期末檢測綜合壓軸題分類專題（考點梳理與分類講解）第一部分【考點目錄】選擇填空題（?？季C合題）【考點1】求代數(shù)式的值.......................................................2【考點2】尺規(guī)定作圖求角或線段長.............................................3【考點3】勾股定理解直角三角形...............................................7【考點4】數(shù)據(jù)的分析（中位數(shù)、眾數(shù)、方差）...................................8【考點5】二元一次方程中的特殊解法...........................................10【考點6】列方程（選擇）.....................................................12【考點7】一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合...........................................15二、解答題（?？季C合題）【考點8】計算或解方程組.....................................................18【考點9】平行線的證明.......................................................21【考點10】數(shù)據(jù)的分析........................................................23【考點11】一次函數(shù)綜合題....................................................25【考點12】一次函數(shù)與二元一次方程組實際應(yīng)用..................................28三、選擇填空題（?？級狠S題）【考點13】勾股定理與完全平方公式............................................30【考點14】規(guī)律問題..........................................................32【考點15】幾何折疊問題......................................................35【考點16】最值問題..........................................................39【考點17】一次函數(shù)與幾何綜合問題............................................43四、解答題（?？級狠S題）【考點18】與勾股定理有關(guān)探究題..............................................49【考點19】坐標(biāo)與圖形探究題..................................................54【考點20】一次函數(shù)幾何探究題................................................62第二部分【考點展示與方法點撥】【考點1】求代數(shù)式的值【1-1】（2023·遼寧朝陽·模擬預(yù)測），．【答案】9【分析】本題考查了二次根式的混合運算．先分母有理化求出，再根據(jù)完全平方公式變形，最后代入求出答案即可．解：∵，∴．故答案為：．【1-2】（23-24九年級上·貴州遵義·期中）已知，，則代數(shù)式的值是．【答案】【分析】本題考查了二次根式的化簡求值，平方差公式．二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．利用整體代入的方法可簡化計算．利用平方差公式把原式變形為，然后利用整體代入的方法計算．解：∵，，∴，故答案為：．【1-3】（22-23八年級下·安徽淮南·期末）若為的小數(shù)部分，則的值為．【答案】【分析】估算出在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間求得的值，然后將其代入中計算即可．解：，，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查無理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是估算出在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間．【1-4】（23-24八年級上·四川達州·期中）如果，那么．【答案】【分析】本題主要考查完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．先求出，再由得出答案．解：，，，，，，，．故答案為：．【考點2】尺規(guī)定作圖求角或線段長【2-1】（23-24八年級下·河南漯河·期中）如圖，在中，，，，以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交于點M，N，分別以M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線交于點D，再用尺規(guī)作圖作出于點E，則的長為．【答案】5【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，勾股定理、角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學(xué)知識解決問題．利用勾股定理求出，再利用面積法求出，可得結(jié)論．解：由作圖可知平分，設(shè)則有∴故答案為：5．【2-2】（2024·重慶長壽·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，的坐標(biāo)分別為和0,4，連接，以點為圓心、的長為半徑畫弧，與軸正半軸相交于點，則點的橫坐標(biāo)是．【答案】【分析】本題考查勾股定理以及坐標(biāo)與圖形，由勾股定理求出的長，進而得到的長，再求出的長，即可得出點的坐標(biāo)．掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．解：∵點，的坐標(biāo)分別為和0,4，∴，，∵，∴，∵以點為圓心，以長為半徑畫弧，∴，∴，∵點在軸正半軸上，∴點的坐標(biāo)為，∴點的橫坐標(biāo)為．故答案為：．【2-2】（24-25八年級上·內(nèi)蒙古包頭·期中）如圖，已知直線與軸交于點，與軸交于點，以點為圓心，為半徑畫弧，交軸于點，則．

