第五章投影與視圖知識(shí)點(diǎn)01投影1.投影現(xiàn)象：物體在光線照射下，在地面或其他平面上留下影子的現(xiàn)象，影子所在平面為投影面。2.中心投影：手電筒、路燈和臺(tái)燈等光線可看成從一點(diǎn)發(fā)出，這樣的光線照射物體所形成的投影為中心投影。等高物體垂直地面放置時(shí)，離點(diǎn)光源近的影子短，遠(yuǎn)的影子長(zhǎng)；等長(zhǎng)物體平行于地面放置時(shí)，離點(diǎn)光源越近，影子越長(zhǎng)，越遠(yuǎn)則越短，但不會(huì)短于物體本身長(zhǎng)度。3.平行投影：太陽光線可看成平行光線，其形成的投影為平行投影。等高物體垂直地面放置時(shí)，在太陽光下影子一樣長(zhǎng)；等長(zhǎng)物體平行于地面放置時(shí)，在太陽光下影子一樣長(zhǎng)且等于物體本身長(zhǎng)度。在同一時(shí)刻，不同物體的物高與影長(zhǎng)成正比例。4.正投影：當(dāng)平行光線與投影面垂直時(shí)的投影，是特殊的平行投影。知識(shí)點(diǎn)02中心投影與平行投影的區(qū)別與聯(lián)系1.區(qū)別：太陽光線平行，太陽光下影子長(zhǎng)度與物體高度成比例，同一時(shí)刻影子方向總是相同；燈光發(fā)散，燈光下影子與物體高度不一定成比例，影子方向可能相同也可能不同。2.聯(lián)系：都是研究物體投影的方式，平行投影由平行光線形成，如太陽光線、月光等；中心投影由一點(diǎn)發(fā)出的光線形成，如燈泡、手電筒的光線等。知識(shí)點(diǎn)03視圖1.三視圖的概念：用正投影的方法繪制的物體在投影面上的圖形稱為視圖。從正面、左面和上面觀察物體，分別得到主視圖、左視圖和俯視圖，它們統(tǒng)稱為三視圖。2.三視圖的關(guān)系：位置上，俯視圖在主視圖下方，左視圖在主視圖右方；大小上，遵循主視圖與俯視圖長(zhǎng)對(duì)正，主視圖與左視圖高平齊，左視圖與俯視圖寬相等的原則。3.畫幾何體的三視圖：先確定主視圖位置并畫出，再在主視圖正下方畫出俯視圖，保證長(zhǎng)對(duì)正，在主視圖正右方畫出左視圖，做到高平齊、寬相等，幾何體上被遮擋看不見部分的輪廓線畫成虛線。4.由三視圖想象幾何體的形狀：分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面，再綜合考慮整體圖形，可根據(jù)實(shí)線和虛線想象看得見和看不見的輪廓線，也可通過熟記簡(jiǎn)單幾何體的三視圖來幫助想象復(fù)雜幾何體的形狀。易錯(cuò)一、利用平行投影求物體的高度1.

易混淆時(shí)刻：同一時(shí)刻平行光下物體與其影子才成比例，若時(shí)刻不同，光線角度變化，比例關(guān)系不成立，需確認(rèn)是同一時(shí)刻的投影。2.

易忽略光線平行：計(jì)算時(shí)要保證光線是平行的（如太陽光），若誤將中心投影當(dāng)作平行投影，會(huì)導(dǎo)致比例錯(cuò)誤，需明確投影類型。例題1．如圖，公路旁有兩棵景觀樹，其中一棵被大風(fēng)吹折在處斷裂，在陽光下，樹樁的影長(zhǎng)；同一時(shí)刻，樹的影長(zhǎng)為．已知，點(diǎn)在一條直線上．(1)請(qǐng)畫出樹的影長(zhǎng)；(2)若，樹的影長(zhǎng)，求樹的高．【答案】(1)見解析(2)樹的高為m【分析】（1）根據(jù)題意過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，即可；（2）根據(jù)題意可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示．（2）根據(jù)題意可得，，，，，，∴樹的高為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行投影，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．易錯(cuò)二、利用中心投影求物體的高度1.

