《乘法公式的綜合運(yùn)用》教案教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1、熟練運(yùn)用平方差公式與完全平方公式進(jìn)行計(jì)算；2、根據(jù)題目要求選擇不同的乘法公式進(jìn)行運(yùn)算；3、提高學(xué)生對(duì)乘法公式綜合運(yùn)用的能力以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.教學(xué)重點(diǎn)：正確選擇乘法公式進(jìn)行運(yùn)算.教學(xué)難點(diǎn)：綜合運(yùn)用平方差和完全平方公式進(jìn)行多項(xiàng)式的計(jì)算.教學(xué)過(guò)程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)4min一、復(fù)習(xí)引入【問(wèn)題】回顧以下知識(shí)并填空：(1)平方差公式是什么？(2)完全平方公式是什么？(3)m?3n+2a?b=m+()；(4)a?2b?4c+5=(a?2b)?()．【答案】(1)(a+b)(a?b)=a2?b2；(2)(a±b)2=a2±2ab+b2；(3)m?3n+2a?b=m+(?3n+2a?b)；(4)a?2b?4c+5=(a?2b)?(4c?5)．18min二、新課教學(xué)【例】運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(1)(x+y+1)(x+y?1)；(2)(x+y?1)(x?y+1)．【分析】(1)(x+y+1)(x+y?1)這個(gè)式子是兩個(gè)三項(xiàng)式的乘積，我們可以直接使用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)行運(yùn)算，但由于是兩個(gè)三項(xiàng)式相乘，運(yùn)算起來(lái)會(huì)非常的復(fù)雜，那么有什么方法能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算步驟呢？我們來(lái)觀察這兩個(gè)多項(xiàng)式，分別是(x+y)+1和(x+y)?1的形式，如果我們將x+y看做整體，那么整個(gè)式子就相當(dāng)于a+b與a?b乘積的形式，利用平方差公式運(yùn)算，得到(x+y)2?1，再用兩數(shù)和的完全平方公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而得到結(jié)果.【答案】解：(1)(x+y+1)(x+y?1)=[(x+y)+1][(x+y)?1]=(x+y)2?1=x2+2xy+y2?1．【分析】(2)(x+y?1)(x?y+1)這道題依舊是兩個(gè)三項(xiàng)式的乘積，有了解決（1）的經(jīng)驗(yàn)，我們先觀察這兩個(gè)多項(xiàng)式，我們發(fā)現(xiàn)如果把這兩個(gè)式子中的x和y?1分別看做整體，那么整個(gè)式子就可以轉(zhuǎn)化為[x+(y?1)][x?(y?1)]，符合平方差公式的形式，借助平方差公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，就可以得到x2?(y?1)2再利用兩數(shù)差的完全平方公式對(duì)(y?1)2進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后去括號(hào)，從而得到結(jié)果.【答案】解：(2)(x+y?1)(x?y+1)=[x+(y?1)][x?(y?1)]=x2?(y?1)2=x2?(y2?2y+1)=x2?y2+2y?1=x2+2y?y2?1．【歸納總結(jié)】遇到兩個(gè)不同的多項(xiàng)式相乘，如果項(xiàng)數(shù)過(guò)多，并且兩個(gè)多項(xiàng)式中的各項(xiàng)只有符號(hào)的區(qū)別，可以考慮利用添括號(hào)法則將各項(xiàng)進(jìn)行分組，再?gòu)恼w的角度判斷是否滿(mǎn)足平方差公式的形式，找準(zhǔn)哪個(gè)數(shù)或者式子相當(dāng)于公式中的a和b，以便簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.【例】運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(1)(x+2)(x2+4)(x?2)；(2)(x+2y)2(x?2y)2；(3)(x+y)2?(x?y)2．