第第頁黑龍江省齊齊哈爾市重點學校2023-2024學年高二上學期12月月考數(shù)學試題一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．空間四邊形ABCD中，AB=a，BC=b，A．a+b?C．a?b?2．數(shù)列?15，A．(?1)n?13n+2 C．(?1)n?12n+3 3．設不同直線l1：2x?my?1=0，l2：A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a3A．97 B．98 C．99 D．1005．已知平面α內的三點A(0，0，1)，B(0，1A．α//β B．αC．α與β相交但不垂直 D．以上都不對6．已知A是拋物線y2=2px(p>0)上的一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，OA．x=?1 B．y=?1 C．x=?2 D．y=?27．設F為拋物線C：y2=3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為（）A．334 B．938 C．8．已知等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為SnA．11113 B．3713 C．11126二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對得5分，有錯選得0分，部分選對得2分.9．已知數(shù)列{an}A．18 B．12 C．25 D．3010．已知圓x2A．關于點(2，0)對稱C．關于直線x+3y?2=0對稱 D．關于直線x?y+2=0對稱11．數(shù)列{an}前nA．若an=?2n+11，則數(shù)列B．設Sn是等差數(shù)列{an}的前nC．已知a=5+26，c=5?26，則使得a，b，cD．若{an}為等差數(shù)列，且a1011<0，a12．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)A．直線D1D與直線B．直線A1G與平面C．平面AEF截正方體所得的截面面積為9D．點C與點B到平面AEF的距離相等三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知平行直線l1：2x+y?1=0，l214．求過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2+y15．已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點為F，16．已知圓C1：x2+y2?kx+2y=0與圓C2：x四、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知直線l：（1）若l不經過第三象限，求a的取值范圍；（2）求坐標原點O到直線l距離的最小值，并求此時直線l的方程.18．已知等差數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，設其前n項和為Sn，且滿足（1）求{a（2）設數(shù)列{Snn+9}的前n項和為T19．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為長方形，AB=2，AD=4，側面PAD⊥底面ABCD，△PAD是正三角形，M是PD的中點，N是AB（1）求證：MN//平面PBC（2）求二面角A?PB?C的正弦值.20．橢圓x236+y29=1和點P（1）當直線l的斜率為12時，求線段AB（2）當P點恰好為線段AB的中點時，求l的方程．21．已知雙曲線：x25?m?（1）求拋物線C的方程；（2）直線l：x=ty+8交拋物線C于A、B兩點，O為原點，求證：以AB為直徑的圓經過原點22．如圖，橢圓E：x2a2+（1）求橢圓E的方程；（2）若經過點(1，1

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：如圖所示，根據(jù)向量的運算，可得CD=故答案為：B.

【分析】本題考查空間向量的基本運算.根據(jù)向量的三角形法則可得：CD→=BD→?2．【答案】D【解析】【解答】因為數(shù)列?1(?1所以其通項公式為an故答案為：D.

【分析】由已知數(shù)列的項與項數(shù)之間的關系特點求解出數(shù)列的通項公式即可。3．【答案】C【解析】【解答】解：當m＝2時，代入兩直線方程中，易知兩直線平行，即充分性成立．當l1∥l2時，顯然m≠0，從而有2m＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但當m故答案為：C.

【分析】本題考查直線與直線平行的判定.根兩條直線平行斜率相等可列出方程：2m＝m－1，解方程可求出m＝2或m＝－1，將m4．【答案】D【解析】【解答】在等差數(shù)列{an}中，且a所以a3=a解得aS故答案為：D

【分析】由已知求得首項與公差，代入等差數(shù)列的前n項和公式求解.5．【答案】A【解析】【解答】解：AB=(0n?n?AC∴n⊥AB，n⊥AC，∴n也為α的一個法向量，又故答案為：A.

【分析】本題考查利用向量判斷兩平面的位置關系.先表示出AB→，AC→，根據(jù)n→?AB→=0和n→?6．【答案】A【解析】【解答】解：過點A作準線的垂線AC，過點F作AC的垂線FB，垂足分別為C，B，如圖．

由題意知∠BFA＝∠OFA－90°＝30°，又因為|AF|＝4，所以|AB|＝2.點A到準線的距離d＝|AB|＋|BC|＝p＋2＝4，解得p＝2，則拋物線y2＝4x的準線方程是x＝－1.故答案為：A.

