身的一次方，如5:51

②當(dāng)?shù)讛?shù)是負數(shù)或分?jǐn)?shù)時，要先用括號將底數(shù)括上，再在右上角寫指數(shù)。

※乘方的運算性質(zhì)：

①正數(shù)的任何次累都是正數(shù)；

②負數(shù)的奇次塞是負數(shù)，負數(shù)的偶次塞是正數(shù)；

③任何數(shù)的偶多次事都是非負數(shù)；

④I的任何次幕都得1,（）的任何次幕都得（）；

⑤-1的偶次累得1；-1的奇次嘉得T；

⑥在運算過程中，首先要確定暴的符號，然后再計算累的絕對值。

※有理數(shù)混合運算法則：①先算乘方,再算乘除,最終算加減。

②假如有括號,先算括號里面的。

第三章字母表達數(shù)

※代數(shù)式的概念：

用運算符號（加、減、乘除、乘方、開方等）把數(shù)與表達數(shù)的字母連接而成的式子叫做住黎去。單

獨的一種數(shù)或一種字母也是代數(shù)式。

注意：①代數(shù)式中除了具有數(shù)、字母和運算符號外，還可以有括號；

②代數(shù)式中不具有“=、＞、＜、#”等符號。等式和不等式都不是代數(shù)式，但等號和不等號兩

邊的式子一般都是代數(shù)式；

③代數(shù)式中的字母所示的數(shù)必須要使這個代數(shù)式故意義，是實際問題的要符合實際問題的意

義。

※代數(shù)式的書寫格式：

①代數(shù)式中出現(xiàn)乘號，一般省略不寫，如vl;

②數(shù)字與字母相乘時，數(shù)字應(yīng)寫在字母前面，如4a；

③帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時，應(yīng)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)后與字母相乘，如22X4應(yīng)寫作;。；

④數(shù)字與數(shù)字相乘，一般仍用“X”號，即“X”號不省略；

4

⑤在代數(shù)式中出現(xiàn)除法運算時，一般按照分?jǐn)?shù)的寫法來寫，如4+（a-4）應(yīng)寫作——；注意：分

a-4

數(shù)線具有“彳”號和括號的雙重作用。

⑥在表達和（或）差的代差的代數(shù)式后有單位名稱的，則必須把代數(shù)式括起來，再將單位名稱寫在

式子的背面，如（1—/）平方米

※代數(shù)式的系數(shù)：

代數(shù)式中的數(shù)字中的數(shù)字因數(shù)叫做代數(shù)式的系數(shù)。如3x,4y的系數(shù)分別為3,4。

注意：①單個字母的系數(shù)是1，如a的系數(shù)是1；

②只含字母因數(shù)的代數(shù)式的系數(shù)是1或T,如-ab的系數(shù)是a3b的系數(shù)是1

※代數(shù)式的項：

代數(shù)式-2x-7表達6x2、_2x、-7的和，6x?、-2x、-7是它的項，其中把不含字母的項叫做常數(shù)項

注意：在交待某一項時，應(yīng)與前面的符號一起交待。

※司類項：

所含字母相似，并口相似字母的指數(shù)也相似的項叫做同類項。

注意：①判斷幾種代數(shù)式與否是同類項有兩個條件：a.所含字母相似；b.相似字母的指數(shù)

也相似。這兩個條件缺一不可；

※通過兩點有且只有一條直線。

※兩點之間的所有連線中，線段最短。

派兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離O

1。=60'r=60”

※角也可以當(dāng)作是由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而成的。如圖5所示:

※一條射線繞它的端點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊成一條直線時，

所成的角叫做平角。如圖6所示：___________心

,平角圖6

※終邊繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)它又和始邊重疊時，

所成的角叫做周角。如圖7所示：C-------------

??周角圖7

※從一種角的頂點引出的一條射線，把這個角提成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。

※通過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。

※假如兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行。

※互相垂直的兩條直線的交點叫做事是。

※平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

※如圖8所示，過點C作直線AB的垂線，垂足為0點，線段C0的長度叫做點C到直線AB的電離。

C

（）第五章一元一次方程

※在一種方程中未知數(shù)x（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次），這樣的方程叫做二不二次

方程。圖8

※等式兩邊同步加上（或減去）同一種代數(shù)式，所得成果仍是等式。

※等式兩邊同步乘同一種數(shù)（或除以同一種不為0的數(shù)），所得成果仍是等式。

※解方程的環(huán)節(jié)：解一元一次方程，一般要通過去分母、去括號、移頂、合并同類頂、未知數(shù)的系數(shù)

