習(xí)題1

1.1選擇題

(1)?運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)位于矢徑了(x,y)的端點(diǎn)處，其速度大小為

［答案:D］

(2)-質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻的瞬時(shí)速度□=2機(jī)/s,瞬時(shí)加速度a=-2"〃$2,則

一秒鐘后質(zhì)點(diǎn)的速度

(A)等于零(B)等于-2m/s

(C)等于2m/s(D)不能確定。

［答案:D］

(3)一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R:的圓周作勻速率運(yùn)動(dòng)，每t秒轉(zhuǎn)一儡，在2t時(shí)間間隔中，其平均

速度大小和平均速率大小分別為

2兀R2砒八2欣

(A)一,一(B)0,—

ttt

n2成八

(C)0,0(D)——,0

t

［答案:B］

1.2填空題

(1)一質(zhì)點(diǎn)，以R"s”的勻退率作半徑為5m的圓周運(yùn)動(dòng)，則該質(zhì)點(diǎn)在5s內(nèi)，位移的大小

是:經(jīng)過的路程是。

［答案：10m：57tm］

(2)一質(zhì)點(diǎn)沿x方向運(yùn)動(dòng)，其加速度隨時(shí)間的變更關(guān)系為a=3+2t(SI),假如初始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的

速度V。為5m?『，則當(dāng)t為3s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度v=。

［答案：23m51

(3)輪船在水上以相對于水的速度工航行，水流速度為匕，一人相對于甲板以速度可行走。

如人相對于岸靜止，則立、門和耳的關(guān)系是。

［答案：Vt+V2+V3=0］

1.3一個(gè)物體能否被看作質(zhì)點(diǎn)，你認(rèn)為主要由以下三個(gè)因素中哪個(gè)因素確定：

(I)物體的大小和形態(tài)：

(2)物體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)；

(3)所探討問題的性質(zhì)。

解：只有當(dāng)物體的尺寸遠(yuǎn)小于其運(yùn)動(dòng)范圍時(shí)才可忽視其大小的影響，因此主要由所探

討問題的性質(zhì)確定。

1.4下面幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，哪個(gè)是勻變速直線運(yùn)動(dòng)？

3222

(I)x=4t-3；(2)x=-4t+3t+6：(3)x=-2t+8(+4；(4)x=2/(-4/to

給出這個(gè)勻變速直線運(yùn)動(dòng)在t=3s時(shí)的速度和加速度，并說明該時(shí)刻運(yùn)動(dòng)是加速的還

是減速的。(x單位為m,t單位為s)

解：勻變速直線運(yùn)動(dòng)即加速度為不等于零的常數(shù)時(shí)的運(yùn)動(dòng)。加速度又是位移對時(shí)間

的兩階導(dǎo)數(shù)。于是可得(3)為勻變速直線運(yùn)動(dòng)。

其速度和加速度表達(dá)式分別為

clx,C

v=—=4/+8

dt

d2x.

a=--=4

dt2

t=3s時(shí)的速度和加速度分別為y=20m/s,a=4ni/s2o因加速度為止所以是加速的。

1.5在以卜.幾種運(yùn)動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些為零哪些不為零？

(1)勻速直線運(yùn)動(dòng)；(2)勻速曲線運(yùn)動(dòng)；(3)變速直線運(yùn)動(dòng)；(4)變速曲線運(yùn)動(dòng)。

解：(1)質(zhì)點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其切向加速度、法向加速度及加速度均為零；

(2)質(zhì)點(diǎn)作勻速曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其切向加速度為零，法向加速度和加速度均不為零：

(3)質(zhì)點(diǎn)作變速宜線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其法向加速度為零，切向加速度和加速度均不為零；

(4)質(zhì)點(diǎn)作變速曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其切向加速度、法向加速度及加速度均不為零。

1.6IArI與zk有無不同？*drdv和浣有無不同?其不同在哪里?

和有無不同？

drdr

試舉例說明.

