§2成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性

2.1相關(guān)系數(shù)

2.2成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性分析

課標(biāo)要求1.結(jié)合實例，會通過相關(guān)系數(shù)比較多組成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性.2.進一步掌

握一元線性回歸模型參數(shù)的統(tǒng)計意義，會用相關(guān)統(tǒng)計軟件.3.了解非線性回歸模

型.

素養(yǎng)要求通過學(xué)習(xí)回歸模型的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運算及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材?必備知識探究

1.思考散點圖可以說明變量間有無線性關(guān)系，但無法量化兩個變量之間的相關(guān)

程度的大小，更不能精確地說明成對樣本數(shù)據(jù)之間關(guān)系的密切程度，那么我們?nèi)?/p>

何才能尋找到這樣一個合適的量來對成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度進行定量分析

呢？

提示利用相關(guān)系數(shù).

2.填空⑴一般地，設(shè)隨機變量x,丫的〃組觀測值分別為3,)“)，(x2,")，…,

/)，記

n__

Z(XLx)(訪一y)

i=l

r=_In__=

7Z(Xi-x)2g()?—),)I2

i=li=l

n__

^Xiy-nxy

___________i=J______________________

In_n

A/(2x?一

i=ii=l

r為隨機變量X和Y的樣本(線性)相關(guān)系數(shù).

(2)相關(guān)系數(shù)〃的性質(zhì)

①，的取值范圍為「一1,11;

②仍值越接近1,隨機變量之間的線性相關(guān)程度越強;

③|r|值越接近0,隨機變量之間的線性相關(guān)程度越弱.

（3）相關(guān)性的分類

①當(dāng)，〉（）時,兩個變量正相關(guān)；

②當(dāng)Y）時,兩個變量負(fù)相關(guān)；

③當(dāng)時,兩個變量線性不相關(guān).

溫馨提醒相關(guān)系數(shù)是研究變量之間線性相關(guān)程度強弱的量.

3.做一做（1）下面對相關(guān)系數(shù)，?描述正確的是（）

AJ>0表明兩個變量負(fù)相關(guān)

B./>1表明兩個變量正相關(guān)

C/只能大于零

D.H越接近于0,兩個變量相關(guān)關(guān)系越弱

答案D

解析因表明兩個變量正相關(guān)，故A錯誤；又因rGf-1,11，故B,C錯

誤；兩個變量之間的相關(guān)系數(shù)，?的絕對值越接近于1,表明兩個變量的線性相關(guān)

性越強，〃的絕對值越接近于0,表示兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系，

故D正確.

（2）（多選）下面的各圖中，散點圖與相關(guān)系數(shù)「符合的是（）

r=-lF1?二T<0y\7°

???????

Zr：______、?：???一

OXoXoXoX

ABCD

答案ACD

解析因為相關(guān)系數(shù)，?的絕對值越接近1,線性相關(guān)程度越高，且一>0時正相關(guān),

時負(fù)相關(guān)，故觀察各選項，易知B不符合，A,C,D均符合.故選ACD.

互動合作研析題型?關(guān)鍵能力提升

題型一線性相關(guān)性的檢驗

例1現(xiàn)隨機抽取了某中學(xué)高一10名在校學(xué)生，他們?nèi)雽W(xué)時的數(shù)學(xué)成績4分）與

入學(xué)后第一次考試的數(shù)學(xué)成績）,（分）如下：

學(xué)生號12345678910

X12010811710410311010410599108

y84648468696869465771

請問：這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)成績是否具有線性相關(guān)關(guān)系？

解工=而(120+108+…+99+108)=107.8,

)，==(84+64+…+57+71)=68,

10

ZX?=1202+1082+--F992+1082=116584,

i=l

10

S^=R42-I-642H----1-572+712=47384,

i=l

10

120X84+108X64+-+99X57+108X71=73796.

i=l

所以相關(guān)系數(shù)r=

___________73796—10X107.8X68___________

yj(116584-10X107.82)(47384-10X682)

口.7506.

