導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值函數(shù)的極值(1)函數(shù)極值的定義：如圖，函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0.類似地，函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0.我們把a(bǔ)叫做函數(shù)y＝f(x)的_________，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的______；b叫做函數(shù)y＝f(x)的____________，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的________．極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為_(kāi)________，極小值和極大值統(tǒng)稱為_(kāi)_____．

回歸教材極小值點(diǎn)極小值極大值點(diǎn)極大值極值點(diǎn)極值(2)函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值的必要條件和充分條件：一般地，函數(shù)y＝f(x)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)y＝f(x)在這點(diǎn)取極值的____________．可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處取極大(小)值的充分條件是：①____________；②在x＝x0附近的左側(cè)f′(x)>0(<0)，右側(cè)f′(x)<0(>0)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求極值的方法：解方程f′(x)＝0，當(dāng)f′(x0)＝0時(shí)，如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0,那么f(x0)是__________；如果在x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，那么f(x0)是__________．必要條件f′(x0)＝0極大值極小值函數(shù)的最大(小)值(1)函數(shù)最大(小)值的再認(rèn)識(shí)①一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．②若函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)在[a，b]上的__________，f(b)為函數(shù)在[a，b]上的__________；若函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上___________，則f(a)為函數(shù)在[a，b]上的最大值，f(b)為函數(shù)在[a，b]上的最小值．最小值最大值單調(diào)遞減

(2)設(shè)函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下：①求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．三次函數(shù)的圖象、單調(diào)性、極值設(shè)三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，則f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，記Δ＝4b2－12ac＝4(b2－3ac)，當(dāng)Δ>0時(shí)，設(shè)x1，x2是方程f′(x)＝0的根，且x1<x2.(1)a>0的情況

Δ>0Δ≤0圖象

單調(diào)性在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上單調(diào)遞增；在(x1，x2)上單調(diào)遞減在R上是增函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)___________20(2)a<0的情況

Δ>0Δ≤0圖象

單調(diào)性在(x1，x2)上單調(diào)遞增；在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上單調(diào)遞減在R上是減函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)___________20常用結(jié)論(1)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值的必要不充分條件．(2)求最值時(shí)，應(yīng)注意極值點(diǎn)和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時(shí)，需要分類討論，不可想當(dāng)然認(rèn)為極值就是最值．(3)若函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則該極值點(diǎn)一定是函數(shù)的最值點(diǎn)．(4)函數(shù)最值是“整體”概念，而函數(shù)極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒(méi)有必然的大小關(guān)系．(5)極值有可能是最值，但最值只要不在區(qū)間端點(diǎn)處取得，其必定是極值．1．判斷下面結(jié)論是否正確．(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)對(duì)可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是x0為極值點(diǎn)的充要條件．

夯實(shí)雙基答案(1)×

(2)函數(shù)的極大值不一定比極小值大．答案(2)√

(3)函數(shù)的最大值不一定是極大值，函數(shù)的最小值也不一定是極小值．答案(3)√

(4)在定義域上單調(diào)的函數(shù)一定沒(méi)有極值．答案(4)√

(5)三次函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c最多有兩個(gè)極值點(diǎn)．答案(5)√

(6)函數(shù)f(x)＝xsinx有無(wú)數(shù)個(gè)極值點(diǎn)．答案(6)√2．(課本習(xí)題改編)如圖是f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，則f(x)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(

)A．1

B．2C．3 D．4√解析由題意知只有在x＝－1處f′(－1)＝0，且其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)為左負(fù)右正．3．已知函數(shù)f(x)＝x(x－c)2在x＝2處有極小值，則c的值為(

)A．2 B．4C．6 D．2或6 √解析由題意，f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)(3x－c)，則f′(2)＝(2－c)(6－c)＝0，所以c＝2或c＝6.4．已知函數(shù)f(x)＝

x3－mx2＋mx＋9在R上無(wú)極值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______．[0，1]解析函數(shù)f(x)＝

x3－mx2＋mx＋9在R上無(wú)極值?f′(x)＝x2－2mx＋m在R上無(wú)變號(hào)零點(diǎn)?Δ＝4m2－4m≤0?0≤m≤1.5．若函數(shù)f(x)＝

x3－4x＋m在[0，3]上的最大值為4，則m＝________．4解析f′(x)＝x2－4，當(dāng)x∈[0，2)時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x∈(2，3]時(shí)，f′(x)>0，所以f(x)在[0，2)上單調(diào)遞減，在(2，3]上單調(diào)遞增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.題型一