化為1等幾種環(huán)節(jié)，把一種一元一次方程“轉(zhuǎn)化”成x=m的形式。

第六章生活中的數(shù)據(jù)

※科學(xué)記數(shù)法：一般地，一種不小于10的數(shù)可以表到達aXl（y的形式，其中l(wèi)Wa<10,n是正整數(shù)，這

種記數(shù)措施叫做科學(xué)記數(shù)法。

※記錄圖的特點：

折線記錄圖：可以清晰地反應(yīng)同一事物在不一樣步期的變化狀況。

條形記錄圖：可以清噴地反應(yīng)每個項目的詳細數(shù)目及之間的大小關(guān)系。

扇形記錄圖：可以清晰地表達各部分在總體中所占的比例及各部分之間的大小關(guān)系

記錄圖對記錄的作用：

（1）可以清晰有效地體現(xiàn)數(shù)據(jù)。

（2）可以對數(shù)據(jù)進行分析。

（3）可以獲得許多的信息。

（4）可以協(xié)助人們作出合理的決策。

七年級下冊北師大版初中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)

第一章整式的運算

一,整式

※上單項式

①由數(shù)與字母的積構(gòu)成的代數(shù)式叫做單項式。單獨一種數(shù)或字母也是單項式。

②單項式的系數(shù)是這個單項式的數(shù)字因數(shù)，作為單項式的系數(shù)，必須連同數(shù)字前面的性質(zhì)符號，假如一種

單項式只是字母的積,并非沒有系數(shù).

③一種單項式中，所有字母的指數(shù)和叫做這個單項式的次數(shù).

X2.多項式

①幾種單項式的和叫做多頻式.在多項式中,每個單項式叫做多項式的項.其中,不含字母的項叫做賞數(shù)項.

一種多項式中，次數(shù)最高琬質(zhì)次數(shù),叫做這個多項式的次數(shù).

②單項式和多項式均有次數(shù),具有字母的單項式有系數(shù)，爹項式?jīng)]有系數(shù).多項式的每一項都是單項式,一

種多項式的項數(shù)就是這個多項式作為加數(shù)的單項式的個數(shù).多項式中每一項均有它們各自的次數(shù),不過

它們的次數(shù)不也許都作是為這個多項式的次數(shù),一種多項式的次數(shù)只有一種,它是所含各項的次數(shù)中最

百的那一項次數(shù).

X3.整式單項式和多項式統(tǒng)稱為整式.

,敕單項式

代數(shù)式整式j(luò)多項式

.其他代數(shù)式

二.整式的加減

ni.整式的加減實質(zhì)上就是去括號后,合并同類項,運算成果是一種多項式或是單項式.

02.括號前面是“一”號，去括號時，括號內(nèi)各項要變號，一種數(shù)與多項式相乘時，這個數(shù)與括號內(nèi)各項都

要相乘.

三.同底數(shù)累的乘法

派司底數(shù)暴的乘法法則：1（勿,〃都是正數(shù)）是轅的運算中最基本的法則，在應(yīng)使用方法則運算

時，要注意如下幾點：

①法則使用的前提條件是：哥的底數(shù)相似并且是相乘時，底數(shù)a可以是一種詳細的數(shù)字式字母，也可以是

一種單項或多項式；

②指數(shù)是1時，不要誤認為沒有指數(shù)；

③不要將同底數(shù)轅的乘法與整式的加法相混淆，對乘法，只要底數(shù)相似指數(shù)就可以相加；而對于加法，

不僅底數(shù)相似，還規(guī)定指數(shù)相似才能相加；

④當(dāng)三個或三個以上同底數(shù)尋相乘時，法則可推廣為（其中m、n、p均為正數(shù)）；

⑤公式還可以逆用：（m、n均為正整數(shù)）

四.幕的乘方與積的乘方

※上轅的乘措施則（勿,〃都是正數(shù)）是黑的乘法法則為基礎(chǔ)推導(dǎo)出來的，但兩者不能混淆.

※之"）"=（an）,f,=優(yōu)”〃（，都為正數(shù)）

X3.底數(shù)有負號時，運算時要注意,底數(shù)是a與（一）時不是同底，但可以運用乘措施則化成同底，

如將（-a）彳上成-a，

，（當(dāng)〃為偶數(shù)時），

一般地（一。）”=,

〃（當(dāng)〃為奇數(shù)時）.

