高三年級(jí)12月階段性測(cè)試數(shù)學(xué)參考答案及解析三、填空題12．【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，高為h，由母線與底面所成角是知，，所以體積，故，化簡(jiǎn)可得，所以．故答案為．13．【解析】如圖所示，注意到為圖象中的失去一組對(duì)邊的實(shí)心矩形，即圓心坐標(biāo)為，半徑為的圓或點(diǎn),當(dāng)時(shí)顯然題設(shè)不成立，由題意知圓必與矩形有無(wú)窮個(gè)公共點(diǎn)，故應(yīng)有，易知，，故由解得．故答案為．14．3【解析】由，得，取倒數(shù)得：，所以，所以，又，所以數(shù)列單調(diào)遞增，由，可得：，，，，，顯然，所以不超過(guò)的最大整數(shù)是3．故答案為3．四、解答題15．解:（1），取，（2分）則，（5分）注意到，故此時(shí)有．（7分）（2）由條件可知，，（8分）注意到，，可知，于是，（10分）故，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，（12分）故的最小值為．（13分）16．解:（1）1，1，2，2，4，2．（6分）繪制如圖．（7分）（2）設(shè)為素?cái)?shù)，則不超過(guò)且與不互質(zhì)的正整數(shù)只有的倍數(shù)．所以互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目為．（12分）故，故數(shù)列為公比為的等比數(shù)列．（15分）17．解：（1）由中點(diǎn)性質(zhì)可知，由余弦定理得，（4分）即．（5分）（2）方法一：顯然，而，由正弦定理得，即，（7分）于是，（11分）而，故．（14分）由知，故．即．（15分）方法二：注意到，于是，（9分）而，（11分）故，而，（12分）于是．．（15分）18．解:（1）由，，平面，平面，知平面，（2分）由平面知，（3分）由，，平面，平面可知平面，（4分）而，由，是，的方向向量得，（6分）由，，平面，平面，可得平面．（7分）（2）（i）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，的方向?yàn)檩S正方向，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，（8分）則，，，，，．設(shè)，由得，解得，（11分）于是，顯然，可得，，三點(diǎn)共線．（12分）【注：若用幾何法則該問(wèn)滿分4分，最后一問(wèn)進(jìn)行建系得1分，剩余分值不變．】（ii）注意到，，顯然平面的一個(gè)法向量為，（13分）記平面的一個(gè)法向量為，，即，可?。?5分）記平面與平面的夾角為，則．（17分）19．解:（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，．方程的判別式．當(dāng)時(shí)，若，則，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)；若，則，且二次項(xiàng)系數(shù)，故恒成立，即，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)．（1分）當(dāng)時(shí)，，且，故方程有一正一負(fù)兩根．由于定義域?yàn)椋瑑H有一個(gè)正根．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故為極大值點(diǎn)．此時(shí)有1個(gè)極值點(diǎn)．（2分）當(dāng)時(shí)，，且兩根之和，兩根之積，方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，此時(shí)有2個(gè)極值點(diǎn)．（3分）綜上所述，當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．故的取值范圍為．（4分）(2)由于，故恒為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)．（5分）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．設(shè)，則，且，故．在上單調(diào)遞增．又且，所以是該區(qū)間唯一零點(diǎn)．此時(shí)．當(dāng)時(shí)，有且，又，故恒成立，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)．（7分）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一的極大值點(diǎn)．若，則．此時(shí)滿足，即．當(dāng)時(shí)，極大值點(diǎn)即為零點(diǎn)，函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)．（8分）若，則極大值．在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，取，且，由于，故．又，所以．易知，則，即．因?yàn)椋剩簦瑒t落在或．在上，與矛盾；在上，但，矛盾．故．故根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，在區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)．即時(shí)存在2個(gè)零點(diǎn)．（9分）當(dāng)時(shí)，．即，?。?，令，則．此時(shí)，，．設(shè)()，．當(dāng)時(shí)，．故在單調(diào)遞減，，即．設(shè)，且是的唯一正根．因?yàn)?，拋物線開(kāi)口向下，，故當(dāng)時(shí)．，由且，可知．故根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，在區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)．（10分）綜上，當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)且時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)．（3）不妨記所有零點(diǎn)之和為，所有極值點(diǎn)之和為．當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)僅有，故．極值點(diǎn)為，由韋達(dá)定理，故．此時(shí)，即．（11分）當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)僅有，故．極值點(diǎn)為，故．此時(shí)，即．（12分）當(dāng)且時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)(設(shè))，其中一個(gè)為1，另一個(gè)記為，則．極值點(diǎn)僅有，故．由單調(diào)性知，且滿足，即．設(shè)．，將代入得．因?yàn)椋院愠闪?，在上單調(diào)遞增，又，即．（15分）顯然，取較小的零點(diǎn)，，因?yàn)?，且，所以，又與均在區(qū)間上，且在此區(qū)間上