2025年碩士研究生《數(shù)學一》試題及答案[單選題]1.已知函數(shù)，，則()。A.x＝0是f（x）的極值點，也是g（x）的極值點B.x＝0是f（x）的極值點，（0，0）是曲線y＝g（x）的拐點C.x＝0是f（x）的極值點，（0，0）是曲線y＝f（x）的拐點D.（0，0）是曲線y＝f（x）的拐點，也是曲線y＝g（x）的拐點正確答案：B參考解析：，。f′（0）＝0，f″（0）＝1＞0，則x＝0是f（x）的極值點。又，。g′（0）＝0，g″（0）＝0，g″（x）在x＝0的左右鄰域變號，則（0，0）是曲線y＝g（x）的拐點。[單選題]2.已知級數(shù)：①；②，則()。A.①與②均條件收斂B.①條件收斂，②絕對收斂C.①絕對收斂，②條件收斂D.①與②均絕對收斂正確答案：B參考解析：。發(fā)散，則不是絕對收斂。為交錯級數(shù)。遞減，則是條件收斂。又因為。故絕對收斂。[單選題]3.設函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，＋∞）上可導，則()。A.當存在時，存在B.當存在時，存在C.當存在時，存在D.當存在時，存在正確答案：D參考解析：A項錯誤，反例：，但，極限不存在。B項錯誤，反例：，，，極限存在，但極限不存在。C項錯誤，反例：，則存在，但不存在。D項正確，。[單選題]4.設函數(shù)f（x，y）連續(xù)，則()。A.B.C.D.正確答案：A參考解析：由題意可知，此二重積分的積分區(qū)域為：。記，。且，則，交換積分次序得：[單選題]5.二次型的正慣性指數(shù)為()。A.0B.1C.2D.3正確答案：B參考解析：，。解得：λ1＝0，λ2＝2，λ3＝－1，故正慣性指數(shù)為1。[單選題]6.設α1，α2，α3，α4是n維列向量，α1，α2線性無關，α1，α2，α3線性相關，且α1＋α2＋α4＝0。在空間直角坐標系O-xyz中，關于x，y，z的方程組xα1＋yα2＋zα3＝α4的幾何圖形是()。A.過原點的一個平面B.過原點的一條直線C.不過原點的一個平面D.不過原點的一條直線正確答案：D參考解析：記A＝（α1，α2，α3），由α1，α2線性無關，α1，α2，α3線性相關，可得r（A）＝2。記，再由α1＋α2＋α4＝0，則。于是Ax＝α4有無窮多解，若過原點，則α4＝0與α1，α2線性無關矛盾，因此不過原點。由上述分析可知，，故兩平面交于一條直線，且不過原點。[單選題]7.設n階矩陣A，B，C滿足，給出下列四個結論：①；②；③；④。其中正確結論的序號是()。A.①②B.①③C.②④D.③④正確答案：A參考解析：方法一：故。則，則①②正確。方法二：采用排除法。取，，C＝E，滿足，則r（A）＝1，r（B）＝1，r（C）＝2，排除③④，故選擇A項。[單選題]8.設二維隨機變量（X，Y）服從正態(tài)分布N（0，0；1，1；ρ），其中ρ∈（－1，1）。若a，b為滿足a2＋b2＝1的任意實數(shù)，則D（aX＋bY）的最大值為()。A.1B.2C.1＋｜ρ｜D.1＋ρ2正確答案：C參考解析：方法一：又，，故選擇C項。方法二：即，，，于是，。所以最大值是1＋|ρ|，故選擇C項。[單選題]9.設X1，X2，…，X20是來自總體B（1，0.1）的簡單隨機樣本。令，利用泊松分布近似表示二項分布的方法可得P{T≤1}≈()。A.B.C.D.正確答案：C參考解析：由題意可知T～B（20，0.1），np＝20×0.1＝2。[單選題]10.設X1，X2，…，Xn為來自正態(tài)總體N（μ，2）的簡單隨機樣本，記，zα表示標準正態(tài)分布的上側(cè)α分位數(shù)，假設檢驗問題：H0∶μ≤1，H1∶μ＞1的顯著性水平為α的檢驗的拒絕域為()。A.B.C.D.正確答案：D參考解析：，故選擇D項。[問答題]1.計算。正確答案：[問答題]2.已知函數(shù)f（u）在區(qū)間（0，＋∞）內(nèi)具有2階導數(shù)，記，若g（x，y）滿足，且g（x，x）＝1，，求f（u）。正確答案：令，則，。又，，故f′（1）＝2。將①、②、③代入化簡得：，即。令p＝f′（u），則，可得：又，故。因此，，積分得：。又f（1）＝C1＝1，故可得：。