2024-2025學(xué)年度上學(xué)期東師附中新城學(xué)校九年級期中數(shù)學(xué)試卷本試卷包括三道大題，共24小題，共4頁．全卷滿分120分．考試時(shí)間為120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)．2．答題時(shí)，考生務(wù)必按照考試要求在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)作答，在草稿紙、試卷上答題無效．一、選擇題（每小題3分，共24分）1.一元二次方程的較小的根是（）A. B.C.或 D.或答案：A解：∵，∴，∴．∴較小的根是．故選：A．2.一元二次方程根的判別式的值為（）A. B.14 C.13 D.答案：C解：∵，，故選：C．3.下列式子中運(yùn)算正確的是（）A. B.C D.答案：B解：A、，原選項(xiàng)運(yùn)算錯(cuò)誤，不符合題意；B、，原選項(xiàng)運(yùn)算正確，符合題意；C、，不能合并，原選項(xiàng)運(yùn)算錯(cuò)誤，不符合題意；D、，原選項(xiàng)運(yùn)算錯(cuò)誤，不符合題意；故選B．4.計(jì)算的結(jié)果為（）A. B. C. D.3答案：D，，故選：D．5.將拋物線向下平移1個(gè)單位后所得的對應(yīng)拋物線的解析式為（）A. B. C. D.答案：A解：將拋物線向下平移1個(gè)單位后所得的對應(yīng)拋物線的解析式為．故選：A．6.如圖，和是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，，的周長為8，則的周長為（）A.12 B.18 C.20 D.50答案：C解：和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，，，，，，，，故選：C．7.如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C為網(wǎng)格交點(diǎn)，AD⊥BC，垂足為D，則sin∠BAD的值為（）A. B. C. D.答案：D解：如圖，連接AC在Rt△BEC中，BC=∵AD⊥BC，∴×BC×AD=8，即，解得，在Rt△ADB中，，故選：D．8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象的對稱軸是直線，且經(jīng)過點(diǎn)．則下列結(jié)論正確的為（）A. B.C. D.答案：D解：二次函數(shù)開口向上，與軸交于負(fù)半軸，，，二次函數(shù)對稱軸為直線，，，，故A、B結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，故C結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸為直線，二次函數(shù)與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，故D結(jié)論正確，符合題意故選D．二、填空題（每小題3分，共18分）9.計(jì)算的結(jié)果是__________．答案：解：故答案：．10.拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為__________．答案：解：當(dāng)時(shí)，，∴拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為：11.如圖，如圖，安裝路燈的路面比種植樹木的地面高，在路燈的照射下，路基留在地面上的影長為，通過測量知道的距離為，則路燈的高度是______m．答案：解：由題意得：，，∴，由題意得：，∴，∴，∴，∴，解得：，∴路燈的高度是,故答案為：．12.如圖，在中，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié)．若點(diǎn)在邊的垂直平分線上，且，則的長為___________．答案：∵點(diǎn)在的垂直平分線上，∴，∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴故答案為：13.現(xiàn)要在一個(gè)長為35m，寬為22m的矩形花園中修建等寬的小道，剩余的地方種植花草，如圖，要使種植花草的面積為625m2，設(shè)小道的寬為xm，則根據(jù)題意，可列方程為________．答案：解：設(shè)小道的寬為xm，則種植花草的部分可合成長（35-2x）m，寬（22-x）m的矩形，依題意得：，故答案為．14.如圖，在中，，，是邊上的高，點(diǎn)在邊上，連結(jié)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)．給出下面四個(gè)結(jié)論：①；②；③若是的中點(diǎn)，在不添加輔助線和其它字母的前提下，與相似的三角形共有6個(gè)；④若，則．上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是__________．答案：∵，∴，所以①正確；取的中點(diǎn)O，連接，在和中，∴，可得點(diǎn)D，F(xiàn)在以為直徑的圓上，∵，是高線，∴，所以②正確；∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，，∴是的垂直平分線，∴，∴．