函數(shù)的極值問(wèn)題(微專題)微專題1根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值

【多選題】(2025·遼寧錦州開(kāi)學(xué)考試)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，它的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是(

)A．f(－2)>f(－1)B．x＝1是f(x)的極小值點(diǎn)C．函數(shù)f(x)在(－1，1)上有極大值D．x＝－3是f(x)的極大值點(diǎn)√√【解析】由y＝f′(x)的圖象可知，當(dāng)x∈(－∞，－3)時(shí)，f′(x)>0，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(－3，－1)時(shí)，f′(x)<0，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，因此有f(－2)>f(－1)，x＝－3是f(x)的極大值點(diǎn)，所以A、D正確；當(dāng)x∈(－1，1)或x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，因此函數(shù)f(x)在(－1，1)上沒(méi)有極大值，且x＝1不是f(x)的極小值點(diǎn)，所以B、C不正確．故選AD.狀元筆記

由導(dǎo)函數(shù)圖象判斷函數(shù)y＝f(x)的極值，要抓住兩點(diǎn)：(1)由y＝f′(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)，可得函數(shù)y＝f(x)可能的極值點(diǎn)；(2)由導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的值的正負(fù)，從而可得函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性，兩者結(jié)合可得極值點(diǎn)．√思考題1

【多選題】設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)且函數(shù)y＝(1－x)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是(

)A．函數(shù)f(x)有極大值f(－2)B．函數(shù)f(x)有極大值f(2)C．函數(shù)f(x)有極小值f(1)D．函數(shù)f(x)有極小值f(2)√【解析】由圖可知，當(dāng)x∈(－∞，－2)時(shí)，1－x>0，且(1－x)f′(x)>0，則f′(x)>0，f(x)在區(qū)間(－∞，－2)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(－2，1)時(shí)，1－x>0，且(1－x)f′(x)<0，則f′(x)<0，f(x)在區(qū)間(－2，1)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(1，2)時(shí)，1－x<0，且(1－x)f′(x)>0，則f′(x)<0，f(x)在區(qū)間(1，2)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，1－x<0，且(1－x)f′(x)<0，則f′(x)>0，f(x)在區(qū)間(2，＋∞)單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)的極大值為f(－2)，函數(shù)f(x)的極小值為f(2)．故選AD.微專題2求函數(shù)的極值

已知函數(shù)f(x)＝(x－2)(ex－ax)，當(dāng)a>0時(shí)，討論f(x)的極值情況．【答案】見(jiàn)解析【解析】∵f′(x)＝(ex－ax)＋(x－2)(ex－a)＝(x－1)·(ex－2a)，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(2a)(a>0)．①當(dāng)a＝

時(shí)，f′(x)＝(x－1)(ex－e)≥0但不恒為0，∴f(x)在R上是增函數(shù)，故f(x)無(wú)極值．x(－∞，ln(2a))ln(2a)(ln(2a)，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋(x)

極大值

極小值

故f(x)有極大值f(ln(2a))＝－a[ln(2a)－2]2，極小值f(1)＝a－e.x(－∞，1)1(1，ln(2a))ln(2a)(ln(2a)，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

極大值

極小值

故f(x)有極大值f(1)＝a－e，極小值f(ln(2a))＝－a[ln(2a)－2]2.狀元筆記求函數(shù)極值的步驟(1)確定函數(shù)的定義域．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用方程f′(x)＝0的根和不可導(dǎo)點(diǎn)處x的值順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小開(kāi)區(qū)間，并形成表格．(4)由f′(x)＝0的根左右的符號(hào)以及f′(x)在不可導(dǎo)點(diǎn)左右的符號(hào)來(lái)判斷f(x)在這個(gè)根或不可導(dǎo)點(diǎn)處取極值的情況，此步驟不可缺少．思考題2

(2025·河南普通高考適應(yīng)性測(cè)試)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋x2＋ax＋2在點(diǎn)(2，f(2))處的切線與直線2x＋3y＝0垂直．(1)求a；【答案】(1)－3

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值．【答案】(2)見(jiàn)解析【解析】(2)由a＝－3，知f(x)＝lnx＋x2－3x＋2，極小值f(1)＝ln1＋12－3×1＋2＝0.微專題3已知極值(點(diǎn))求參數(shù)(1)(2025·黑龍江大慶市模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極小值10，則a＋b＝(