由此可看出這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)成績具有線性相關(guān)關(guān)系.

思維升華利用相關(guān)系數(shù)「判斷線性相關(guān)關(guān)系，需要應(yīng)用公式計算出廠的值，由

于數(shù)據(jù)較大，需要借助計算器.

訓(xùn)練1假設(shè)關(guān)于某種設(shè)備的使用年限上(年)與所支出的維修費用)，(萬元)有如下統(tǒng)

計資料：

X23456

y2.23.85.56.57.0

555

已知Zx?=90,z)#=140.78,2>?=112.3.

i=li=li=i

⑴求上，y；

(2)對北)，進行線性相關(guān)性檢驗.

2+3+4+5+6

解(l)x=---------4---------=4

2.2+3.8+5.5+6.5+7.0

5

⑵^劃一5工),=

i-i

112.3-5X4X5=12.3,

5_

XX?-5X2=90-5X42=10,

i=l

5_

Z)A5)2=140.78—125=15.78,

i=l

所以/=口口3.=0.979.

41()X15.78

所以x與y之間具有很強的線性相關(guān)關(guān)系.

題型二判斷線性相關(guān)的強弱

例2維尼綸纖維的耐熱水性能的好壞可以用指標(biāo)“縮醛化度”y來衡量，這個指

標(biāo)越高，耐水性能也越好，而甲醛濃度是影響縮醛化度的重要因素，在生產(chǎn)中常

用甲醛濃度H克/升)去控制這一指標(biāo)，為此必須找出它們之間的關(guān)系，現(xiàn)安排一

批實驗，獲得如下數(shù)據(jù).

甲醛濃度X1820222426283()

縮醛化度。)26.8628.3528.7528.8729.7530.0030.36

求樣本相關(guān)系數(shù)，?并判斷它們的相關(guān)程度.

解列表如下

iXiVX?vrXiyi

11826.86324721.4596483.48

22028.35400803.7225567

32228.75484826.5625632.5

42428.87576833.4769692.88

52629.75676885.0625773.5

62830.00784900840

73030.36900921.7296910.80

E168202.9441445892.01364900.16

168~-202.94

x—7—24,y—7

7--

Exiyi-Zxy

i=1

20294

49()().16-7X24X-^

144-7X242，，\J5892.0136-7X（美邛

口.96.

由此可知，甲醛濃度與縮醛化度之間有很強的正淺性相關(guān)關(guān)系.

思維升華當(dāng)相關(guān)系數(shù)H越接近1時，兩個變量的相關(guān)關(guān)系越強，當(dāng)相關(guān)系數(shù)仍

越接近0時，兩個變量的相關(guān)關(guān)系越弱.

訓(xùn)練2為分析肥胖程度對總膽固醇與空腹血糖的影響，在肥胖人群中隨機抽出8

人,他們的肥胖指數(shù)BMI值、總膽固醇TC指標(biāo)值（單位：uiniul/L）、空腹血糖

CLU指標(biāo)值（單位：mmol/L）如表所示.

人員

12345678

編號

BMI

25273()3233354042

值X

TC指標(biāo)

5.35.45.55.65.76.56.97.1

值Y

CLU指

6.77.27.38.08.18.69.09.1

標(biāo)值z

用變量丫與X,Z與X的樣本相關(guān)系數(shù)分別說明TC指標(biāo)值與BMI值、CLU指

標(biāo)值與BMI值的線性相關(guān)程度.

參考公式：

X(X/—x)(yi—y)

相關(guān)系數(shù)r=.

A/Z(xi-x)2￡(>v-y)2

\li=li=l

___8_

參考數(shù)據(jù)：x=33,)，=6,z=8,Z(x—X)2=244,

i=l

88

ZU，-y)2弋3.6,Z⑵一Z)2=5.4,

i=1i=l

8

E(X—x)(y/-y)=28.3,

i=l

8_____

z(H—x)(z「z)=35.4,6元七15.6,小％F.9,小7^2.3.

i=l

OQQ

解變量y與X的相關(guān)系數(shù)廠"達(dá)-乂1Q「0.95.