解:(I)|Ar|是位移的模，Ar是位矢的模的增量,即IMTg一小加=同一同；

drdr

(2)是速度的模，即

drd/

生只是速度在徑向上的重量.

df

drd?drd

???有/=刀(式中另叫做單位矢)，則—=——r+r—

drdrdr

式中—就是速度在徑向上的重量,

dr

橫向

徑向

業(yè)與匕不同如題1.6圖所示.

d/d/

題1.6圖

⑶案表示加速度的模即同Y,四是加速度。在切向上的重量.

dr

?.?有y=V『行表軌道節(jié)線方向單位矢)，所以

dvdv_dr

—=—r+v——

drdrdi

式中包就是加速度的切向重量.

dt

(?方與而的運(yùn)算較困難，超出教材規(guī)定，故不予探討)

1.7設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為x=y=y(t),在計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度時(shí)，有人先求

出7=J/+),2,然后依據(jù)I，=上及4=色?而求得結(jié)果：又有人先計(jì)算速度和加速度的

、d/d產(chǎn)

重量，再合成求得結(jié)果，即

你認(rèn)為兩種方法哪一種

正確？為什么？兩者差別何在？

解:后-一種方法正確.因?yàn)樗俣扰c加速度都是矢量，在平面直角坐標(biāo)系中，有了=婷+9，

_drdrvdy

v=—=—i+—

drdrdr

故它們的模即為

而前一種方法的錯(cuò)誤可能有兩點(diǎn)，其?是概念上的錯(cuò)誤，即誤把速度、加速度定義作

drd2r

v=一

dld/2

其二’可能是將事與■誤作速度與加速度的模。在題中已說明（J不是速度的模'

而只是速度在徑向上的重量，同樣，三也不是加速度的模，它只是加速度在徑向重量中

d廠

的一部分=^4-rf—］?；蛘吒爬ㄐ缘卣f，前一種方法只考慮了位矢尸在徑向（即

d廠I山｝

量值）方而隨時(shí)間的變更率，而沒有考慮位矢「及速度0的方向隨時(shí)間的變更率對速度、加

速度的貢獻(xiàn)。

1.8?質(zhì)點(diǎn)在xO.y平面上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為

x=3f+5,y=—?r2+3Z-4.

■2

式中，以3計(jì)，X,），以m計(jì).（1）以時(shí)間，為變量，寫出質(zhì)點(diǎn)位置矢量的表示式；（2）求出

s時(shí)刻和t=2s時(shí)刻的位置矢量,計(jì)算這1秒內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移;（3）計(jì)算f=0s時(shí)刻到f=4s

時(shí)刻內(nèi)的平均速度：（4）求出質(zhì)點(diǎn)速度矢量表示式，計(jì)算，=4s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度：（5）計(jì)算1=

0s到Z=4s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均加速度；（6）求出質(zhì)點(diǎn)加速度矢量的表示式，計(jì)算/=4s時(shí)質(zhì)點(diǎn)

的加速度（請把位置矢量、位移、平均速度、瞬時(shí)速度、平均加速度、瞬時(shí)加速度都表示成

直角坐標(biāo)系中的矢量式）.

解：（1）r=（3/+5）Z+（-/2+3/-4）jm

⑵將，=1,，=2代入上式即有

斤=8,-0.57m

/;=11/+4jm

Ar=7；-zj=3/+4.5jm

⑶???/?>=5/-4/,rJ=17/+16y

.-Ar弓一馬127+20/v「t

..v=—=———-=------------=3z4-5/m-s

Ar4-04

dr--.

（4）v=—=3/+（z+3）jin-s-

dr

-1

則v4=37+77ms

(5)VV(1=3F+3J,V4=3F+7；

-Avv-v4y

a=——=—4——0-=—=1/m-s-2

Ar44,

(6)a-=—UI'=1.-/m-s-2

dr

這說明該點(diǎn)只有y方向的加速度，且為恒量。

1.9質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)，其加速度和位置的關(guān)系為a=2+6x2,"的單位為m?s-,x的單位

為m.質(zhì)點(diǎn)在x=0處，速度為10m?sI試求偵點(diǎn)在任何坐標(biāo)處的速度值.

5dvdvdLvdu

drdrdrdx

分別變量：vdu=adx=(2+6x2)(Lv

兩邊積分得

-v2=2X+2X3+C

2

由題知，x=0時(shí)，v0=10,/.c=50

v=2A/X3+x+25m-s-1

1.10已知一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其加速度為。=4+3，m-s",起先運(yùn)動(dòng)時(shí)，xm,v=0,

求該質(zhì)點(diǎn)在/=10s時(shí)的速度和位置.