)A．－7

B．0C．－7或0 D．－15或6√【解析】由函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2有f′(x)＝3x2＋2ax＋b.函數(shù)f(x)在x＝1處有極小值10.顯然滿足函數(shù)f(x)在x＝1處有極小值10.所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，不滿足函數(shù)f(x)在x＝1處有極小值10.所以a＋b＝4－11＝－7.故選A.(2)【多選題】(2023·新高考Ⅱ卷)若函數(shù)f(x)＝alnx＋(a≠0)既有極大值也有極小值，則(

)A．bc>0 B．a(chǎn)b>0C．b2＋8ac>0 D．a(chǎn)c<0√√√根x1，x2，即ax2－bx－2c＝0有兩個(gè)不相等的正根x1，x2，∴Δ＝b2＋8ac>0，x1＋x2＝

>0，x1x2＝

>0，∴ab>0，ac<0，則bc<0，選BCD.狀元筆記由函數(shù)極值(個(gè)數(shù))求參數(shù)的值或范圍討論極值點(diǎn)有無(wú)(個(gè)數(shù))問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為討論f′(x)＝0根的有無(wú)(個(gè)數(shù))．然后由已知條件列出方程或不等式求出參數(shù)的值或范圍，特別注意：極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0，而導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，要檢驗(yàn)極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號(hào)．已知函數(shù)極值(個(gè)數(shù))，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時(shí)，注意以下兩點(diǎn)：(1)根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解．(2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證充分性．√(2)(2025·八省聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝alnx＋

－x.①設(shè)a＝1，b＝－2，求曲線y＝f(x)的斜率為2的切線方程；【答案】①2x－y－5＝0

＝0?(x－1)(3x＋2)＝0，解得x＝1(負(fù)值舍去)，又f(1)＝－3，則切點(diǎn)為(1，－3)，結(jié)合切線斜率為2，則切線方程為y＋3＝2(x－1)，即2x－y－5＝0.②若x＝1是f(x)的極小值點(diǎn)，求b的取值范圍．【答案】②(1，＋∞)因?yàn)閤＝1是f(x)的極小值點(diǎn)，則f′(1)＝－1＋a－b＝0?a＝b＋1，ⅰ.當(dāng)b≤0時(shí)，x－b>0，令f′(x)＝0?x＝1，當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，此時(shí)f(x)在x＝1處取得極大值，舍去．ⅱ.當(dāng)b＝1時(shí)，f′(x)＝－

≤0但不恒為零，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，f(x)不存在極值，舍去．ⅲ.當(dāng)0<b<1時(shí)，若0<x<b，則f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；若b<x<1，則f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；若x>1，則f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，此時(shí)f(x)在x＝1處取得極大值，舍去．ⅳ.當(dāng)b>1時(shí)，若0<x<1，則f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；若1<x<b，則f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；若x>b，則f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，此時(shí)f(x)在x＝1處取得極小值．綜上，b的取值范圍為(1，＋∞)．題型二

函數(shù)的最值問(wèn)題(微專題)微專題1求函數(shù)的最值(2025·吉林長(zhǎng)春模擬)已知函數(shù)f(x)＝e2x＋ex－x.(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；【答案】(1)y＝2x＋2

【解析】(1)因?yàn)閒(x)＝e2x＋ex－x，則f′(x)＝2e2x＋ex－1，可得f(0)＝2，f′(0)＝2，即切點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)，切線斜率為k＝2，所以切線方程為y＝2x＋2.(2)當(dāng)x∈[－1，0]時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值與最小值．【解析】(2)由(1)可得f′(x)＝2e2x＋ex－1＝(ex＋1)(2ex－1)，當(dāng)x∈[－1，0]時(shí)，ex＋1>0，令f′(x)>0，則2ex－1>0，解得－ln2<x≤0；令f′(x)<0，則2ex－1<0，解得－1≤x<－ln2.所以f(x)在[－1，－ln2)內(nèi)單調(diào)遞減，在(－ln2，0]內(nèi)單調(diào)遞增，狀元筆記

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法(1)當(dāng)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)只有唯一的極小(大)值時(shí)，這個(gè)極小(大)值就是最小(大)值，這種情況下可以直接寫(xiě)出最值．(2)當(dāng)函數(shù)在一個(gè)閉區(qū)間內(nèi)的極值有多個(gè)時(shí)，就要把這些極值和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較，比較大小的基本方法之一就是作差法．思考題4已知函數(shù)f(x)＝lnx－x2.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)f(x)在(0，a](a>0)上的最大值．【答案】(2)見(jiàn)解析微專題2已知函數(shù)的最值求參數(shù)(1)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋(a∈R)的最小值為1，則a＝(

