第一章有理數(shù)1.大于0的數(shù)叫正數(shù)，在正數(shù)的前面加上負(fù)號(hào)“-”的數(shù)叫負(fù)數(shù)．2.數(shù)0既不是正數(shù)，又不是負(fù)數(shù)．3.在同一問題中，分別用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反的意義．4.人們常用正負(fù)數(shù)來表示一對(duì)具有相反意義的量．5.有理數(shù)及相關(guān)概念可以寫成分?jǐn)?shù)形式的數(shù)稱為有理數(shù)，其中可以寫成正分?jǐn)?shù)形式的數(shù)為正有理數(shù)，可以寫成負(fù)分?jǐn)?shù)形式的數(shù)為負(fù)有理數(shù)．正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、0統(tǒng)稱整數(shù)，正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)，整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù).注意：不是有理數(shù)6.有理數(shù)的分類方法（1）按“整”與“分”來分類（即定義）（2）按正、負(fù)來分類（即數(shù)性）7.有理數(shù)“0”的不同意義作用舉例表示數(shù)的性質(zhì)0是整數(shù)，是非負(fù)整數(shù)，是有理數(shù)表示沒有3個(gè)人用+3表示，沒有人用0表示表示某種狀態(tài)0℃表示冰點(diǎn)表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的界點(diǎn)0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，是一個(gè)中性數(shù)8.一般地，在數(shù)學(xué)中人們用畫圖的方式把數(shù)“直觀化”，通常用一條直線上的點(diǎn)表示數(shù)，這條直線叫做數(shù)軸.9.規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸.10.在數(shù)軸上表示數(shù)0的點(diǎn)叫原點(diǎn)，正數(shù)在原點(diǎn)的右邊，負(fù)數(shù)在原點(diǎn)的左邊.如果設(shè)a是一個(gè)正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是a個(gè)單位長(zhǎng)度；表示數(shù)-a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是a個(gè)單位長(zhǎng)度.【注】所有的有理數(shù)都可以在數(shù)軸上表示出來，但數(shù)軸上的點(diǎn)并不都表示有理數(shù).11.只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù).12.在一個(gè)數(shù)前面加上“+”號(hào)，所得數(shù)是原數(shù)；在一個(gè)數(shù)前面加上“－”號(hào)，表示求這個(gè)數(shù)的相反數(shù).13.–a表示的意義是a的相反數(shù).14.–(–a)表示的意義是–a的相反數(shù)，它化簡(jiǎn)的結(jié)果是a.15.一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作|a|.16.一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0，即：.17.正數(shù)＞0，0＞負(fù)數(shù)，正數(shù)＞負(fù)數(shù).18.兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小.一、有理數(shù)的定義與分類1.混淆有理數(shù)與整數(shù)錯(cuò)誤：認(rèn)為“有理數(shù)就是整數(shù)”或“分?jǐn)?shù)不屬于有理數(shù)”．注意：有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)（形如，其中為整數(shù)，）．例如：（可化為）也是有理數(shù)．2.忽略“0”的特殊性錯(cuò)誤：認(rèn)為“0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，所以不是有理數(shù)”．注意：0是有理數(shù)，也是整數(shù)，但它既非正數(shù)也非負(fù)數(shù)．3.無限不循環(huán)小數(shù)不屬于有理數(shù)錯(cuò)誤：將π、等誤認(rèn)為有理數(shù)．關(guān)鍵：有理數(shù)必須能表示為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)．二、絕對(duì)值的非負(fù)性在進(jìn)行絕對(duì)值計(jì)算時(shí)，部分同學(xué)容易忽略絕對(duì)值的結(jié)果一定是非負(fù)的。比如在化簡(jiǎn)絕對(duì)值表達(dá)式|a-1|時(shí)，若沒有對(duì)a的取值范圍進(jìn)行討論，直接得出|a-1|=a-1，這是錯(cuò)誤的。當(dāng)a<1時(shí)，a-1<0，根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性，此時(shí)|a-1|=1-a，只有當(dāng)a≥1時(shí)，|a-1|=a-1。