※式.底數(shù)有時形式不一樣，但可以化成相似。

.要注意區(qū)別（ab）n與（a+b）噫義是不一樣的，不要誤認為（a+b）n-an+bn（a>b均不為零）。

X6.積的乘措施則：積的乘方，等于把積每一-種因式分別乘方，再把所得的暴相乘，即①加=ab

（n為正整數(shù)）。

X7.累的乘方與積乘措施則均可逆向運用。

五.同底數(shù)幕的除法

※匕同底數(shù)幕的除法法則：同底數(shù)寤相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即（aW（）,m、n都是正數(shù),

且m>n）.

X2.在應(yīng)用時需要注意如下幾點：

①法則使用的前提條件是“同底數(shù)哥相除”并且0不能做除數(shù)，因此法則中aWO.

②任何不等于0的數(shù)的0次事等于1,即“°=15工°）,如1°°=1,（-2.5°=】），則0°無意義.

③任何不等于0的數(shù)的-P次基（P是正整數(shù)），等于這個數(shù)的P的次幕的倒數(shù)，即〃（aWO,p是正整數(shù)）,

而0:0"都是無意義的；當(dāng)a＞0町a(chǎn)"的值一定是正的；當(dāng)水0時,a＞的值也許是正也也許是負的，如

（-2尸=：（-2）-3

4,8

④運算或注意運算次序.

六.整式的乘法

※匕單項式乘法法則:單項式相乘，把它們的系數(shù)、相似字母分別相乘，對于只在一種單項式里具有的字

母，連同它的指數(shù)作為積的一種因式。

單項式乘法法則在運用時要注意如下幾點：

①積的系數(shù)等于各因式系數(shù)積，先確定符號，再計算絕對值。這時輕易出現(xiàn)的錯誤的是，將系數(shù)相乘與

指數(shù)相加混淆：

②相似字母相乘，運用同底數(shù)的乘法法則；

③只在一種單項式里具有的字母，要連同它的指數(shù)作為積的一種因式；

④單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣合用；

⑤單項式乘以單項式，成果仍是一種單項式。

X2.單項式與多項式相乘

單項式乘以多項式，是通過乘法對加法的分派律，把它轉(zhuǎn)化為單項式乘以單項式，即單項式與多項式相

乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。

單項式與多項式相乘時要注意如下幾點：

①單項式與多項式相乘，積是一種多項式，其項數(shù)與多項式的項數(shù)相似；

②運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號：

③在混合運算時，要注意運算次序。

多項式與多項式相乘

多項式與多項式相親，先用一種多項式中的每一項乘以另一種多項式的每一項，再把所得的積相加。

多項式與多項式相乘時要注意如下幾點：

①多項式與多項式相乘要防止漏項，檢查的措施是：在沒有合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)等于原兩

個多項式項數(shù)的積；

②多項式相乘的成果應(yīng)注意合并同類項；

③對具有同一種字母的一次項系數(shù)是1的兩個一次二項式相乘*+第J+廠+（。+b）x+ab.

其二次項系數(shù)為1,一次項系數(shù)等于兩個因式中常數(shù)項的和，常數(shù)項是兩個因式中常數(shù)項的積。對于

一次項系數(shù)不為1的兩個一次二項式＜mx+a）和（nx+b）相乘可以得到

（mx+a）（nx+b）=mnx2+（mb+ma）x+ah

七,平方差公式

Ol.平方差公式：兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差，

口其構(gòu)造特性是：

①公式左邊是兩個二項式相乘，兩個二項式中第一項相似，第二項互為相反數(shù)；

②公式右邊是兩項的平方差，即相似項的平方與相反項的平方之差。

八.完全平方公式

01.完全平方公式：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍，

?即（a±b）2=a2±2ab+b2

Q口決：首平方，尾平方，2倍乘積在中央；

02.構(gòu)造特性：

①公式左邊是二項式的完全平方；

②公式右邊共有三項，是二項式中二項的平方和，再加上或減去這兩項乘積的2倍。

03.在運用完全平方公式時，要注意公式右邊中間項的符號，以及防止出現(xiàn)（〃±與2="2士從這

樣的錯誤。

九.整式的除法

O1.單項式除法單項式

單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)哥分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里具有的字母，則連同

它的指數(shù)作為商的一種因式；

02.多項式除以單項式

多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加，其特點是把多項式

除以單項式轉(zhuǎn)化成單項式除以單項式，所得商的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相似，此外還要尤其注意符

號。

第二章平行線與相交線

—臺球桌面卜的角

※:.互為余角和互為補角的有關(guān)概念與性質(zhì)

