一元一次方程（全章知識(shí)梳理與題型分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)1】一元一次方程的概念1．方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程．2．一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程．【要點(diǎn)提示】判斷是否為一元一次方程，應(yīng)看是否滿足：①只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1；②未知數(shù)所在的式子是整式，即分母中不含未知數(shù)．3．方程的解：使方程的左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做這個(gè)方程的解．4．解方程：求方程的解的過程叫做解方程．【知識(shí)點(diǎn)2】等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)1：等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等．等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等．【知識(shí)點(diǎn)3】一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步驟：(1)去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù)．(2)去括號(hào)：依據(jù)乘法分配律和去括號(hào)法則，先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)．(3)移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程一邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程另一邊．(4)合并同類項(xiàng)：逆用乘法分配律，分別合并含有未知數(shù)的項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)，把方程化為ax＝b(a≠0)的形式．(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)得到方程的解(a≠0)．(6)檢驗(yàn)：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相等，則是方程的解；若方程左右兩邊的值不相等，則不是方程的解．【知識(shí)點(diǎn)4】用一元一次方程解決實(shí)際問題的常見類型1.行程問題：路程＝速度×?xí)r間2.和差倍分問題：增長(zhǎng)量＝原有量×增長(zhǎng)率3.利潤(rùn)問題：商品利潤(rùn)＝商品售價(jià)－商品進(jìn)價(jià)4.工程問題：工作量＝工作效率×工作時(shí)間，各部分勞動(dòng)量之和＝總量5.數(shù)字問題：多位數(shù)的表示方法：例如：.考點(diǎn)與題型目錄【考點(diǎn)一】一元一次方程的概念【題型1】方程及方程的解.....................................................3【題型2】利用等式基本性質(zhì)進(jìn)行判斷...........................................3【題型3】利用等式基本性質(zhì)求天平中砝碼的質(zhì)量與個(gè)數(shù)...........................3【考點(diǎn)二】解一元一次方程【題型4】一元一次方程的同解原理.............................................4【題型5】一元一次方程中的錯(cuò)解問題...........................................4【題型6】一元一次方程中的遮擋問題...........................................4【題型7】一元一次方程中分子與分母含小數(shù)問題.................................5【題型8】一元一次方程中有解、無解、無數(shù)解問題...............................5【題型9】一元一次方程中的整數(shù)解問題.........................................5【題型10】解含絕對(duì)值的一元一次方程..........................................6【題型11】用整體思想解一元一次方程..........................................6【題型12】一元一次方程中大數(shù)據(jù)問題..........................................7【題型13】一元一次方程中規(guī)律問題............................................7【題型14】含參一元一次方程的解總是一個(gè)常數(shù)問題..............................7【考點(diǎn)三】實(shí)際問題與一元一次方程【題型15】列一元一次方程解決分?jǐn)?shù)問題........................................8【題型16】列一元一次方程解決利潤(rùn)問題........................................9第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】方程及方程的解【例1】（23-24七年級(jí)上·湖南懷化·期末）已知關(guān)于x的方程是一元一次方程．(1)求m的值；(2)已知：是該一元一次方程的解，求n的值．【變式1】（2024七年級(jí)上·北京·專題練習(xí)）已知是非零整數(shù)，關(guān)于的方程是一元一次方程，求的值．【變式2】（21-22七年級(jí)上·福建福州·期末）已知關(guān)于x的方程的解是，那么關(guān)于m的方程的解是．【題型2】利用等式基本性質(zhì)進(jìn)行判斷【例2】（23-24七年級(jí)上·安徽池州·期末）下列運(yùn)用等式的性質(zhì)對(duì)等式進(jìn)行的變形中，錯(cuò)誤的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【變式1】（23-24七年級(jí)上·寧夏吳忠·期末）下列運(yùn)用等式性質(zhì)進(jìn)行的變形，正確的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【變式2】（23-24六年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）將方程變形為用含的式子表示，那么；【題型3】利用等式基本性質(zhì)求天平中砝碼的質(zhì)量與個(gè)數(shù)【例3】（2024七年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）已知〇、△、口分別代表不同物體，用天平比較它們的質(zhì)量，如圖所示．根據(jù)砝碼顯示的質(zhì)量，求〇g，□=g．【變式1】（21-22八年級(jí)上·四川成都·期末）某小組設(shè)計(jì)了一組數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，給全班同學(xué)展示以下三個(gè)圖，其中（a）（b）中天平保持左右平衡，現(xiàn)要使（c）中的天平也平衡，需要在天平右盤中放入砝碼的克數(shù)為（