易誤將中心投影當(dāng)作平行投影：中心投影光線發(fā)散，物體與影子高度無固定比例，若按平行投影的比例關(guān)系計(jì)算，會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，需明確投影類型。2.

易忽略光源位置影響：同一物體在不同光源位置下影子形狀、長(zhǎng)度差異大，解題時(shí)要確定光源位置，避免因光源位置不明導(dǎo)致計(jì)算失誤。例題2．如圖，小明為了方便出行，在家門口安裝了兩盞路燈，燈泡分別位于兩點(diǎn)處，兩盞路燈之間有一棵樹（用圖中表示），已知樹在燈泡的照射下，其影子末端位于點(diǎn)處；在燈泡的照射下，其影子末端位于點(diǎn)處，三點(diǎn)在一條直線上，且于點(diǎn)．(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出在燈泡照射下的影子；（保留畫圖痕跡，不寫畫法）(2)若，且米，米，請(qǐng)你求出這棵樹的高度．【答案】(1)見解析(2)這棵樹的高度為6米【分析】（1）根據(jù)中心投影畫出圖即可；（2）由得，從而得到，進(jìn)而得到，因此，即可求出這棵樹的高度的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：在燈泡照射下的影子如圖所示，（2）解：，，，，，，即，（負(fù)值已舍去），即這棵樹的高度為6米．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與實(shí)際應(yīng)用，中心投影，得出是解題的關(guān)鍵．易錯(cuò)三、判斷非實(shí)心幾何體的三視圖1.

易忽略鏤空、挖去部分的輪廓線：非實(shí)心幾何體的鏤空部分，其看不見的輪廓線需畫成虛線，若遺漏虛線，會(huì)導(dǎo)致三視圖形狀表達(dá)錯(cuò)誤，需仔細(xì)分析幾何體的鏤空結(jié)構(gòu)。2.

易混淆挖去部分的位置與形狀：在繪制三視圖時(shí)，若對(duì)挖去部分的位置、形狀判斷不準(zhǔn)確，會(huì)使三視圖與實(shí)際幾何體不符，需結(jié)合幾何體的立體結(jié)構(gòu)，明確挖去部分在各個(gè)視圖中的呈現(xiàn)方式。例題3．如圖，空心圓柱體的主視圖是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，檢驗(yàn)了學(xué)生的思考能力和對(duì)幾何體三種視圖的空間想象能力．確定出幾何體的主視圖即可．【詳解】解：空心圓柱體的主視圖是故選：C．易錯(cuò)四、由三視圖求小立方塊的個(gè)數(shù)1.

易漏看俯視圖中的數(shù)字或標(biāo)記：俯視圖是確定小立方塊個(gè)數(shù)的基礎(chǔ)。每個(gè)位置的數(shù)字代表該位置上小立方塊的層數(shù)。如果漏看或看錯(cuò)數(shù)字，會(huì)導(dǎo)致總數(shù)計(jì)算錯(cuò)誤。2.

易忽略主視圖與左視圖的約束：計(jì)算時(shí)需用主視圖和左視圖來驗(yàn)證俯視圖。主視圖決定了每一列的最大高度，左視圖決定了每一行的最大高度。若俯視圖某位置的數(shù)字超過了這兩個(gè)視圖的約束，必須取較小值。例題4．如圖，是由一些大小相同的小正方體組成的簡(jiǎn)單幾何體的主視圖和俯視圖，若組成這個(gè)幾何體的小正方體的塊數(shù)為n，則n的所有可能值的和為．【答案】38【分析】由主視圖與俯視圖可知簡(jiǎn)單幾何體共有3層，其中最下面的一層，正方體的個(gè)數(shù)為5；中間一層，正方體的個(gè)數(shù)可能為2，3，4；最上面一層，正方體的個(gè)數(shù)可能為1，2；根據(jù)小正方體實(shí)際的排列情況，確定小正方體的個(gè)數(shù)，然后求和計(jì)算即可．【詳解】解：由主視圖與俯視圖可知簡(jiǎn)單幾何體共有3層，其中最下面的一層，正方體的個(gè)數(shù)為5；中間一層，正方體的個(gè)數(shù)可能為2，3，4；最上面一層，正方體的個(gè)數(shù)可能為1，2；∴組成這個(gè)幾何體的小正方體的塊數(shù)為n可能的值為：①②③④⑤∴n的所有可能值的和為故答案為：38．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)簡(jiǎn)單幾何體的三視圖判斷幾何體中小正方體的個(gè)數(shù)．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)三視圖判斷幾何體中小正方體的個(gè)數(shù)．易錯(cuò)五、畫小立方塊堆砌圖形的三視圖1.