【答案】【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形、一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點、勾股定理等知識，解題關(guān)鍵是運用數(shù)形結(jié)合思想分析問題．先根據(jù)坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特征得到A-2,0，，再利用勾股定理計算出，然后根據(jù)圓的半徑相等得到，再利用進行計算即可．解：當(dāng)時，可得，解得，則A-2,0當(dāng)時，，則，所以，因為以點為圓心，為半徑畫弧，交軸于點，所以，所以．故答案為：．【2-3】（2024·四川成都·三模）如圖，在,，D為中點，按下列步驟作圖：①以點D為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交于點E，F(xiàn)；②分別以E，F(xiàn)為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的外部交于點；③作直線交于點H．若,，則．【答案】【分析】此題考查了尺規(guī)作垂直平分線，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的化簡，首先得到垂直平分，然后利用勾股定理求出，，，進而求解即可．解：根據(jù)作圖可得，垂直平分∴∵，∴∵∴∴∴∴．故答案為：．【考點3】勾股定理解直角三角形【3-1】（23-24八年級下·廣東江門·期末）如圖，正方形紙片的四個頂點分別在四條平行線、、、上，這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為、、，，，若，，則正方形的面積等于．【答案】74【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．由“”可證，可得，，由勾股定理可求，即可求解．解：如圖，過點作作于，過點作于，，，，，，，，正方形的面積等于74，故答案為：74．【3-2】（23-24八年級下·江蘇南通·期末）明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計算秋千繩索長度的詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步恰竿齊，五尺板高離地…”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千靜止的時候，踏板離地高一尺（尺），將它往前推進兩步（尺），此時踏板升高離地五尺（尺），則秋千繩索（或）的長度為尺【答案】14.5【分析】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．設(shè)秋千繩索長為尺，用表示出的長，在直角三角形中，利用勾股定理列出關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到結(jié)果．解：設(shè)秋千繩索長為尺，則尺，在中，，即，解得：，故答案為：．【考點4】數(shù)據(jù)的分析（中位數(shù)、眾數(shù)、方差）【4-1】（23-24七年級下·北京房山·期末）為傳承發(fā)展中國優(yōu)秀語言文化，厚植青少年家國情懷，某校開展了“誦讀中國”經(jīng)典誦讀大賽．校學(xué)生會隨機對該校20名同學(xué)一周內(nèi)誦讀中華經(jīng)典的時間進行了調(diào)查，統(tǒng)計如下：誦讀時間/分鐘3540a50人數(shù)/人4673若20名同學(xué)誦讀時間的眾數(shù)為45，則a為，中位數(shù)為．【答案】45【分析】本題主要考查了求眾數(shù)和求中位數(shù)，把一組數(shù)據(jù)從大到?。◤男〉酱螅┡帕泻笪挥谡虚g的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù)，出現(xiàn)最多的數(shù)據(jù)是眾數(shù)．根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義，即可求解．解：若20名同學(xué)誦讀時間的眾數(shù)為45，由表格可知出現(xiàn)次數(shù)最多數(shù)據(jù)是a，共出現(xiàn)了7次，∴眾數(shù)是a，即a為45，根據(jù)題意得：把這20個數(shù)據(jù)從大到小排列后，位于第10位和第11位分別為40，45，∴這20名同學(xué)這天完成作業(yè)時間的中位數(shù)是故答案為：45，【4-2】（2022九年級·浙江杭州·專題練習(xí)）若一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6，眾數(shù)為5，則這組數(shù)據(jù)的方差為．【答案】【分析】先根據(jù)這組數(shù)的平均數(shù)及眾數(shù)求出中一個是5，另一個是6，再利用方差公式計算即可．解：∵一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6，眾數(shù)為5，∴中至少有一個是5，∵一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6，∴，∴，∴中一個是5，另一個是6，∴這組數(shù)據(jù)的方差為；故答案為：．【點睛】本題考查了數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)及方差，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．【4-3】（23-24八年級上·山東菏澤·期末）為計算某樣本數(shù)據(jù)的方差，列出如下算式據(jù)此判斷：①樣本容量是；②樣本的平均數(shù)是；③樣本的眾數(shù)是；④樣本的中位數(shù)是．上面說法錯誤的是．【答案】【分析】本題考查了求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、樣本容量，由方差算式得到這組數(shù)據(jù)為，再根據(jù)位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、樣本容量的定義求解即可判斷，掌握方差的計算公式是解題的關(guān)鍵．解：根據(jù)方差算式可得，這組數(shù)據(jù)為共個，∴樣本容量是，樣本的眾數(shù)是，樣本的中位數(shù)是，故正確；樣本的平均數(shù)是，故錯誤；故答案為：．【4-4】（23-24八年級下·湖北鄂州·期末）甲、乙、丙、丁四名同學(xué)數(shù)學(xué)測驗成績分別為90分，90分，90分，分，80分，若這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與平均數(shù)恰好相等，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是分．【答案】90【分析】本題主要考查了眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)等知識，正確確定的值是解題關(guān)鍵．首先確定這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為90，進而根據(jù)平均數(shù)的定義確定的值，然后根據(jù)中位數(shù)的定義求解即可．