)√當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0在(0，＋∞)內(nèi)恒成立，所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)，此時(shí)f(x)無(wú)最小值，當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)>0，得x>a，由f′(x)<0，得0<x<a，∴函數(shù)f(x)在(0，a)單調(diào)遞減，在(a，＋∞)單調(diào)遞增，故當(dāng)x＝a時(shí)，f(x)取最小值，即f(x)min＝f(a)＝lna＋1＝1，故a＝1.故選D.√內(nèi)存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A．[－5，0) B．(－5，0)C．[－3，0) D．(－3，0)【解析】由題意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，當(dāng)x<－2或x>0時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)－2<x<0時(shí)，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－2，0)上單調(diào)遞減，解得a∈[－3，0)．故選C.狀元筆記(1)由于參數(shù)的取值范圍不同會(huì)導(dǎo)致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性的變化，從而導(dǎo)致最值的變化，故含參數(shù)時(shí)，需注意是否分類討論．(2)已知函數(shù)最值求參數(shù)，可先求出函數(shù)在給定區(qū)間上的極值及函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，通過(guò)比較它們的大小，判斷出哪個(gè)是最大值，哪個(gè)是最小值，結(jié)合已知求出參數(shù)．思考題5

(1)已知函數(shù)f(x)＝ax＋

＋(a－1)lnx(a∈R)的最小值為2，則實(shí)數(shù)a的值是________．1或e√(2)已知函數(shù)f(x)＝3x2－2lnx＋(a－1)x＋3在區(qū)間(1，2)上有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)令h(x)＝6x2＋(a－1)x－2，h(0)＝－2<0，由f(x)＝3x2－2lnx＋(a－1)x＋3在區(qū)間(1，2)上有最小值，則h(x)在區(qū)間(1，2)上有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)且在零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值左負(fù)右正，本課總結(jié)1．函數(shù)的最值是“整體”概念，而函數(shù)的極值是“局部”概念．2．對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0處取得極值的必要不充分條件，因?yàn)榍蠛瘮?shù)的極值，還需判斷x0兩側(cè)的f′(x)的符號(hào)是否相反．3．求f(x)的最值應(yīng)注意是在閉區(qū)間上研究，還是在開(kāi)區(qū)間上研究，閉區(qū)間上的最值問(wèn)題只需比較端點(diǎn)函數(shù)值與極值即可，開(kāi)區(qū)間上的最值問(wèn)題，要注意f(x)的有界性.一、生活中的優(yōu)化問(wèn)題1．(2025·江蘇蘇州模擬預(yù)測(cè))生物學(xué)中，我們常用Sigmoid型曲線描述當(dāng)某生態(tài)系統(tǒng)中存在某一物種的天敵且食物、空間等資源也不充足時(shí)，該物種種群數(shù)量隨時(shí)間的變化．現(xiàn)已知定義在R上的函數(shù)

(a≠0)，記f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，且f′(x)＝f(x)[1－f(x)]．(1)求a；答案(1)1

(2)若y＝K(K>0)是曲線f(x)的漸近線，則稱K為該生態(tài)系統(tǒng)的K值．某魚(yú)塘的某種魚(yú)的種群數(shù)量變化滿足Sigmoid模型，其K值為K.通過(guò)計(jì)算求該魚(yú)塘中該種魚(yú)種群數(shù)量為多少時(shí)，該魚(yú)塘可持續(xù)獲得最大捕撈量(即f(x)瞬時(shí)變化率最大)．要使函數(shù)f(x)瞬時(shí)變化率最大，令ex＝t>0，則－t2＋t＝0，解得t＝0(舍)或t＝1，即x＝0.當(dāng)x變化時(shí)，g′(x)，g(x)的變化情況如表：x(－∞，0)(0，＋∞)g′(x)＋－g(x)

因此可得x＝0是g(x)的極大值點(diǎn)，因此當(dāng)x＝0時(shí)，該魚(yú)塘可以持續(xù)獲得最大捕撈量，且2．如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒．點(diǎn)E，F(xiàn)在邊AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)．設(shè)AE＝FB＝xcm.某廠商要求包裝盒的容積V(單位：cm3)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值．令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.當(dāng)0<x<20時(shí)，V′(x)>0，V(x)單調(diào)遞增；當(dāng)20<x<30時(shí)，V′(x)<0，V(x)單調(diào)遞減．所以V(x)在x＝20時(shí)取極大值，亦即最大值．二、重溫高考1．(2023·全國(guó)乙卷，文)函數(shù)f(x)＝x3＋ax＋2存在3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是(