【分析】(1)(x+2)(x2+4)(x?2)這個(gè)式子是三個(gè)多項(xiàng)式相乘，可以利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則按照運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算，但如果我們仔細(xì)觀察這三個(gè)式子，發(fā)現(xiàn)第一個(gè)式子(x+2)和第三個(gè)式子(x?2)的乘積正好滿(mǎn)足平方差公式的形式，于是利用將這三個(gè)多項(xiàng)式分別看成三個(gè)整體，利用乘法交換律將二、三項(xiàng)交換，從而得到(x+2)(x?2)(x2+4)，再利用平方差公式得到(x2?4)(x2+4)，而這個(gè)式子也滿(mǎn)足x2與4的和乘以x2與4的差的形式，再次運(yùn)用平方差公式，最終得到結(jié)果.【答案】解：(1)(x+2)(x2+4)(x?2)=(x+2)(x?2)(x2+4)=(x2?4)(x2+4)=x4?16．【分析】(2)(x+2y)2(x?2y)2這道題從形式上看是x+2y兩數(shù)和的完全平方與x?2y兩數(shù)差的完全平方的乘積，根據(jù)之前所講的內(nèi)容，我們可以通過(guò)完全平方公式對(duì)兩個(gè)平方式分別進(jìn)行計(jì)算，得到(x2?4xy+4y2)(x2+4xy+4y2)，再利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而得到結(jié)果.但是，最后一步由于是兩個(gè)二次三項(xiàng)式相乘，運(yùn)算會(huì)比較復(fù)雜，那么我們有什么方法可以降低運(yùn)算量呢？再來(lái)觀察這個(gè)式子，如果我們把x+2y和x?2y都看做整體，這個(gè)式子就是形如a2b2的形式，那么逆用積的乘方公式，a2b2=(ab)2，原式就可以轉(zhuǎn)化為[(x+2y)(x?2y)]2，其中括號(hào)里面的式子滿(mǎn)足兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積的形式，利用平方差公式計(jì)算得到(x2?4y2)2，而這個(gè)式子又可以看做x2與4y2這兩數(shù)差的完全平方，利用完全平方公式計(jì)算出答案.【答案】解：(2)(x+2y)2(x?2y)2方法一：(x+2y)2(x?2y)2=(x2?4xy+4y2)(x2+4xy+4y2)=x4?8x2y2+16y4；方法二：(x+2y)2(x?2y)2=[(x+2y)(x?2y)]2=(x2?4y2)2=x4?8x2y2+16y4．【分析】(3)(x+y)2?(x?y)2這道題的形式是x+y兩數(shù)和的完全平方減去x?y兩數(shù)差的完全平方，我們可以通過(guò)完全平方公式對(duì)兩個(gè)式子分別進(jìn)行計(jì)算，從而得到(x2+2xy+y2)?(x2?2xy+y2)，再去括號(hào)，并且合并同類(lèi)項(xiàng)對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到結(jié)果.當(dāng)然，如果我們換個(gè)角度再觀察這個(gè)式子，將x+y和x?y分別看做整體，那么整個(gè)式子就可以看成兩數(shù)的平方差，先逆用平方差公式，得到[(x+y)+(x?y)][(x+y)?(x?y)]，再去括號(hào)，合并同類(lèi)項(xiàng)，對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到結(jié)果.【答案】解：(3)(x+y)2?(x?y)2方法一：(x+y)2?(x?y)2=(x2+2xy+y2)?(x2?2xy+y2)=4xy；方法二：(x+y)2?(x?y)2=［(x+y)+(x?y)］［(x+y)?(x?y)］=(x+y+x?y)(x+y?x+y)=2x·2y=4xy．【歸納總結(jié)】遇到一些較為復(fù)雜的整式運(yùn)算的時(shí)候，可以先利用法則、運(yùn)算律將式子變形成乘法公式的形式，或者可以從整體角度觀察式子中是否具備正用或者逆用乘法公式的形式，以便簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.【鞏固練習(xí)】運(yùn)用乘法公式計(jì)算：（1）(2x?3y?1)(2x+3y+1);（2）(2a+b)2?(b?2a)2．【答案】（1）(2x?3y?1)(2x+3y+1)=[2x?(3y+1)][2x+(3y+1)]=(2x)2?(3y+1)2=4x2?(9y2+6y+1)=4x2?9y2?6y?1；【答案】（2）(2a+b)2?(b?2a)2=[(2a+b)+(b?2a)][(2a+b)?