1J.O/\1.y

354

變量Z與X的相關(guān)系數(shù)7個"屋-M).99,

1j.O/\Z.J

可以看出TC指標(biāo)值與BMI值、CLU指標(biāo)值與BMI值都是高度正相關(guān).

題型三可線性化的回歸分析(拓展知識)

例3下表為收集到的一組數(shù)據(jù)：

X21232527293235

y711212466115325

(1)作出x與)，的散點圖，并猜測x與)，之間的關(guān)系；

⑵建立x與)，的關(guān)系，預(yù)報回歸模型；

(3)利用所得模型，預(yù)報x=4()時)，的值.

解(1)作出散點圖如下圖，從散點圖可以看出x與)，不具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)

已有知識可以發(fā)現(xiàn)樣本點分布在某一條指數(shù)型函數(shù)曲線y=oec狀的周圍，其中

。，C2為待定的參數(shù).

35()

3()0*

250

2()。

15()

10()*

5().?*

()1*■*■~■~~■~■~~?—1~~1~1--

20222426283032343638x

(2)對y=ciec，2X兩邊取對數(shù)，得Iny=lnci+c”，令z=lny,則有變換后的樣本

點應(yīng)分布在直線z=bx+〃(a=lna，力=。)的周圍，這樣就可以利用線性回歸模

型來建立y與工之間的非線性回歸方程了，數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為

X21232527293235

Z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784

求得回歸直線方程為：=0.272x-3.849,

.??；『。皿-3.849.

(3)當(dāng)X=40時，),=?°?辦40-3.849-1⑶.

思維升華求非線性回歸方程的步臊

(1)確定變量，作出散點圖.

(2)根據(jù)散點圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù).

(3)變量置換，通過變量置換把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題，并求出線

性回歸方程.

(4)分析擬合效果：通過計算相關(guān)系數(shù)來判斷擬合效果.

(5)根據(jù)相應(yīng)的變換，寫出非線性回歸方程.

訓(xùn)練3為了研究某種細(xì)菌隨時間x變化繁殖的個數(shù)，收集數(shù)據(jù)如下：

天數(shù)17天123456

繁殖個數(shù)w個612254995190

(1)以天數(shù)為變量為繁殖個數(shù)為變量y,作出這些數(shù)據(jù)的散點圖；

(2)描述兩變量之間的關(guān)系.

解(1)所作散點圖，如圖所示：

W個

200?

15()

10(),

5().?

，，，___________

°2468”天

⑵由散點圖看出樣本點分布在一條指數(shù)型函數(shù))，=aecw的周圍，于是令z=lny,

則

X123456

Z1.792.483.223.894.555.25

由計算器算得z=0.69x+1.112,則有y=e0-69t+,J,2.

I課堂小結(jié)］

1.牢記兩個知識點：(1)相關(guān)系數(shù)的計算；

（2）相關(guān)關(guān)系程度的判斷.

2.辨清一個易錯點：在廠的計算公式中不能正確的進行數(shù)據(jù)分析和處理導(dǎo)致錯誤.

拓展延伸分層精練-核心素養(yǎng)達(dá)成

一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.對變量x,y有觀測數(shù)據(jù)（劉，刈"=1,2,…，10）,得散點圖①；對變量u,v

有觀測數(shù)據(jù)（如初）（1=1,2,…，10）,得散點圖②.由這兩個散點圖可以判斷（）

3060

25.50?

204??40?

15,.30.0

1。?\2(),,

5,?10.

o1234567xO1234567"

圖①圖②

A.變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)

B.變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)

c變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)

D.變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)

答案c

解析在題圖①中，所有點都在一條直線的附近，且直線的斜率為負(fù)值，所以變

量x與丫負(fù)相關(guān)；同理，變量u與v正相關(guān)，故選c.

