第5章直角三角形5.4角平分線的性質(zhì)第1課時

角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理1.探究并理解角平分線的性質(zhì)定理.2.探究并理解角平分線性質(zhì)定理的逆定理.3.能初步運用角的平分線性質(zhì)定理及其逆定理解決簡單的推理與證明.1.角平分線的定義OBCA12從角的頂點出發(fā)引出的一條射線把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線.如圖，射線OC是∠AOB的平分線.2.右圖中能表示點P到直線l的距離的是

.線段PC的長3.下列兩圖中線段AP能表示直線l1上一點P到直線l2的距離的是

.AAPPl1l2l1l2圖1圖2圖1PlABCDPABCD探究：

在∠AOB

的平分線

OC

上任取一點

P，作

PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點

D、E.

比較線段

PD，PE

的長度，它們相等嗎？由此你能得出什么結(jié)論？猜想：PD=PE

你能證明它嗎?CP∟EAOB∟DPD=PE△PDO≌△PEO分析：∠PDO=∠PEO=90°,∠DOP=∠EOP,OP=OP,AOBPDEC證明：因為PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E，所以∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中,∠PDO=∠PEO,∠DOP=∠EOP,OP=OP,所以△PDO≌△PEO(角角邊).因此PD=PE.CP∟EAOB∟D應用所具備的條件：(1)角的平分線；(2)點在該平分線上；(3)垂直距離.定理的作用：證明線段相等.角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.AOBPDEC要點歸納因為∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，所以

PD=PE.(角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等).幾何語言：注意：證明距離相等時的三個理由，必須寫全，不能遺漏.OCB1A2PDE角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等逆命題:角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.說一說：角平分線性質(zhì)定理的的逆命題是什么?是真命題嗎？AOBPDECOEBADP分析：只要畫射線OP，證明OP平分∠AOB即可.C∟∟已知：如圖，點P在∠AOB的內(nèi)部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點D，E，若PD=PE.求證：點P在∠AOB的平分線上.逆命題:角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.證明：過點O，P作射線OC.因為PD⊥OA，PE⊥OB，所以∠PDO=∠PEO=90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中，

OP=OP,PD=PE,所以Rt△PDO≌Rt△PEO(斜邊、直角邊)，從而∠AOC=∠BOC.OEBADPC∟∟角平分線性質(zhì)定理的逆定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.應用所具備的條件：定理的作用：判斷點是否在角平分線上.（1）位置關系：點在角的內(nèi)部.（2）數(shù)量關系：該點到角兩邊的距離相等.AOBPDEC要點歸納幾何語言：因為PD=PE，PD⊥OA，PE⊥OB所以∠1=∠2.即點P∠AOB的平分線OC上.三個理由，必須寫全OCB1A2PDE例1

如圖，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.求證:(1)點B在∠ADC的平分線上;(2)BD平分∠ABC.分析：點B在∠ADC的平分線上根據(jù)條件只需證明AB=BC已知∠1=∠2BD平分∠ABC.∠ABD=∠CBDRt△BAD≌Rt△BCD證明：(1)在△ABC中，因為∠1=∠2，所以BA=BC.又BA⊥AD，BC⊥CD，所以點B在∠ADC的平分線上(2)在Rt△BAD和Rt△BCD中，BA=BC,BD=BD, 所以Rt△BAD≌Rt△BCD(斜邊、直角邊).因此∠ABD=∠CBD，從而BD平分∠ABC.1.如圖，OP為∠AOB的平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C，D，則下列結(jié)論錯誤的是(

)A．PC＝PD

B．∠CPO＝∠DOP

C．∠CPO＝∠DPO

D．OC＝ODB2.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，則點D到AB的距離等于(

)A．4

B．3

C．2

D．1C3.已知△ABC內(nèi)一點M，如果點M到兩邊AB，BC的距離相等，那么點M(

)

A．在AC邊的高上B．在AC邊的中線上

C．在∠ABC的平分線上D．在AC邊的垂直平分線上C4.如圖，已知AP，CP分別是△ABC的外角∠DAC，∠ECA的平分線，PM⊥BD，PN⊥BE，垂足分別為M，N，那么PM與PN的大小關系是(

)A．PM>PN

B．PM＝PNC．PM<PN

D．無法確定B5.如圖，已知CE⊥AB于點E，BD⊥AC于點D，BD，CE交于點0，且AO平分∠BAC.求證:OB=OC.證明:因為AO平分∠BAC,CE⊥AB，BD⊥AC所以OE=OD.在△OBE和△OCD中∠EOB=∠DOC,OE=OD，

∠B