(b?2a)]=2b·4a=8ab．【例】求代數(shù)式的值：(1)已知a+b=2，a2-b2=6，求a-b的值.(2)已知x?y=6，xy=?8，求x2＋y2的值.【分析】(1)已知a+b=2，a2-b2=6，求a-b的值.觀察題干中給出的兩個(gè)代數(shù)式，其中a2-b2是兩數(shù)的平方差的形式，逆用平方差公式，a2-b2=(a+b)(a-b)，于是得到(a+b)(a-b)=6，又因?yàn)轭}目給出a+b=2，算出a-b=3【答案】解：(1)∵a2-b2=6，∴(a+b)(a-b)=6，又∵a+b=2，∴a-b=3.【分析】(2)已知x?y=6，xy=?8，求x2＋y2的值.已知x?y和xy的值，求x2＋y2的值.首先，觀察這三個(gè)等式的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)已知的x?y=6，形式是1次的，而所求的x2+y2形式是二次的，我們考慮把1次升到2次，于是可以把x?y=6兩邊同時(shí)平方，得到x2?2xy+y2=36，再把xy=?8代入式子，就可以得到x2＋y2的值.如果我們從所求入手，利用所學(xué)過(guò)完全平方公式，可以嘗試將公式變形為x2+y2=（x+y）2?2xy或者x2+y2=（x?y）2+2xy表示x2+y2，而題目中已知的是x?y和xy的值，于是選擇兩數(shù)差的完全平方公式的變形，從而得到結(jié)果.【答案】解：(2)方法一：∵x?y=6，∴(x?y)2=36，即x2?2xy+y2=36，又∵xy=?8，∴x2＋y2=20.方法二：∵(x?y)2=x2?2xy+y2，∴x2+y2=(x?y)2+2xy，又∵x?y=6，xy=?8，∴x2＋y2=62+2×(?8)=20.【歸納總結(jié)】1、求代數(shù)式的值這類(lèi)問(wèn)題，應(yīng)先觀察題目中代數(shù)式的形式，是否可以進(jìn)行適當(dāng)變形，轉(zhuǎn)化成乘法公式的形式，從而靈活運(yùn)用公式進(jìn)行解題.2、對(duì)于完全平方公式，常用的變形形式：a2+b2=（a+b）2?2ab；a2+b2=（a?b）2+2ab；（a+b）2=（a?b）2+4ab.也就是說(shuō)，a2+b2、ab、a+b、a?b知二求二.【鞏固練習(xí)】已知(a+b)2=7，(a?b)2=3，求a2+b2的值.【答案】∵(a+b)2=a2+2ab+b2，(a?b)2=a2?2ab+b2，∴4ab=(a+b)2?(a?b)2，又∵(a+b)2=7，(a?b)2=3，∴4ab=7?3=4，∴ab=7?3=1，∵(a+b)2=a2+2ab+b2，∴a2+b2=(a+b)2?2ab=7?2=5.【例】先化簡(jiǎn)，再求值:(x+3y)2?(x+3y)(x?3y)，其中x=3，y=?2.【分析】這道題給出了一個(gè)整式的混合運(yùn)算，首先我們通過(guò)兩數(shù)和的完全平方公式與平方差公式對(duì)這個(gè)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到(x2+6xy+9y2)-(x2-9y2)，之后去括號(hào)，注意括號(hào)前面是負(fù)號(hào)的時(shí)候，去掉括號(hào)和負(fù)號(hào)，括號(hào)里面的項(xiàng)都需要變號(hào).合并同類(lèi)項(xiàng)，得到最簡(jiǎn)形式.最后將題目所給的x、y的數(shù)值代入化簡(jiǎn)后的式子，得到結(jié)果.【答案】解：(x+3y)2?(x+3y)(x?3y)=(x+3y)2-(x2-9y2)=(x2+6xy+9y2)-(x2-9y2)=x2+6xy+9y2-x2+9y2=6xy+18y2，當(dāng)x=3，y=-2時(shí)，原式=6×3×(-2)+18×(-2)2=36.【歸納總結(jié)】遇到化簡(jiǎn)求值類(lèi)問(wèn)題，一定注意要先對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代入題目中給出的字母數(shù)值，以便簡(jiǎn)化運(yùn)算難度.2min三、課堂小結(jié)1、乘法公式：（1）平方差公式：(a+b)(a?b)=a2?b2.（2）完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a?b)2=a2?2ab+b2.2、完全平方公式常用變形形式：a2+b2=(a+b)2?2ab；a2+b2=(a?b)2+2ab；(a+b)2=(a?b)2+4ab.a2+b2、ab、a+b、a?b知二求二.3、靈活運(yùn)用公式注意：找準(zhǔn)哪個(gè)數(shù)或者式子相當(dāng)于公式中的a和b.1min四、課后作業(yè)1、運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(1)(x+3)2?