三、比較有理數(shù)的大小1.忽略數(shù)軸上點(diǎn)的位置關(guān)系——方向與正負(fù)混淆錯(cuò)誤：已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別為a和b，求A、B之間的距離時(shí)，直接用大數(shù)減小數(shù)，忽略兩點(diǎn)的相對(duì)位置。例如：A表示-3，B表示5，錯(cuò)誤計(jì)算距離為-3-5=-8（未取絕對(duì)值），或直接認(rèn)為距離是5-(-3)=8（正確），但如果題目變?yōu)椤包c(diǎn)A到點(diǎn)B的距離”，部分同學(xué)可能因方向混淆而誤判符號(hào)。核心誤區(qū)：數(shù)軸上兩點(diǎn)距離公式為|a-b|，需明確距離是絕對(duì)值概念，與點(diǎn)的左右位置無關(guān)，但部分同學(xué)會(huì)將“左減右”或“右減左”作為固定規(guī)則，忽略絕對(duì)值的非負(fù)性。2.動(dòng)點(diǎn)問題中未分類討論——遺漏多種可能性錯(cuò)誤：已知數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)為x，點(diǎn)A表示3，若PA=5，求x的值。部分同學(xué)僅考慮點(diǎn)P在A右側(cè)，得x=3+5=8，忽略點(diǎn)P在A左側(cè)的情況x=3-5=-2，導(dǎo)致漏解。3.距離與絕對(duì)值符號(hào)的誤用——化簡(jiǎn)規(guī)則出錯(cuò)錯(cuò)誤：化簡(jiǎn)含絕對(duì)值的距離表達(dá)式時(shí)，未判斷絕對(duì)值內(nèi)式子的正負(fù)。例如：數(shù)軸上點(diǎn)P表示x，點(diǎn)Q表示2，若x<2，求PQ的距離時(shí)，錯(cuò)誤寫成x-2，正確應(yīng)為|x-2|=2-x。符號(hào)化簡(jiǎn)誤區(qū)：當(dāng)a≥b時(shí)，|a-b|=a-b；當(dāng)a<b時(shí)，|a-b|=b-a。部分同學(xué)直接去掉絕對(duì)值符號(hào)而不判斷大小，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。4.多動(dòng)點(diǎn)距離問題——邏輯混亂與計(jì)算錯(cuò)誤錯(cuò)誤：多個(gè)動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，未理清運(yùn)動(dòng)方向（向左/向右）、速度與時(shí)間的關(guān)系，導(dǎo)致距離計(jì)算錯(cuò)誤。例如：點(diǎn)A從-1出發(fā)向右以2個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B從3出發(fā)向左以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，t秒后求AB的距離。錯(cuò)誤解法：直接用初始距離4減去(2t+t)，得4-3t，但未考慮當(dāng)t>4/3時(shí)，兩點(diǎn)相遇后距離變?yōu)?t-4，未分段討論。解題關(guān)鍵：先求動(dòng)點(diǎn)t秒后的位置：A表示-1+2t，B表示3-t；距離為|(-1+2t)-(3-t)|=|3t-4|，需分3t-4≥0（即t≥4/3）和3t-4<0（即t<4/3）討論，結(jié)果為4-3t(t<4/3)四、有理數(shù)運(yùn)算順序錯(cuò)誤1.混合運(yùn)算順序顛倒錯(cuò)誤：未遵循“先乘除，后加減，有括號(hào)先算括號(hào)內(nèi)”的規(guī)則。例：計(jì)算3-4÷(-2)×3，錯(cuò)誤解法：3-4÷(-6)=3+2正確解法：乘除同級(jí)運(yùn)算從左到右，即3-(-2)×3=3+6=9。括號(hào)展開時(shí)漏乘或符號(hào)錯(cuò)誤錯(cuò)誤：去括號(hào)時(shí)未將系數(shù)乘遍括號(hào)內(nèi)所有項(xiàng)，或符號(hào)處理錯(cuò)誤．例：計(jì)算-2(3x-4y+1)，錯(cuò)誤解法：-6x-8y+1（漏乘-2到+1，且-4y乘-2應(yīng)為正確解法：-6x+8y-2題型01有理數(shù)的分類1．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）在這幾個(gè)數(shù)中，正數(shù)有()，負(fù)數(shù)有()．【答案】【分析】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)的判斷．根據(jù)正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0判斷即可．【詳解】解：這幾個(gè)數(shù)中，正數(shù)有，負(fù)數(shù)有，故答案為：；．2．（24-25七年級(jí)上·四川南充·階段練習(xí)）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合中：正有理數(shù)數(shù)集合：｛……｝負(fù)分?jǐn)?shù)集合：｛……｝非負(fù)整數(shù)集合：｛……｝有理數(shù)集合：｛……｝【答案】見解析【分析】本題考查了有理數(shù)的分類，化簡(jiǎn)多重符號(hào)，根據(jù)有理數(shù)的分類逐一填寫即可．【詳解】解：正有理數(shù)數(shù)集合：｛，……｝負(fù)分?jǐn)?shù)集合：｛，，……｝非負(fù)整數(shù)集合：｛，……｝有理數(shù)集合：｛，，，，，，……｝3．（19-20七年級(jí)上·新疆·期中）下列說法中，錯(cuò)誤的有（