解：:a=—=4+3/

dr

分別變量,得dp=(4+3/)d/

積分，得V=4/+-/2+C,

2

由題知，，=0,%=0,/.c,=0

故v=4t+-r

2

A4

又因?yàn)閥=%r=4/+二〃

dr2

分別變量，dr=(4/+-r21dr

3

積分得x=2r+-t+c2

2~

由題知r=0,x0=5,c2=5

故x=2/2+—/+5

2

所以f=10s時(shí)

3

2-

v10=4xio+-xio=190ms'

x=2xl02+-X103+5=705m

102

I.II一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為1m的圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為0=2+3/,式中。以弧度計(jì)，，以秒

計(jì)，求：(1)f=2s時(shí),質(zhì)點(diǎn)的切向和法向加速度：⑵當(dāng)加速度的方向和半徑成45°角時(shí)，

其角位移是多少？

d0八1八dco,_

解：(i)=—=9z",/7=—=18/

drdr

⑴，=2s時(shí),<=M=lxl8x2=36m?s-2

a?=Rco2=lx(9x22)2=1296ms-

(2)當(dāng)加速度方向與半徑成450角時(shí)，有

tan45°=-=1

a

n

即R(J=Rp

亦即(9/)2=18/

,32

則解得

9

于是角位移為

2

?=2+3/=2+3x-=2.67rad

9

1.12質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周按s=加2的規(guī)律運(yùn)動(dòng)，式中.為質(zhì)點(diǎn)離圓周上某點(diǎn)的弧

2

長，%，。都是常量，求：⑴/時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的加速度；(2)/為何值時(shí)，加速度在數(shù)值上等于。.

dq

解：(1)v=—=va-bt

dr

dv

a,--=-b

dr

22

v_(v0-^)

”RR

則a=

加速度與半徑的夾角為

ci-Rb

(P=arctaTn—=----------

4仇一初廣

(2)由題意應(yīng)有

a=h=P+^lL

VR2

2

即b=/+(%-,),一(%_從尸=0

R~

工當(dāng)，=%■時(shí)，a=b

h

1.13飛輪半徑為0.4m,自靜止啟動(dòng)，其角加速度為￡=70.2rad-s_2,求，=2s時(shí)邊緣

上各點(diǎn)的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度.

解：當(dāng)/=2s時(shí)，co=fit=0.2x2=0.4rad-s-1

則v=R(D=0.4x0.4=0.16ms-,

22-2

an=Rco=0.4x(0.4)=0.064m-s

a.=/?^=0.4x0.2=0.08m-s-2

a=yja；+a；=7(0.064)2+(0.08)2=0.102m-s-2

1.14一船以速率匕=30km-hT沿直線向東行駛，另一小艇在其前方以速率％=40km-h

沿直線向北行駛，問在船上看小艇的速度為多少?在艇上看船的速度又為多少？

解：(1)大船看小艇，則有當(dāng)=打一片，依題意作速度矢量圖如題L14圖(a)

(a)(b)

題1.14圖

1

由圖可知v21=J匕2+田=50km-h

方向北偏西0=arclan—=arctan—=36.87°

叱4

(2)小艇看大船，則有％2二%一%，依題意作出速度矢量圖如題L14圖(b),同上法，得

v12=5()km-h

方向南偏東36.870.

習(xí)題2

2.1選擇題

(1)一質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，

(A)它的動(dòng)量不變，對圓心的角動(dòng)量也不變。

(B)它的動(dòng)量不變，對圓心的角動(dòng)量不斷變更。

(C)它的動(dòng)量不斷變更，對圓心的角動(dòng)量不變。

(D)它的動(dòng)量不斷變更，對圓心的角動(dòng)量也不斷變更。

[答案：C]

(2)質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力可以變更

(A)系統(tǒng)的總質(zhì)量。(B)系統(tǒng)的總動(dòng)量。

(。系統(tǒng)的總動(dòng)能。(D)系統(tǒng)的總角動(dòng)量。

[答案:C]