2.（多選）下列說法正確的是（）

A.變量間的關(guān)系是非確定性關(guān)系，因此因變量不能由自變量唯一確定

B.線性相關(guān)系數(shù)可以是正的或負(fù)的

C.如果廠=±1,說明x與y之間完全線性相關(guān)

D.線性相關(guān)系數(shù)一￡（-1,1）

答案ABC

解析???相關(guān)系數(shù)|r|Wl,??.D錯誤.

3.關(guān)于兩個變量x,y與其線性相關(guān)系數(shù)八有下列說法：

①若—>0,則工增大時，y也相應(yīng)增大；

②若仍越趨近于1,則工與y的線性相關(guān)程度越強；

③若r=1或廠=—1,則x與），的關(guān)系完全對應(yīng)（有函數(shù)關(guān)系），在散點圖上各個散

點均在一條直線上.

其中正確的有（）

A.①②B.②③

C.①③D.①②③

答案D

解析根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義，變量之間的相關(guān)關(guān)系可利用相關(guān)系數(shù)廠進行判斷：

當(dāng)〃為正數(shù)時，表示變量占y正相關(guān)；

當(dāng)廠為負(fù)數(shù)時，表示兩個變量x,y負(fù)相關(guān)；

I”越接近于1,相關(guān)程度越強；

W越接近于0,相關(guān)程度越弱.故可知①②③正確.

4.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對A,8兩變量進行線性相關(guān)試驗，并分別求得

相關(guān)系數(shù)r如表：

甲乙丙T

r0.820.780.690.85

則這四位同學(xué)的試驗結(jié)果能體現(xiàn)出A,B兩變量有更強的線性相關(guān)性的是（）

A.甲B.乙

C.丙D.T

答案D

解析由相關(guān)系數(shù)的意義可知，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1,相關(guān)性越強，結(jié)

合題意可知，丁的線性相關(guān)性最強，故選D.

5.在成對數(shù)據(jù)（xi,y\）f（必戶），…，3”y”）（〃22,x\,12，…,我不全相等）的

散點圖中，若所有樣本點（劉，）>）（，=1,2,…，〃）都在直線y=—?+1上，則這

組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（）

A.-lB.1

C.—7JD.J7

答案A

解析因為這組成對數(shù)據(jù)的所有樣本點（川，y）H=l,2,…，〃）都在直線），=一%

+1上，所以這組成對數(shù)據(jù)完全線性相關(guān)，其樣區(qū)相關(guān)系數(shù)是一1.

6.已知某個樣本點中的變量?。?，線性相關(guān)，相關(guān)系數(shù)r>0,平移坐標(biāo)系，則在以

(x,y)為坐標(biāo)原點的坐標(biāo)系下的散點圖中，大多數(shù)的點都落在第象限.

答案一、三

解析因為/>(),

所以大多數(shù)的點都落在第一、三象限.

n-—〃―八n-n一―

7.若已知￡(?一丁)2是W(H一/A的4倍，￡(8一x)(y—y)是W(劉一的1.5

i=l:=ii=l1=]

倍，則相關(guān)系數(shù)〃的值為.

3

答案-

4

2(XLx)(yj-y)

解析由『I「J，得，./

A/L(笛-x)\3(y_y)2

8.部門所屬的1()個工業(yè)企業(yè)生產(chǎn)性固定資產(chǎn)價值x與工業(yè)增加值)，的資料如下

表(單位：百萬元)：

固定資產(chǎn)價值33566789910

工業(yè)增加值15172528303637424045

根據(jù)上表資料計算的相關(guān)系數(shù)為.

答案0.9918

3+3+5+6+6+7+8+9+9+10

解析X==6.6J=

15+17+25+28+30+36+37+42+40+45、_

IQ=31.5.

io_

￡(x/—x)(y，-y)

;I。==918.

