2025-2026學年上海九年級數學上學期期末模擬試卷一、單選題1．下列函數中是二次函數的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次函數的定義，根據二次函數的定義逐項分析即可，熟練掌握其定義是解決此題的關鍵．【詳解】A．是一次函數，故不符合題意；B．是反比例函數，故不符合題意；C．是二次函數，故符合題意；D．不是二次函數，故不符合題意；故選：C．2．若線段，點P是線段的黃金分割點，且，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據黃金分割的定義即可解答．【詳解】解：∵點P是線段的黃金分割點，且，∴，故選：D．【點睛】此題考查了黃金分割，應該熟記黃金分割的公式：較長線段=原線段長的倍，熟練掌握上述知識點是解答本題的關鍵．3．如圖，已知，那么下列結論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查平行線分線段成比例定理，由，根據平行線分線段成比例定理逐項進行分析判斷即可得到問題的答案．【詳解】解：∵，∴，而與不一定相等，與不一定相等，故A正確，C不正確，D不正確；由得，假設成立，則，∴，∴，與已知條件不符，∴不成立，故B不正確，故選：A．4．下列說法中，正確的是（

）A．兩個矩形必相似 B．兩個含角的等腰三角形必相似C．兩個菱形必相似 D．兩個含角的直角三角形必相似【答案】D【分析】根據相似多邊形、相似三角形的判定逐項判斷即可得．【詳解】A、兩個矩形的對應角相等，但對應邊不一定成比例，則不一定相似，此項錯誤；B、如果一個等腰三角形的頂角是，另一等腰三角形的底角是，則不相似，此項錯誤；C、兩個菱形的對應邊成比例，但四個內角不一定對應相等，則不一定相似，此項錯誤；D、兩個含角的直角三角形必相似，此項正確；故選：D．【點睛】本題考查了相似多邊形、相似三角形的判定，熟練掌握相似圖形的判定方法是解題關鍵．5．如圖，一枚自制小火箭從發(fā)射點處發(fā)射，身高為1.6米的小明在離發(fā)射點距離的處，當小火箭到達點時，小明測得此刻的仰角為，則這枚小火箭此時的高度是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】此題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是正確添加輔助線構造直角三角形．過點D作于點E，則，證明四邊形是矩形，則，，由得到，即可得到答案．【詳解】解：過點D作于點E，則，∵，∴四邊形是矩形，∴，在中，，∴∴故選：A．6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊AB上一點，過D作DF⊥AB交邊BC于點E，交AC的延長線于點F，連接AE，如果tan∠EAC＝，S△CEF＝1，那么S△ABC的值是（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】根據，可得，由∽，可得相似比為，從而得到面積比為，進而求出答案．【詳解】∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，又∵DF⊥AB，

