渝東九校聯(lián)盟高2027屆(高二上)期中聯(lián)合性診斷測試

數(shù)學(xué)試題

考試時間：120分鐘總分：150分預(yù)測難度系數(shù)：0.43

命審題學(xué)校：梁平一中涪陵高中長壽一中命審題人：溫學(xué)靖劉小波陳艷勤

注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、考號等信息填寫在答題卡

上。2.請將答案正確填寫在答題卡上。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.直線√3x+y+1=0的傾斜角為()

A.B.C.D.

2.已知直線l?:(m+2)x+(m-1)y-5=0與l?:(m-1)x+3y-2=0垂直，則實(shí)數(shù)

m的值為()

A.-5B.1或-5C.1D.-1或5

3.關(guān)于空間向量，下列四個結(jié)論正確的是()

A.共線的單位向量都相等B.不相等的兩個空間向量的模必不相等

C.相反向量指方向相反的兩個向量D.任意兩個空間向量一定共面

4.若雙曲線C:的離心率為√3,則C的漸近線方程為()

A.√2x±y=0B.x±√2y=0C.√3x±y=0D.x±√3y=0

5.圓(x-1)2+(y-1)2=2關(guān)于直線x-y+2=0對稱的圓的方程為()

A.(x-1)2+(y-3)2=2B.(x+1)2+(y+3)2=2

C.(x-1)2+(y+3)2=2D.(x+1)2+(y-3)2=2

6.如圖，在平行六面體ABCD-A?B?C?D?中，

AB=AD=1,AA?=2,∠ADC=∠ADD?=120°,

∠CDD?=60°,則|AC?|=()

試卷第1頁，共4頁

A.1B.3C.√11D.√7

7.已知點(diǎn)M(-3,0),點(diǎn)P是圓N:x2-6x+y2-55=0上一動點(diǎn)，線段MP的垂直平

分線交NP于點(diǎn)Q,則動點(diǎn)Q的軌跡方程為()

A.B.C.D

8.公元前4世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家梅內(nèi)克繆斯(Menaechmus)為了解決倍立方問題而

發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線.他用垂直于母線的平面去截取頂角(圓錐底面圓的一條直徑的兩

個端點(diǎn)與頂點(diǎn)連線所形成的等腰三角形的頂角)分別是銳角、直角、鈍角的三種圓

錐，得到三種曲線，梅內(nèi)克繆斯分別稱之為銳角、直角和鈍角圓錐曲線，今稱橢圓、

拋物線和雙曲線.如圖，四面體P-ABC中，AP、AB、AC兩兩垂直，AP|=|AC|,

AM=MC=CN,點(diǎn)O為底面ABC內(nèi)的一個動點(diǎn).

(1)若∠OPM=∠APM,則點(diǎn)O的軌跡是橢圓的一部分；

(2)若∠OPC=∠APC,則點(diǎn)O的軌跡是拋物線的一部分；

(3)若∠OPN=∠APN,則點(diǎn)O的軌跡是雙曲線的一部分.

以上幾個命題中，真命題的個數(shù)為()

A.0個B.1個C.2個D.3個

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.已知直線1:x-y+2=0,則下列說法正確的是()

A.點(diǎn)P(2,4)在直線1上B.I在y軸上的截距為-2

C.1與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2D.直線1到2x-2y+1=0的距離為

10.圓O?:x2+y2=1和圓O?:x2+y2+2x-2y=0的交點(diǎn)為A,B,則下列說法正

確的是()

A.公共弦AB所在的直線方程為2x-2y+1=0

試卷第2頁，共4頁

B.線段AB中垂線方程為x+y=0

C.公共弦AB的長為.

D.P為圓O?上一動點(diǎn)，則P到直線AB距離的最大值為

11.如圖，在正三棱柱ABC-AB?C中，AB=2√2,BB?=2,點(diǎn)P為正三棱柱表面上異

于點(diǎn)B的點(diǎn)，則()

A.存在點(diǎn)P,使得PB?⊥BC?

B.直線PB?與平面BB?C?C所成的最大角為45°

C.若P,A,B?,C?不共面，則四面體PAB?C的體積的最大值為

D.若PB?=2√2,則點(diǎn)P的軌跡的長為

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.橢圓的長軸長為

13.已知正方體ABCD-A?B?CD的棱長為3,M是A?D的三等分點(diǎn)(靠近D點(diǎn)),

則AB·CM=.

14.雙曲線(的右焦點(diǎn)和虛軸上的一個端點(diǎn)分別為F,A,點(diǎn)P

為雙曲線C左支上一點(diǎn)，若△APF周長的最小值為4b,則雙曲線C的離心率為

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.已知兩點(diǎn)A(-4,7),B(6,-5)和直線1:6x+5y=0的方程.