）①是負(fù)分?jǐn)?shù)；②不是整數(shù)；③非負(fù)有理數(shù)不包括；④不是有理數(shù)；⑤是最小的有理數(shù)；⑥正整數(shù)、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)．A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】D【分析】本題主要考查了有理數(shù)的分類，根據(jù)有理數(shù)的兩種分類方法判斷即可．【詳解】解：①是負(fù)分?jǐn)?shù)，故①正確；②是分?jǐn)?shù)，不是整數(shù)，故②正確；③非負(fù)有理數(shù)是大于或等于零的有理數(shù)，故③錯(cuò)誤；④是有理數(shù)，故④錯(cuò)誤；⑤沒有最小的有理數(shù)，故⑤錯(cuò)誤；⑥有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，故⑥錯(cuò)誤；故選：D．4．（24-25七年級(jí)上·福建漳州·期中）把下列各數(shù)填寫在相應(yīng)的集合中．，7，，，，，，0，(1)整數(shù)集合：；(2)分?jǐn)?shù)集合：；(3)正數(shù)集合：；(4)非負(fù)數(shù)集合：．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】本題考查了有理數(shù)的分類，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)整數(shù)的定義即可得出答案；（2）根據(jù)分?jǐn)?shù)的定義即可得出答案；（3）根據(jù)正數(shù)的定義即可得出答案；（4）根據(jù)非負(fù)數(shù)的定義即可得出答案；【詳解】（1）解：整數(shù)集合：，故答案為：；（2）解：分?jǐn)?shù)集合：，故答案為：；（3）解：正數(shù)集合：，故答案為：；（4）解：非負(fù)數(shù)集合：，故答案為：．5．（24-25六年級(jí)上·上?！て谥校┰谝韵赂鲾?shù)中：；；；；；；；0；；．屬于負(fù)分?jǐn)?shù)的有個(gè)．【答案】6【分析】本題主要考查了分?jǐn)?shù)的定義，負(fù)分?jǐn)?shù)是小于0有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)的統(tǒng)稱，據(jù)此可得答案．【詳解】解：在數(shù)；；；；；；；0；；中，屬于負(fù)分?jǐn)?shù)的，，，，，，，共6個(gè)，故答案為；6．6．（24-25七年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）下列各數(shù)中：，，0，，，，，（每相鄰兩個(gè)2之間0的個(gè)數(shù)逐次加1），其中正有理數(shù)有個(gè)．【答案】3【分析】本題考查了有理數(shù)的定義和分類，熟練掌握有理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵；有理數(shù)是整數(shù)（正整數(shù)、、負(fù)整數(shù)）和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱，正有理數(shù)是大于的有理數(shù)，據(jù)此解答即可．【詳解】解：：是正分?jǐn)?shù)，屬于正有理數(shù)；：是負(fù)整數(shù)，小于，不是正有理數(shù)；：既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，不是正有理數(shù)；：是負(fù)數(shù)，不是正有理數(shù)；，是正整數(shù)，屬于正有理數(shù)；：是無限不循環(huán)小數(shù)，不是正有理數(shù)；：是有限小數(shù)，可化為分?jǐn)?shù)，且大于，屬于正有理數(shù)；（每相鄰兩個(gè)之間的個(gè)數(shù)逐次加）：是無限不循環(huán)小數(shù)，不是正有理數(shù)；綜上，正有理數(shù)有，和，共3個(gè)．故答案為：3．題型02絕對(duì)值的非負(fù)性7．（24-25七年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期末），則a和b各為（

）A．， B．1，3 C．1， D．，3【答案】D【分析】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性，先根據(jù)，得，則，即可作答．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，故選：D．8．（24-25七年級(jí)下·北京·期中）已知實(shí)數(shù)a，b滿足則．【答案】1【分析】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性，根據(jù)得，即可作答．【詳解】解：∵∴∴，故答案為：19．（24-25九年級(jí)下·廣東湛江·階段練習(xí)）如圖，數(shù)軸上兩點(diǎn)、對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是、，其中、滿足，(1)求、的值，并在數(shù)軸上標(biāo)出、兩點(diǎn)；(2)數(shù)軸上有一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)的值．