)A．(－∞，－2)

B．(－∞，－3)C．(－4，－1) D．(－3，0)√解析f(x)＝x3＋ax＋2，則f′(x)＝3x2＋a，若f(x)要存在3個(gè)零點(diǎn)，則f(x)要存在極大值和極小值，則a<0，2．(2022·全國(guó)甲卷，理)當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)f(x)＝alnx＋

取得最大值－2，則f′(2)＝(

)√解析由題意知，f(1)＝aln1＋b＝b＝－2.求導(dǎo)得f′(x)＝

(x>0)，因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，所以易得f′(1)＝a－b＝0，所以a＝－2，3．(2021·全國(guó)乙卷)設(shè)a≠0，若x＝a為函數(shù)f(x)＝a(x－a)2(x－b)的極大值點(diǎn)，則(

)A．a(chǎn)<b B．a(chǎn)>bC．a(chǎn)b<a2 D．a(chǎn)b>a2√解析當(dāng)a>0時(shí)，根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖1所示，觀察可知b>a.當(dāng)a<0時(shí)，根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖2所示，觀察可知a>b.綜上，可知必有ab>a2成立．4．(2022·全國(guó)乙卷，理)已知x＝x1和x＝x2分別是函數(shù)f(x)＝2ax－ex2(a>0且a≠1)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若x1<x2，則a的取值范圍是______________．解析由f(x)＝2ax－ex2，得f′(x)＝2axlna－2ex.又x1<x2，所以易知當(dāng)x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(x1，x2)時(shí)，f′(x)>0.若a>1，則當(dāng)x→＋∞時(shí)，f′(x)→＋∞，不符合題意，所以0<a<1.令f′(x)＝0，得(lna)2.因?yàn)閒(x)有極小值點(diǎn)x＝x1和極大值點(diǎn)x＝x2，故f′(x)＝0有兩個(gè)不同的根x＝x1，x＝x2，故g(x)的圖象與直線y＝e有兩個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)5．(2021·新高考Ⅰ卷)函數(shù)f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值為_(kāi)_______．1解析函數(shù)f(x)＝|2x－1|－2lnx的定義域?yàn)?0，＋∞)．當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)>0，所以f(x)min＝f(1)＝2－1－2ln1＝1；6．(2023·全國(guó)乙卷，理)已知函數(shù)f(x)＝

ln(1＋x)．(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；答案(1)xln2＋y－ln2＝0

據(jù)此可得f(1)＝0，f′(1)＝－ln2，曲線在(1，f(1))處的切線方程為y－0＝－ln2(x－1)，即xln2＋y－ln2＝0.(2)是否存在a，b，使得曲線y＝

關(guān)于直線x＝b對(duì)稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說(shuō)明理由；(3)若f(x)在(0，＋∞)存在極值，求a的取值范圍．①當(dāng)a≤0時(shí)，g′(x)>0，故g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，g(x)>g(0)＝0，不符合題意；三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)三次函數(shù)的圖象、單調(diào)性與極值f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，Δ＝4(b2－3ac)．三次函數(shù)的零點(diǎn)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，x1，x2為f′(x)的極值點(diǎn)，且x1<x2.(1)1個(gè)零點(diǎn)：(2)2個(gè)零點(diǎn)：

(3)3個(gè)零點(diǎn)：三次函數(shù)的對(duì)稱性(1)三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)圖象的對(duì)稱中心為(2)若[f′(x0)]′＝0，則(x0，f(x0))為函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱中心．(3)三次函數(shù)y＝f(x)圖象的對(duì)稱中心為(a，b)?函數(shù)y＝f(x＋a)－b為奇函數(shù)?f(a＋x)＋f(a－x)＝2b.三次函數(shù)的切線條數(shù)過(guò)三次函數(shù)y＝f(x)圖象的對(duì)稱中心作切線l，則坐標(biāo)平面被切線和函數(shù)圖象分割為四個(gè)區(qū)域，如圖．

(1)過(guò)Ⅰ，Ⅳ內(nèi)的點(diǎn)作f(x)圖象的切線，有3條．(2)過(guò)Ⅱ，Ⅲ內(nèi)的點(diǎn)作f(x)圖象的切線，有1條．(3)過(guò)切線l上的點(diǎn)(除掉對(duì)稱中心)作f(x)圖象的切線，有2條．√區(qū)間

