2024-2025學年湖南師大附中高二（下）期末考試數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。A.{1,4,9}B.{1,3,9}C.{1,2,3}D.{1,2,3,4,5,9}A.B.1A.BCD.5.如圖，下列正方體中，M，N，P，Q分別為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線MN和PQ為異面直線的是()A.B.C.D.(x>1)x6(x>1)x7.等比數(shù)列{an}中，a1=2，a8=4，函數(shù)f(x)=x(x一a1)(x一a2)…(x一a8)，則f′(0)=()A1B.1D.π二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法正確的有()A.若隨機變量ξ~N(2,σ2)，且P(ξ<4)=0.8，則P(0<ξ<4)=0.6B.某物理量的測量結(jié)果ξ~N(2,σ2)，σ越大，該物理量在一次測量中的結(jié)果在(1.8,2.2)的概率越大C.已知隨機變量ξ~N(μ,σ2)，若P(X>—2)+P(X≥6)=1，則μ=2D.已知隨機變量ξ~N(2,3)，若X=2ξ+1，則D(X)=3610.已知函數(shù)f(x)=x3—ax2+x(a∈R)，則下列說法正確的有()A.當a=1時，f(x)有且僅有一個零點B.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增，則a∈(—∞,1]C.存在實數(shù)a，使得f(x)+f(2—x)=1在R上恒成立D.若a=2，則過原點有兩條直線與曲線y=f(x)相切11.造型co在紡織中作為花紋得到廣泛應(yīng)用，這種造型被稱為雙紐線.已知橢圓C的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為4，若動點M滿足IMF1IIMF2I=4，則動點M的軌跡Ω就是一個雙紐線.下列說法正確的是()A.軌跡Ω僅經(jīng)過一個整點(即橫、縱坐標都是整數(shù)的點)B.若點M位于橢圓C上，且匕F1MF2=，則C的離心率為C.點M與原點0之間的距離不超過22D.若直線y=kx與曲線Ω有且僅有一個公共點，則k≥1或k≤—1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若雙曲線的一個焦點坐標為(2,0)，則雙曲線離心率為______．13.函數(shù)y=f(x)，x∈(—2,7)的圖像如圖所示，設(shè)y=f(x)的導函數(shù)為y=f′(x)，則>0的解集為______．14.某盒子中有黑、白球各1個，記“從該盒子中隨機抽取一個球，記錄顏色后放回該球”為一次操作，重復以上操作，首次集齊黑、白兩種顏色的操作次數(shù)為隨機變量X，則X的數(shù)學期望為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)在△ABC中，ABC邊上的高等BC．(1)求sinBsinC的值；(2)若BC=2，求△ABC的周長．16.(本小題15分)已知圓E的方程為(x+3)2+y2=100，F(xiàn)(3,0)，M為圓E上任意一點，F(xiàn)M的中垂線與EM相交于點P．(1)求點P的軌跡方程；(2)過點F的直線與點P的軌跡相交于A，B兩點，若△EAB的內(nèi)切圓半徑為r，且rIABI，求直線AB的方程．17.(本小題15分)內(nèi)的動點且BP=4．(2)求平面ABP與平面BCP所成角的余弦值的取值范圍．18.(本小題17分)(1)當a=0時.求曲線f(x)在x=1處的切線方程；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(3)若函數(shù)f(x)恰有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．P是四邊形A1ACC1(不含邊界)19.(本小題17分)*).定義集合Bk=(1)寫出集合B2；(2)記集合Bk中的元素個數(shù)為ak，證明：數(shù)列{ak+1—ak}為等差數(shù)列；(3)從集合Ak中任取2k+1個不同的數(shù)，證明：這2k+1個數(shù)中一定存在三個不同的數(shù)C1，C2，C3.使得參考答案2.C6.B7.C13.(1,4)U(6,7)15.解：(1)設(shè)△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，C，由正弦定理得SinBSinCsin2A，又A所以SinBSinC(2)由正弦定理得bC所以△ABC的周長為a+b+C16.(1)圓E：(X+3)2+y2=100的圓心E(—3,0)，半徑R=10，連接PF，則IPMI=IPFI，IPEI+IPFI=IPEI+IPMI=IEMI=R=10>IEFI，因此點P的軌跡是以E，F(xiàn)為左右焦點，長軸長2a=R=10的橢圓，而焦距2C=6，短半軸長b=4，所以點P的軌跡方程為(2)由(1)知F是點P的軌跡的右焦點，則過F的直線AB與該軌跡必交于兩點，且直線AB不垂直于y軸，設(shè)其方程為x=ty+3，A(x1,y1)，B(x2,y2)(y1≠y2)，由r為△EAB的內(nèi)切圓半徑，且△EAB的周長為4a，所以解得t因為BP=4，所以CP又P是四邊形A1ACC1(不含邊界)內(nèi)的動點，則點P在以C為圓心，半徑為2的圓上，則C(0,0,0)，B(0,23,0)，A(2,0,0)，設(shè)平面ABP的法向量為-=(x1,y1,Z1)，設(shè)平面BCP的法向量為-=(x2,y2,Z2)，因為函數(shù)y=在(0,1)上單調(diào)遞減，則y=∈(1,)，所以設(shè)平面ABP與平面BCP所成角為α,所以平面ABP與平面BCP所成角的余弦值的取值范圍為18.(1)當a=0時，函數(shù)f(x)=2x—lnx，導函數(shù)f′(x)=2—，那么f′(1)=1，而f(1)=2，(2)f(x)=ax2—(a—2)x—lnx的定義域為(0,+∞)，函數(shù)f(x)在(,+∞)上單調(diào)遞增，在(0,)上單調(diào)遞減，f(x)在(,—)上單調(diào)遞增，在(0,),(—,+∞)上單調(diào)遞減，當a=2時，f′(x)≤0，且當x=時取等號，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；函數(shù)f(x)在(—,)上單調(diào)遞增，在,+∞)上單調(diào)遞減，所以當a≥0時，函數(shù)f(x)在(,+∞)上單調(diào)遞增，在(0,)上單調(diào)遞減；當a=2時，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；當—2<a<0時，函數(shù)f(x)在(0,),(—,+∞)上單調(diào)遞減，在(,—)上單調(diào)遞增；當a<2時，函數(shù)f(x)在(0,),(,+∞)上單調(diào)遞減，在(,)上單調(diào)遞增．(3)由(2)知，當a=—2時，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，則f(x)最多一個零點；當—2<a<0時，f(x)在x=處取得極小值f()=—a+1+ln2>0，則f(x)最多一個零點；當a<2時，f(x)在x=處取得極小值f()=1+ln(a)>0，則f(x)最多一個零點；當a≥0時，函數(shù)f(x)在(0,)上單調(diào)遞減，在(,+∞)上單調(diào)遞增，f(x)min=f()=—a+1+ln2，要函數(shù)f(x)有兩個零點，則必有—a+1+ln2<0，解得a>4+4ln2，此時，當x從大于0的方向趨近于0時，f(x)趨近于正無窮大，f(1)=2>0，因此當且僅當a>4+4ln2時，函數(shù)f(x)恰有兩個零點，所以實數(shù)a的取值范圍是a∈(4+4ln2,+∞)．)，(3,1,2)，…則ak+1ak=2(k+1)(k+2)2k(k+1)=k+1．且a2a所以數(shù)列{ak+1