【答案】(1)，，數(shù)軸上標(biāo)出、兩點(diǎn)見解析(2)或【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，用數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)．（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出、的值，再在數(shù)軸上標(biāo)出、兩點(diǎn)即可；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式可得，，結(jié)合即可求解．【詳解】（1）解：，，，解得：，，數(shù)軸上標(biāo)出、兩點(diǎn)如下：（2）、兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為和，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，，，，，解得：或．10．（24-25七年級(jí)上·重慶萬州·階段練習(xí)）若為有理數(shù)，下列判斷：①總是正數(shù)，②總是正數(shù)；③的最小值為9；④的最大值是1；其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題考查絕對(duì)值的非負(fù)性，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵，直接利用絕對(duì)值的非負(fù)性，分別分析即可得出答案．【詳解】解：①若，則，故①錯(cuò)誤；②，總是正數(shù)，故②正確；③，，則的最小值為9，故③正確；④，，則的最小值是1，故④錯(cuò)誤；錯(cuò)誤的是①④，共2個(gè)故選：B．11．（24-25七年級(jí)上·安徽滁州·期中）下列結(jié)論：①若為有理數(shù)，則；②若，則；③若，則；④若，則，則其中正確的結(jié)論的是（填序號(hào)）．【答案】②【分析】此題主要考查了有理數(shù)的運(yùn)算，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和絕對(duì)值的意義，理解絕對(duì)值的意義，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)為有理數(shù)得，由此可對(duì)該結(jié)論進(jìn)行判斷；根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得，，則，由此可對(duì)該結(jié)論進(jìn)行判斷；根據(jù)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，沒有意義，由此可對(duì)該結(jié)論進(jìn)行判斷；根據(jù)得：（Ⅰ）當(dāng)、、中有兩正一負(fù)時(shí)，不妨假設(shè)、為正，為負(fù)，則，(Ⅱ)當(dāng)、、都是負(fù)數(shù)時(shí)，則，由此可對(duì)該結(jié)論進(jìn)行判斷，綜上所述即可得出答案．【詳解】解：①∵為有理數(shù)，∴，故結(jié)論①不正確；②∵，，，∴，，∴，故結(jié)論②正確；③∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，沒有意義，故結(jié)論③不正確；④∵，∴有以下兩種情況，（Ⅰ）當(dāng)、、中有兩正一負(fù)時(shí)，不妨假設(shè)、為正，為負(fù)，∴，，，∴；(Ⅱ)當(dāng)、、都是負(fù)數(shù)時(shí)，則，，，∴，故結(jié)論④不正確；故答案為：②；12．（24-25七年級(jí)上·廣西貴港·期末）如果為有理數(shù)，式子存在最小值，則這個(gè)最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了絕對(duì)值的意義，根據(jù)得出當(dāng)時(shí)，式子存在最小值．【詳解】解：∵，∴當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，式子存在最小值，這個(gè)最小值是，故選：A．13．（18-19七年級(jí)上·重慶綦江·期末）如圖，已知點(diǎn)A，B，C是數(shù)軸上三點(diǎn)，O為原點(diǎn)．點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為6，，．

(1)求點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的數(shù)；(2)動(dòng)點(diǎn)P，Q分別同時(shí)從A，C出發(fā)，分別以每秒6個(gè)單位和3個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)．M為的中點(diǎn)，N在線段上，且，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．①求點(diǎn)M，N對(duì)應(yīng)的數(shù)（用含t的式子表示）；②t為何值時(shí)，．【答案】(1)點(diǎn)A表示的數(shù)是，點(diǎn)B表示的數(shù)是(2)①表示的數(shù)是，N表示的數(shù)是②秒或秒【分析】本題考查了數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握題中的數(shù)量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．