【分析】本題考查拋物線的簡單性質．根據(jù)題意可求出∠BFA的大小，再利用直角三角形的性質可求出AB的長度，根據(jù)拋物線的定義可列出方程p＋2＝4，可求出p，據(jù)此可寫出拋物線的準線方程.7．【答案】D【解析】【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p=32則F（34∴過A，B的直線方程為y=33（x﹣3即x=3y+34聯(lián)立y2=3xx=3y+設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=33，y1y2=﹣94∴S△OAB=S△OAF+S△OFB=12×34|y1﹣y2|=38(y1+y故選：D．【分析】由拋物線方程求出焦點坐標，由直線的傾斜角求出斜率，寫出過A，B兩點的直線方程，和拋物線方程聯(lián)立后化為關于y的一元二次方程，由根與系數(shù)關系得到A，B兩點縱坐標的和與積，把△OAB的面積表示為兩個小三角形AOF與BOF的面積和得答案．8．【答案】C【解析】【解答】解：設等差數(shù)列{an}的公差為d因為b2所以a3因為等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為所以S11所以a3故答案為：C.

【分析】本題考查等差數(shù)列的性質和等差數(shù)列前n項和公式.根據(jù)等差數(shù)列的性質可將問題表示為：a3+a7+a89．【答案】B,D【解析】【解答】解：因為an=n2+n當n=3時，a3當n=4時，a4當n=5時，a5當n=6時，a6故答案為：BD.

【分析】本題考查數(shù)列的通項公式.分析通項公式的單調性可知：n為正整數(shù)，且n越大，an越大，先根據(jù)通項公式求出a3，a4，a10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：圓x2+y所以圓心為(2A、(2，0B、直線y=0，直線x+3y?2=0過圓心(2，0)，所以圓關于直線D、直線x?y+2=0不過圓心(2故答案為：ABC.

【分析】本題考查圓的標準方程，圓的對稱性.圓x2+y2?4x?1=0，通過配方可得：(x?2)11．【答案】A,B【解析】【解答】解：A、由通項公式知：數(shù)列是嚴格遞減數(shù)列，又a1>aB、在等差數(shù)列{an}中，又2(2∴SC、a，b，D、{an}為等差數(shù)列，a1011故答案為：AB.

【分析】本題考查數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列前n項和的性質，等比中項的定義.對A，可以采用臨界法先求出數(shù)列的前7項進行比較，可求出數(shù)列和的最大值；對B，根據(jù)等差數(shù)列的和的性質可得：2(S8?S4)12．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：以點D為坐標原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、則A(1，0，0)、B(1，1D1(0，0，1A、DD1=(0所以直線DD1與直線B、設平面AEF的法向量為m=(x，y則m?AE=?12A1G=(0因為A1G?平面AEF，∴AC、連接AD1、D1因為E、F分別為BC、CC1的中點，則∵AB//C1D1且所以EF//AD1，所以E、F、故平面AEF截正方體ABCD?A1B且EF=CE2+CF所以四邊形AD分別過點E、F在平面AD1FE內作EM⊥AD1，F(xiàn)N⊥A因為AE=D1F，∠EAM=∠F所以Rt△AEM≌Rt△D1FN因為EF//MN，EM⊥MN，EN⊥MN，則四邊形所以MN=EF=2∴AM=D1N=故梯形AD1FED、CE=(12，0，AB=(0，1，0所以點C與點B到平面AEF的距離相等，D正確.故答案為：BCD.

【分析】本題考查空間中直線與直線的位置關系，直線與平面的位置關系，截面的性質，利用空間向量求點到平面的距離.以點D為坐標原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，求出DD1→，AF→，通過計算DD1?AF=12≠0，可判斷兩條直線不垂直；求出平面AEF的法向量為m→和A1G→，通過計算可判斷m→和A13．【答案】2【解析】【解答】由平行線的距離公式可得：|1?(?1)|2故答案為25

【分析】直接利用平行線之間的距離公式求解即可。14．【答案】2【解析】【解答】解：設弦長為l，過原點且傾斜角為60°的直線方程為y=整理圓的方程為：x2+(y?2圓心到直線的距離為：|則：l故答案為：23

【分析】本題考查直線與圓的位置關系.先通過配方可得圓的方程為：x2+(y?2)15．【答案】1【解析】【解答】解：依題意得，AB的方程為x?a設點F（﹣c，0）到直線AB的距離為d，∴d=|∴5a2﹣14ac+8c2＝0，∴8e2﹣14e+5＝0，∵e∈（0，1）∴e＝12或e＝5故答案為：12

【分析】本題考查橢圓的幾何性質．先利用直線的截距式求出直線AB的方程，利用點到直線距離公式可列出方程d=|?bc+ab|16．【答案】2【解析】【解答】解：圓C1：x得公共弦所在直線為k(故令x+y=0且?4?2y=0，解得x=2，y=?2，所以將P(2，?2)由于m>0，n>0，所以mn≤故m2+n故答案為：2.