假如兩個角的和為90°（或直角），那么這兩個角互為余角；

假如兩個角的和為180°（或平隹），那么這兩個角互為補角；

注意：這兩個概念都是對于兩個角而言的，并且兩個概念強調(diào)的是兩個角的數(shù)量關(guān)系，與兩

個角的互相位置沒有關(guān)系。

它們的重要性質(zhì)：同角或等角的余角相等；

同角或等角的補角相等。

二,探索直線平行的條件

※兩條直線互相平行的條件即兩條直線互相平行的鑒定定理，共有三條：

①司位角相等，兩直線平行；

②為錯角相等，兩直線平行；

③司旁內(nèi)角互補，兩直線平行。

三.平行線的特性

※平行線的特性即平行線的性質(zhì)定理，共有三條：

①兩直線平行，同位角相等；

②兩直線平行，內(nèi)錯角相等；

③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。

四.用尺規(guī)作線段和角

※匕有關(guān)尺規(guī)作圖

尺規(guī)作圖是指只用圓規(guī)和沒有刻度的直尺來作圖。

X2.有關(guān)尺規(guī)的功能

直尺的功能是：在兩點間連接一條線段；將線段向兩方向延長。

圓規(guī)的功能是：以任意一點為圓心，任意長度為半徑作一種圓；以任意一點為圓

心，任意長度為半徑畫一段弧。

第三章生活中的數(shù)據(jù)

XI.科學(xué)記數(shù)法：對任意一種正數(shù)也許寫成aXl（T的形式，其中IWaVlO,n是整數(shù)，這種記數(shù)的措施稱

為科學(xué)記數(shù)法。

Q2.運用四舍五入法取?種數(shù)的近似數(shù)時，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位；對于一

種近似數(shù)，從左邊第一種不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止，所有的數(shù)字都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。