(1)判斷直線AB與直線l的位置關(guān)系；

(2)求線段AB的垂直平分線的方程.

16.已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，

PA⊥底面ABCD,且PA=2,M是棱PD的中點(diǎn)，以A為坐標(biāo)原

點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

(1)證明：直線AM⊥平面PCD;

(2)求直線BM與平面PCB所成角的正弦值.

試卷第3頁，共4頁

17.已知直線I:x+y+5=0,該直線與圓C:x2+y2+4x-2y+a=0(a∈R)交于A,B兩點(diǎn)，

且|AB|=2.

(1)求a的值；

(2)直線n:(m+1)x+(m+2)y-3m-5=0,

(i)證明直線n過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(ii)求過點(diǎn)P且與圓C相切的直線方程.

18.如圖1,在△ABC中，AC⊥BC,AC=BC=2,M,N分別是BA,BC邊上的

動點(diǎn)(不同于端點(diǎn)),且MN//AC,將△BMN沿MN折起到△PMN的位置，得到四

棱錐P-ACNM,如圖2所示，點(diǎn)Ω是線段AC的中點(diǎn).

圖1圖2

(1)求證：MN⊥PC;

(2)若PN=2NC,當(dāng)四棱錐P-ACNM的體積取得最大值時，求平面PMC與平面PMQ

的夾角的余弦值；

(3)若AM⊥PQ,求直線PM與平面ACM所成角的正弦值的取值范圍.

19.已知橢圓C:1的離心率,左、右焦點(diǎn)分別為F,F?,雙曲線

x2-y2=1的焦點(diǎn)F恰好是該橢圓的一個頂點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知圓的切線1與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)，那么以AB為直徑的

圓是否通過定點(diǎn)?若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.

試卷第4頁，共4頁

渝東九校聯(lián)盟高2027屆(高二上)期中聯(lián)合性診斷測試

數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

題號12345678910

答案CBDADCBDACABD

題號11

答案ACD

12.413.-914.√5

參考答案：

8.D

【分析】根據(jù)梅內(nèi)克繆斯理論，求出圓錐頂角θ為銳角，直角還是鈍角，進(jìn)而判斷軌跡類型

即可.

【詳解】對于(1),∵AP、AB、AC兩兩垂直，AB∩AC=A,AB,ACc平面ABC,

∴PA⊥平面ABC,

∵∠OPM=∠APM,∴O點(diǎn)在以PM為軸的圓錐面上，

|AP=|AC,AM=MC=CN,

設(shè)圓錐頂角為θ,

所以頂角θ為銳角，即點(diǎn)O的軌跡是橢圓的一部分，故(1)正確；

對于(2),當(dāng)∠OPC=∠APC時，O點(diǎn)在以PC為軸的圓錐面上，

∵|AP=|AC,tan∠APC=1,故。

此時圓錐頂角為直角，

所以O(shè)的軌跡是拋物線的一部分，故(2)正確；

對于(3),當(dāng)∠OPN=∠APN時，O點(diǎn)在以PN為軸的圓錐面上，

∵AP=|AC,AM=MC=CN,

所以頂角θ為鈍角，即點(diǎn)O的軌跡是雙曲線的一部分，故(3)正確；

綜上，真命題的個3.

故選：D.

11.ACD

【詳解】對于A選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)P為BC中點(diǎn)時，

PB?⊥BC?,故A正確；

對于B選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)A時，∠A?B?C?=60°為直線PB?與平面BB?C?C所成角，故B錯

誤；

對于C選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)A?(或棱BC上)時，點(diǎn)P到平面AB?C的距離最遠(yuǎn)，

此時四面體PAB?C的體積最大，以點(diǎn)A?為例，此時

,故C正確；對于D

選項(xiàng)，若PB?=2√2,如圖，

在棱BC上取點(diǎn)D,使BD=1,在棱AB上取點(diǎn)E使BE=1,

在棱A?C?上取中點(diǎn)H,則B?H=√6,r=√(2√2)2-(√6)2=√2,

則點(diǎn)P的軌跡由圓弧A?E,C?D,DE,A?C構(gòu)成，且其所在圓的半徑依次為A?B?=2√2,

B?C?=2√2,BD=2,HC?=√2,圓心角依次為45°,45°,60°,180°,

圓弧A?E,C?D,DE,A?C?的長分別,故點(diǎn)P的軌跡的長為

故D正確；

故選：ACD.

14.√5

【分析】由題意求得A,F的坐標(biāo)，設(shè)出F',運(yùn)用雙曲線的定義可得P|F|=|PF|+2a,則

△APF的周長為|PA|+|PF|+|AF|=|PA+|PF'|+2a+|AF|,運(yùn)用三點(diǎn)共線取得最小值，可得

b=2a,由a,b,c的關(guān)系，結(jié)合離心率公式，計算即可得到所求值.