【分析】本題考查圓與圓的位置關系，利用基本不等式求最值.根據(jù)兩圓方程相減可得相交弦所在直線方程為：k(y+x)?4?2y=0，通過化簡可求出公共弦所在直線所過的定點坐標，將定點坐標代入直線17．【答案】（1）解：直線l的方程可化為y=ax+3+a要使直線l不經過第三象限，則必須有a≤0a解得a≤0，故a的取值范圍是(（2）解：設原點O到直線l的距離為d，則d=|3+當且僅當2a2+1所以原點O到直線l的距離的最小值為22此時直線l的方程為x?y+4=0或x+y?4=0.【解析】【分析】本題考查直線截距式方程的應用，點到直線的距離公式.（1）將直線方程轉化為斜截式可得：y=ax+3+a2，根據(jù)直線l不經過第三象限，可列出方程組a≤0a（2）利用點線距離公式可列出式子d=2a2+1+18．【答案】（1）解：設等差數(shù)列{an}公差為d得(2a1+d)(3所以{an（2）解：由（1）得Sn=n故數(shù)列{Snn+9}是以10為首項，?故(Tn)max=【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列通項公式和前n項和公式，等差數(shù)列的定義.（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式可列出方程(2a1+d)（2）根據(jù)（1）的結論及等差數(shù)列的前n項和公式可得Snn+9=?519．【答案】（1）證明：取PC中點為E，連結BE，ME，∵M是PD的中點，E是PC中點，∴ME//CD∵N是AB的中點，底面ABCD為長方形，∴BN//CD∴BN//ME，BN=ME，∴MN//EB，又∵MN?平面PBC，∴MN//平面PBC（2）解：過A在平面PBC內作l⊥AD，側面PAD⊥底面ABCD，側面PAD∩底面ABCD=AD∴l(xiāng)⊥面ABCD，又AB⊥AD∴以A為坐標原點，以AB，AD，l分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則A(0，0，0)，B則AB=(2，0設平面PAB的法向量為n=則n?AB=2x1設平面PBC的法向量為m=則m?BC=4y2設二面角A?PB?C的平面角為α，∴cos?n，m∴二面角A?PB?C的正弦值為154【解析】【分析】本題考查直線與平面平行的判定，利用空間向量求二面角.（1）取PC中點為E，連結BE，ME，利用三角形的中位線定理可證明：ME//CD，ME=12CD，再結合BN（2）以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，表示出AB→，PB→，BC→，可求出平面PAB20．【答案】（1）解：直線l的方程為y?2=12(代入橢圓方程x2x=±32，y=±即有|（2）解：由P的坐標，可得1636設A(x1則x1236+由中點坐標公式可得x1+x2由①?②可得，(x1將③代入④，可得kAB則所求直線的方程為y?2=?1即為x+2y?8=0．【解析】【分析】（1）根據(jù)點斜式寫出直線方程，結合圓的半徑，圓心到直線的距離和弦長的一半構成直角三角形，利用勾股定理即可求出線段AB的長度；

（2）采用點差法，結合中點坐標公式和兩點連線的斜率公式，求出直線的斜率，根據(jù)點斜式寫出直線l的方程即可.21．【答案】（1）解：由雙曲線方程x知其焦點在x軸上且焦點坐標為F1(?2所以F2(2，0所以拋物線C的方程為y（2）解：設A(x1，y1)由韋達定理得y1+y所以OA?OB所以OA⊥OB，所以以AB為直徑的圓經過原點【解析】【分析】本題考查雙曲線的方程，拋物線的方程，直線與拋物線的位置關系.（1）根據(jù)雙曲線方程求出其焦點坐標為F1(?2，0（2）直線l與拋物線聯(lián)立x=ty+8y2=8x，利用韋達定理可得：y1+y2=8t，y22．【答案】（1）解：由題意