易忽略看不見的輪廓線：從某個(gè)方向看時(shí)，被前面小立方塊擋住的輪廓線需要用虛線畫出。如果只畫能看到的實(shí)線，會(huì)導(dǎo)致三視圖信息不完整，無法準(zhǔn)確還原立體形狀。2.

易混淆行列高度判斷：繪制主視圖時(shí)，需從前往后看，確定每一列的最大高度；繪制左視圖時(shí)，需從左往右看，確定每一行的最大高度。搞混觀察方向會(huì)導(dǎo)致視圖高度畫錯(cuò)。例題5．由大小相同的小立方塊搭成的幾何體如圖所示．(1)請(qǐng)?jiān)诜礁裰挟嫵鲈搸缀误w的主視圖和俯視圖．（用陰影部分表示）(2)若小立方塊的棱長(zhǎng)為1，則所搭成的幾何體表面積為．(3)若現(xiàn)在你手頭還有一些相同的小立方塊，如果保持主視圖和俯視圖不變，則在左圖中可以再添加個(gè)小立方塊．【答案】(1)畫圖見解析；(2)；(3)．【分析】（）由題意知，主視圖有列，每列小立方塊數(shù)目從左往右分別為，，，俯視圖有列，每列小立方塊數(shù)目從左往右分別為，，；（）根據(jù)題意，個(gè)小立方塊一個(gè)面的表面積為，則依次計(jì)算每個(gè)小立方塊所涉及的表面積即可；（）根據(jù)題意，要想保持主視圖和俯視圖不變，只能在左圖中左邊第一列第二層空位置上放一個(gè)小立方塊；本題考查了作圖-三視圖，準(zhǔn)確確定小立方塊的數(shù)目及位置是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）如圖，（2）∵小立方塊的棱長(zhǎng)為，∴個(gè)小立方塊一個(gè)面的表面積為，∴所搭成的幾何體表面積為：，故答案為：；（3）根據(jù)題意，要想保持主視圖和俯視圖不變，只能在左圖中左邊第一列第二層空位置上放一個(gè)小立方塊，故答案為：．易錯(cuò)六、由三視圖求幾何體的表面積或體積1.

易忽略被遮擋的面：計(jì)算表面積時(shí)，需要將三視圖還原成立體圖形。特別要注意幾何體內(nèi)部被挖空或被遮擋的部分，這些地方會(huì)產(chǎn)生新的、需要計(jì)算的面。2.

易混淆尺寸對(duì)應(yīng)關(guān)系：計(jì)算體積或表面積時(shí)，必須確保從三視圖中讀取的長(zhǎng)寬高數(shù)據(jù)正確對(duì)應(yīng)。主視圖的"高"是幾何體的高度，俯視圖的"長(zhǎng)"和"寬"要與主視圖和左視圖的尺寸對(duì)齊，不能張冠李戴。例題6．一個(gè)“糧倉”的三視圖如圖所示（單位：m），(1)它可以近似地看成由常見幾何體和組成的．(2)求它的體積．，，結(jié)果保留【答案】(1)圓柱，圓錐(2)m3【分析】（1）根據(jù)這個(gè)組合體的三視圖即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)圓錐、圓柱的體積公式，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】（1）由這個(gè)組合體的三視圖可知，這個(gè)組合體為圓柱、圓錐的組合體，故答案為：圓柱，圓錐；（2）由題意可知，圓柱的底面直徑為，高為，圓錐的底面直徑為，高為，所以體積為，答：它的體積為．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐、圓柱體積公式的靈活運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟記公式．一、單選題1．如圖所示的幾何體，它的左視圖是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】本題考查了幾何體的三視圖，從幾何體的左邊看到的圖形是左視圖．根據(jù)幾何體的左視圖的定義，結(jié)合看的見的棱是實(shí)線，看不見的棱是虛線即可得到答案．【詳解】解：幾何體的左視圖是，故選：C．2．如圖，樹在路燈O的照射下形成投影，已知樹的高度，樹影，樹與路燈O的水平距離，則路燈高的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)直接求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意可知，，，，，即，解得m，路燈高的長(zhǎng)是m，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查中心投影以及相似三角形的應(yīng)用，測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例和“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比相等”的原理解決．3．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