03.記錄工作包括：

①設(shè)定目的；②搜集數(shù)據(jù)；③整頓數(shù)據(jù)；④體現(xiàn)與描述數(shù)據(jù)；⑤分析成果。

第四章概率

01.隨機事件發(fā)生與不發(fā)生的也許性不總是各占二分之一，都為50%。

X2.現(xiàn)實生活中存在著大量的不確定事件，而概率正是研究不確定事件的一門學(xué)科。

※:「理解必然事件和不也許事件發(fā)生的概率。

必然事件發(fā)牛.的概率為1,即P（必然事件）=1；不也許事件發(fā)生的概率為0,即P（不也許事件）=0；

假如A為不確定事件，那么（KP（A）＜1

2

不可能發(fā)生必然發(fā)生

※工理解兒何概率此類問題的計算措施

事件所有可能結(jié)果所組成的圖形面積

事件發(fā)生概率所有可能結(jié)果所組成的圖形面積

第五章三角形

一.認識三角形

1.有關(guān)三角形的概念及其按角的分類

由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所構(gòu)成的圖形叫做三角形。

這里要注意兩點：

①構(gòu)成三角形的三條線段要“不在同一直線上”；假如在同一直線上，三角形就不存在；

②三條線段“首尾是順次相接"，是指三條線段兩兩之間有?種公共端點，這個公共端點就是三角

形的頂點。

三角形按內(nèi)角的大小可以分為三類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。

2.有關(guān)三角形三條邊的關(guān)系

根據(jù)公理“連結(jié)兩點的線中，線段最短”可得三角形三邊關(guān)系的一種性質(zhì)定理，即三角形任意兩邊

之和不小于第三邊。

三角形三邊關(guān)系的另一種性質(zhì)：三角形任意兩邊之差不不小于第三邊。

對于這兩個性質(zhì)，要全面理解，掌握其實質(zhì)，應(yīng)用時才不會出錯。

設(shè)三角形三邊的長分別為a、b、c則：

①一般地，對于三角形的某一條邊a來說，一定有|b-c|VaVb+c成立；反之，只有Ib-c|VaVb+c

成立，a、b、c三條線段才能構(gòu)成三角形；

②特殊地，假如已知線段a最大，只要滿足b+c>a,那么a、b、c三條線段就能構(gòu)成三角形；假如已

知線段a最小，只要滿足|b-c|<a,那么這三條線段就能構(gòu)成三角形。

3.有關(guān)三角形的內(nèi)角和

三角形三個內(nèi)角的和為180，

①直角三角形的兩個銳角互余；

②一種三角形中至多有一種直角或一種鈍角；

③一種三角中至少有兩個直角是銳角。

4.有關(guān)三角形的中線、高利中線

①三角形的角平分線、中線和高都是線段，不是直線，也不是射線；

②任意一種三角形均有三條角平分線，三條中線和三條高；

③任意一種三角形的三條角平分線、三條中線都在三角形的內(nèi)部。但三角形的高卻有不一樣的位

置：銳角三角形的一條高都在三角形的內(nèi)部，如圖1；直角三角形有一條高在三角形的內(nèi)部，另兩

條高恰好是它兩條邊，如圖2；鈍角三角形一條高在三角形的內(nèi)部，另兩條高在三角形的外部，如

圖3。

④一種三角形中，三條中線交于一點，三條角平分線交于一點，三條高所在的直線交于一點。

二,圖形的全等

0可以完全重疊的圖形稱為全等形。全等圖形的形狀和大小都相似。只是形狀相似而大小不一樣，或者

說只是滿足面積相似但形狀不一樣的兩個圖形都不是全等的圖形。

三,全等三角形

ni.有關(guān)全等三角形的概念

可以完全重疊的兩個三角形叫做全等三角形。互相重疊的頂點叫做對應(yīng)點，互相重疊的邊叫做對應(yīng)邊，

互相重疊的角叫做對應(yīng)角

所謂“完全重疊”，兢息各條邊對應(yīng)相等，各個角也對應(yīng)相等。因此也可以這樣說，各條邊對應(yīng)相等，

各個角也對應(yīng)相等的兩個三角形叫做金笠.三角形。

X2.全等三角形的對應(yīng)邊相等，對■血向M尊。

03.全等三角形的性質(zhì)常常用來證明兩條線段相等和兩個角相等。

四.探三角形全等的條件

※匕三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”

X2.有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS”

X3.兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“角邊角”或“ASA”

※人兩角和其中一種角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊”或“AAS”

五,作三角形

1.已知兩個角及其夾邊，求作三角形，是運用三角形全等條件“角邊角”即（“ASA”）來作圖的。

2.已知兩條邊及其夾角，求作三角形，是運用三角形全等條件“邊角邊”即（“SAS”）來作圖的。

3.己知三條邊，求作三角形，是運用三角形全等條件“邊邊邊”即（“SSS”）來作圖的。

六.探索直三角形全等的條件

※匕斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。簡稱為“斜邊、直角邊"或"HL"。這只對直

角三角形成立。

派2.直角三角形是三角形中的一類，它具有一般三角形的性質(zhì)，因而也可用“SAS”、“ASA”、

“AAS”、“SSS”來鑒定。

直角三角形的其他鑒定措施可以歸納如下：

①兩條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；

②有一種銳角和一條邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。

③三條邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。

第七章生活中的軸對稱

※匕假如一種圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分可以互相重疊，那么這個圖形叫做軸對稱圖形；

這條直線叫做對稱軸。

X2.角平分線1面點到角兩邊距離相等。

派3.線段垂直平分線上的任意一點到線段兩個端點的距離相等。

※上角、線段和等腰三角形是軸對稱圖形。

X5.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重疊，簡稱為“三線合一”。

※工軸對稱圖形上對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分。

X7.軸對稱圖形上對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等。

（注：※表達重點部分；0表達理解部分；◎表達僅供參閱部分；）

北師大版初中數(shù)學(xué)八年級上冊知識點匯總

第一章勾股定理

※直角三角形兩直角邊的平和等于斜邊的平方。即：/+從=。;

假如三角形的三邊長a,b,c滿足那么這個三角形是直角三角形。

滿足條件的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。常見的勾股數(shù)組有：（3,4,5）；（681（5,

12,13）；（8,15,17）；（7,24,25）；（20,21,29）；（9,40,41）；……（這些勾股數(shù)組

的倍數(shù)仍是勾股數(shù)）

第二章實

?自然數(shù)(0,1,2,3…)數(shù)

整數(shù)

※算術(shù)平方

負整數(shù)(-1,-2,-3…)

根：一般地，

有理數(shù)2...）（整數(shù)，有限小數(shù),無限循環(huán)小麴假如一種正數(shù)

X的平方等于

3

實數(shù)分?jǐn)?shù)（小黝a,即x?=a,那

負分魏么正數(shù)x叫做a

的算術(shù)平方

根，疝吊

’正有理數(shù)0的算術(shù)

無理數(shù)（無限不循環(huán)小數(shù)）

負有理數(shù)平方根為0；

從定義可知，

只有當(dāng)a20時,e才有算術(shù)平方根。

※平方根：一般地，假如一種數(shù)〉:的平方根等于a,即X?二a,那么數(shù)x就叫做a的平方根。

※正數(shù)有兩個平方根（一正一負）；0只有一種平方根，就是它自身；負數(shù)沒有平方根?！龜?shù)的立方根

是正數(shù)；0的立方根是0；負數(shù)的立方根是負數(shù)。

yfaxy/b=4ab(ci>0,Z?>0)

第三章圖形的平移與旋轉(zhuǎn)