解：根據(jù)題意，四名同學(xué)數(shù)學(xué)測驗成績中出現(xiàn)次數(shù)最多的是90分，不少于3次，故這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為90，因為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與平均數(shù)恰好相等，所以，可有，解得，所以，將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，為80，90，90，90，100，其中排在第3位的是90，所以，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是90分．故答案為：90．【考點5】二元一次方程（組）的解法【5-1】（23-24七年級下·海南?？凇て谀┮阎猘、b滿足，，則的值為．【答案】2【分析】本題考查了二元一次方程組的特殊解法，根據(jù)二元一次方程組的特點靈活選用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄊ墙忸}的關(guān)鍵．觀察可知將兩個方程相加得，化簡即可求得答案.解：根據(jù)題意得，得，，故答案為：2．【5-2】（23-24七年級下·山西臨汾·期末）若方程組的解滿足，則等于．【答案】5【分析】本題考查已知二元一次方程組的情況求參數(shù)，所給兩個方程作差可得，進而得到關(guān)于k的一元一次方程，解方程即可．解：得：，，，解得，故答案為：5．【5-3】（23-24七年級下·四川德陽·期末）若關(guān)于、的二元一次方程無論實數(shù)取何值，此二元一次方程都有一組相同的解，則這個解是．【答案】【分析】本題考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程組，根據(jù)題意得出關(guān)于x，y的二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．把方程整理成關(guān)于m的方程，根據(jù)無論m取何值時，此二元一次方程都有一個相同的解令m的系數(shù)為0，然后得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解方程組即可．解：∵，∴，∴，∵無論取何值時，此二元一次方程都有一個相同的解，∴，解得：，∴這個相同的解是，故答案為：．【5-4】（23-24七年級下·重慶·期中）若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是，則關(guān)于m，n的二元一次方程組的解是．【答案】【分析】本題主要考查了換元法解二元一次方程組，令，則可得關(guān)于s，t的二元一次方程組的解是，進而得到，解方程組即可得到答案．解：令，則方程組即為，∵關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是，∴關(guān)于s，t的二元一次方程組的解是∴，∴，故答案為：．【考點6】列方程（選擇）【6-1】（2022九年級上·吉林長春·學(xué)業(yè)考試）《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中記載：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？譯文：今有若干人出行，如果三人同乘一輛車，兩車空；二人同乘一輛車，有九人步行．問人與車各是多少？設(shè)人數(shù)為x人，車數(shù)為y輛，可列方程組為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系列出方程組是關(guān)鍵．設(shè)人數(shù)為x人，車數(shù)為y輛，如果三人同乘一輛車，兩車空；二人同乘一輛車，有九人步行．據(jù)此即可列出二元一次方程組．解：根據(jù)題意得：，故選：．【6-2】（23-24七年級下·云南昭通·期末）為了“踐行垃圾分類?助力雙碳目標(biāo)”的活動，昭通市某學(xué)校的小宇和小琪一起收集了一些廢電池，小宇說：“我比你多收集了9節(jié)廢電池”小琪說：“如果你給我5節(jié)廢電池，我的廢電池數(shù)量就是你的3倍．”如果他們說的都是真的，設(shè)米樂收集了節(jié)廢電池，琪琪收集了節(jié)廢電池，根據(jù)題意可列方程組為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)米樂及琪琪收集廢電池數(shù)量間的關(guān)系，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程組，此題得解．解：米樂比琪琪多收集了7節(jié)廢電池，；若米樂給琪琪5節(jié)廢電池，則琪琪的廢電池數(shù)量就是米樂的3倍，．根據(jù)題意可列方程組為．故選：A．【6-3】（24-25七年級上·全國·期末）如圖1，一個正方體鐵塊放置在圓柱形水槽內(nèi)，現(xiàn)以一定的速度往水槽中注水，時注滿水槽，水槽內(nèi)水面的高度與注水時間之間的函數(shù)圖象如圖2所示．如果將正方體鐵塊取出，又經(jīng)過秒恰好將水槽注滿，此水槽的底面面積為．【答案】4400【分析】本題主要考查函數(shù)的圖像及應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)圖像讀懂信息是解題的關(guān)鍵．根據(jù)函數(shù)圖像可得正方體的棱長為，同時可得水面上升從到，所用的時間為16秒，結(jié)合前12秒由于立方體的存在，導(dǎo)致水面上升速度加快了4秒可得答案，再求出正方體鐵塊的體積，設(shè)注水的速度為，圓柱的底面積為，結(jié)合題意建立二元一次方程組求解即可．解：由題意可得，12秒時，水槽內(nèi)水面的高度為，12秒后水槽內(nèi)水面高度變化趨勢改變，正方體的棱長為；沒有立方體時，水面上升從到，所用的時間為：秒前12秒由于立方體的存在，導(dǎo)致水面上升速度加快了4秒將正方體鐵塊取出，又經(jīng)過4秒恰好將此水槽注滿；根據(jù)題意：正方體的體積為：，設(shè)注水的速度為，圓柱的底面積為，根據(jù)題意得：，解得，水槽的底面面積為．故答案為：4；400．【6-4】（23-24七年級下·山東泰安·期末）《九章算術(shù)》中有一道闡述“盈不足術(shù)”的問題，原文如下：今有人共買物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．問物價幾何？譯文為：現(xiàn)有一些人共同買一個物品，每人出11元，還盈余8元；每人出9元，則還差12元．設(shè)共有x人，這個物品的價格是y元，根據(jù)題意，列出的二元一次方程組是．【答案】【分析】本題主要考查了二元一次方程租的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．根據(jù)每人出11元，還盈余8元；每人出9元，則還差12元，列出二元一次方程組，即可解題．解：根據(jù)題意得，故答案為：．【考點7】一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合【7-1】（24-25七年級上·全國·期末）直線與x軸交于點，下列說法正確的是（）A．B．直線上兩點，若，則C．直線經(jīng)過第四象限D(zhuǎn)．關(guān)于x的方程的解為【答案】D【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和系數(shù)的關(guān)系、一次函數(shù)與一元一次方程等知識點，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)與方程的關(guān)系逐項判斷即可．解：A．由與x軸交于點，則，解得，故A錯誤，不符合題意；B．由，則y隨x的增大而增大，直線上兩點，若，則，故B錯誤，不符合題意；C．由、，則直線經(jīng)過一、二、三象限，故C錯誤，不符合題意；D．由直線與x軸交于點，則當(dāng)時，函數(shù)，即關(guān)于x的方程的解為，故D正確，符合題意．故選：D．【7-2】（23-24八年級上·河北保定·期末）如圖，關(guān)于一次函數(shù)與的圖象，下列說法正確的有（