Z(x/—x)2g(y—y)2

i=l

9.5個學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)绫恚?/p>

學(xué)生

ABCDE

學(xué)科

數(shù)學(xué)8075706560

物理7066686462

試分別用散點圖和相關(guān)系數(shù)，?判斷它們是否有線性相關(guān)關(guān)系，若有，是正相關(guān)還

是負(fù)相關(guān)？

解散點圖法：涉及兩個變量，數(shù)學(xué)成績與物理成績，可以以數(shù)學(xué)成績?yōu)樽宰兞?

考察因變量物理成績的變化趨勢.以龍軸表示數(shù)學(xué)成績，y軸表示物理成績，可得

相應(yīng)的散點圖.

，物理成績

70..??

60,

50

°506。7。8。9?！睌?shù)學(xué)成績

由散點圖可見，兩者之間具有線性相關(guān)關(guān)系且是正相關(guān).

相關(guān)系數(shù)r法，列表：

iXiVxry?孫

18070640049005600

27566562543564950

37068490046244760

46564422540964160

56062360038443720

E350330247502182023190

5

斗》—5工），

?23190-23100_____

75_\/5_X4250X40

5x2LX-5y2

ki=l/\i=l/

，兩變量具有相關(guān)關(guān)系且正相關(guān).

1（）.某火鍋店為了了解營業(yè)額），（百元）與氣溫M℃）之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計并制作了

某6天當(dāng)天營業(yè)額與當(dāng)天氣溫的對比表.

氣溫/C261813104-1

營業(yè)額/百元202434385()64

畫出散點圖并判斷營業(yè)額與氣溫之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系.

解畫出散點圖如圖/示.

營業(yè)額/仃元

60

50

40

3()

20

10氣溫/七

-5051()15202530

x=1(26+18+13+10+4-1)^=11.7,

產(chǎn)9(20+24+34+38+50+64戶38.3,

6

Zxv=26X20+18X24+13X34+10X38+4X50—lX64=l910,

i=l

6

Z.r?=26*2+182+132+102+42+(-l)2=1286,

i=l

6

ZM=2。?十242+342十38?十bo?十642=10172,

i=l

6

Z孫一61y

i=l

由r=r6-p二,

6為，IZ)?-6y2

i=l\ii=l

可得0.98.

由于3的值較接近1,所以X與)，具有很強的線性相關(guān)關(guān)系.

二、能力提升

11.(多選)X和)，的散點圖如圖所示，則下列說法中所有正確的命題為()

y

3000

2500,

2(MM),

15(X)?

1(KM),.

5(M,.........???.,_

01234567891()x

A?x,y是負(fù)相關(guān)關(guān)系

B.在該相關(guān)關(guān)系中，若用y=ciec21?擬合時的相關(guān)系數(shù)為內(nèi)，用),=加；+〃擬合時

的相關(guān)系數(shù)為廢，則r\>n

C.x,y之間不能建立線性回歸方程

D.由散點圖，可以斷定x=ll時的)，值一定比x=10時的y值要小

答案AB

解析在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，因此X,），是負(fù)相關(guān)關(guān)

系，故A正確；由散點圖知用y=cie2-擬合比用卜=/次+。擬合效果要好，則n>n,

故B正確；x,），之間可以建立線性回歸方程，但擬合效果不好，故C錯誤；D

中只能估計，不能斷定.

12.為考察兩個變量x,y的相關(guān)性，搜集數(shù)據(jù)如下表，則兩個變量的線性相關(guān)程

度（）

X510152025

y103105110111114

A.很強B.很弱

C.無相關(guān)D.不確定

答案A

55555

解析Zx/=75,2V=543,Z.r?=l375,2>?=8285,￡y?=59()51,x=15,

i=ii=li=li=li=l

y=108.6,

5

廠_______i灑lxy________________8285-5X15X108.6________

I$~二、p~~~―x/13755X152XJ59051~~5X108.62

\菱y-5rZyr-5/

口.9826,故相關(guān)程度很強.

13.某種書每冊的成本費y（元）與印刷冊數(shù)x（萬冊）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到數(shù)據(jù)如下:

X12351()203()5()1(X)200

Y