平移：在平面內(nèi)，將一種圖形沿某個方向移動一定距離，這樣的圖形運動稱為平移。

平移的基本性質(zhì)：通過平移，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等；對應(yīng)點所連的線段平行且相等。

旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一種圖形繞一種定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一種角度，

這樣的圖形運動稱為旋轉(zhuǎn)。飛、一＞

這個定點叫旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角度叫旋轉(zhuǎn)角。//

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形的大小和形\、”/狀相似；

旋轉(zhuǎn)前后兩個圖形的對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距\\//離相等；

對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角度彼此相人\\//E等。

（例：如圖所示，點D、E、F分別為點A、B、C的\\//對應(yīng)點，通過旋轉(zhuǎn)，

圖形上的每一點都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相似方向轉(zhuǎn)動了相似的角度，任意

一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角，對■應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。）

第四章四平邊形性質(zhì)探索

※平行四邊的定義：兩線對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形不相鄰的兩頂點連成的線

段叫做它的對角線。

※平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等,對角相等,對角線互相平分。

※平行四邊形的鑒別措施：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

※平行線之間的距離：若兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意兩點到另一條直線的距離相等。這

個距離稱為平行線之間的距離。

菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

※菱形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且四家邊都相等,兩條對角線互相垂直平分,每一條龍角線平分一

組對角。

菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是對稱軸o

※菱形的鑒別措施：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

四條邊都相等的四邊形是菱形。

※矩形的定義：有一種角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。

※矩形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且對角線相等，四個角都是直角。（矩形是軸對稱圖形，有兩

條對稱軸）

※矩形的鑒定：有一種內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形（根據(jù)定義）。

對角線相等的平行四邊形是矩形。

四個角都相等的四邊形是矩形。

※推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的二分之一。

正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、盅眩、菱形的一切性質(zhì)。（正方形是軸對稱圖形，有兩條對

稱軸）

※正方形常用的鑒定：

有一種內(nèi)角是直角的菱形是正方形；

鄰邊相等的矩形是正方形；

對角線相等的菱形是正方形；

對角線互相垂直的矩形是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之

間的關(guān)系（如圖3所示）：

※悌形定義：一組對邊平行且另一組對

邊不平行的四邊形叫做梯稱

※兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形。

X-條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

※等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同一后工的兩個內(nèi)角相等，對角線相等。

同一底上的兩個內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形。

※多邊形內(nèi)角和：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）-180°

※多邊形的外角和都等于360°

※在平面內(nèi)，?種圖形繞某個點旋轉(zhuǎn)180°,假如旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重疊，那么這個圖開叫做中心對稱

圖形。

※手心對稱圖形上的每一對對應(yīng)點所連成的線段被對稱中心平分。

第五章位置確實定

※平面直角坐標(biāo)系概念：在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，水平的數(shù)

軸叫x軸或橫軸；鉛垂的數(shù)軸叫y軸或縱軸，兩數(shù)軸的交點0稱為原點。

※點的坐標(biāo)：在平面內(nèi)一點P,過P向x軸、y軸分別作垂線，垂足在x軸、y軸上對應(yīng)的數(shù)a、b分別叫P點的

橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，則有序?qū)崝?shù)對（a、b）叫做P點的坐標(biāo)。