(3)對功的概念有以卜幾種說法：

①保守力作正功時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)相應(yīng)的勢能增加。

②質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)經(jīng)一閉合路徑，保守力對質(zhì)點(diǎn)作的功為零。

③作用力與反作用力天小相等、方向相反，所以兩者所作功的代數(shù)和必為零。

在上述說法中：

(A)①、②是正確的。

(B)②、③是正確的。

(C)只有②是正確的。

(D)只有③是正確的。

[答案：C]

2.2填空題

（1）某質(zhì)點(diǎn)在力戶=（4+5x）；（SI）的作用下沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)。在從x=0移動(dòng)到x=10m

的過程中，力戶所做功為

【答案：290〃

（2）質(zhì)量為m的物體在水平面上作直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度為v時(shí)僅在摩擦力作用下起先作勻減速

運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過距離s后速度減為零。則物體加速度的大小為,物體與水平面間的摩

擦系數(shù)為。

［答案：二V

-]

2s2gs

（3）在光滑的水平面內(nèi)有兩個(gè)物體A和B,已知mA=2mBo（a）物體A以肯定的動(dòng)能Ek與

靜止的物體B發(fā)生完全彈性碰撞，則碰撞后兩物體的總動(dòng)能為；（b）物體A

以肯定的動(dòng)能Ek與靜止的物體B發(fā)生完全非彈性碰撞，則碰撞后兩物體的總動(dòng)能

為。

2

［答案：Ek\-Ek］

2.3在下列狀況下，說明質(zhì)點(diǎn)圻受合力的特點(diǎn)：

（1）質(zhì)點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng)：

（2）質(zhì)點(diǎn)作勻減速直線運(yùn)動(dòng)；

<3）質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)；

（4）質(zhì)點(diǎn)作勻加速圓周運(yùn)動(dòng)。

解：（1）所受合力為零；

<2）所受合力為大小、方向均保持不變的力，其方向與運(yùn)動(dòng)方向相反；

（3）所受合力為大小保持不變、方向不斷變更總是指向圓心的力；

（4）所受合力為大小和方向均不斷變更的力，其切向力的方向與運(yùn)動(dòng)方向相同，大小

恒定；法向力方向指向圓心。

2.4舉例說明以下兩種說法是不正確的：

（1）物體受到的摩擦力的方向總是與物體的運(yùn)動(dòng)方向相反：

<2）摩擦力總是阻礙物體運(yùn)動(dòng)的。

解：（1）人走路時(shí)，所受地面的摩擦力與人的運(yùn)動(dòng)方向相同；

<2）車作加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，放在車上的物體受到車子對它的摩擦力，該摩擦力是引起物體

相對地面運(yùn)動(dòng)的緣由。

2.5質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒的條件是什么？在什么狀況卜.，即使外力不為零，也可用動(dòng)量守恒定律

近似求解？

解：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒的條件是質(zhì)點(diǎn)系所受合外力為零。當(dāng)系統(tǒng)只受有限大小的外力作用，且

作用時(shí)間很短時(shí)，有限大小外力的沖量可忽視，故也可用動(dòng)量守恒定律近似求解。

2.6在經(jīng)典力學(xué)中，卜冽哪些物理量與參考系的選取有關(guān)：質(zhì)量、動(dòng)量、沖量、動(dòng)能、勢能、

功？

解：在經(jīng)典力學(xué)中，動(dòng)量、動(dòng)能、勢能、功與參考系的選取有關(guān)。

2.7一細(xì)繩跨過肯定滑輪，繩的一邊懸有一質(zhì)量為小的物體，另一邊穿在質(zhì)量為團(tuán)2的圓

柱體的豎直細(xì)孔中，圓柱可沿繩子滑動(dòng).今看到繩子從畫柱細(xì)孔中加速上升，柱體相對于繩

子以勻加速度〃'下滑，求〃相對于地面的加速度、繩的張力及柱體與繩子間的摩擦

力（繩輕且不行伸長，滑輪的質(zhì)量及輪與軸間的摩擦不計(jì)）.