(x+1)(x?1)；(2)(3x?5)2?(2x+7)2；(3)[(x+2)(x?2)]2；(4)(x+2y?3)(x?2y+3)．2、先化簡(jiǎn)，再求值:(2x+3y)2?(2x+y)(2x?y)，其中x=13，y=3、已知a+b=5，ab=3，求a2+b2的值．綜合訓(xùn)練一、選擇題1.下列計(jì)算正確的是()A.(a3)2=a5 B.(-ab3)3=-ab6C.(a+2)2=a2+4 D.2x12÷x6=2x62.下列等式從左到右的變形,屬于因式分解的是()A.a(x-y)=ax-ayB.x2+2x+1=x(x+2)+1C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3D.x3-x=x(x+1)(x-1)3.把多項(xiàng)式x2+ax+b分解因式,得(x+1)·(x-3),則a,b的值分別是()A.a=2,b=3 B.a=-2,b=-3C.a=-2,b=3 D.a=2,b=-34.(xn+1)2(x2)n-1=()A.x4n B.x4n+3 C.x4n+1 D.x4n-15.把多項(xiàng)式x3-2x2+x分解因式正確的是()A.x(x2-2x) B.x2(x-2)C.x(x+1)(x-1) D.x(x-1)26.計(jì)算(72x3y4-36x2y3+9xy2)÷(-9xy2)的結(jié)果為()A.-8x2y2+4xy-1 B.-8x2y2-4xy-1C.-8x2y2+4xy+1 D.-8x2y2+4xy7.如圖①,一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為2m,寬為2n(m>n),用剪刀沿圖中虛線(xiàn)(對(duì)稱(chēng)軸)剪開(kāi),把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長(zhǎng)方形,然后按圖②那樣拼成一個(gè)正方形,則中間空白部分的面積是()A.2mn B.(m+n)2C.(m-n)2 D.m2-n28.如圖,正方形卡片A類(lèi)、B類(lèi)和長(zhǎng)方形卡片C類(lèi)各若干張,如果要拼一個(gè)長(zhǎng)為(a+3b),寬為(2a+b)的大長(zhǎng)方形,則需要A類(lèi)、B類(lèi)和C類(lèi)卡片的張數(shù)分別為()A.2,3,7 B.3,7,2 C.2,5,3 D.2,5,7二、填空題9.若多項(xiàng)式x2+kx+16是一個(gè)完全平方式,則k的值是.10.設(shè)a=192×918,b=8882-302,c=10532-7472,則a,b,c按從小到大的順序排列,結(jié)果是.

11.若a+3b-2=0,則3a·27b的值是.

12.將4個(gè)數(shù)a,b,c,d排成2行、2列,兩邊各加一條豎直線(xiàn)記成abcd,定義abcd=ad-bc.若-三、解答題13.計(jì)算:(1)2a5·(-a)2-(-a2)3·(-7a);(2)(x-4y)·(2x+3y)-(x+2y)·(x-y).14.先化簡(jiǎn)再求值:(1)2x-23y-((2)(3x-y)2-(2x+y)2-5x(x-y),其中x=2,y=1.15.(14分)觀察下列三個(gè)算式的特點(diǎn):52-32=8×2,92-72=8×4,152-32=8×27.(1)請(qǐng)你再寫(xiě)兩個(gè)具有同樣規(guī)律的算式;(2)用文字寫(xiě)出反映上述算式的規(guī)律;(3)驗(yàn)證這個(gè)規(guī)律的正確性.綜合訓(xùn)練一、選擇題1.D2.D3.B∵(x+1)(x-3)=x2-2x-3,∴x2+ax+b=x2-2x-3.∴a=-2,b=-3.4.A5.D6.A7.C拼成的正方形的邊長(zhǎng)為(m+n),它的面積為(m+n)2=m2+2mn+n2.原長(zhǎng)方形的面積為4mn,故中間空白部分的面積為m2+2mn+n2-4mn=m2-2mn+n2=(m-n)2.8.A長(zhǎng)為(a+3b),寬為(2a+b)的大長(zhǎng)方形的面積為(a+3b)·(2a+b)=2a2+7ab+3b2.因?yàn)橐粡圓類(lèi)卡片的面積為a2,一張B類(lèi)卡片的面積為b2,一張C類(lèi)卡片的面積為ab,所以需要A類(lèi)卡片2張,B類(lèi)卡片3張,C類(lèi)卡片7張.故選A.二、填空題9.±810.a<c<b因?yàn)閍=192×918=361×918,b=8882-302=(8