※在直角坐標(biāo)系中怎樣根據(jù)點的坐標(biāo)，找出這個點（如圖4所示），措施是由P（a,b）,在x軸上找到坐

標(biāo)為a的點A,過A作x軸的垂線，再在y軸上找到坐標(biāo)為b的點B,過B作y軸的垂線，兩垂線的交點即為所

找的P點。

※怎樣根據(jù)已知條件建立合適的直角坐標(biāo)系？

根據(jù)已知條件建立坐標(biāo)系的規(guī)定是盡量使計算以便，一般地沒有明確的措施，但有如下幾條常用的措

施：①以某已知點為原點，使它坐標(biāo)為（0,0）；②以圖形中某線段所在直線為x軸（或y軸）；③以已

知線段中點為原點；④以兩直線交點為原點；⑤運用圖形的軸對稱性以對稱軸為y軸等。

※羽形“縱橫向伸縮”的變化規(guī)律：

A、將圖形上各個點的坐標(biāo)的縱坐標(biāo)不變，而橫坐標(biāo)分別變成本來的n倍時，所得的圖形比本來的圖形

在橫向：①當(dāng)n>l時，伸長為本來的n倍；②當(dāng)0<n<l時，壓縮為本來的n倍。

B、將圖形上各個點的坐標(biāo)的橫坐標(biāo)不變，而縱坐標(biāo)分別變成本來的n倍時，所得的圖形比本來的圖形

在縱向：①當(dāng)n>l時，伸長為本來的n倍；②當(dāng)0<n〈l時，壓縮為本來的n倍。

※羽形“縱橫向位置”的變化規(guī)律：

A、將圖形上各個點的坐標(biāo)的縱坐標(biāo)不變，而橫坐標(biāo)分別加上a,所得的圖形形狀、大小不變，而位置

向右（a>0）或向左（a<0）立移了|a|個單位。

B、將圖形上各個點的坐標(biāo)的橫坐標(biāo)不變，而縱坐標(biāo)分別加上b,所得的圖形形狀、大小不變，而位置

向上（b>0）或向下（b<0）平移了|b|個單位。

※組形“倒轉(zhuǎn)與對稱”的變化規(guī)律：

A、將圖形上各個點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)分別乘以-1,所得的圖形與本來的圖形有關(guān)x軸對稱。

B、將圖形上各個點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)分別乘以T,所得的圖形與本來的圖形有關(guān)y軸對稱。

※弱形“擴大與縮小”的變化規(guī)律：

將圖形上各個點的縱、橫坐標(biāo)分別變本來的n倍（n>0）,所得的圖形與原圖形相比，形狀不變；①當(dāng)

n>l時，對應(yīng)線段大小擴大到本來的n倍；②當(dāng)0<n<l時，對應(yīng)線段大小縮小到本來的n倍。

第六章一次函數(shù)

若兩個變量x,y間的關(guān)系式可以表到達丫=1^+M1<工（））的形式，則稱y是x的一次函數(shù)（x為自變量，y為因變

量）。尤其地,當(dāng)b=0時,稱y是x的正比例函數(shù)。

⑴

b.>0

k<OsZ?=0⑵

b=O

（3）

b<0

※正比例函數(shù)y二kx的圖象是通過原點（0,0）的一條直線。

※在一次函數(shù)y;kx+b中:當(dāng)k〉0時,y隨x的增大而增大；當(dāng)k<0時,y隨x的增大而減小。

第七章二元一次方程組

※具有兩個未知數(shù),并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做二元二:次方程。兩個一次方程所構(gòu)成的

一組方程叫做二元一次方程組，

※蚱一元一次力罐組：①衣X酒無法；

②加減消元法（無論是代入消元法還是加減消元法，其目的都是招“二元i次

方程”變?yōu)椤耙辉淮畏匠獭?，爐謂之“消元”）

※在運用方程來解應(yīng)用題時，重要分為兩個環(huán)節(jié)：①設(shè)未知數(shù)（在設(shè)未知數(shù)時，大多數(shù)狀況只要設(shè)問題

為X或y；但也有時也須根據(jù)已知條件及等量關(guān)系等諸多方面考慮）：②尋找等量關(guān)系（一般地，題H

中會具有?表述等量關(guān)系的句子，只須找到此句話即可根據(jù)其列出方程）。

問題&T方程（組）博一解答

※處理問題的過程可以深入概括為：抽象檢驗

第八章數(shù)據(jù)的代表

+々卬2+…+%嗎

※加權(quán)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)％1'%2，?一%〃的權(quán)分加為“,嗎,,一嗎，則稱叫+…+嗎

為這n個數(shù)的加權(quán)平均數(shù).（如：對某同學(xué)的數(shù)學(xué)、語文、科學(xué)三科的考察，成績分

別為72,50,88,而三項成績的“權(quán)”分別為4、3、1,則加權(quán)平均數(shù)為：

72x4+50x3+88x1

4+3+1）

※一般地，n個數(shù)據(jù)按大小次序排列，處在最中間位置的一種數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這

組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

※一組數(shù)據(jù)《由現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

※眾數(shù)著眼于對各數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)的考察，中位數(shù)首先要花窺據(jù)按大小次序排列，并且要注意當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)

為奇數(shù)時，中間的那個數(shù)據(jù)就是中位數(shù)；當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)時，居于中間的兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)才是中

位數(shù)，尤其要注意一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)是唯一的，但眾數(shù)則不一定是唯一的。

北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊知識點匯總

第一章一元一次不等式和一元一次不等式組

一、一般地，用符號（或"W”），“>”（或"2”）連接的式子叫做不等式。

能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.不等式的解不唯一，把所有滿足不等式的解集合在一

起，構(gòu)成不等式的解集.求不等式;解集的過程叫解不等式.

由幾種?元?次不等式組所構(gòu)成的不等式組叫做一元?次不等式組

不等式組的解集：一元一次不等二t組各個不等式的解集的公共部分。

等式基本性質(zhì)1：在等式的兩邊都加上（或減去）同一種數(shù)或整式，所得的成果仍是等式.基本性質(zhì)2：

在等式的兩邊都乘以或除以同一種數(shù)（除數(shù)不為0）,所得的成果仍是等式.