）個．①，；②圖象，隨自變量的增大而減小；③不論為何值，一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過定點，則點的坐標(biāo)為；④方程組的解是．A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)與二元一次方程，數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)圖象逐個分析即可．解：由圖可知，隨x的增大而增大，∴，∵過二四象限，∴，∴圖象，隨自變量的增大而減小；故①②正確；∵一次函數(shù)∴不論為何值，當(dāng)時，，即不論為何值，一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過定點，則點的坐標(biāo)為，故③正確；∵一次函數(shù)與的圖象交點為，∴方程組的解是，故④正確，綜上所述，說法正確的是①②③④．故選：D．【7-3】（23-24八年級下·廣東廣州·期末）已知一次函數(shù)圖象上兩點和，下列結(jié)論：①圖象過定點；②若一次函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象平行，則；③若，則；④若函數(shù)圖象與x軸的交點在正半軸，則或．正確的是（填寫正確結(jié)論的序號）．【答案】①②④【分析】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題.根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系——判斷即可.解：當(dāng)時,∴圖象過定點,故①正確,∵一次函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象平行，，，故②正確，，∴隨的增大而減小，，故③錯誤，∵函數(shù)圖象與軸的交點在正半軸，令，則或，或，故④正確，故答案為：①②④.【7-4】（23-24八年級上·四川巴中·期末）關(guān)于的一次函數(shù)（為常數(shù)且）．①當(dāng)時，此函數(shù)為正比例函數(shù)；②若函數(shù)圖象同時經(jīng)過點和點（，為常數(shù)），則；③無論取何值，該函數(shù)圖象都不可能經(jīng)過第二、三、四象限；④若該函數(shù)圖象與直線關(guān)于軸對稱，則．上述結(jié)論中正確的是（填序號）．【答案】③④【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換．根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系以及圖象上點的坐標(biāo)特征，逐項分析判斷正誤即可．解：①當(dāng)時，函數(shù)為是一次函數(shù)，故①不正確；②將點和點代入得：，②①得：，，故②不正確；③不妨假設(shè)函數(shù)圖象同時經(jīng)過第二、三、四象限，則：，此不等式組為空集，不存在的值使一次函數(shù)同時經(jīng)過第二、三、四象限．故結(jié)論③正確；④在函數(shù)中，令，則，關(guān)于軸的對稱點為，將點代入中，得，解得．故結(jié)論④正確．故答案為：③④．【考點8】計算或解方程組【8-1】（24-25八年級上·全國·期末）計算及解方程組：(1)；(2)；(3)解方程組：；(4)解方程組：．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查實數(shù)的混合運算，解二元一次方程組，熟練掌握相關(guān)運算法則，消元法解方程組，是解題的關(guān)鍵：（1）先進行乘方，開方運算，再進行加減運算即可；（2）先進行開方，去絕對值運算，在進行加減運算即可；（3）加減消元法解方程組即可；（4）設(shè)，，原方程組可化為求出的值，再組成新的方程組，利用加減消元法解方程組即可．解：（1）原式；（2）原式．（3）解：，得：，化簡，得，，得，，得，即，，得，即x=2，所以這個方程組的解是；（4）設(shè)，，則原方程組可化為，解得，所以，，將它們組成新方程組，即，解得，所以原方程組的解是．【8-2】（24-25八年級上·全國·期末）（1）計算：；（2）求x的值：；（3）解方程組：．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】此題考查了絕對值的化簡，平方根，解方程和解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法，熟悉相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先按絕對值化簡的法則展開，再計算加減即可；（2）先將原方程移項，再開方化簡即可；（3）先去分母，然后再利用加減消元法求出解即可．解：（1）；（2）；（3）將②式去分母得：③將得：，解之得：，將代入①得，解之得：，故原方程組的解為：．【8-3】（22-23七年級下·浙江·期末）已知關(guān)于，的方程組(1)若方程組的解滿足，求的值；(2)無論實數(shù)取何值，方程總有一個固定的解，請求出這個解？(3)若方程組的解中為整數(shù)，且是自然數(shù)，求的值．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】此題考查了解二元一次方程的整數(shù)解和二元一次方程組的解，熟練掌握運算法則和求方程組的解是本題的關(guān)鍵．（1）將與原方程組中的第一個方程組成新的方程組，可得、的值，再代入第二個方程中可得的值；（2）當(dāng)含項為零時，取，代入可得固定的解．（3）根據(jù)方程組可以求得，的關(guān)系式，根據(jù)為整數(shù)，可以求解的值；解：（1）由題意得：，解得，把代入，解得；（2），∴當(dāng)，時，，即固定的解為：，（3），得：，，，為整數(shù)，∴，，，且為自然數(shù)，∴或或，或或．【考點9】平行線的證明【9-1】（24-25八年級上·廣西南寧·期中）已知：如圖，點B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，，，．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)【答案】(1)見解析(2)【分析】此題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．（1）首先得到，然后證明出即可；（2）首先根據(jù)得到，然后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．