解:因繩不行伸長，故滑輪兩辿繩子的加速度均為外,其對于叫則為牽連加速度，又知

對繩子的相對加速度為a',故〃與對地加速度，

由圖（b）可知，為①

又因繩的質(zhì)量不計(jì)，所以圓柱體受到的摩擦力/在數(shù)值上等于繩的張力丁，由牛頓定律，

有

叫=②

T-rn2g=m2a2③

聯(lián)立①、②、③式，得

（町-）g+m.a

a=―!-----=--------=—

x叫

+m2

_〃?2）g_"7|"

a,=

+m2

/_丁jmQg一哈

叫

+m2

探討（1）若"=0,則《=%表示柱體與繩之間無相對滑動(dòng).

⑵若，=2g,則7=/=0,表示柱體與繩之間無任何作用力，此時(shí)叫，叫均作自由

落體運(yùn)動(dòng).

2.8一個(gè)質(zhì)量為P的質(zhì)點(diǎn)，在光滑的固定斜而（傾角為。）上以初速度%運(yùn)動(dòng)，%的方向

與斜面底邊的水平線AB平行，如圖所示，求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道.

解：物體置于斜面上受到重力帆g,斜面支持力N.建立坐標(biāo)：取環(huán)方向?yàn)閄軸，平行斜

面與X軸垂直方向?yàn)閥軸.如題2.8圖.

題2.8圖

方向：

XFr=0①

丫方向：Fy=mgsina=maY②

時(shí)

f=0y=0vv=0

y=^gs\nat2

由①、②式消去f，得

1

y--2^stnax

2琢

2.9質(zhì)量為16kg的質(zhì)點(diǎn)在.rOv平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),受一恒力作用，力的重量為￡=6N,/,.=

1

-7N,當(dāng)f=0時(shí)，x=y=0,vx=-2m?s-vv=0.求當(dāng)，=2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的（1）位矢：（2）

速度.

3

解:3J=-m-s?

m168

^.=^=—m.s-2

■m16

⑴

,f2._3_5

\\=vxr4-Jox=-2+-&x2=—4ms

7

/=—x2=-ms

a/z168

下是質(zhì)點(diǎn)在2s時(shí)的速度

5-J

v=-i—jm-s

48

⑵

r=(匕Z+g

131-7

=(-2x2+-x-x4)/+-(—)x47

13..7.

=---1—/m

48

2.10質(zhì)點(diǎn)在流體中作直線運(yùn)動(dòng)，受與速度成正比的阻力為常數(shù)）作用，，=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)的

_<1）/

速度為%,證明（1）f時(shí)刻的速度為v=%e〃，：（2）由0到i的時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的距離為

k

%=（箸）［i-je］；⑶停止運(yùn)動(dòng)前經(jīng)過的距離為％（/）：⑷當(dāng)f二〃必時(shí)速度減

至丹的工，式中，〃為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量.

e

答：⑴???〃=*=處

md/

分別變量，得

dv_-kdt

vm

即「蟲=［3

兒vm

.v.-ii

In—=Ine

%

v=%，"

⑵x=jvdr=￡%e*dr=-^-^-(1-e心')

（3）質(zhì)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為零，即t-8,

故有X’=［匕)//山=”

Jok

(4)當(dāng)t=；時(shí),其速度為

k

-i-=_jV

v=vew*=ve=—o

ooe

即速度減至％的J.

e

2.11一質(zhì)量為〃?的質(zhì)點(diǎn)以與地的仰角6=30°的初速均從地而他出，若忽視空氣阻力，求

質(zhì)點(diǎn)落地時(shí)相對拋射時(shí)的動(dòng)量的增量.

解：依題意作出示意圖如題2.11圖

在忽視空氣阻力狀況卜，拋體落地瞬時(shí)的末速度大小與初速度大小相同，與軌道相切斜向下,

而拋物線具有對y軸對稱性，故末速度與入軸夾角亦為30°,則動(dòng)量的增量為

A/>=mv-tnvQ

由矢量圖知，動(dòng)量增量大小為帆％|，方向豎直向下.

