期末復(fù)習(xí)專(zhuān)題01：平面向量的線性運(yùn)算解析版

【知識(shí)框架】

【考點(diǎn)講解】

考點(diǎn)一：平面向量的概念

考點(diǎn)二：平面向量的加法、減法運(yùn)算

考點(diǎn)三：平面向量的數(shù)乘向量

考點(diǎn)一：平面向量的概念

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量.

2、向量的模：向量的大小叫向量的模.

【注意】（1）向量Z的模|￡匕0.

（2）向量不能比較大小，但|工|是實(shí)數(shù)，可以比較大小.

3、零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫零向量.記作0,它的方向是任意的.

4、單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.

5、共線向量或平行向量

方向相同或相反的非零向量，叫共線向量（共線向量又稱(chēng)為平行向量）.規(guī)定：6與任一向量共線.

6、相等向量

方向相同、長(zhǎng)度相等的向鼠，叫相等向量

【典例例題】

例I.（2023?廣東省東莞市期中試題）關(guān)于向量五，%,下列命題中，正確的是（）

A.若同=|孫則五=5B,若,〃石，勿/3則/

C.若同＞|同，則方D.若互=一直則可/B

【答案】。

【解析】解：選項(xiàng)兒兩個(gè)向量的模相等，但是方向不確定，所以不一定相等，4錯(cuò)誤；

選項(xiàng)8,若5=6,則B與任意向量共線，而立與工的方向不確定，8錯(cuò)誤：

選項(xiàng)C,兩個(gè)向量不能比較大小，C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)。，若萬(wàn)=一反則G〃反。正確.

故選：D.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?河南省信陽(yáng)市期中試題）下列命題:

①若Ia|=IbI，則a=b;

②的充要條件是111=lbI且://b

③若W//b,E底則Z元;

④若4,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，則標(biāo)二慶是四邊形為平行四邊形的充要條件.

其中，真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.IC.2D.3

【解答】解：對(duì)于①，若|Z1=|EI，但2E方向不一定相同，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，當(dāng)；=-?寸也滿足|aI=IbIfta//b故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，當(dāng)三=而寸，滿足E“I但Z”3不一定成立，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，若4,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，則至二灰是四邊形48CQ為平行四邊形的充要條件，故④正

確，

故真命題的個(gè)數(shù)是1個(gè).

故選:B.

2.（2023?廣東省佛山市期中試題）下面關(guān)于平面向量的描述不正確的有（）

A.共線向量是在一條直線上的向量

B.起點(diǎn)不同但方向相同且模相等的向量是相等向量

C.向量而與向量前長(zhǎng)度相等

D.兩個(gè)非零向量之，B若G+El=lZGl，則Z1E

【解答】解：對(duì)于4共線向量所在的直線平行或重合，故力錯(cuò)誤；

對(duì)于8,根據(jù)相等向量的定義可知，起點(diǎn)不同但方向相同且模相等的向量是相等向量，故8正確；

對(duì)于C，向量而與向量衣是相反向量，長(zhǎng)度相等，故C正確；

對(duì)于。，兩個(gè)非零向量:，己若lZ+%l=GV|，則兩邊平方得（；+E）2=（；￡）2，

而i、［f2——―2——2———2

"以a+2apb+ba-2apb+b，

所以a?b=0,即a_Lb,故。正確.

故選：A.

3.（2023?江蘇省南京市期中試題》下列結(jié)論中，正確的是（）

A.零向量只有大小，沒(méi)有方向

B.若族//CD，AB//而，則而//EF

C.對(duì)任一向量a,總是成立的

D.|AB|=|BA|

【解答】解：對(duì)于4既有大小又有方向的量叫向量，故力錯(cuò)誤；

對(duì)于氏若標(biāo)一6滿足盛”而，獲“而，但是而今而不一定平行，故4錯(cuò)誤;

對(duì)于C,零向量的模長(zhǎng)為0,故。錯(cuò)誤；

對(duì)于。，由于標(biāo)與就方向相反，長(zhǎng)度相等，故|至|:|就|，故。正確.

故選：D.