解：（1）∵∴，即又∵，，∴；（2）∵∴∵∴．【9-2】（21-22八年級上·四川成都·期末）（1）如圖，于點D，于點G，，試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．（2）如圖，王鵬將升旗的繩子拉到旗桿底部，并在繩子上打了一個結(jié)，然后將繩子拉到離旗桿底端6米處，發(fā)現(xiàn)此時繩子底端距離打結(jié)處約2米，求旗桿的高度．【答案】（1），理由見解析（2）旗桿的高度為8米【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，勾股定理的實際應(yīng)用：（1）根據(jù)垂直于同一條直線的兩直線平行，得到，得到，進而得到，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)旗桿的高度為米，利用勾股定理進行求解即可．解：（1），理由如下：∵，，∴，∴，∵，∴，∴；（2）旗桿的高度為米，由勾股定理，得：，解得：；答：旗桿的高度為8米．【考點10】數(shù)據(jù)的分析【10-1】（21-22八年級上·陜西咸陽·期末）某校組織慈善愛心捐款活動，圖①是各年級捐款人數(shù)占總捐款人數(shù)的百分比，圖②是對部分學(xué)生捐款金額的隨機抽樣調(diào)查．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)在隨機抽取的樣本中，捐款金額的中位數(shù)為______，眾數(shù)為______；(2)求隨機抽樣調(diào)查的學(xué)生捐款金額的平均數(shù)；(3)已知該校九年級共有180人捐款，請你估計全校捐款的總金額為多少元？【答案】(1)，(2)(3)元【分析】（1）由圖2的數(shù)據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)定義即可得出答案；（2）根據(jù)平均數(shù)公式即可求解；（3）由圖1知：九年級捐款人數(shù)占總捐款人數(shù)的百分比為，從而求出全校捐款人數(shù)，用這個捐款人數(shù)乘以捐款平均數(shù)即可求得答案．解：（1）解：由圖2可知，人數(shù)為人第和第21個數(shù)分別為，15∴捐款金額的中位數(shù)為,∵捐款15元的人數(shù)最多，∴眾數(shù)為；故答案為：，．（2）解：由圖2可知，捐款金額的平均數(shù)（元）（3）解：由圖1知：九年級捐款人數(shù)占總捐款人數(shù)的百分比為，∵九年級共有180人捐款∴全校人數(shù)為人∴估計全校捐款的總金額為（元）【點睛】本題考查條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖、中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)與樣本估計總體，能夠從不同的統(tǒng)計圖中獲取有用信息是解題關(guān)鍵．【10-2】（23-24八年級下·河北保定·期末）某班老師要求每生每學(xué)期讀本書，并隨機抽查了本學(xué)期學(xué)生讀課外書冊數(shù)的情況，繪制成如下不完整的條形圖和不完整的扇形圖，其中條形圖被墨跡遮蓋了一部分，回答下列問題：(1)老師隨機抽查了______名學(xué)生，閱讀6冊書的人數(shù)為_______人；(2)已知冊數(shù)的中位數(shù)是5，并且閱讀7冊的人數(shù)多于2人；小明說：條形圖中閱讀5冊的人數(shù)為5．小亮說：條形圖中閱讀5冊的人數(shù)為6．①你認(rèn)為小明和小亮誰說的對，請說明原因；②求出閱讀7冊的人數(shù)；隨后又進行了補查，得知最少的讀了6冊，將其與之前的數(shù)據(jù)合并后，發(fā)現(xiàn)中位數(shù)還是5，則最多又補查了_________人．【答案】(1)20；6(2)①小亮說的對；理由見解析

②3人(3)1【分析】此題考查了中位數(shù)、條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖的知識．（1）由“4冊”人數(shù)及其所占百分比可得總?cè)藬?shù)，由條形統(tǒng)計圖可得“6冊”的人數(shù)；（2）①綜合條形統(tǒng)計圖與扇形即可得到結(jié)論；②根據(jù)總?cè)藬?shù)是20可得閱讀7冊的人數(shù)；（3）由4冊和5冊的人數(shù)和為11，中位數(shù)沒有改變知總?cè)藬?shù)不能超過21，據(jù)此可得答案．解：（1）解：老師隨機抽查了（名學(xué)生，閱讀6冊的人數(shù)為（人），故答案為：20，6；（2）解：①小亮說的正確，理由：學(xué)生總數(shù)為20名，冊數(shù)的中位數(shù)是第10個數(shù)和第11個數(shù)的平均數(shù)，冊數(shù)的中位數(shù)是5，∴閱讀4冊、5冊的人數(shù)和11人，條形圖中閱讀5冊的人數(shù)為（人），故小亮說的正確；②閱讀7冊的人數(shù)為（人）．（3）解：冊和5冊的人數(shù)和為11，中位數(shù)沒有改變，總?cè)藬?shù)不能超過21，即最多補查了1人，故答案為：1．【考點11】一次函數(shù)綜合題【11-1】（24-25八年級上·遼寧沈陽·期中）如圖，直線與軸、軸分別交于兩點．(1)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為；(2)若點是直線上一點，求CA的長．【答案】(1)，(2)【分析】（）分別把、x=0代入函數(shù)解析式計算即可求解；（）求出點坐標(biāo)，再利用兩點間距離公式計算即可求解；本題考查了求一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，兩點間距離公式，掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解：（1）當(dāng)時，，∴，∴點的坐標(biāo)為，當(dāng)x=0時，，∴點的坐標(biāo)為，故答案為：，；（2）∵點是直線上一點，∴，∴，∴，∴．【11-2】（23-24八年級下·廣東云浮·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點B，C，與直線相交于點．