（1）由，得的長(zhǎng)，再根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的計(jì)算方法，即得答案；（2）①先求出，的長(zhǎng)，再求，的長(zhǎng)，再根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的計(jì)算方法，即得答案；②分點(diǎn)M在點(diǎn)O的左側(cè)和右側(cè)兩種情況，分別求出，的長(zhǎng)，再根據(jù)列方程并求解，即得答案．【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，所以點(diǎn)A表示的數(shù)是，點(diǎn)B表示的數(shù)是；（2）①由已知得，，因?yàn)镸為的中點(diǎn)，，所以，，則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)M，N對(duì)應(yīng)的數(shù)；②由題意知，，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)O的左側(cè)時(shí)，，若，則，解得，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)O的右側(cè)時(shí)，，若，則，解得；綜上所述，當(dāng)秒或秒時(shí)，．題型03數(shù)軸上的點(diǎn)距離問題14．（23-24七年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期中）已知點(diǎn)，在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)，，、兩點(diǎn)之間的距離可以表示為，比如式子表示有理數(shù)的點(diǎn)與表示數(shù)3的點(diǎn)之間的距離．請(qǐng)回答以下問題：(1)若表示一個(gè)有理數(shù)，，則______．(2)若表示一個(gè)有理數(shù)，的最小值_____．(3)在一工廠流水線上依次排列了個(gè)工作臺(tái)（工作臺(tái)在同一直線上），第1個(gè)工作臺(tái)安排了2名工人，其他每個(gè)工作臺(tái)安排了1名工人，現(xiàn)在要在流水線上設(shè)置一個(gè)工具臺(tái)，以方便這名工人從工作臺(tái)到工具臺(tái)拿取工具，為了讓工人們拿取工具所走路程之和最短，請(qǐng)直接說出工具臺(tái)設(shè)置在什么位置．【答案】(1)或4(2)3(3)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，工作臺(tái)可設(shè)置在第個(gè)工作臺(tái)處；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，工作臺(tái)可設(shè)置在第個(gè)和第個(gè)工作臺(tái)之間任何位置（包括第個(gè)和第個(gè)工作臺(tái)的位置）【分析】本題主要考查了數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)以及數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等知識(shí)，解題關(guān)鍵是理解題意，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想分析問題．（1）根據(jù)題意，由數(shù)軸上與表示有理數(shù)1的點(diǎn)之間的距離為3的點(diǎn)的位置，即可獲得答案；（2）根據(jù)題意，可知表示有理數(shù)的點(diǎn)與表示有理數(shù)的點(diǎn)之間的距離，表示有理數(shù)的點(diǎn)與表示有理數(shù)2的點(diǎn)之間的距離，作出圖形，分情況討論，即可獲得答案；（3）分別分析計(jì)算當(dāng)有2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、6個(gè)工作臺(tái)時(shí)，工具臺(tái)應(yīng)放置的位置，找出規(guī)律，即可獲得答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，表示有理數(shù)的點(diǎn)與表示有理數(shù)1的點(diǎn)之間的距離，如下圖，若，∵數(shù)軸上與表示有理數(shù)1的點(diǎn)的距離為3的點(diǎn)有兩個(gè)，分別為表示有理數(shù)的點(diǎn)和表示有理數(shù)4的點(diǎn)，∴或4；故答案為：或4；（2）∵，∴表示有理數(shù)的點(diǎn)與表示有理數(shù)的點(diǎn)之間的距離，又∵表示有理數(shù)的點(diǎn)與表示有理數(shù)2的點(diǎn)之間的距離，∴當(dāng)表示有理數(shù)的點(diǎn)在表示有理數(shù)的點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如下圖，此時(shí)，當(dāng)表示有理數(shù)的點(diǎn)與表示有理數(shù)的點(diǎn)重合時(shí)，如下圖，此時(shí)，當(dāng)表示有理數(shù)的點(diǎn)在表示有理數(shù)的點(diǎn)與表示有理數(shù)2的點(diǎn)中間時(shí)，如下圖，此時(shí)，當(dāng)表示有理數(shù)的點(diǎn)與表示有理數(shù)2的點(diǎn)重合時(shí)，如下圖，此時(shí)，當(dāng)表示有理數(shù)的點(diǎn)在表示有理數(shù)2的點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如下圖，此時(shí)．