考點(diǎn)二：平面向量的加法、減法運(yùn)算

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

1.向最的加法

（I）三角形法則：“首尾相接“，即第一個(gè)向量的終點(diǎn)與第一個(gè)向量的起點(diǎn)重合，則以第

一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，并以第二個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量即兩向量的和；

（2）平行四邊形法則：兩個(gè)向量共起點(diǎn)，并以這兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊，同起點(diǎn)

夾對(duì)角線，即兩向量的和；

（3）向量加法的運(yùn)算律

結(jié)合律：a+b=b+a交換律：（a+6）+c=a+（6+c）

2.向量的減法

（1）二角形法則：兩個(gè)向量的同起點(diǎn)，連接兩個(gè)向量終點(diǎn)，方向指向被減

向量；

（2）向量的減法滿足結(jié)合律和交換律

【典例例題】

例1.（2023?福建省福州市期中試題）如圖，向量標(biāo)=W，AC=b而=與，則向量而可以表示為（）

D

A.a+b-cB.a-b1-cC.b-D.b-a-c

【解答】解：如圖,向量屈AC=b.CD=o則向量前=瓦+而，

BA+AD=BA+AC+CD--a+b+c

故選：C.

例2.（2023?廣東省惠州市期中試題）八卦是中國(guó)占老文化的深?yuàn)W概念，其深邃的哲理解釋了自然、社會(huì)現(xiàn)

象.如圖1所示的是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形力阮'。由GH,其中。為正八邊形

的中心，則贏-而=（）

A.0DB.DOC.DAD.AD

【解答】解：由題意可得，OA=EO.

OA-ED=EO-ED=DO.

故選：B.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?高一課時(shí)練習(xí)）向量（而+麗）+（麗+反+而卜（）

A.BCB.~ABC.ACD.~AM

【答案】C

【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得：

（荔+碉+（兩++兩）=詼+BC）+（BO+OM^MB

=AC+BM+MB=AC+BM-BM=AC.t^^:C.

2.（2022秋四川?高一四川省科學(xué)城第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，正六邊形/46E9中，則

BA+CD+EF=（）

DE

BA

A.6B.~EBC.~ADD.CF

【答案】D

【解析】由已知，4BCDEF為正六邊形,所以前=#,EF=CB,

所以0+無(wú)+麗=0+/+而=臍+而=樂(lè)故選：D.

3.（2022秋廣東廣州高一華南師大附中?？计谥校┫铝邢蛄窟\(yùn)算結(jié)果錯(cuò)誤的是（）

A.a+b+d-eB.c=f-dC.a=c-bD.c+d+e=g

【答案】A

【解析】對(duì)于A,a+h+d=AB+BC+CD=AD=f,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,f-d=JD-CD=JD+~DC=7c=e,B正確；

又寸于C,c-^=JC-5C=JC+CT==?,C正確；

對(duì)于D,c+d+e=AC+CD+DE=AE=g,D正確；故選：A

4.（2022秋內(nèi)蒙古通遼?高一霍林郭勒市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)。是正六邊形

48COE廠的中心\,貝（JE+反+礪=（）

A.6B.0C.AED.EA

【答案】A

【解析】連接OR

由正六邊形的性質(zhì)，可知△。加與△OBC都是等邊三角形,

OA=AB=BC=OC

???四邊形OABC是平行四邊形,

:.OA+OC=OB,

:.OA+OC+OE=O/i+OE=b,故選:/.

5.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）如圖,在梯形ABCD中，AD〃BC,AC與BD交于點(diǎn)O，化簡(jiǎn)

BA-BC-OA+OD+DA.

【答案】CA

【解析】因?yàn)樵谔菪沃校?D〃BC,AC與BD交于氤O,

^BA-BC-OA+OD+DA=CA+AO+OD+DA=Cd+OD+~DA=CD+DA=CA.

§PBA-BC-()A+bD+bA=CA.

考點(diǎn)三：數(shù)乘向量運(yùn)算

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

1.數(shù)乘向量的定義：規(guī)定實(shí)數(shù)人與向量〃的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作：曲，它的長(zhǎng)度

與方向規(guī)定如下：①|(zhì)M二R||M；

②當(dāng)a>o時(shí)，九I的方向與。的方向相同;

當(dāng)幺<0時(shí)，的方向與〃的方向相反.

2.共線定理

(1)向量共線的判定定理：M是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)％，使B=則向量B

與非零向量不共線.

(2)向量共線的性質(zhì)定理：若向量3與非零向量之共線，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)久，使書(shū)=4。.

3.平面向量基本定理

(1)定義：如果牛馬是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量Z,

有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)4,4,使￡=4弓+46

(2)基底：若用與不共線，我們把｛用6｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.