2.12一質(zhì)量為〃1的小球從某一高度處水平拋出，落在水平桌面上發(fā)生彈性碰撞.并在拋出

1s后，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也與拋出時(shí)相等.求小球與桌面碰撞

過程中，東面賜予小球的沖量的大小和方向.并回答在碰撞過程中，小球的動(dòng)量是否守恒？

解：由題知，小球落地時(shí)間為0.5s.因小球?yàn)槠綊佭\(yùn)動(dòng)，故小球落地的瞬時(shí)向下的速度大

小為唧=g/=0.5g，小球上跳速度的大小亦為七=0,5g.設(shè)向上為y軸正向，則動(dòng)量的

增量

Ap=mv2-invx方向豎直向上，

大小|明二mv2~)-mg

碰撞過程中動(dòng)量不守恒.這是因?yàn)樵谂鲎策^程中，小球受到地面賜予的沖力作用.另外，碰

撞前初動(dòng)量方向斜向卜，碰后末動(dòng)量方向斜向上，這也說明動(dòng)量不守恒.

2.13作用在質(zhì)量為10kg的物體上的力為尸二(10+2。：N,式中7的單位是s,(1)求4s后,

這物體的動(dòng)量和速度的變更，以及力賜予物體的沖量.(2)為了使這力的沖量為200N?s,

該力應(yīng)在這物體上作用多久，試就?原來靜止的物體和?個(gè)具有初速度-6jm-si的物體,

回答這兩個(gè)問題.

解：(1)若物體原來靜止，則

△A=(廣山=](1()+2r)Zd/=56kgm-s-7,沿x軸正向，

A-bPl<(T：

Av=——L=5.6msi

(m

7)=%=56kgms-7

若物體原來具有—6m,sT初速，則

（口/）=_叫+工由于是

?0=一相環(huán)，力=〃7（一琳+

與2=P-Po=［產(chǎn)/=%,

同理,AV2=AP）,I2=/t

這說明，只要力函數(shù)不變，作用時(shí)間相同，則不管物體有無初動(dòng)量，也不管初動(dòng)量有多大,

那么物體獲得的動(dòng)量的增量（亦即沖量）就肯定相同，這就是動(dòng)量定理.

（2）同上理，兩種狀況中的作用時(shí)間相同，即

/=r（10+2r）dr=10/+r2

Jo

亦即產(chǎn)+10-200=0

解得f=10s,（f'=20s舍去）

2.14一質(zhì)量為機(jī)的質(zhì)點(diǎn)在xQy平面上運(yùn)動(dòng)，其位置矢量為

r=acos+bsinatlj

求質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量及f=0至卜=工時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所受的合力的沖量和質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的變更量.

解:質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量為

p-mv=mco（-asinco+/?cos690

將1=0和/=三分別代入上式，得

2co

/?!=m砌,p2=-mctxii,

則動(dòng)量的增量亦即質(zhì)點(diǎn)所受外力的沖量為

［二邸=02一認(rèn)=一〃73（出+勿）

2.15一顆子彈由槍口射出時(shí)速率為當(dāng)子彈在槍筒內(nèi)被加速時(shí)，它所受的合力為

/=（。一次）N",力為常數(shù)），其中1以秒為單位：⑴假設(shè)子彈運(yùn)行到槍口處合力剛好為零,

試計(jì)算子彈走完槍筒全長所需時(shí)間；（2）求子彈所受的沖量.（3）求子彈的質(zhì)量.

解：（1）由題意，子彈到槍口時(shí)，有

尸=（〃一歷）=0,得1=色

b

(2)子彈所受的沖量

將z=g代入，得

b

(3)由動(dòng)量定理可求得子彈的質(zhì)量

Ia

m=-=-------

%26%

2.16—炮彈質(zhì)量為〃？，以速率vE行，其內(nèi)部炸藥使此炮彈分裂為兩塊，爆炸后由于炸藥

使彈片增加的動(dòng)能為T,且一塊的質(zhì)量為另一塊質(zhì)量的k倍，如兩者仍沿原方向飛行，試證

其速率分別為

證明：設(shè)一塊為則另一塊為〃%,

m}=kn%及町+m2=in

km

于是得①

又設(shè)"L的速度為修，機(jī)2的速度為叱，則有

_1今121，

/=-mvf+—mv——/?nr②

212222

mv=+m2v2③

聯(lián)立①、③解得

v2=伏+④

將④代入②，并整理得

2T/3

—=（V,-V）

km

于是有

符其代入④式，有

又，題述爆炸后，兩彈片仍沿原方向飛行，故只能取

[2T[2kT

2.17設(shè)心=7：—6，N.⑴當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到尸二一3f+4了+16&1時(shí)，求戶所作

的功.（2）假如質(zhì)點(diǎn)到廣處時(shí)需0.6s,試求平均功率.（3）假如質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為1kg,試求動(dòng)能

的變更.