）．A．32π B．36π C．40π D．160π【答案】C【分析】本題主要考查已知三視圖求體積，熟練掌握三視圖即可求解．根據(jù)三視圖判斷出該幾何體是圓柱，再借助圓柱的體積計(jì)算公式求解即可．【詳解】解：由圖可知，該幾何體是一個(gè)空心圓柱，∴，故選：C．二、填空題4．如圖是某種工件的三視圖，其俯視圖為正六邊形，它的表面積是．【答案】【分析】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是幾何體的表面積及由三視圖判斷幾何體，解題的關(guān)鍵是先判斷幾何體，再求其表面積．由三視圖可知，它的表面積為側(cè)面積加上2個(gè)正六邊形的面積．【詳解】解：由已知三視圖得出，某種工件為六棱柱，如圖，作于，則，工件為六棱柱，為三角形．．．工件為六棱柱，．，六棱柱的側(cè)面積為：，所以它的表面積為：．故答案為：．5．如圖，在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課上，小明同學(xué)打算通過測(cè)量樹的影長(zhǎng)計(jì)算樹的高度．陽光下他測(cè)得長(zhǎng)的竹竿落在地面上的影長(zhǎng)為，在同一時(shí)刻測(cè)量樹的影長(zhǎng)時(shí)，他發(fā)現(xiàn)樹的影子有一部分落在地面上，還有一部分落在墻面上．他測(cè)得這棵樹落在地面上的影長(zhǎng)為，落在墻面上的影長(zhǎng)為，則這棵樹的高度是．【答案】【分析】本題主要考查投影的性質(zhì)，相似三角形的應(yīng)用，掌握投影的性質(zhì)的實(shí)際運(yùn)用，相似三角形的應(yīng)用等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，投影的性質(zhì)，如圖所示，設(shè)樹的高為，可得四邊形是矩形，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，畫圖如下，過作于，竹竿長(zhǎng)，竹竿的影長(zhǎng)為，樹落在地面上的影長(zhǎng)為，落在墻面上的影長(zhǎng)為，設(shè)樹的高為，∵，在同一條直線上，∴四邊形是矩形，則，∴，∴，∴，即，解得，，∴樹的高度為．故答案為：6．下圖分別是由小立方塊組成的立體圖形的俯視圖和主視圖，則組成這個(gè)立體圖形的小立方塊最多有個(gè)，最少有個(gè)．【答案】8【分析】本題考查了由三視圖，判斷小立方體的個(gè)數(shù)，旨在考查學(xué)生的空間想象能力．【詳解】解：由俯視圖和主視圖可知，組成這個(gè)立體圖形的小立方塊最多有：（個(gè)），最少有：，故答案為：①，②．三、解答題7．小雁塔位于西安市南郊的薦福寺內(nèi)，又稱“薦福寺塔”，建于唐景龍年間，與大雁塔同為唐長(zhǎng)安城保留至今的重要標(biāo)志.數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)對(duì)該塔進(jìn)行了測(cè)量，測(cè)量方法如下：如圖，小銘在小雁塔的影子頂端處豎直立一根木棒，并測(cè)得此時(shí)木棒的影長(zhǎng)；然后，小希在的延長(zhǎng)線上找出一點(diǎn)，使得、、三點(diǎn)在同一直線上，并測(cè)得.已知圖中所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)，木棒，，，請(qǐng)根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)，求小雁塔的高度.【答案】【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行投影．先證，推出；再根據(jù)平行投影的性質(zhì)，推出，，進(jìn)而可得，代入數(shù)值求出，進(jìn)而可得小雁塔的高度．【詳解】解：，，，又，，；由平行投影可知，，又，，，，即，解得，代入，得，解得，即小雁塔的高度為．8．如圖①是一個(gè)組合幾何體，右邊是它的兩種視圖，在右邊橫線上填寫出兩種視圖名稱；根據(jù)兩種視圖中尺寸，計(jì)算這個(gè)組合幾何體的表面積和體積．