【典例例題】

例I.(2023?江蘇省蘇州市期中試題)點(diǎn)P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)且滿足而=、而+)，充，則下列說(shuō)法正

確的個(gè)數(shù)有()

112

①若x=y=-,則點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn)；②若點(diǎn)P是8c邊上靠近8點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則1=二/二-；③

233

若點(diǎn)尸在5C邊的中線上且x+畔］，則點(diǎn)尸是一8。的重心；④若x+y=2,則EBC與的面

積相等.

A.I個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【解析】

【詳解】①若x=y=；,則力A，方+；太，

即77一力耳二配一】A，即麗=前.

即點(diǎn)尸是邊4c的中點(diǎn)，故①正確；

②由點(diǎn)尸是3。邊上靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，

所以27》二「乙，即2(力P—力8)=4C—凝，

即7P=-7B+-~AC,

33

21

所以x=一,y=一.故②錯(cuò)誤：

33

③因?yàn)辄c(diǎn)P在3C邊的中線上，設(shè)。為3。中點(diǎn),

設(shè)刃5:流，

又而=；（下+就），

所以方=4萬(wàn)

22

又工+），=!，則4+2=1,

2222

所以；1=’,即萬(wàn)=!而，

22

所以點(diǎn)P為8c邊的中線的中點(diǎn)，故不是重心，故③錯(cuò)誤：

④設(shè)而=2萬(wàn)，AN=2AC＞則而+日京,5+^=1，

乙乙乙乙

故點(diǎn)P在直線MN匕點(diǎn)P與點(diǎn)A到BC邊的距離相等，

所以APBC與△48C的面積相等，故④正確.

故選：B.

例2.（2023?江蘇省鎮(zhèn)江市期中試題）已知/8=。+53，BC=-2a+顯,。。=3"3蘇則（）

A.4民C共線B.4,比。共線c.4C”共線D.8,C,O共線

【答案】C

【解析】

-22=1

【詳解】對(duì)于A,若4伐。共線，則方=%而，即?，方程組無(wú)解，則A錯(cuò)誤:

82=5

A=1

對(duì)于B,若4民。共線，則而=7麗=2（萬(wàn)心+麗）即《八，方程組無(wú)解，則B錯(cuò)誤;

-3U=5

32=—1

解得：

對(duì)于C,若力co共線，則正二方+比"而，即_3*]3A=-l,

4,。,。共線，CiE確:

__32=-2

對(duì)于D,若8,C,。共線,則8C"Q，即口94=8,方程組無(wú)解，則D錯(cuò)誤.

故選:C.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?廣東省梅州市期中試題）在平行四邊形/8CQ中，￡是對(duì)角線4c上靠近點(diǎn)。的三等分點(diǎn)，點(diǎn)尸

在8石上，若療=工行+，而，則工=（）

3

A.-B.-C.-D.-

3567

【答案】C

2.（2023?廣東省佛山市期中試題）如圖，在A43C中，已知點(diǎn)。、E分別在邊44、BC上,且Z8=3力。,

BC=2BE.用向量.方、衣表示瓦；

【答案】yAB+^-AC

62

由題意可得：l5E=i5B+BE=-AB+-BC=-AB+-（AC-AB）=-AB+-AC

3232、762

3.（2022?廣東省東莞市期末試題）已知之，康平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，標(biāo)=〃?。2總BC=31-bA,B,

。三點(diǎn)共線，則〃尸（）

A.--2B.—2C.-,6D.6

33

【解答】解：:彳，B，C三點(diǎn)共線，

???標(biāo)Lj前共線，

???存在人使標(biāo)=入前，

/.m^+2b=3X7-Xb且！，卡不共線，

：.4m=3入，解得m=-6.

-X=2

故選：C.

4.（2023?江蘇省蘇州市期中試題）（多選）下列命題正確的是（）

A.非零向量q和色不共線，若力8=q—/,力。=2￡]+。2,8=3弓一6々，則8、C、。三點(diǎn)共線

B.己知q和與是兩個(gè)夾角為60"的單位向量，d=5+=kq-4g且@_/_B，則實(shí)數(shù)A=5

C.若四邊形48co滿足在+而=0,（方―力萬(wàn)）?k=0,則該四邊形一定是矩形

D.點(diǎn)。在△力BC所在的平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)。滿足加二次+義（萬(wàn)+配），則動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑經(jīng)過(guò)△/BC

的重心

【答案】BD

【解析】

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)榉橇阆蛄縄和公不共線，所以1和最可以作為平面內(nèi)的一組基底,

因?yàn)?1〃=%一02，4c=2,+4,CD=3^-6e2

所以BC=AC-AB=（勿］+f?2）~（ei~e2）3+2弓.