解：（1）由題知，￡＞為恒力，

=Fr=(7F-6J)(-37+4J+16工)

=-21-24=-45J

⑶由動(dòng)能定理,=A=-45J

2.18以鐵錘將一鐵釘擊入木板，設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板內(nèi)的深度成正比，在

鐵錘擊第一次時(shí)，能將小釘擊入木板內(nèi)1cm,問擊其次次時(shí)能擊入多深，假定鐵錘兩次打擊

鐵釘時(shí)的速度相同.

題2.18圖

解：以木板上界面為坐標(biāo)原點(diǎn)，向內(nèi)為y坐標(biāo)正向，如題2.18圖，則鐵釘所受阻力為

/=-ky

第一錘外力的功為A

A==￡-fdy=￡kydy='

式中廣是鐵錘作用于釘上的刀，/是木板作用于釘上的力，在山一＞0時(shí)，/'=-/.

設(shè)其次錘外力的功為A2,則同理，有

A

2=j,h^y=~ky2--

由題意，有

4=A=A（2，m，2）=2③

即-ky~--=-

2?-22

所以，y2=V2

于是釘子其次次能進(jìn)入的深度為

△y=y2-y=V2-I=0.414cm

2.19設(shè)已知一質(zhì)點(diǎn)（質(zhì)量為加）在其保守力場中位矢為，?點(diǎn)的勢能為七戶（「）=-&//，試

求質(zhì)點(diǎn)所受保守力的大小和方向.

dE（r）uh

解：“力,

方向與位矢尸的方向相反，方向指向力心.

2.20一根勁度系數(shù)為與的輕彈簧A的下端，掛一根勁度系數(shù)為“2的輕彈簧8,8的下端

又掛一重物C,。的質(zhì)量為M,如題2.20圖.求這一系統(tǒng)靜止時(shí)兩彈簧的伸長量之比和彈

性勢能之比.

題

題2.20圖

解：彈簧A、8及重物。受力如題2.20圖所示平衡時(shí)，有

FA=FB=MW

又

FB=

所以靜止時(shí)兩彈簧伸長量之比為

AXj_k2

4h

彈性勢能之比為

211

4，Al=7

2--

2.21(1)試計(jì)算月球和地球?qū)游矬w的引力相抵消的一點(diǎn)P,距月球表面的距離是多少?地

球質(zhì)量598X10"kg,地球中心到月球中心的距離3.84X10%,月球質(zhì)量7.35X10"g,月

球半徑1.74X10%.(2)假如一個(gè)1kg的物體在距月球和地球均為無限遠(yuǎn)處的勢能為零，那么

它在尸點(diǎn)的勢能為多少？

解：(D設(shè)在距月球中心為,處產(chǎn)月引二心引，由萬有引力定律，有

mM〃陽地

G—^a-=G

r("廳

經(jīng)整理，得

ER

JM地+JM月

77.35xIO22

x3.48xI08

,5.98x10"+J735xIO2?

=38.32xlO6m

則P點(diǎn)處至月球表面的距離為

67

h=r-ri3=(38.32-1.74)x10=3.66x10m

(2)質(zhì)量為1kg的物體在P點(diǎn)的引力勢能為

MHMW1

Pr(/?-/)

zrmil7.35XlO22//ST5.98xlO24

11

=-6.67x10"x-----------6.67x10x7----------r——-

3.83xlO7(38.4-3.83)xlO7

=1.28xIO6J

2.22如題2.22圖所示，一物體質(zhì)量為2kg,以初速度％=3m-s"從斜面A點(diǎn)處下滑，它與

斜面的摩擦力為8N,到達(dá)B點(diǎn)后壓縮彈簧20cm后停止，然后又被彈回，求彈簧的勁度系數(shù)

和物體最終能回到的高度.