(1)求點B的坐標(biāo)．(2)求的面積．(3)在直線上是否存在一點M，使的面積是面積的？若存在，求出此時點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)點M的坐標(biāo)為或【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)一次函數(shù)解析式，求三角形的面積，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．（1）把代入，求出點B的坐標(biāo)即可；（2）先求出點，然后求出的面積即可；（3）設(shè)點M的坐標(biāo)為，根據(jù)，得出，求出a的值，即可得出答案．解：（1）解：在中，令，得：，解得：，點B的坐標(biāo)為．（2）解：在中，令，則，點，．（3）解：存在．設(shè)點M的坐標(biāo)為．，，．當(dāng)時，點的坐標(biāo)是；當(dāng)時，點的坐標(biāo)是．綜上所述，點M的坐標(biāo)為或．【考點12】一次函數(shù)與二元一次方程組實際應(yīng)用【12-1】（23-24八年級上·江蘇揚州·期末）在期中考試總結(jié)會議上，學(xué)校決定購買A，B兩種獎品共120件，對表現(xiàn)優(yōu)異的學(xué)生進行獎勵．已知A種獎品的價格為32元/件，B種獎品的價格為15元/件．(1)請直接寫出購買兩種獎品的總費用y（元）與購買A種獎品的數(shù)量x（件）之間的關(guān)系式；(2)當(dāng)購買了30件A種獎品時，總費用是多少元？(3)若購買的A種獎品不多于50件，則總費用最多是多少元？【答案】(1)；(2)2310元；(3)總費用最多是2650元．【分析】本題考查的是一次函數(shù)的實際應(yīng)用，理解題意，確定函數(shù)關(guān)系式是解本題的關(guān)鍵；（1）由總費用等于購買兩種獎品的費用之和建立函數(shù)關(guān)系式即可；（2）把代入（1）中的解析式計算即可；（3）利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；解：（1）解：根據(jù)題意，得：，即購買兩種獎品的總費用y（元）與購買A種獎品的數(shù)量x（件）之間的關(guān)系式為；（2）當(dāng)時，，答：當(dāng)購買了30件A種獎品時，總費用是2310元；（3）由題意，得，由（1）可知為，∵，∴y隨x的增大而增大，∴當(dāng)時，y有最大值為，答：若購買的A種獎品不多于50件，則總費用最多是2650元．【12-2】（24-25八年級上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）某校八年級學(xué)生外出研學(xué)，為了提前做好準(zhǔn)備工作，學(xué)校安排小轎車送志愿者前往，同時其余學(xué)生乘坐大客車前往目的地，小轎車到達目的地后立即返回學(xué)校，大客車在目的地等候，如圖是兩車距學(xué)校的距離與行駛時間之間的函數(shù)圖象．(1)目的地距離學(xué)校________，小轎車出發(fā)去目的地的行駛速度是________．(2)當(dāng)兩車行駛后在途中相遇，求點的坐標(biāo)；(3)在第（2）題的條件下，大客車與小轎車相距如時，行駛時間為________．【答案】(1)，(2)(3)或或【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵；（1）根據(jù)圖象得出距離，進而計算出速度即可；（2）設(shè)直線的解析式是，把，代入解析式，得出解析式，再把代入解答即可；（3）得出直線的解析式，再根據(jù)題意分情況列方程求解即可；解：（1）解：目的地距離學(xué)校千米，小車出發(fā)去目的地的行駛速度是千米/時；故答案為：；（2）解：設(shè)直線的解析式是，把，代入解析式得：，解得：，則直線的解析式是：，當(dāng)時，；則點坐標(biāo)為：；（3）解：設(shè)直線的函數(shù)解析式為：，將代入函數(shù)解析式，可得：，解得：，即直線的函數(shù)解析式為：，設(shè)直線的函數(shù)解析式為：，將代入函數(shù)解析式，可得：，解得：，即直線的函數(shù)解析式為：，當(dāng)時，解得：；當(dāng)，解得：；當(dāng)，解得：；行駛時間為或或，故答案為：或或【考點13】勾股定理與完全平方公式【13-1】（2021·貴州·一模）如圖，矩形中，，，將矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形，邊與交于點，延長交于點，若，則的長為．【答案】【分析】連接，過點作，設(shè)，分別解得的長，繼而證明，由全等三角形的性質(zhì)得到，由此解得，最后在中，利用勾股定理解得的值，據(jù)此解題．解：如圖，連接，過點作，設(shè)，則矩形中在與中，在中，，故答案為：．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【13-2】（20-21八年級上·北京順義·期末）已知中，，，則的面積為．【答案】cm2【分析】設(shè)BC=acm，AC=bcm，則a+b=，即可得到，根據(jù)勾股定理得到，進而得到，根據(jù)三角形面積公式即可求解．解：設(shè)BC=acm，AC=bcm，則a+b=，∴，即，∵∠C=90°，∴,∴，∴cm2．故答案為：cm2【點睛】本題考查了完全平方公式，勾股定理等知識，準(zhǔn)確掌握兩個知識點并建立聯(lián)系是解題關(guān)鍵．【考點14】規(guī)律問題【14-1】（23-24八年級上·四川達州·期中）問題探究：因為，所以，因為，所以請你根據(jù)以上規(guī)律，結(jié)合你的經(jīng)驗化簡下列各式：．【答案】/【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡的方法，關(guān)鍵是把復(fù)合二次根式的被開方數(shù)配成完全平方式．觀察式子可知：，，故可看作平方的結(jié)果．解：，．故答案為：【14-2】（23-24七年級下·湖北恩施·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點，其順序按圖中“→”方向排列，如1,0，，2,1，2,0，，，根據(jù)這個規(guī)律，第個點的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題考查了圖形的坐標(biāo)變化規(guī)律，由第個點的坐標(biāo)為1,0，第個點的坐標(biāo)為，第個點的坐標(biāo)為1,4，得第個點的橫坐標(biāo)為（為正整數(shù)），由可得第個點的橫坐標(biāo)為，又由圖可得當(dāng)點的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為偶數(shù)時，該點的縱坐標(biāo)等于，據(jù)此即可求解，根據(jù)圖形找到點的坐標(biāo)變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．解：由圖可得，第個點的坐標(biāo)為1,0，第個點的坐標(biāo)為，第個點的坐標(biāo)為1,4，∴第個點的橫坐標(biāo)為（為正整數(shù)），∵，∴第個點的橫坐標(biāo)為，又當(dāng)點的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為偶數(shù)時，該點的縱坐標(biāo)等于，∵，∴第個點的縱坐標(biāo)為，∴第個點的坐標(biāo)為，故答案為：．【14-3】（23-24八年級下·新疆烏魯木齊·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點在直線圖象上，過點作軸平行線，交直線于點，以線段為邊在右側(cè)作正方形，所在的直線交的圖象于點，交的圖象于點，再以線段為邊在右側(cè)作正方形依此類推．按照圖中反映的規(guī)律，則點的坐標(biāo)是；第個正方形的邊長是．