顯然不存在實(shí)數(shù)力使得比前，故8、C、。三點(diǎn)不共線,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：因?yàn)?和6是兩個(gè)夾角為60°的單位向量，所以q芻=芍?e2cos600=lxlx；=；,

LJ

又G=q+2%，B=ke[-4q且GJ.B，

所以1?方=k]+2/）?（攵6]—4,）=左ej—S6-+（2攵-4）q-e2=0,

即上-8+g（2%-4）=0,解得女=5,故B正確；

對(duì)干C：由方+無(wú)=。可得力成7）為平行四i力形，（萬(wàn)一而）.充=0,即萬(wàn)瓦正=0，

所以麗1祝，即四邊形43C。為對(duì)角線互相垂直的平行四邊形，則該四邊形可能是菱形或正方形，故C

錯(cuò)誤；

對(duì)于D：設(shè)8c的中點(diǎn)為。，則]豆+配=2而，因?yàn)辂惗?丸。彳方+衣），

所以而一次=24而，即"=2/1而，所以A、P、。三點(diǎn)共線，

即戶(hù)在上.又三角形重心在.4。上，所以動(dòng)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)路徑經(jīng)過(guò)-8C的重心，故D正確：

故選：BD

5.（2023?江蘇省蘇州市期中試題）根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理，以直角三角形的三條邊為邊長(zhǎng)作正方形，從斜邊

上作出的正方形的面積正好等于在兩直角邊上作出的正方形面積之和.現(xiàn)在對(duì)直角三角形CQE按上述操作

作圖后，得如圖所示的圖形，若赤=x方+y而，則x—V二

H

【答案】或

2

【解析】

【詳解】如圖，以力為原點(diǎn)，分別以而，而為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)止方形4"7。的邊長(zhǎng)為2a,則止方形?！?//的邊長(zhǎng)為JJQ,止萬(wàn)形以'GC邊長(zhǎng)為。

可知4(0,0),8(2〃,0),O(0,2a),QR=(G+1)Q

(3+石5+旨］

貝=(G+l)Q.cos30。，y尸=(G+l)a?sin30+2a,UpF-------a,---------a

22

又AF=xAB+yAD，=x(2a,0)+y(0,2a)={lax,lay)

；3+V3

lax=--------a廠廠

即'之，即2ar-2ay=3^――a-^^-a?化簡(jiǎn)得不一少=一7

05+&222

2ay=---a

故答案為：一!

2

6.(2023?江蘇省蘇州市期中試題)在平行四邊形中，AB=a,AD=Z>>

(1)如圖1,如果￡、尸分別是8C,OC的中點(diǎn)，試用。、6分別表示麗、^E-

(2)如圖2,如果。是力C與8。的交點(diǎn)，G是。。的中點(diǎn)，試用a,b表示氐.

DFCDC

nw

ABAB

圖1圖2

【解答】解：（1）當(dāng)E、E分別是8C,0c的中點(diǎn)時(shí)，

BF=MCF

=AD-4AB

2

一L

=b-a，

2

DE=DC-CE

=AB-/AD

一1-

=a-,b；

（2）???0是4C與8。的交點(diǎn)，G是。。的中點(diǎn)，

???BG==BD==（AD-AB）.

44

AAG--S-BG

=AB-4（元H標(biāo)）

4

T瓦4標(biāo)

44

1-*2-

=3■抬~b.

44

7.（2023?河北省衡水期中試題）如圖所示，在△480中，OC=VOA?0D=^-0B*力。與6c相交于點(diǎn)〃，

42

設(shè)0A=a，0B=b.

（1）試用向量z,E表示林；

（2）過(guò)點(diǎn)"作直線E凡分別交線段力C,BD于點(diǎn)、E,F.記而=入￡OF=|1b求證：為定

Apl

值.

