2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期高一年級(jí)階段檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)，則（）A.5B.C.10D.2.在中，，若點(diǎn)滿足，以作為基底，則等于（）A.B.C.D.3.已知，與同向的單位向量為的夾角為，則向量在向量方向上的投影向量為（）A.B.C.D.4.窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.如圖2，若正八邊形的邊長為是正八邊形八條邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.B.0C.D.5.若，則（）A.1B.C.D.6.已知，則（）A.B.C.D.7.如圖，三點(diǎn)在半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng)，且是圓外一點(diǎn)，，則的最大值是（）A.5B.8C.10D.128.已知：，則（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分9.下列說法中正確的是（）A.平面向量的一個(gè)基底中，一定都是非零向量B.在平面向量基本定理中，若，則C.若單位向量的夾角為，則在上的投影向量是D.表示同一平面內(nèi)所有向量的基底是唯一的10.已知，則（）A.B.C.D.11.中華人民共和國國旗是五星紅旗，國旗上每個(gè)五角星之所以看上去比較美觀，是因其圖形中隱藏著黃金分割數(shù).連接正五邊形的所有對(duì)角線能夠形成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正五角星，正五角星中每個(gè)等腰三角形都是黃金三角形.黃金三角形分兩種：一種是頂角為的等腰三角形，其底邊與一腰的長度之比為黃金比；一種是頂角為的等腰三角形，其一腰與底邊的長度之比為黃金比.如圖，正五角星中，，記，則（）A.B.C.在上的投影向量為D.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則__________.13.向量滿足，則的最大值為__________.14.記的內(nèi)角，已知，求的取值范圍為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（13分）已知.（1）求；（2）求.16.（15分）已知向量滿足，設(shè)與的夾角為，（1）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求的值；（2）根據(jù)（1）中與的夾角值，求與夾角的余弦.17.（15分）如圖，已知直線分別在直線上，是之間的定點(diǎn)，點(diǎn)到的距離分別為1，.設(shè).（1）用表示邊的長度；（2）若為等腰三角形，求的面積；（3）設(shè)，問：是否存在，使得？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.18.（17分）如圖，是單位圓上的相異兩定點(diǎn)（為圓心），且（為銳角）.點(diǎn)為單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，線段交線段于點(diǎn).（1）求（結(jié)果用表示）；（2）若①求的取值范圍；②設(shè)，求的取值范圍.19.（17分）定義非零向量的“相伴函數(shù)”為，向量稱為函數(shù)的“相伴向量”（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）.記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為.（1）設(shè)，請(qǐng)問函數(shù)是否存在相伴向量，若存在，求出與共線的單位向量；若不存在，請(qǐng)說明理由.（2）已知點(diǎn)滿足：，向量的“相伴函數(shù)”在處取得最大值，求的取值范圍.2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期高一年級(jí)階段檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.【答案】B【詳解】因?yàn)?，所?2.【答案】A【詳解】如圖，因，則，即，解得：.3.【答案】D【詳解】向量在向量方向上的投影向量為.4.【答案】C【詳解】設(shè)，當(dāng)與重合時(shí)，；當(dāng)在線段（除）?線段?線段，線段，線段（除）點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，所以，當(dāng)與重合時(shí)，，所以，以為原點(diǎn)，分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)正八邊形的性質(zhì)可知，則，直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，當(dāng)在線段（除）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，所以，當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，所以，當(dāng)在線段（除）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，所以.綜上所述，的最小值為.5.【答案】A【詳解】由，可得，解得，又由.6.【答案】D【詳解】由兩邊平方得：，而，則，因此，所以.7.【答案】C【詳解】連接，如下圖所示：因?yàn)?，則為圓的一條直徑，故為的中點(diǎn)，所以，所以.當(dāng)且僅當(dāng)共線且同向時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最大值為10.8.【答案】D【詳解】由，則.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分9.【答案】ABC【詳解】選項(xiàng)，作為基底的兩個(gè)向量一定不共線，零向量與任意向量共線，因此一定都是非零向量，故A正確；選項(xiàng)B，，由在同一基底下向量分解的唯一性，得，故B正確；選項(xiàng)C，在方向上的投影向量為，故C正確；選項(xiàng)，只要不共線的兩個(gè)向量都可以作為基底，所以表示同一平面內(nèi)所有向量的基底是不唯一的，故錯(cuò)誤；10.【答案】ACD【詳解】，則，選項(xiàng)正確；選項(xiàng)錯(cuò)誤；，C選項(xiàng)正確；由，有，選項(xiàng)正確.11.【答案】ABD【詳解】因?yàn)?，三角形為黃金三角形，所以，可得，由對(duì)稱性可知，，所以，，可知，所以，所以，即可得，所以，故選項(xiàng)A正確；在三角形中，有余弦定理可得，，故選項(xiàng)B正確；在上的投影向量為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；，，，，，，，具有周期性，所以，故選項(xiàng)D正確.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.【答案】【詳解】，.13.【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，則，則，所以，又因?yàn)?，所以，則可設(shè)，則，又因?yàn)?，所以，故又可設(shè)的坐標(biāo)為，所以，因此，所以最大值為.14.【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，所以，，又因?yàn)?，解得，所以，而單調(diào)遞減，所以的取值范圍為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.【答案】（1）（2）【詳解】（1）解：因?yàn)椋瑒t，所以.（2）解：由（1）可得，因?yàn)?，則，可得，所以.16.【答案】（1）（2）.【詳解】（1）將不等式兩邊同時(shí)平方，得，即因?yàn)?，設(shè)與的夾角為，則恒成立，所以，即，解得.（2）由（1）知，則，，則，則，故與夾角的余弦值為.17.【答案】（1）；（2）；（3）不存在使得【詳解】（1）由題意得，因?yàn)?，所以，故；?）由（1）得，，故，即，又，所以，即，所以；（3）由（1）得，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，顯然與不會(huì)同時(shí)成立，故，不存在使得.18.【答案】（1）（2）①；②【詳解】（1）.（2）①.設(shè).由題意得，則所以.因?yàn)?，則所以，所以最小值是0，最大值是3，則；②設(shè)，則，所以，由得，即，整理得，所以，所以.令.令，，令，，則，即在上單調(diào)遞增，則所以