高中數(shù)學(xué)函數(shù)與方程的思想方法函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、不等式、或方程與不等式的混合組),然后通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解。有時(shí)，還實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問題的目的。笛卡爾的方程思想是：實(shí)際問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程問題。宇宙世界，充斥著等式和不等式。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問題是通過解方程來實(shí)現(xiàn)的……等等；不等式問題也與方程是近親，密切相關(guān)。而函數(shù)和多元方程沒有什么本質(zhì)的區(qū)別，如函數(shù)y=f(x),就可以看作關(guān)于x、y的二元方程f(x)-y=0?？梢哉f，函數(shù)的研究離不開方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時(shí)需要重點(diǎn)考慮的。函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進(jìn)行研究。它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點(diǎn)。一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x)、f?1(x)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性。在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。對(duì)所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時(shí)，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題。函數(shù)知識(shí)涉及的知識(shí)點(diǎn)多、面廣，在概念性、應(yīng)用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點(diǎn)。我們應(yīng)用函數(shù)思想的幾種常見題型是：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題；有關(guān)的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數(shù)觀點(diǎn)加以分析；含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關(guān)系；實(shí)際應(yīng)用問題，翻譯成數(shù)學(xué)語言，建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)或不等式等知識(shí)解答；等差、等比數(shù)列中，通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式，都可以看成n的函數(shù)，數(shù)列問題也可以用函數(shù)方法解決。I、再現(xiàn)性題組：1.方程1gx+x=3的解所在的區(qū)間為o2.如果函數(shù)f(x)=x2+bx+c對(duì)于任意實(shí)數(shù)t,都有f(2+t)=f(2—t),那么oA.f(2)<f(1)<f(4)B.f(1)<f(2)<f(4)C.f(2)<f(4)<f(1)3.已知函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)，則方程f(x)=a(a是常數(shù))_oA.有且僅有一個(gè)實(shí)根B.至多一個(gè)實(shí)根C.至少一個(gè)實(shí)根D.不同于以上結(jié)論4.已知,則tgθ的值是05.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,且Sb=S?(p≠q,p、q∈N),則Sp+q=o6.關(guān)于x的方程sin2x+cosx+a=0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_o7.正六棱錐的體積為48,側(cè)面與底面所成的角為45°,則此棱錐的側(cè)面積為o8.建造一個(gè)容積為8m3,深為2m的長(zhǎng)方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為120元和80元，則水池的最低造價(jià)為_o【簡(jiǎn)解】1小題：圖像法解方程，也可代入各區(qū)間的一個(gè)數(shù)(特值法或代入法),選C;2小題：函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為2,結(jié)合其單調(diào)性，選A;3小題：從反面考慮，注意應(yīng)用特例，選B;4小題：設(shè)x(x>0),則,解出x=2,再用萬能公式，選5小題：利用是關(guān)于n的一次函數(shù)，設(shè)Sp=S?=m,(x,p+q)在同一直線上，由兩點(diǎn)斜率相等解得x=0,則答6小題：設(shè)cosx=t,t∈[-1,1],1],所以答案：7小題：設(shè)高h(yuǎn),由體積解出h=2√3,答案：24√6;8小題：設(shè)長(zhǎng)x,則寬答案：1760。例1.設(shè)a>0,a≠1,試求方程loga(x-ak)=log?(x2—(89年全國(guó)高考)【分析】由換底公式進(jìn)行換底后出現(xiàn)同底，再進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程【解】將原方程化為：1oga(x-ak)=1oga√x2-a2,等價(jià)于綜上所述，k的取值范圍是：k<-1或O<k<1。