B

【解答】解：(1)由4Z)三點(diǎn)共線，可設(shè)而=m5J+(l-m)而=m；得打，

由8,M,。三點(diǎn)共線,"JizCM=nOC+(l_n)OB——a+(l-n)b,

4

因?yàn)閆，E不共線,

所以《一4，解得1

1-m<7

'<0M^ya+yb-

(2)因?yàn)椤?M,/三點(diǎn)共線,

設(shè)而=k^+(l—k)而=k、Z+(l-k)b

ll:L)'<IkX=-y?(1-k)P=y,

JJ-^-=7k,-^-=7-7k-

所以+*=7，

故4■看為定值，即得證.

【鞏固練習(xí)】

1.(2023?高一課時(shí)練習(xí))如圖，在平行四邊形/次?。中，E,廠分別為線段GD的中點(diǎn)，且力"0「用=G,

則()

C.而=；(而+珂

D.JG=3GD

【答案】C

【解析】#=而+而=而+；反=而+；方，即A不正確;

連接AC,知G是AADC的中線交點(diǎn)，如下圖示

由其性質(zhì)有回1=0=_1

只田人可|/G|\CG\2

—2—1—1—I——2—1—

???AG=-AE+-AC=-AD+-（AB+BC）=-AD+-ABt即B不正確；

EF=ED+DF=1（JD+DC）=1（^D+A5）,即C正確；

同理而赤+；麗=§（就+而）+；麗=：（而一標(biāo)）

而+；方=；（茄+麗，K[1G￡）=|（JZ）-J5）

???萌=2而，即口不正確；故選：C.

2.（2022春重慶巴南高一重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┰贏BC中，AB=C,AC=b,若點(diǎn)。滿

足2布=反，以師｝為基底，則而=（)

A2T1-*5-2-?_I-1工2-

A.丁+鏟B.-c—bC-h--cD.”+

33,33

【答案】D

【解析】因?yàn)?而=反,AB=c.AC=b,

所以后方=:3C=（（力。一，歷=:右一!0,

JJJJ

___r1_I一1—O—

所以力。=茄+而=。'+=J+,故選：D

JJJJ

3.（2022秋?河北石家莊?高一石家莊市第十五中學(xué)?？计谥校┤鐖D,在平行四邊形,48CQ中，E

)

1—5——1—3—

c-AB--ADD-AB--AD

?36,34

【答案】C

【解析】而=萬(wàn)一而=g在一茄=3懣*阿一五=（而一,而.故選：C

4.（2022秋遼寧?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）我國(guó)古代人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股

定理了，勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，被后人稱(chēng)為

“趙爽弦圖”.“趙爽弦圖”是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的圖騰,還被用做第24屆

國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽.如圖，大正方形力4四是由4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形

組成的，若荏=Z,AD=b,E為"的中點(diǎn)，則/=（）

3-4-4-3-1-2-2-1-

A.-a+—bB.-a^-bC.-a+—bD.-a+-b

55553333

【答案】A

【解析】AF=AB+BF=AB+BC+CF=AB+AD-；AE=AB+AD（AB+AF）,

即簫=赤+而一;（茄+萬(wàn)）,

S——4———3—4-

.二彳/"=彳〃+〃=AF=-a+-h.故選：A.

5.（2022秋福建泉州?高一校聯(lián)考期中）如圖，已知“8C中，。為邊5c上靠近8點(diǎn)的三等分

點(diǎn)，連接力。，E為線段力。的中點(diǎn)，若區(qū)=用而+〃次，則2〃?+〃=（）

【答案】A

【解析】依題意得，而=而+而=而+；脛=前+；（就-萬(wàn)）號(hào)萬(wàn)+；元，

故醞=B+施+：布=一萬(wàn)+J觀+斌=^X4B-^4C，所以〃[=；,/!=—!■

故2/〃+〃=2xd=J.故選：A.

6.（2022?高一單元測(cè)試）在“8C中，點(diǎn)。線段8C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)。滿足力=3萬(wàn)，若存在實(shí)

數(shù)冽和"，使得而=〃?前+〃次,則6+〃=（）

【答案】D

【解析】由題意，而=2方+（】一證且0czi<i,而而=3萬(wàn)=3（荔+麗,

^f[^3AB+3BP=AAB^（l-A）AC,即旃茄+一祝,

2-3

m=---

由已知，J?，則小+〃=-2：故選：D

1-A5

7.（2022?高一課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)尸是一AC所在平面上一點(diǎn)，若赤-；酢+!就，則”即與△4CP的

面積之比是（）

3