(m－1，m＋4)上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值可以是(

)A．－4

B．－3C．3 D．4√【解析】由題意，f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)，令f′(x)>0，解得－1<x<2，令f′(x)<0，解得x<－1或x>2，所以f(x)在(－1，2)上單調(diào)遞√實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)A．(－∞，－5)∪(－5，－4] B．(－∞，－4]C．(－∞，－2] D．(－5，－4)【解析】f′(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m，對(duì)于方程f′(x)＝0，Δ＝(m－2)2－4(5－m)>0?m∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)，設(shè)方程f′(x)＝0的兩根為x1，x2，由韋達(dá)定理，得x1＋x2＝2－m，x1x2＝5－m.結(jié)合m∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)，可得m∈(－5，－4)．故選D.

(3)【多選題】對(duì)于三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，給出定義：f′(x)是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)，f″(x)是函數(shù)f′(x)的導(dǎo)數(shù)，若方程f″(x)＝0有實(shí)數(shù)解x0，則稱(x0，f(x0))為函數(shù)y＝f(x)的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，任何一個(gè)三次函數(shù)的圖象都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心．若函數(shù)f(x)＝

，則下列說(shuō)法正確的是(

)√√√－3)(x＋2)，令f′(x)>0，解得x<－2或x>3，令f′(x)<0，解得－2<x<3，所以函數(shù)f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，在(－2，3)上單調(diào)遞減，在(3，＋∞)單調(diào)遞增，當(dāng)x＝－2時(shí)，f(x)取得極大值，極大值為f(－2)＝

，所以A正確；由極小值f(3)＝－<0，且當(dāng)x→－∞時(shí)，f(x)→－∞，當(dāng)x→＋∞時(shí)，f(x)→＋∞，所以函數(shù)f(x)有3個(gè)零點(diǎn)，所以B錯(cuò)誤；(4)已知曲線f(x)＝ax3＋bx2－3x(a，b∈R)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y＋2＝0.若經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2，m)可以作出曲線y＝f(x)的三條切線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______．(－6，2)【解析】∵f(x)＝ax3＋bx2－3x，∴f′(x)＝3ax2＋2bx－3，∴函數(shù)的解析式為f(x)＝x3－3x，∴f′(x)＝3x2－3.設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的切線與曲線相切于點(diǎn)(x0，y0)，則y0＝x03－3x0，f′(x0)＝3x02－3，故切線的斜率為3x02－3，∵過(guò)點(diǎn)M(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，∴方程2x03－6x02＋6＋m＝0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，設(shè)g(x)＝2x3－6x2＋6＋m，∴函數(shù)g(x)＝2x3－6x2＋6＋m有三個(gè)零點(diǎn)．由于g′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∴當(dāng)x<0時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<2時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>2時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增．∴當(dāng)x＝0時(shí)，g(x)有極大值，且極大值為g(0)＝m＋6；當(dāng)x＝2時(shí)，g(x)有極小值，且極小值為g(2)＝m－2.且當(dāng)x→－∞時(shí)，g(x)→－∞，當(dāng)x→＋∞時(shí)，g(x)→＋∞.∵函數(shù)g(x)有3個(gè)零點(diǎn)，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－6，2)．

思考題

(1)三次函數(shù)f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，則m的取值范圍是(

)A．m<0

B．m<1C．m≤0 D．m≤1√【解析】因?yàn)閒(x)是三次函數(shù)，所以m≠0，又f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，所以f′(x)＝3mx2－1≤0但不恒為0在(－∞，＋∞)上恒成立，所以

解得m<0.故選A.√(2)【多選題】(2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝(x－1)2(x－4)，則(

)A．x＝3是f(x)的極小值點(diǎn)B．當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)<f(x2)C．當(dāng)1<x<2時(shí)，－4<f(2x－1)<0D．當(dāng)－1<x<0時(shí)，f(2－x)>f(x)√√【解析】因?yàn)閒(x)＝(x－1)2(x－4)，所以f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝3，當(dāng)x<1或x>3時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)1<x<3時(shí)，f′(x)<0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，1)，(3，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，3)，故x＝1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，x＝3是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，所以A正確．當(dāng)0<x<1時(shí)，x－x2＝x(1－x)>0，即0<x2<x<1，又函數(shù)f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增