∵，∴；∵，∴．∵，∴，；∵，∴．∵，∴．所以與相似的三角形有4個(gè)，所以③不正確；在中，，令，∵，∴根據(jù)勾股定理，得，由上述可知，令，根據(jù)勾股定理，得，即，解得，∴，∴，∴．∵，∴，∴，即，根據(jù)勾股定理求出，，∴，∴．所以④正確．故答案為：三、解答題（本大題10小題，共78分）15.計(jì)算：．解：原式．16.解方程x2﹣4x+1=0．解：移項(xiàng)得，x2﹣4x=﹣1，配方得，x2﹣4x+4=﹣1+4，∴（x﹣2）2=3，∴x﹣2=±，∴x1=2+，x2=2-.17.某商場購進(jìn)一批臺燈，9月銷售400個(gè)，10月和11月這種臺燈銷售量持續(xù)增加，11月的銷售量達(dá)到576個(gè)，設(shè)10月和11月這兩個(gè)月的銷售量月平均增長率不變．求10月和11月這兩個(gè)月的銷售量月平均增長率．解：設(shè)10月和11月這兩個(gè)月的銷售量月平均增長率為x，根據(jù)題意得：，解得：（舍去），答：10月和11月這兩個(gè)月的銷售量月平均增長率為．18.如圖，線段、分別表示甲、乙建筑物的高，于點(diǎn)，于點(diǎn)，兩座建筑物間的距離為．若甲建筑物的高為，在點(diǎn)處測得點(diǎn)的仰角為，求乙建筑物的高．（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：，，）解：過點(diǎn)A作，由題意得：四邊形是矩形，，，在中，，，答：乙建筑物的高為．19.圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求畫圖，保留作圖痕跡．（1）在圖①中，分別在邊、上畫點(diǎn)、，連結(jié)，使，且．（2）在圖②中，分別在邊、上畫點(diǎn)、，連結(jié)，使，且．（3）在圖③中畫出，點(diǎn)、分別在邊、上，且與的位似比為．【小問1詳解】解：如圖，即為所求；【小問2詳解】解：如圖，即為所求；【小問3詳解】解：如圖，即為所求；20.如圖，在中，，為邊上的中線，于點(diǎn)．（1）求證：．（2）若，，求線段的長．【小問1詳解】證明：∵，為邊上的中線，∴，∵，∴，∵，∵，∴；【小問2詳解】解：∵為邊上的中線，，∵，∵，，∴，即，∴．21.如圖，拋物線的圖象與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)，作直線，點(diǎn)是拋物線在直線上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．設(shè)長為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（1）求拋物線的解析式．（2）求與之間的函數(shù)關(guān)系式．（3）當(dāng)時(shí)，直接寫出的值．【小問1詳解】解：∵拋物線的圖象與軸交于，與軸交于點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線的解析式為；【小問2詳解】解：∵，，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴，，∴；【小問3詳解】解：令，則，解得或，∴，∴，∵，∴，整理得，解得（舍去正值），∴的值為．22.如圖，在中，，，．將一塊直角三角板中角的頂點(diǎn)D放在AB邊上移動(dòng)，使角的兩邊分別與的邊相交于點(diǎn)E、F，且使始終與垂直．【感知】如圖①，若點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，則的長為__________；【探究】如圖②，若移動(dòng)點(diǎn)D，使，求的長；【拓展】如圖③，延長交直角三角板的最短邊所在的直線于點(diǎn)G，連接，若，則的最小值為__________．感知：∵，∴，∵，∴，∴是等邊三角形；在中，，∴，，∴，∵，∴設(shè)，則，∴，解得：，∴；故答案為：探究：∵，∴，∴，∵為等邊三角形，∴，∴，∵∴，，，∴．拓展：∵，．∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即為的長，此時(shí)，∵，∴∴，即的最小值為．故答案為：23.如圖，在中，，，．點(diǎn)在邊上，過點(diǎn)作交折線于點(diǎn)．點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，以為邊向其右側(cè)作正方形．（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的長為__________．（2）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，求正方形邊長．（3）當(dāng)點(diǎn)是直角邊的中點(diǎn)時(shí)，求的長．（4）設(shè)正邊形的邊與邊的交點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)將邊分成兩部分時(shí)，直接寫出長的取值范圍．【小問1詳解】解：∵，，∴，如下圖，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，∵，∴，即，解得，∴在中，可有．