綜上所述，的最小值．故答案為：3；（3）①如下圖，當(dāng)流水線上排列了2個(gè)工作臺(tái)時(shí)，工具臺(tái)可設(shè)置在第1個(gè)工作臺(tái)處，此時(shí)工人們拿取工具所走路程之和最短，為1；②如下圖，當(dāng)流水線上排列了3個(gè)工作臺(tái)時(shí)，工具臺(tái)可設(shè)置在第1個(gè)工作臺(tái)與第2個(gè)工作臺(tái)之間任何位置（包括第1個(gè)和第2個(gè)工作臺(tái)的位置），此時(shí)工人們拿取工具所走路程之和最短，為3；③如下圖，當(dāng)流水線上排列了4個(gè)工作臺(tái)時(shí)，工具臺(tái)可設(shè)置在第2個(gè)工作臺(tái)處，此時(shí)工人們拿取工具所走路程之和最短，為5；④如下圖，當(dāng)流水線上排列了5個(gè)工作臺(tái)時(shí)，工具臺(tái)可設(shè)置在第2個(gè)工作臺(tái)與第3個(gè)工作臺(tái)之間任何位置（包括第2個(gè)和第3個(gè)工作臺(tái)的位置），此時(shí)工人們拿取工具所走路程之和最短，為8；⑤如下圖，當(dāng)流水線上排列了6個(gè)工作臺(tái)時(shí)，工具臺(tái)可設(shè)置在第3個(gè)工作臺(tái)處，此時(shí)工人們拿取工具所走路程之和最短，為11；……；綜上所述，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，工作臺(tái)可設(shè)置在第個(gè)工作臺(tái)處；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，工作臺(tái)可設(shè)置在第個(gè)和第個(gè)工作臺(tái)之間任何位置（包括第個(gè)和第個(gè)工作臺(tái)的位置）．15．（23-24七年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）閱讀下面材料：若點(diǎn)在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)，則兩點(diǎn)之間的距離表示為，且；回答下列問題：(1)①數(shù)軸上表示和2的兩點(diǎn)和之間的距離是；②在①的情況下，如果，那么為；(2)代數(shù)式取最小值時(shí)，相應(yīng)的的取值范圍是．(3)若點(diǎn)在數(shù)軸上分別表示數(shù)，是最大的負(fù)整數(shù)，且，①直接寫出的值．②點(diǎn)同時(shí)開始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)分別以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度和3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，假設(shè)秒鐘過后，若點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為．請(qǐng)問：的值是否隨著時(shí)間的變化而改變？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求其值．

【答案】(1)①②或5(2)(3)①，，②不變，2【分析】（1）①根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式可得；②根據(jù)距離公式得出關(guān)于的絕對(duì)值方程，求解即可；（2）的最小值，意思是到的距離與到2的距離之和最小，那么應(yīng)在和2之間的線段上；（3）①先根據(jù)是最大的負(fù)整數(shù)，求出，再根據(jù)，即可求出；②先求出，，從而得出．【詳解】（1）解：①數(shù)軸上表示和2的兩點(diǎn)和之間的距離是；②如果，即，∴，∴或．故答案為：①；②或5；（2）∵，∴即為數(shù)軸上某點(diǎn)到的距離與該點(diǎn)到2的距離之和，如下圖，

的最小值，即表示某點(diǎn)到的距離與到2的距離之和最小，所以，當(dāng)時(shí)，最小值是3．故答案為：；（3）①∵是最大的負(fù)整數(shù)，∴，∵，又∵，，∴，，∴，，；②的值不隨著時(shí)間的變化而改變，其值是2．理由如下：∵點(diǎn)都以每秒1個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)和點(diǎn)分別以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度和3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值方程、數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問題等知識(shí)，理解題意，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題是解題關(guān)鍵．16．