【答案】【分析】本題考查一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、規(guī)律型問題，根據(jù)線段的和即可得出第一個正方形的邊長為，再根據(jù)正方形的性質(zhì)及線段的和即可求出第二個正方形的邊長為，依次得出第三個正方形的邊長為，以此類推，可得，，從而得到答案．解：由題意，，，，則第一個正方形的邊長為，即，，，，則第二個正方形的邊長為，即，，，，則第三個正方形的邊長為，即，，，以此類推，可得，，第2020個正方形的邊長為．故答案為：；．【考點15】幾何折疊問題【15-1】（19-20八年級上·遼寧錦州·期末）如圖所示，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，是軸上一動點，連接，將沿所在的直線折疊，當(dāng)點落在軸上時，點的坐標(biāo)為．【答案】或【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，翻折變換，勾股定理，根據(jù)勾股定理得到，如圖1，當(dāng)點A落在y軸的正半軸上時，如圖2，當(dāng)點A落在y軸的負(fù)半軸上時，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．解：∵一次函數(shù)的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，當(dāng)時，解得，，∴，當(dāng)時，，∴，∴，∴由勾股定理得，，如圖1，當(dāng)點A落在y軸的正半軸上時，設(shè)點C的坐標(biāo)為，∵將沿所在的直線折疊，當(dāng)點A落在y軸上時，∴∵，∴，∴，∴點的坐標(biāo)為；如圖2，當(dāng)點A落在y軸的負(fù)半軸上時，設(shè)點C的坐標(biāo)為，∵將沿所在的直線折疊，當(dāng)點A落在y軸上時，∴∵，∴，∴，∴點的坐標(biāo)為；綜上所述，當(dāng)點A落在y軸上時，點C的坐標(biāo)為或，故答案為：或．【15-2】（20-21八年級上·湖北武漢·期末）如圖，將長方形紙片對折后再展開，形成兩個小長方形，并得到折痕，是上一點，沿著再次折疊紙片，使得點恰好落在折痕上的點處，連接，．設(shè)，，，用含的式子表示的面積是．【答案】．【分析】由翻折可知，AM=NC，根據(jù)勾股定理求出NC，再求出MB′，用三角形面積公式求面積即可．解：∵∠C=90°，∴NC=，由翻折可知，AM=NC=，AB′=AB=，MB′=，的面積為：，故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱變換的性質(zhì)，勾股定理，解題關(guān)鍵是把握軸對稱的性質(zhì)，找到題目中相等的相等，根據(jù)勾股定理求出線段長．【15-3】（23-24八年級上·浙江衢州·期末）在直角三角形紙片中，，折疊紙片使得點落在邊上點處，折痕是（如圖1），將紙片復(fù)原，再次折疊紙片，使得點落在邊上的點處，折痕是（如圖2），繼續(xù)折疊紙片，使得點與點重合，折痕是，得到多邊形（如圖3），將若干個全等的多邊形交叉重疊便可得到棒棒糖的糖果部分（如圖4）．

（1）圖1中的長為．（2）圖3中的長為．【答案】3【分析】本題考查了勾股定理與折疊問題，等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定；（1）在直角三角形紙片中，，勾股定理求得，如圖1中，設(shè)，則，，在中，勾股定理即可求解；（2）設(shè)交于點，根據(jù)折疊可得，證明，在中，勾股定理求得，進而證明，即可求解．解：（1）在直角三角形紙片中，，∴，如圖1中，設(shè)，則，，根據(jù)折疊可得，，在中，，即，解得：，∴，故答案為：．（2）∵折疊，∴，，∴；在圖2中，設(shè)交于點，根據(jù)折疊可得，

∴，又∵，∴，∴，∴；∴設(shè)，則，在中，，∴，解得：，∴；在圖3中，∵，∴，∴；在中，，∴，∴，∴，∴；∵，∴；故答案為：．【考點16】最值問題【16-1】（22-23八年級下·安徽阜陽·期末）如圖，在四邊形中，于點O，，，點P為線段上的一個動點．（1）的長是；（2）過點P分別作于點M，作于點H．連接，在點P的運動過程中，的最小值為．【答案】10【分析】本題考查勾股定理，垂線段最短：（1）勾股定理求出的長即可；（2）連接，等積法求出的長，再根據(jù)垂線段最短，得到當(dāng)，即點與點重合時，最小，即可得出結(jié)果．解：（1）∵于點O，，，∴；故答案為：10；（2）連接，∵于點M，于點H，∴，即：，∴，∴，∵點P為線段上的一個動點，∴當(dāng)時，的值最小，∵，∴當(dāng)點與點重合時，的值最小，為的長，即，∴的最小值為；故答案為：．【16-2】（22-23八年級上·河北張家口·期末）如圖，在等腰直角三角形中，，點分別為直線上的動點，過點A做，且.（1）的最小值為；（2）的最小值為.

【答案】【分析】（）根據(jù)垂線段最短即可求出的最小值；（）作點A關(guān)于的對稱點E，連接，交于點M，此時，最小，求出即可．解：（）當(dāng)時，最小，此時，∵，∴，則，∴；故答案為：

（）作點A關(guān)于的對稱點E，連接，交于點M，此時，最小，由（1）得，即，∵，∴∵，∴，故答案為：．

【點睛】本題考查了軸對稱和最短路徑，解題關(guān)鍵是明確垂線段最短和利用軸對稱確定最短路徑，能夠熟練運用勾股定理求出線段長．【16-3】（2024·江蘇徐州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點、，點C在x軸上運動，點D在直線上運動，則四邊形周長的最小值是．

【答案】/【分析】本題主要考查軸對稱的性質(zhì)及坐標(biāo)中兩點之間的距離，勾股定理等，理解題意，作出相應(yīng)圖象是解題的關(guān)鍵．作關(guān)于的對稱點，作關(guān)于x軸的對稱點，連接，交于點，交x軸于點，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到四邊形周長的最小值是，利用勾股定理算出，即可解題．解：作關(guān)于的對稱點，作關(guān)于x軸的對稱點，連接，交于點，交x軸于點，

兩點之間線段最短，即最短，由軸對稱的性質(zhì)得到，，四邊形周長的最小值為，即為，點、，，，，四邊形周長的最小值是，故答案為：．【考點17】一次函數(shù)與幾何綜合問題【17-1】（24-25八年級上·廣東深圳·期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知直線上一點，為軸上一點，連接，以為邊做等腰直角三角形，，，過點作線段軸，垂足為，直線與直線交于點，且，連接，直線與直線交于點，則點的坐標(biāo)是．【答案】【分析】本題考查了用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，過作軸，交軸于，交于，過作軸，交軸于，，求出，證，推出，，設(shè)，求出，得出，求出，得出的坐標(biāo)，由兩點坐標(biāo)公式求出，在中，由勾股定理求出，得出的坐標(biāo)，設(shè)直線的解析式是，把代入求出直線的解析式，解由兩函數(shù)解析式組成的方程組，求出方程組的解即可．解：過作軸，交軸于，交于，過作軸，交軸于，