二、不等式的基本性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一種整式，不等號的方向不變.（注：移項

要變號，但不等號不變。）性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一種正數(shù)，不等號的方向不變.性

質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一種負數(shù)，不等號的方向變化.不等式的基本性質(zhì)<1>、若a>b,

則a+c>b+c；<2>、若a>b,c>0則ac>bc若c<0,則ac〈bc

不等式的其他性質(zhì)：反射性：若a>b,則b<a;傳遞性:若a>b,且b>c,則a>c

三、解不等式的環(huán)節(jié)：1、去分母；2、去括號；3、移項合并同類項；4、系數(shù)化為lo

四、解不等式組的環(huán)節(jié)：1、解出不等式的解集2、在同一數(shù)軸表達不等式的解集。

五、列一元一次不等式組解實際問題的一般環(huán)節(jié)：（1）審題；（2）設(shè)未知數(shù)，找（不等量）關(guān)系式；

（3）設(shè)元，（根據(jù)不等量）關(guān)系式列不等式（組）（4）解不等式紐；檢查并作答。

六、?？碱}型：

1、求4x-67x72的非負數(shù)解.

2、已知3（x-a）=x-a+lr的解適合2（x-5）8a,求a的范圍.

3、當(dāng)m取何值時，3x+m-2（m+2）=3m+x的解在-5和5之間。

第二章分解因式

一、公式：1、ma+mb+mc=m（a+b+c）2、a'—b2=（a+b）（a—b）3、a'±2ab+b2=（a±b）2

二、把一種多項式化成幾種整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式。

1、把幾種整式的積化成一種多項式的形式，是乘法運算.

2、把一種多項式化成幾種整式的積的形式，是因式分解.

3、ma+mb+mc=m（a+b+c）

4、因式分解與整式乘法是相反方向的變形。

三、把多項式的各項都具有的相似因式，叫做這個多項式的各項的公因式.

提公因式法分解因式就是把一種多項式化成單項式與多項式相乘的形式.找公因式的一般環(huán)節(jié)：（1）若

各項系數(shù)是整系數(shù)，取系數(shù)的最大公約數(shù)；（2）取相似的字母，字母的指數(shù)取較低的；（3）取相似的

多項式，多項式的指數(shù)取較低的.（4）所有這些因式的乘積即為公因式.

四、分解因式的一般環(huán)節(jié)為：

（1）若有先提取，若多項式各項有公因式，則再提取公因式.

（2）若多項式各項沒有公因式,則根據(jù)多項式特點，選用平方差公式或完全平方公式.

（3）每一種多項式都要分解到不能再分解為止.

五、形如a'Zab+b?或a2—2ab+b?的式子稱為完全平方式.分解因式的措施：1、提公因式法。2、運用公

式法。

第三章分式

注：1.對于任意一種分式，分母都不能為零.

2.分式與整式不一樣的是：分式的分母中具有字母，整式的分母中不含字母.

3.分式的值為零含兩層意思：分母不等于零；分子等于零。（中BWO時，分式故意義；分式A/B

中，當(dāng)B=0分式無意義；當(dāng)A=0且BNO時，分式的值為零。）

常考知識點：1、分式的意義，分式的化簡,

2、分式的加減乘除運算。

3、分式方程的解法及其運用分式方程解應(yīng)用題。

第四章相似圖形

一、定義表達兩個比相等的式子叫比例.

1.假如a與b的比值和c與d的比值相等，那么或a：b=c：d,這時構(gòu)成比例的四個數(shù)a,b,c,d叫做比例

的項，兩端的兩項叫做外項，中間的兩項叫做內(nèi)項.即a、d為外項，c、b為內(nèi)項.

2.假如選用同一種長度單位量得兩條線段AB、CD的長度分別是m、n,那么就說這兩條線段的比

（ratio）AB：CD=m：n,或?qū)懗?,其中，線段AB、CD分別叫做這兩個線段比的前項和后項.假如把

表到達比值k,則=k或AB=k?CD.四條線段a,b,c,d中，假如a與b的比等于c與d的比，即，那

么這四條線段a,b,c,d叫做成比洌線段，簡稱比例線段.黃金分割的定義：在線段AB上，點C把線段

AB提成兩條線段AC和BC,假如，那么稱線段AB被點C黃金分割（goldensection）,點C叫做線段AB

的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比.其中%0.618.引理：平行于三角形的一邊，并且和其他兩

邊相交的直線，所截得的三角形的三