（21-22七年級(jí)上·廣東廣州·期末）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣6，點(diǎn)B表示的數(shù)為10，點(diǎn)M、N分別從原點(diǎn)O、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M的速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)N的速度是每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求點(diǎn)M、點(diǎn)N分別所對(duì)應(yīng)的數(shù)（用含t的式子表示）；（2）若點(diǎn)M、點(diǎn)N均位于點(diǎn)A右側(cè)，且AN＝2AM，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；（3）若點(diǎn)P為線段AM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段BN的中點(diǎn)，點(diǎn)M、N在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)PQ+AM＝17時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t．【答案】（1）點(diǎn)M、點(diǎn)N分別所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為，；（2）；（3）t=1或18【分析】（1）根據(jù)題意進(jìn)行求解即可；（2）由（1）所求，根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)距離公式可得，，再由，得到，由此即可得到答案；（3）分當(dāng)M、N均在A點(diǎn)右側(cè)時(shí)，當(dāng)N在A點(diǎn)左側(cè)，M在A點(diǎn)右側(cè)時(shí)，當(dāng)M、N都在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，三種情況討論求解即可．【詳解】解：（1）由題意得：點(diǎn)M、點(diǎn)N分別所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為，；（2）∵點(diǎn)A表示的數(shù)為-6，點(diǎn)M、點(diǎn)N分別所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為，，∴，，∵，∴，∴；（3）如圖1所示，當(dāng)M、N均在A點(diǎn)右側(cè)時(shí)，由（1）（2）得點(diǎn)M、點(diǎn)N分別所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為，，∵點(diǎn)P為線段AM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段BN的中點(diǎn)，∴點(diǎn)P和點(diǎn)Q表示的數(shù)分別為，，∴∵，∴，∴；如圖2所示，當(dāng)N在A點(diǎn)左側(cè)，M在A點(diǎn)右側(cè)時(shí)，同圖1可知點(diǎn)P和點(diǎn)Q表示的數(shù)分別為，，∴∵，∴，∴，不符合題意；如圖3所示，當(dāng)M、N都在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，同圖1可得點(diǎn)P和點(diǎn)Q表示的數(shù)分別為，，∴，，∵，∴，此時(shí)方程無解；如圖4所示，當(dāng)M、N都在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，同理可得點(diǎn)P和點(diǎn)Q表示的數(shù)分別為，，∴，，∵，∴，解得，∴綜上所述，當(dāng)，t=1或18．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，熟知數(shù)軸的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．題型04有理數(shù)運(yùn)算17．（23-24七年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)加減混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）先將帶分?jǐn)?shù)拆成整數(shù)和分?jǐn)?shù)兩部分，然后利用加法的交換律和結(jié)合律，整數(shù)和整數(shù)相結(jié)合，同分母分?jǐn)?shù)相結(jié)合，進(jìn)行計(jì)算即可．（3）將帶分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為假分?jǐn)?shù)再進(jìn)行有理數(shù)加減乘除運(yùn)算即可；（4）乘方后，計(jì)算小括號(hào)部分，再運(yùn)算乘除即可；（5）將帶分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為假分?jǐn)?shù)再進(jìn)行有理數(shù)乘除運(yùn)算即可；（6）先計(jì)算前兩項(xiàng)，再與后一項(xiàng)運(yùn)算即可．本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握分?jǐn)?shù)與小數(shù)的轉(zhuǎn)化