）A．25克 B．30克 C．40克 D．50克【變式2】如圖所示，在天平的左盤上的兩個(gè)物品取下一個(gè)，右盤取下個(gè)砝碼才能使天平仍然平衡．【題型4】一元一次方程的同解原理【例4】（2024·河北邯鄲·三模）已知關(guān)于x的方程的解比方程的解大5，求這兩個(gè)方程的解．【變式1】（20-21六年級(jí)下·上海松江·階段練習(xí)）若關(guān)于的方程與的解相同，則．【變式2】（22-23七年級(jí)上·貴州銅仁·期中）若關(guān)于的方程與的解相同，則a=【題型5】一元一次方程中的錯(cuò)解問題【例5】（23-24七年級(jí)下·陜西漢中·期中）青青在解關(guān)于x的一元一次方程時(shí)，由于粗心大意在去分母時(shí)出現(xiàn)漏乘錯(cuò)誤，把原方程化為，并解得，請(qǐng)你求出原方程正確的解．【變式1】（22-23七年級(jí)下·山西長(zhǎng)治·階段練習(xí)）小明同學(xué)在解方程去分母時(shí)，由于方程的右邊的忘記了乘以15，因而他求得的解為，該方程的正確的解為（

）A． B． C． D．【變式2】（21-22六年級(jí)上·山東威?！て谀┰诮怅P(guān)于x的方程時(shí)，小穎在去分母的過程中，右邊的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解為，則方程正確的解是（

）A． B． C． D．【題型6】一元一次方程中的遮擋問題【例6】（23-24七年級(jí)上·河北廊坊·階段練習(xí)）整式，其中整式的系數(shù)■被污染．（1）若■是，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是．（2）若時(shí)，的值為19，則原式中■的值是．【變式1】方程中有一個(gè)數(shù)字被墨水蓋住了，查后面的答案，知道這個(gè)方程的解是，那么墨水蓋住的數(shù)字是【變式2】小明做作業(yè)時(shí)，不小心將方程●中的一個(gè)常數(shù)污染了看不清楚，小芳告訴他該方程的解是負(fù)數(shù)，并且這個(gè)常數(shù)是負(fù)整數(shù)，該方程的解是．【題型7】一元一次方程中分子與分母含小數(shù)問題【例7】（2024·浙江杭州·一模）某同學(xué)解方程的過程如下框：解：兩邊同時(shí)乘以10，得……①合并同類項(xiàng)，得……②系數(shù)化1，得……③請(qǐng)寫出解答過程中最早出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟序號(hào)，并寫出正確的解答過程．【變式1】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）解方程：【變式2】（22-23七年級(jí)上·遼寧鐵嶺·期末）解方程：(1)(2)【題型8】一元一次方程中有解、無解、無數(shù)解問題【例8】（22-23七年級(jí)下·重慶九龍坡·階段練習(xí)）若一元一次方程有無數(shù)個(gè)解，則的值為（

）A． B． C． D．1【變式1】（19-20七年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期中）若關(guān)于x的方程有無數(shù)解，則3m+n的值為；【變式2】（20-21六年級(jí)下·黑龍江大慶·期末）關(guān)于x的方程2a（x+5）＝3x+1無解，則a＝．【題型9】一元一次方程中的整數(shù)解問題【例9】（22-23七年級(jí)上·重慶·期中）已知關(guān)于x的整式，整式，若p是常數(shù)，且的值與x無關(guān)．(1)求p的值；(2)若q為整數(shù)，關(guān)于x的一元一次方程的解是正整數(shù)，求的值．【變式1】（23-24七年級(jí)下·重慶·開學(xué)考試）若關(guān)于的方程的解是正整數(shù)，且關(guān)于的多項(xiàng)式是二次三項(xiàng)式，那么所有滿足條件的整數(shù)的值之和是（

）A．1 B．3 C．5 D．7【變式2】（23-24七年級(jí)上·四川成都·期末）若關(guān)于x的方程的解為正整數(shù)，則整數(shù)k的值為（

）A．1 B．2 C．3或4 D．0或1【題型10】解含絕對(duì)值的一元一次方程【變式1】（20-21七年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知：，當(dāng)b=1時(shí)方程的解為．【變式2】（2023七年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）已知關(guān)于x的方程只有一個(gè)解，那么的值為．【題型11】用整體思想解一元一次方程【例11】（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）用整體思想解方程．【變式1】（23-24七年級(jí)上·山東濰坊·期末）數(shù)學(xué)李老師讓同學(xué)們解方程．小亮認(rèn)為“方程兩邊有分母，應(yīng)該先去分母”，小穎認(rèn)為“方程中有及，且互為相反數(shù)，應(yīng)該用整體思想求解”．請(qǐng)你分別用小亮、小穎的方法求解該方程．【變式2】（23-24七年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期中）【教材呈現(xiàn)】如圖是蘇科版七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材82頁(yè)的部分內(nèi)容．“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法，它在多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)與求值中應(yīng)用極為廣泛．(1)【問題解決】對(duì)議一議中的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，并寫出過程；(2)【簡(jiǎn)單應(yīng)用】①已知，則；②已知，求的值；(3)【拓展提高】已知且，求的值．【題型12】一元一次方程中大數(shù)據(jù)問題【例12】（23-24七年級(jí)上·山東德州·階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元一次方程的解為，求關(guān)于的一元一次方程的解．【變式1】（22-23七年級(jí)上·安徽蕪湖·期末）已知關(guān)于的一元一次方程的解是，則關(guān)于的一元一次方程的解為（