【詳解】由題意可得A(0,b),F(c,0),設(shè)F'(-c,0),

由雙曲線的定義可得|PF|-|PF'|=2a,

|PF|=|PF'|+2a,

|AF=AF'|=√b2+c2,

則△APF的周長為|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PF'|+2a+|AF'|≥2|AF'|+2a,

當(dāng)且僅當(dāng)A,P,F'共線，取得最小值，且為2a+2√b2+c2,

由題意可得4b=2a+2√b2+c2,即b=2a,c=√a2+b2=√sa,

則

故答案為：√5.

15.解：(1(2分)

故直線AB的方程為：,即6x+5y+11=0(4分，不求出直線方

程只利用斜率相等且說明A/B兩點(diǎn)不在1上也同樣給分)

故直線AB與直線l平行；(6分)

(2)線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)(8分)

易求得AB中垂線斜率(10分)

故中垂線方程為

,即5x-6y+1=0(13分)

16.(1)由題A(0,0,0),M(1,0,1),P(0,0,2),C(2,2,0),D(2,0,0),B(0,2,0)

∴

AM=(1,0,1),PC=(2,2,-2),PD=(2,0,-2)(2分)

設(shè)平面PCD法向量n?=(x,y,z),

,令x=1,則y=0,z=1,:.n?=(1,0,1)

(4分)

∴AMI/n,故直線AM⊥平面PCD(7分)(不用空間向量，利用傳統(tǒng)證明方式證明

同樣給分)

(2)由題BM=(1,-2,1),PB=(0,2,-2)(9分)

設(shè)BM與平面PCB夾角為θ,設(shè)平面PBC方向量n?=(x,y,z)

,令y=1,則x=0,z=1,.n?=(0,1,1)

(12分)

故BM與平面PCB夾角正弦值為·

(15分)

17.(1)C:x2+y2+4x-2y+a=0(a∈R)的標(biāo)準(zhǔn)方程為C:(x+2)2+(y-1)2=5-a(a∈R),

故圓心為(-2,1),(1分)

,故|AB|=2√2-(2√2)2=2

∴r=3,(4分)

∴5-a=r2=9,故a=-4,(5分)

(2)直線方程可化為m(x+y-3)+x+2y-5=0(6分)

(8分)

∴直線過定點(diǎn)P(1,2)(9分，考慮到學(xué)生實(shí)際情況，求解的過程可認(rèn)為是證明的過

程)

(3)C:(x+2)2+(y-1)2=9,

由于P(1,2)在圓外，故當(dāng)切線斜率不存在時，方程為x=1,滿足題意，(10分)

當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)其方程為：y=k(x-1)+2,

,解得

故方程為,(13分)

綜上所述切線方程為：或x=1(15分)(只要答題卡上有兩條直線就可以

給滿分，如果沒有x=1這條直線扣2分)

18.(1)在△ABC中，AC⊥BC,MN//AC,所以MN⊥BC,

所以在四棱錐P-ACNM中，MN⊥PN,MN⊥NC,

又PNoNC=N,PN,NCc平面PNC,所以MN⊥平面PNC,

又PCc平面PNC,所以MN⊥PC.(4分)

(2)當(dāng)四棱錐P-ACNM的體積取得最大值時，平面PMN⊥平面ACNM.

又平面PMN∩平面ACNM=MN,MN⊥PN,PNc平面PMN,

所以PN⊥平面ACNM,

故以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，NM,NC,NP所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐

標(biāo)系，

如圖所示，

則N(0,0,0),所以!

,

設(shè)平面PMC的一個法向量為m?=(x?,y,z),

,令z?=1,解得x?=1,y?=2,

所以平面PMC的一個法向量m?=(1,2,1).(6分)

設(shè)平面PMQ的一個法向量為m?=(x?,y?,z?),

所

令y?=1,解得x?=z?=2,所以平面PMQ的一個法向量m?=(2,1,2).(8分)

設(shè)平面PMC與平面PMQ的夾角為θ,

即平面PMC與平面PMQ的夾角的余弦值為.(10分)

(3)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA和CN分別為x,V軸，過C作平面ACNM的垂線為z

軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)P(0,s,u)(u>0),N(0,t,0)(0<t<2),Q(-1,0,0),

A(-2,0,0),M(t-2,t,0),

AM=(t,t,0),PQ=(-1,-s,-u),

又AM⊥PQ,所以AM·PQ=-t-st=0,解得s=-1,(12分)

則P(0,-1,u),則PM=(t-2,t+1,