∴∠ADF＝90°，∴∠BAC+∠F＝90°，∴∠B＝∠F，又∵∠ECF＝∠ACB＝90°，∴△ECF∽△ACB，∴＝tan∠EAC＝，∴，又∵S△ECF＝1，∴S△ABC＝9，故選：C．【點睛】本題考查了銳角三角函數的意義，相似三角形的性質和判斷，掌握相似三角形的性質是解決問題的關鍵．二、填空題7．如果，那么．【答案】【分析】根據得到，把它代入后面的式子求出比值．【詳解】解：∵，∴，即，∴．故答案是：．【點睛】本題主要考查了比例的性質，解題的關鍵是掌握比例基本的性質．8．比例尺為的地圖上，A、B兩地的距離為，那么A、B兩地的實際距離為．【答案】2【分析】本題考查了比例線段，主要利用了比例尺的定義，計算時要注意單位之間的換算．設、兩地間的實際距離是，根據比例尺的定義列式計算即可得解，然后再化為千米即可．【詳解】解：設、兩地間的實際距離是，根據題意得：，解得，．故答案為：2．9．計算：．【答案】【分析】本題為平面向量的加減混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．按向量的運算法則即可得結果．【詳解】解：．故答案為：．10．將拋物線向上平移2個單位，所得拋物線的表達式是．【答案】【分析】本題主要考查了二次函數的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的平移法則是解答本題的關鍵．根據“上加下減，左加右減”的平移法則進行解答即可．【詳解】解：拋物線向上平移2個單位，所得拋物線的表達式是，故答案為：．11．如圖，在中，點分別在邊上，，如果和四邊形的面積相等，，那么的長是．【答案】2【分析】根據題意可得△ADE∽△ABC，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求解．【詳解】∵，∴△ADE∽△ABC，∴，又∵和四邊形的面積相等，∴，∴，即：，故答案為：2．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質，熟記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題關鍵．12．在中，若，，，則．【答案】/【分析】根據勾股定理的逆定理“如果三角形的三邊長，，滿足，那么這個三角形是直角三角形”，判定是直角三角形，再根據直角三角形中余弦的定義“角的鄰邊比斜邊”，計算即可．【詳解】解：∵在中，若，，，∴，∴是直角三角形，∴是斜邊，所對的角是直角，即是直角，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理、求角的余弦值，掌握勾股定理的逆定理的運用和余弦的定義是解題的關鍵．13．在中，點D、E分別在邊AB、AC上，且，如果：，那么．【答案】【分析】如圖，由，可得：，從而有：，設，則，求解，從而可得答案．【詳解】解：如圖，，，所以設，則，故答案為：【點睛】本題考查的是比例的基本性質，相似三角形的判定與性質，掌握以上知識是解題的關鍵．14．用“描點法”畫二次函數的圖象時，列表如下：根據表格信息可知，當時，函數值．【答案】【分析】本題主要考查了二次函數圖象的對稱性，熟練掌握拋物線的對稱性質是解題的關鍵．先通過表格數據確定二次函數圖象的對稱軸，再利用拋物線的對稱性，找到對應的對稱點，從而求出函數值．【詳解】解：∵表格中和時，值均為5，∴拋物線的對稱軸為直線，∵與關于對稱軸直線對稱，∴與對應的函數值相等，∵表格中時，，∴時，，故答案為：．15．如圖，在邊長為1個單位長度的正方形網格中，若連接格點，，與交于點，則．【答案】【分析】本題考查的是正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，求銳角的正切值．連接，，證明得。再求解的正切值即可．【詳解】解：如圖，連接，，∴，，，，∴，，又，∴，∴，∴，故答案為：．16．在平面直角坐標系中，將拋物線向右平移個單位，再向上平移個單位，所得到的拋物線的解析式為．【答案】【分析】本題考查了二次函數圖象的平移，熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數解析式是解題的關鍵．根據拋物線平移的規(guī)律，即可求解．【詳解】解：原拋物線為，向右平移2個單位，得，再向上平移3個單位，得，故答案為：．17．如圖，矩形ABCD沿對角線BD翻折后，點C落在點E處．聯結CE交邊AD于點F．如果DF＝1，BC＝4，那么∠ADB的正切值等于．【答案】1【分析】證明求得CD=2，即可求解【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，△BED是由△BCD翻折得到，∴，，∵∠∴∠∴∴，即∴或-2（舍去）在中，，∴tan∠ADB=，18．如圖，ABC中，AB=10，BC=12，AC=8，點D是邊BC上一點，且BD：CD=2：1，聯結AD，過AD中點M的直線將ABC分成周長相等的兩部分，這條直線分別與邊BC、AC相交于點E、F，那么線段BE的長為．【答案】【分析】如圖，過作交于，設由三角形的周長關系可得：再證明：利用相似三角形的性質求解再證明：可得：再解方程組可得答案．【詳解】解：如圖，過作交于，設為的中點，即：解得：或，經檢驗：不合題意，舍去，故答案為：【點睛】本題考查的是三角形的相似的判定與性質，二元方程組的解法，一元二次方程的解法，掌握以上知識是解題的關鍵．三、解答題19．計算：．【答案】【分析】本題考查了實數的運算，原式利用特殊角的三角函數值計算即可求出值，熟練掌握運算法則和特殊角的三角函數值是解本題的關鍵．【詳解】20．如圖，在中，，，平分交于點D，交于點E．(1)求的長；(2)連結交于點F，設，，用、的線性組合表示向量_____，____．【答案】(1)；(2)，．【分析】本題考查等腰三角形的判定及性質，相似三角形的判定及性質，平面向量．（1）根據平行線的性質和角平分線的定義得到，設，根據得到，分別代入即可解答；（2）根據平面向量三角形減法法則得出，根據可求得與的關系，即可求解．【詳解】（1）∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，設，則，∵，∴，∴，即，解得，∴．（2）∵，，∴．∵，∴，∴，∴，∴，即，∴．故答案為：，21．已知二次函數的部分對應值如下表，求的值：編號…12345678……012345……______0______512…小海和小申對這道題展開討論：【小?！课艺J為，通過編號2、3、4（或其它任意3個編號）可以算出這條拋物線的解析式，接著求出的值．【小申】我認為不需要計算就可以求出值，可以______．(1)采用【小海】的方法，求的值；(2)補充【小申】的發(fā)言并填寫表格中的數據；(3)結合本題，談談你對這類題型做法的啟示．【答案】(1)12(2)表格見詳解，可以根據二次函數的對稱性求解(3)見詳解（答案不唯一）【分析】本題主要考查二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵；（1）利用待定系數法求解函數解析式，然后問題可求解；（2）根據表格可得二次函數的對稱軸為直線，然后根據二次函數的對稱性可進行求解；（3）根據題意進行闡述自己的見解即可．【詳解】（1）解：由題意可把點代入二次函數解析式得：，解得：，∴二次函數的解析式為，∴；（2）解：由表格可知：點關于拋物線的對稱軸對稱，∴二次函數的對稱軸為直線，所以補充表格如下：編號…12345678……012345……500512…∴由表格可知∴小申認為不需要計算就可以判斷，可以根據二次函數的對稱性進行求解；（3）解：通過本題，我認為對這類題型做法應該根據二次函數的對稱性進行求解，這樣做比較簡單明了．22．隨著時代的發(fā)展，手機“直播帶貨”已經成為當前最為強勁的購物新潮流．某種手機支架如圖1所示，立桿垂直于地面，其高為為支桿，它可繞點B旋轉，其中長為為懸桿，滑動懸桿可調節(jié)的長度．（參考數據：）(1)如圖2，當B、C、D三點共線，時，且支桿與立桿之間的夾角為，求端點D距離地面的高度；(2)調節(jié)支桿，懸桿，使得，如圖3所示，且點D到地面的距離為，求的長．（結果精確到）【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查解直角三角形的運用，掌握銳角三角函數的計算是解題的關鍵．（1）如圖所示，過點D作，過點B作于點E，則，由題意得到，在中，，可得，再根據，即可求解；（2）如圖所示，過點D作，過點C作，交于點K，H，則，，在中，由，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，過點D作，過點B作于點E，則，∵，∴，在中，，∴，∴，∴端點D距離地面的高度為；（2）解：如圖所示，過點D作，過點C作，交于點K，H，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，∴．23．已知：如圖，在四邊形中，，、相交于點，（1）求證：；（2）如果，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）找到兩對相同角即可證明相似（2）證明出后可推出．【詳解】證明：（1）∵兩個三角形有一公共角∠BAC∴．（2）為等腰三角形為等腰三角形．【點睛】本題考查四邊形的性質、相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是靈活運用這些知識解決問題，24．如圖，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線經過A、B兩點．