）A． B． C． D．【變式2】（22-23七年級(jí)上·江蘇常州·期末）已知關(guān)于x的一元一次方程的解為，那么關(guān)于y的一元一次方程的解為．【題型13】一元一次方程中規(guī)律問題【例13】（20-21七年級(jí)下·重慶萬州·階段練習(xí)）方程的解是．【變式1】（20-21七年級(jí)上·江蘇蘇州·期中）一元一次方程的解為（

）A．30 B．24 C．21 D．12【變式2】（2024八年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）方程的解是．【題型14】含參一元一次方程的解總是一個(gè)常數(shù)問題【例14】（23-24七年級(jí)下·福建泉州·階段練習(xí)）若不論k取什么數(shù)，關(guān)于x的方程（a、b是常數(shù)）的解總是，則的值是（

）A． B． C． D．【變式1】（23-24七年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）若不論k取什么數(shù)，關(guān)于x的方程（a、b是常數(shù)）的解總是，則的值是．【變式2】（23-24七年級(jí)上·福建泉州·期末）已知為定值，關(guān)于的方程，無論為何值，它的解總是1，則【題型15】列一元一次方程解決分?jǐn)?shù)問題【例15】（24-25七年級(jí)上·吉林白城·階段練習(xí)）人數(shù)2024版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)7頁(yè)，可以寫成分?jǐn)?shù)形式的數(shù)稱為有理數(shù)．例如：，，我們知道分?jǐn)?shù)可以寫成小數(shù)，反過來，無限循環(huán)小數(shù)可以寫成分?jǐn)?shù)，一般地，任何一個(gè)無限循環(huán)小數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)形式．無限循環(huán)小數(shù)為例進(jìn)行探究：設(shè)…﹐兩邊同乘以10得：，即，解得∴，因此，是有理數(shù)．(1)無限循環(huán)小數(shù)寫成分?jǐn)?shù)為__________．(2)試說明無限循環(huán)小數(shù)是一個(gè)有理數(shù)(3)大小比較：____．（選填“”“”或“”）(4)無限循環(huán)小數(shù)寫成分?jǐn)?shù)．（直接寫出答案）【變式1】（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）【閱讀材料】我們知道可以寫成小數(shù)形式為，反過來，無限循環(huán)小數(shù)可以轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)形式．方法如下：設(shè)，由可知：，所以，解方程得，所以；【類比探究】再以無限循環(huán)小數(shù)為例，做進(jìn)一步的討論：無限循環(huán)小數(shù)，它的循環(huán)節(jié)有兩位，類比上面的討論可以想到如下做法：設(shè)，由可知，，所以，解方程得，于是得；【解決問題】(1)把下列無限循環(huán)小數(shù)寫成分?jǐn)?shù)形式：______，②______；(2)把無限循環(huán)小數(shù)寫化成分?jǐn)?shù)形式，寫出過程；(3)若，則______．【變式2】（23-24七年級(jí)上·山東德州·期末）對(duì)于關(guān)系式，小明給出了以下證明．證明：因?yàn)?，所以設(shè)，則，所以，解得，于是．(1)實(shí)踐探究：請(qǐng)你仿照小明的方法把下列兩個(gè)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，要求寫出利用一元一次方程進(jìn)行解答的過程：

①

②(2)拓展延伸：直接寫出將化成分?jǐn)?shù)的結(jié)果為．【題型16】列一元一次方程解決利潤(rùn)問題【例16】（23-24八年級(jí)下·重慶九龍坡·期末）炎炎夏日，吃上一塊甘甜多汁的西瓜絕對(duì)是一種享受、某水果店出售特小鳳西瓜和彩虹西瓜兩個(gè)品種，其中彩虹西瓜售價(jià)比特小鳳西瓜每斤高出6元．(1)該水果店第一周賣出特小鳳西瓜300斤，彩虹西瓜600斤．這兩種西瓜的銷售總額為11700元．請(qǐng)問特小鳳西瓜和彩虹西瓜每斤售價(jià)分別為多少元；(2)根據(jù)第一周的銷售情況，該水果店對(duì)特小鳳西瓜的售價(jià)進(jìn)行了調(diào)整，第二周與第一周相比，該水果店的特小鳳西瓜每斤售價(jià)降