，，，，，，，在和中，，，，，設(shè)，，，，則，，即．直線，，點，在中，由勾股定理得：，則的坐標(biāo)是，設(shè)直線的解析式是，把代入得：，即直線的解析式是，又∵過點，設(shè)直線解析式為，則∴直線的解析式為，聯(lián)立解得：點，故答案為．【17-2】（23-24八年級下·天津·期末）已知直線：與軸交于點，與軸交于點，直線也經(jīng)過點，位置如圖所示，且與直線所夾銳角為，則直線的函數(shù)表達式為．【答案】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達式，一次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線構(gòu)造等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．過點作，交于，過作軸于點，由可推出，結(jié)合，從而證明，得到，，然后利用直線與軸交于點，與軸交于點，求出、的坐標(biāo)，得到、的長度，從而得到點坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法即可求得直線的函數(shù)表達式．解：如圖，過點作，交于，過作軸于點，是等腰直角三角形，直線：與軸交于點，與軸交于點，B0,3，點的坐標(biāo)為設(shè)直線的解析式為直線經(jīng)過，解得：的解析式為．故答案為：．【17-3】（23-24八年級上·浙江嘉興·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點是線段上一點，交軸于，且，（1）的坐標(biāo)為：．（2）若為射線上一點，且，則點的坐標(biāo)為．【答案】或【分析】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求直線解析式，三角形的面積，全等三角形的判定與性質(zhì)，構(gòu)造全等是解題的關(guān)鍵；（1）設(shè)，根據(jù)，得，從而得；（2）設(shè)直線的函數(shù)解析式為：，代入、坐標(biāo)，得出直線的解析式；設(shè)直線的函數(shù)解析式為：，將、的坐標(biāo)代入得出直線的解析式，與直線聯(lián)立即可得出點D的坐標(biāo)；當(dāng)點在線段上時，過點作軸，過點、分別作的垂線，垂足分別為點，可證，得，，從而點，當(dāng)點在的延長線上時，由對稱性可知．解：（1）設(shè)解得，，故答案為：；（2）設(shè)直線的函數(shù)解析式為：代入、坐標(biāo)得∴直線的函數(shù)解析式為：，設(shè)直線的函數(shù)解析式為：，將、的坐標(biāo)代入得：，，∴直線的函數(shù)解析式為：，當(dāng)時，則在射線上存在兩個點，使，如圖，當(dāng)點在線段上時，過點作軸，過點、分別作的垂線，垂足分別為、點，又，當(dāng)點在的延長線上時，由對稱性可知綜上點的坐標(biāo)為：或，故答案為：或．【考點18】與勾股定理有關(guān)探究題【18-1】（23-24八年級上·安徽淮南·期末）如圖，用一副三角板擺放三種不同圖形．在中，，；中，，．(1)如圖，當(dāng)頂點擺放在線段上時，過點作，垂足為點，過點作，垂足為點，請在圖中找出一對全等三角形，并說明理由；(2)如圖，當(dāng)頂點在線段DE上且頂點在線段上時，過點作，垂足為點，猜想線段、、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖，當(dāng)頂點在線段DE上且頂點在線段上時，若，，連接CE，則的面積為．【答案】(1)，見解析(2)，見解析(3)10【分析】（1）利用、互余，、互余可推得，再根據(jù)“角角邊”即可證明；（2）由、互余，、互余推得，再根據(jù)“角角邊”即可證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可推得、、的數(shù)量關(guān)系；（3）作延長線交于點，同理證明后，求得垂線的長度，根據(jù)即可得解．解：（1）解：，，，，又，，，在和中，，．（2）解：猜想，證明如下：，，，，，，，即，在和中，，，，，，．（3）解：作延長線交于點，，，，，，，在和中，，，，，中，，，，，．故答案為10．【點睛】本題考查的知識點是全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握一線三等角模型的全等判定方法．【18-2】（23-24八年級上·遼寧本溪·期末）如圖，分別以的兩邊為腰向外作等腰直角和等腰直角，其中．(1)如圖1，連接．若，求的長；(2)如圖2，M為的中點，連接，過點M作與的反向延長線交于點N，連接，試猜想之間有何等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】（1）由已知易得，則；在中由勾股定理即可求得，從而求得結(jié)果；（2）延長到G，使，分別連接；易證，則有，可得；由（1）知，，設(shè)交于點F，則可得，由平行可得，則由勾股定理及線段垂直平分線的性質(zhì)可得之間等量關(guān)系．解：（1）解：∵和均是等腰直角三角形，，∴，∵，∴；在與中，，∴，∴；∵，∴，；∵，∴，在中，由勾股定理得；∴；（2）解：；證明如下：如圖，延長到G，使，分別連接；∵M為的中點，∴；∵，，∴，∴，∴；由（1）知，∴；設(shè)交于點F，∵，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得；∵，，∴，∴．【點睛】本題是全等三角形的綜合，考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．【考點19】坐標(biāo)與圖形探究題【19-1】（23-24八年級上·湖南長沙·期中）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，且x，y滿足．(1)求的面積；(2)如圖1，以為斜邊構(gòu)造等腰直角，請直接寫出點C的坐標(biāo)；(3)如圖2，已知等腰直角中，，點D是腰上的一點（不與A，C重合），連接，過點A作，垂足為點E．①若是的角平分線，求證：；②探究：如圖3，連接，當(dāng)點D在線段上運動時（不與A，C重合），的大小是否發(fā)生變化？若改變，求出它的最大值；若不改變，求出這個定值．【答案】(1)6(2)或(3)①證明見解析②的大小不變，總為，理由見解析【分析】（1）根據(jù)絕對值的非負(fù)性及平方的非負(fù)性可得，，進而可得，，再利用三角形的面積公式即可求解．（2）分類討論：當(dāng)點C在上方時和當(dāng)點C在下方時，利用全等三角形的判定及性質(zhì)即可求解．（3）①延長，，它們相交于點，利用全等三角形的判定及性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)即可求解；②作，，垂足分別是，，利用全等三角形的判定及性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)即可求解．解：（1）解：，，，解得：，．，，的面積．（2）當(dāng)點C在上方時：作為等腰直角三角形，過點作軸于F，軸于E，如圖：

∴，∵，，，，，，在和中，，，，，∵，，即：，解得：，，，；當(dāng)點C在下方時；作為等腰直角三角形，過點作軸于F，軸于E，如圖：

，，，，，在和中，，，，，∵，，，即：，解得：，，，綜上所述：點的坐標(biāo)為：或．（3）①