階段拔尖專訓(xùn)4二次函數(shù)中的存在性問題題型1二次函數(shù)中探究點(diǎn)的存在性問題(－1，0)(3，0)(0，2)(2)若點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，當(dāng)△BCP為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)點(diǎn)Q是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，請(qǐng)問是否存在點(diǎn)Q使∠QCB＝∠ABC？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．2．[2024邵陽一模]如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)為C，對(duì)稱軸為直線x＝2，直線AB：y＝x＋m與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，8)，點(diǎn)B在y軸上．(1)直線AB的表達(dá)式為____________，拋物線的表達(dá)式為____________．y＝x＋3題型2二次函數(shù)中探究平行四邊形的存在性問題y＝x2－4x＋3(2)若點(diǎn)P(x，y)為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與A，B兩點(diǎn)重合)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，與這條拋物線交于點(diǎn)E，設(shè)線段PE的長為h，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．【解】∵點(diǎn)P在線段AB上，∴P(x，x＋3)(0<x<5)．∵PE⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)E，∴E(x，x2－4x＋3)，∴h＝PE＝x＋3－(x2－4x＋3)＝－x2＋5x(0<x<5)．(3)若點(diǎn)P(x，y)為直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AB與這條拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為D，PE⊥x軸交拋物線于點(diǎn)E，是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)D，C，E，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)寫出理由．【解】存在．∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴C(2，－1).∵直線AB與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)為D，∴D(2，5)，DC＝6.

∵以點(diǎn)D，C，E，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴PE＝DC＝6，由(2)易得PE＝|－x2＋5x|，∴－x2＋5x＝6或－x2＋5x＝－6，解得x1＝2(舍去)，x2＝3，x3＝－1，x4＝6，∴3＋3＝6，－1＋3＝2，6＋3＝9，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，6)或(－1，2)或(6，9)．3.[2024珠海三模]如圖，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，且經(jīng)過點(diǎn)A(3，3)，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B(6，0)，一次函數(shù)圖象與y軸相交于點(diǎn)C.(1)二次函數(shù)的表達(dá)式為____________，一次函數(shù)的表達(dá)式為____________．y＝－x＋6(2)如果點(diǎn)D在線段AC上(不與A、C兩點(diǎn)重合)，與y軸平行的直線DE與二次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)E，∠CDO＝∠OED，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)D是直線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與y軸平行的直線DE與二次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)E，以點(diǎn)O，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形能成為平行四邊形嗎？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不能，請(qǐng)說明理由．4．[2024瀘州改編]如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2＋bx＋3經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)，與y軸交于點(diǎn)B，且關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．(1)該拋物線的表達(dá)式為_______________．y＝－x2＋2x＋3(2)當(dāng)－1≤x≤t時(shí)，y的取值范圍是0≤y≤2t－1，求t的值．【解】∵拋物線的開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝1，∴拋物線上點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，由當(dāng)－1≤x≤t時(shí)，0≤y≤2t－1，得(3)點(diǎn)C是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)D，在y軸上是否存在點(diǎn)E，使得以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解】存在．當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，∴B(0，3)，設(shè)直線AB的表達(dá)式為y＝kx＋3，把A(3，0)的坐標(biāo)代入，得k＝－1，∴y＝－x＋3.設(shè)C(m，－m2＋2m＋3)(0<m<3)，則D(m，－m＋3)，(0，4)題型3二次函數(shù)中探究特殊角的存在性問題(2)D是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．(3)連接AC，該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)E，使得∠ACE＝45°？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解】存在，如圖，在x軸上方作MA⊥AC，使MA＝AC，連接CM，交對(duì)稱軸于點(diǎn)E，作MN⊥x軸于點(diǎn)N，∵M(jìn)A⊥AC，MA＝AC，∴∠ACM＝∠AMC＝45°，即∠ACE＝45°.∵易知∠MAN＋∠AMN＝90°＝∠MAN＋∠CAO，∴∠AMN＝∠CAO，又∵∠ANM＝∠COA＝90°，MA＝AC，∴△ANM≌△COA，∴MN＝OA＝3，AN＝OC＝4，∴M(－7，3)，6．[2024郴州模擬]如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)，B，與y軸交于點(diǎn)C，且CO＝3AO，連接AC.