【答案】表面積為，體積為【分析】根據(jù)三視圖定義，可知兩個(gè)視圖分別為主視圖、俯視圖，再由視圖上的數(shù)據(jù)，根據(jù)面積公式及體積公式即可得到答案．【詳解】解：兩個(gè)視圖分別為主視圖、俯視圖，

體積為：，表面積為：，答：這個(gè)幾何體的表面積為，體積為．【點(diǎn)睛】本題考查三視圖的判斷及根據(jù)三視圖求立體圖形的表面積與體積，熟記常見幾何體的三視圖，從三視圖中得到幾何體的相關(guān)數(shù)據(jù)是解決問題的關(guān)鍵．9．甲、乙兩棟樓的位置如圖所示，甲樓高16米．當(dāng)?shù)刂形?2時(shí)，物高與影長(zhǎng)的比是．

(1)如圖1，當(dāng)?shù)刂形?2時(shí)，甲樓的影子剛好不落到乙樓上，則兩樓間距的長(zhǎng)為_________米．(2)當(dāng)?shù)叵挛?4時(shí)，物高與影長(zhǎng)的比是．如圖2，甲樓的影子有一部分落在乙樓上，求落在乙樓上的影子的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)米【分析】（1）根據(jù)物高與影長(zhǎng)的比是列出比例式解答即可；（2）作于點(diǎn)F，則，根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：由題意得：，即，解得，故答案為：；（2）解：如圖，作于點(diǎn)F，

在中，，，物高與影長(zhǎng)的比是，，，，即落在乙樓上的影子的長(zhǎng)為米．【點(diǎn)睛】本題考查平行投影，根據(jù)物高與影長(zhǎng)的比得出相關(guān)比例式是解題的關(guān)鍵．10．如圖，線段是某公園的一圓形桌面的主視圖，線段是在路燈下的影子，線段表示旁邊一圓形凳子的主視圖．(1)請(qǐng)你在圖中標(biāo)出路燈O的位置，并畫出的影子（不寫作法，保留畫圖痕跡）；(2)若桌面直徑和桌面與地面的距離均為，測(cè)得影子的長(zhǎng)為，求路燈O與地面的距離．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了中心投影：由同一點(diǎn)（點(diǎn)光源）發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．（1）延長(zhǎng)、，它們的交點(diǎn)即為路燈O的位置，然后再連接、，并延長(zhǎng)交地面于P、Q點(diǎn)，則為的影子；（2）作交于E，如圖，，，，證明，利用相似比計(jì)算出即可得到路燈O與地面的距離．【詳解】（1）解：如圖，延長(zhǎng)、，它們的交點(diǎn)為O點(diǎn)，再連接、，并延長(zhǎng)交地面于P、Q點(diǎn)，則為的影子，所以即為所求；（2）解：作交于E，交于F，如圖，，，，∵，∴，∴，即，解得．答：路燈O與地面的距離為．11．由大小相同（棱長(zhǎng)為1分米）的小立方塊搭成的幾何體如圖．

(1)請(qǐng)?jiān)谌鐖D的方格中畫出該幾何體的主視圖和左視圖．(2)圖中有塊小正方體，它的表面積（含下底面）為．(3)用小立方體搭一幾何體，使得它的主視圖和左視圖與你在上圖方格中所畫的圖一致，則這樣的幾何體最少要個(gè)小立方塊，最多要個(gè)小立方塊．【答案】(1)見解析(2)5，22平方分米(3)4，7．【分析】本題是幾何體三視圖的問題，考查了畫幾何體的三視圖，（1）根據(jù)主視圖是從前面看到的圖形，左視圖是從左面看到的圖形，即可作出圖形；（2）觀察圖形可知有兩層，下面一層有4個(gè)小正方體，上面一層有1個(gè)小正方體，即可得共有5個(gè)小正方體，有順序的計(jì)算上下面，左右面，前后面的表面積之和即可；（3）先根據(jù)主視圖可得第二排有4個(gè)，再結(jié)合左視圖可得第一排最少有1個(gè)正方形，最多有3個(gè)正方形，進(jìn)而求解．根據(jù)由小立方體堆成的幾何體的三視圖得到原幾何體所需最小