[問答題]3.設函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導。證明：導函數(shù)f′（x）在（a，b）內(nèi)嚴格單調(diào)增加的充分必要條件是：對（a，b）內(nèi)任意的x1，x2，x3，當x1＜x2＜x3時，。正確答案：充分性。如題19解圖。題19解圖任取x1＜t1＜x2＜t2＜x3∈（a，b），由k1＜k2，即。令，根據(jù)極限保號性有。由k3＜k4，即。令，根據(jù)極限保號性有。由題設可知f′（x3）＞f′（x1）。由x1，x3的任意性，可得f′（x）在（a，b）內(nèi)嚴格單調(diào)遞增，充分性得證。再證必要性。即已知f′（x）單調(diào)遞增，在[x1，x2]，[x2，x3]上分別使用拉格朗日中值定理，可知存在ξ1∈（x1，x2），ξ2∈（x2，x3），使，。又由f′（x）單調(diào)遞增，且ξ1＜ξ2知，f′（ξ1）＜f′（ξ2），即，必要性得證。綜上所述，充要條件得證。[問答題]4.設Σ是由直線繞直線（t為參數(shù)）旋轉(zhuǎn)一周得到的曲面，Σ1是Σ介于平面x＋y＋z＝0與平面x＋y＋z＝1之間部分的外側(cè)。計算曲面積分正確答案：直線（記為）繞直線x＝y(tǒng)＝z（記為）旋轉(zhuǎn)一周所滿足的條件為：其中點P（0，0，z1）是直線上一點，點M（x，y，z）是曲面Σ上一點，且Σ是圓錐曲面。根據(jù)條件可得方程組為：也即x2＋y2＋z2＝（x＋y＋z）2，于是有曲面Σ：xy＋yz＋xz＝0。當x＋y＋z＝1與Σ相交時，有z1＝1。又原點O到平面x＋y＋z＝1的距離為d，且題20解圖（a）又平面x＋y＋z＝1與圓錐曲面Σ的交線為一個半徑為r的圓形區(qū)域，且。故題干所求Σ1為如題20解圖（b）所示的圓錐面外側(cè)。命Σ0為x＋y＋z＝1被Σ1所截平面（如題20解圖（b）所示），且該平面方向向上。題20解圖（b）則。而故。[問答題]5.設矩陣，已知1是A的特征多項式的重根。（1）求a的值；（2）求所有滿足Aα＝α＋β，A2α＝α＋2β的非零列向量α，β。正確答案：（1）。可得（1－a）（1＋1）＋4＝0，故a＝3。（2）由（1）可知，，得A中λ1＝λ2＝λ3＝1。Aα＝α＋β?2Aα＝2α＋2β?2Aα－A2α＝α?（A－E）2α＝0其中，故α為任意的非零向量，，a1，a2，a3不全為零。則，其中a1＋a2≠2a3。綜上，，，且a1，a2，a3不全為零，a1＋a2≠2a3。[問答題]6.投保人的損失事件發(fā)生時，保險公司的賠付額Y與投保人的損失額X的關系為設損失事件發(fā)生時，投保人的損失額X的概率密度為（1）求P{Y＞0}及EY；（2）這種損失事件在一年內(nèi)發(fā)生的次數(shù)記為N，保險公司在一年內(nèi)就這種損失事件產(chǎn)生的理賠次數(shù)記為M。假設N服從參數(shù)為8的泊松分布，在N＝n（n≥1）的條件下，M服從二項分布B（n，p），其中p＝P{Y＞0}。求M的概率分布。正確答案：（1）（2），，則[填空題]1.______。正確答案：－1參考解析：。[填空題]2.已知函數(shù)的傅里葉級數(shù)為，S（x）為的和函數(shù)，則______。正確答案：參考解析：由傅里葉級數(shù)可知對函數(shù)f（x）做了周期為2的奇延拓，故由函數(shù)的周期性與狄利克雷收斂定理，可得：[填空題]3.已知函數(shù)，向量，則______。正確答案：1參考解析：由題意可知，，，。則在x＝1，y＝1，z＝1處有。對于向量，歸一化可得。故。[填空題]4.已知有向曲線L是沿拋物線y＝1－x2從點（1，0）到點（－1，0）的一段，則曲線積分______。正確答案：參考解析：由題意可作曲線如題14解圖所示。題14解圖記L0是從x＝－1到x＝1的直線，并記曲線積分，則在L0與L所圍的封閉區(qū)域可用格林公式，即：又，故。[填空題]5.設矩陣，若方程組與不同解，則a－b＝______。正確答案：－4參考解析：由題知，，若與同解，則三秩相同，即如果A可逆，三秩顯然相同，則與同解，于是要想與不同解，即A不可