A

題2.22圖

解：取木塊壓縮彈簧至最短處的位置為重力勢能零點(diǎn)，彈簧原特長為彈性勢能零點(diǎn)。則由

功能原理，有

1fns

-frs="I%)+8sin37°

2

-+mgssin37°-frs

k=

12

-x

9

式中s=4.8+02=5m,x=0.2m,再代入有關(guān)數(shù)據(jù)，解得

攵二1450Nm

再次運(yùn)用功能原理，求木塊彈回的高度/?'

r

-frs=mgs，sin37"-gArV

代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得s'=1.45m,

則木塊彈回高度

"=s'sin370=0.87in

2.23質(zhì)量為M的大木塊具有半徑為R的四分之一弧形槽，如題2.23圖所示.質(zhì)量為，”的

小立方體從曲面的頂端滑下，大木塊放在光滑水平面上，二者都作無摩擦的運(yùn)動(dòng)，而且都從

靜止起先，求小木塊脫離大木塊時(shí)的速度.

題2.23圖

解：機(jī)從M上下滑的過程中，機(jī)械能守恒，以m,M,地球?yàn)橄到y(tǒng)，以最低點(diǎn)為重力勢

能零點(diǎn)，則有

1,1,

mgR=-mv'+—MV~

又下滑過程，動(dòng)量守恒，以〃八M為系統(tǒng),則在/"脫離M瞬間，水平方向有

mv-MV=0

聯(lián)立以上兩式，得

2MgR

m+M

2.24?個(gè)小球馬?質(zhì)量相等的靜止小球發(fā)生非對心彈性碰撞，試證碰后兩小球的運(yùn)動(dòng)方向

相互垂直.

證：兩小球碰撞過程中，機(jī)械能守恒，有

題2.24圖(a)題2.24圖(b)

又碰撞過程中，動(dòng)量守恒，即有

〃用°=mvl+mv2

亦即°。=%+02

由②可作出矢量三角形如圖(b),又由①式可知三矢量之間滿意勾股定理，且以環(huán)為斜邊,

故知％與%是相互垂直的?

習(xí)題3

3.1選擇題

(1)有一半徑為R的水平圓轉(zhuǎn)臺(tái)，可繞通過其中心的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)

動(dòng)慣量為J，起先時(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)以勻角速度前轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)有?質(zhì)量為m的人站在轉(zhuǎn)臺(tái)

中心，隨后人沿半徑向外跑去，當(dāng)人到達(dá)轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為

JJ

(A)-------6yo(B)---------亍①o

J+mR-7(J+m)R2

?FT%①)g

［答案：(A)l

(2)如題3.1(2)圖所示，-光滑的內(nèi)表面半徑為10cm的半球形碗，以勻角速

度(0繞其對稱軸0C旋轉(zhuǎn)，已知放在碗內(nèi)表面上的一個(gè)小球P相對于碗靜止，

其位置高于碗底4cm,則由此可推知碗旋轉(zhuǎn)的角速度約為

(A)l3rad/s(B)l7rad/s

(C)IOrad/s(D)18rad/s

(a)(b)

題3.1(2)圖

[答案:(A)]

(3)如3.1(3)圖所示，有一小塊物體，置于光滑的水平桌面上，有一繩其一端連

結(jié)此物體，；另一端穿過桌面的小孔，該物體原以角速度s在距孔為R的圓周上

轉(zhuǎn)動(dòng)，今將繩從小孔緩慢往下拉，則物體

(A)動(dòng)能不變，動(dòng)量變更。

(B)動(dòng)量不變，動(dòng)能變更。

(C)角動(dòng)量不變，動(dòng)量不變。

(D)角動(dòng)量變更，動(dòng)量變更。

(E)角動(dòng)量不變，動(dòng)能、動(dòng)量都變更。

[答案:(E)]

3.2填空題

(1)半徑為30cm的飛輪，從靜止起先以O(shè)&acbN的勻角加速轉(zhuǎn)動(dòng)，則飛輪邊緣上

一點(diǎn)在飛輪轉(zhuǎn)過240。時(shí)的切向加速度at=,法向加速度

3n=o

〔答案：0.1