【注】求參數(shù)的范圍，分離參數(shù)后變成函數(shù)值域的問題，觀察所求函數(shù)式，引入新的變量，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題，在進(jìn)行三角換元時(shí)，要注意新的變量的范圍。一般地，此種思路可以解決有關(guān)不等式、方程、最大值和最小值、參數(shù)范圍之類的問題。本題還用到了分離參數(shù)法、三角換元法、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法。另一種解題思路是采取“數(shù)形結(jié)合法”:將X原方程化為：1oga(x-ak)=1oga√x2-a2,等價(jià)于x-ak=√x2-a2(x-ak>0),設(shè)曲線C?:y=x-ak,曲線C?:y=√x2-a2(y>0),如圖所示。由圖可知，當(dāng)—ak>a或-a<-ak<0時(shí)曲線C?與C?有交點(diǎn)，即方程有實(shí)解。所以k的取值范圍是：k<-1或0<k<1。還有一種思路是直接解出方程的根，然后對(duì)方程的根進(jìn)行討論，具體過程是：原方程等價(jià)變形為后，解得：,所以,即例2.設(shè)不等式2x—1>m(x2-1)對(duì)滿足|m|≤2的一切實(shí)數(shù)m的取值都成立。求x的取值范圍?！痉治觥看藛栴}由于常見的思維定勢(shì)，易把它看成關(guān)于x的不等式討論。然而，若變換一個(gè)角度以m為變量，即關(guān)于m的一次不等式(x2-1)m—(2x-1)<0在[-2,2]上恒成立的問題。對(duì)此的研究，設(shè)f(m)=(x2-1)m—(2x—1),則問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)(或常數(shù)函數(shù))f(m)的值在[-2,2]內(nèi)恒為負(fù)值時(shí)參數(shù)x應(yīng)該滿足的條件【解】問題可變成關(guān)于m的一次不等式：(x2-1)m—(2x—1)<0在[-2,2]恒成立，設(shè)則例3.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn,已知a?=12,S12>0,S??<0。【解】①由a?=a?+2d=12,得到a?=12—2d,所以S?2=12a?+66d=12(12-2S?3=13a?+78d=13(12-2例4.如圖，AB是圓0的直徑，PA垂直于圓0所在平面，C是圓周上任一點(diǎn)，設(shè)∠BAC=θ,PA=AB=2r,求異面直線PB和AC的距離。【分析】異面直線PB和AC的距離可看成求直線PB上任意一點(diǎn)到AC的距離的最小值，【注】本題巧在將立體幾何中“異面直線的距離”變成“求異面直線上兩點(diǎn)之間距離利用函數(shù)性質(zhì)、重要不等式和有關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答。比如再現(xiàn)性題組第8題就是典型的例子。例5.已知△ABC三內(nèi)角A、B、C的大小成等差數(shù)列，且tgA·tgC=2+√3,又知頂點(diǎn)【分析】已知了一個(gè)積式，考慮能否由其它已知得到一個(gè)和式，再用方程思想求解。tgA+tgC=tgB(tgA·tgC—1)=√3設(shè)tgA、tgC是方程x2—(√3+3)x+2+√3=0的兩根，解得x?=1,x?=2+√3設(shè)A<C,則tgA=1,tgC=2+√3,得到tgA+tgC,從而設(shè)立方程求出tgA和tgC的值，使問題得到解決?！痉治觥坑^察題設(shè)，發(fā)現(xiàn)正好是判別式b2-4ac=0的形式，因此聯(lián)想到構(gòu)造一個(gè)一元【證明】當(dāng)x=y時(shí)，可得x=z,∴x、y、z成等差數(shù)列；當(dāng)x≠y時(shí)，設(shè)方程(x-y)t2—(z—x)t+(y-z)=0,由△=0得t?=t?,并易知t=1【分析】當(dāng)x∈[-∞,1]時(shí)有意義的函數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為1+2*+4*a>0在x∈[-∞,1]上恒成立的不等式問題?！窘狻坑深}設(shè)可知，不等式1+2*+4*a>0在x∈[-∞,1]上恒成立，即：在x∈[-∞,1]上恒成立。設(shè)則又設(shè)g(t)=t2+t+a,其對(duì)稱軸為所以a的取值范圍是【注】對(duì)于不等式恒成立，引入新的參數(shù)化簡(jiǎn)了不等式后，構(gòu)造二次函數(shù)利用函數(shù)的圖我們?cè)诮忸}中要抓住二次函數(shù)及圖像、二次不等式、二次方程三者之間的緊密聯(lián)系，將問題進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化。在解決不等在x∈[-∞,1]上恒成立的問題時(shí)，也可使用“分離參數(shù)法”:設(shè),則有,所以a的取值范圍是。其中最后得到a的范圍，是利用了二次函數(shù)在某區(qū)間上值域的研究，也可屬應(yīng)用“函數(shù)思想”。Ⅲ、鞏固性題組：1.方程sin2x=sinx在區(qū)間(0,2π)內(nèi)解的個(gè)數(shù)是o2.已知函數(shù)f(x)=|2*-1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),則0A.a<0,b<0,c>0B.a<0,b>0,c>0C.2?a<2C3.已知函數(shù)f(x)=loga(x2-4x+8),x∈[0,2]的最大值為-2,則a=4.已知{a,}是等比數(shù)列，且a?+a?+a?=18,a?+a?+a?=-9,Sn=a?+a?+…+an,那么等于6.對(duì)于滿足0≤p≤4的所有實(shí)數(shù)p,使不等式x2+px〉4x+p-3成立的x的取值范圍7.若關(guān)于x的方程|x2-6x+8|=a恰有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是8.已知點(diǎn)A(0,1)、B(2,3)及拋物線y=x2+mx+2,若拋物線與線段AB相交于兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取