故答案為：；【小問2詳解】如下圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由（1）可知，，∵四邊形為正方形，∴，，設(shè)，則，∵，∴四邊形為矩形，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，解得，∴，即正方形邊長為；【小問3詳解】當(dāng)點(diǎn)是直角邊的中點(diǎn)時(shí)，如下圖，則，∵，∴；當(dāng)點(diǎn)是直角邊的中點(diǎn)時(shí)，如下圖，則，∵，∴，∴．綜上所述，的長為或；【小問4詳解】當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如下圖，延長交于點(diǎn)，設(shè)與交于點(diǎn)，設(shè)，則，此時(shí)，∵，∴四邊形為矩形，∴，，∵，∴，由（2）可知，，∴，∴，∴，∴，即，故此時(shí)可有，∴，∴，∵，∴，∵，∴，解得，∴；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如下圖，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，點(diǎn)將邊分成兩部分，此時(shí)．綜上所述，長的取值范圍為或．24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，其對稱軸為直線．點(diǎn)是此拋物線上的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，連結(jié)，取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交此拋物線于點(diǎn)，連接、．（1）求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式．（2）當(dāng)拋物線在點(diǎn)與點(diǎn)之間的部分（包括點(diǎn)和點(diǎn)）的圖象對應(yīng)的函數(shù)值隨的增大而增大時(shí)，求的取值范圍．（3）當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（4）當(dāng)?shù)倪吪c軸平行時(shí)，直接寫出此拋物線在點(diǎn)與點(diǎn)之間的部分（包括點(diǎn)和點(diǎn)）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)縱坐標(biāo)的差．【小問1詳解】解：由題意得：，解得：，∴該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為；【小問2詳解】解：∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∵過點(diǎn)作軸的平行線交此拋物線于點(diǎn)，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴點(diǎn)、點(diǎn)都在對稱軸的右側(cè)時(shí)，即時(shí)，拋物線在點(diǎn)與點(diǎn)之間的部分（包括點(diǎn)和點(diǎn)）的圖象對應(yīng)的函數(shù)值隨的增大而增大；【小問3詳解】解：當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1時(shí)，∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為為的中點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴，解得：或，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，綜上，或．【小問4詳解】解：根據(jù)題意可得拋物線的函數(shù)關(guān)系式為，故頂點(diǎn)坐標(biāo)為，①當(dāng)軸時(shí)，點(diǎn)關(guān)于對稱軸直線對稱，此拋物線在點(diǎn)與點(diǎn)之間的部分（包括點(diǎn)和點(diǎn)）的最高點(diǎn)是兩點(diǎn)，縱坐標(biāo)是，此拋物線在點(diǎn)與點(diǎn)之間的部分（包括點(diǎn)和點(diǎn)）的最低點(diǎn)是頂點(diǎn)，縱坐標(biāo)是，故此拋物線在點(diǎn)與點(diǎn)之間的部分（包括點(diǎn)和點(diǎn)）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的差為；②當(dāng)軸時(shí)，點(diǎn)關(guān)于對稱軸直線對稱，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，此拋物線在點(diǎn)與點(diǎn)之間的部分（包括點(diǎn)和點(diǎn)）的最高點(diǎn)是點(diǎn)，縱坐標(biāo)是，此拋物線在點(diǎn)與點(diǎn)之間的部分（包括點(diǎn)和點(diǎn)）的最低點(diǎn)是，