(1)求拋物線的表達式；(2)點D是拋物線在第二象限內的點，過點D作x軸的平行線與直線交于點C，求的長的最大值；(3)點Q是線段上的動點，點P是拋物線在第一象限內的動點，連結交y軸于點N．是否存在點P，使與相似，若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)當時，的長的最大值為4(3)點P的坐標為或【分析】（1）首先求得A、B點的坐標，然后利用待定系數法求拋物線的解析式；（2）設，則，進而表示出CD的長；接下來用含m的二次函數表示S，根據二次函數的性質，即可解答；（3）分兩種情況：①當△時，②當時，分別求解即可．【詳解】（1）直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，，，拋物線經過A、B兩點．，解得，；（2）設，作x軸，與直線交于點C，，解得，，當時，的長的最大值為4；（3）設，，，，分兩種情況：①當時，

，，，，，，，，，，，或3（舍去），，，，設直線的解析式為，解得，直線PQ的解析式為，聯立解得或（不合題意，舍去）點P的坐標為；②當時，過點Q作于H，

，，，，，，∴，∴，設，則，，，解得，，，，，，，，，，，，，同理得直線的解析式為，聯立解得或（不合題意，舍去）點P的坐標為；綜上，點P的坐標為或．【點睛】本題主要考查了二次函數綜合，一次函數與幾何綜合，勾股定理，相似三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定等等，解題的關鍵是利用方程的思想和函數的思想方法解決問題，利用相似三角形的判定得出關于m的方程是解題關鍵，解（3）的關鍵是分和兩種情況討論求解．25．問題背景：如圖1，在矩形中，，，點E是邊的中點，過點E作交于點F．實驗探究：(1)在一次數學活動中，小明同學將圖1中的繞點B按順時針方向旋轉，如圖2所示，得到結論：①__________；②直線與所夾銳角的度數為__________．；(2)小明