第二章練習(xí)題(解答)

一、填空題:

2x

1.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=《二,則用Y表示對(duì)X的3次獨(dú)立重復(fù)

0其匕

的觀察中事件(XW，)出現(xiàn)的次數(shù)，則P(Y=2)=

2

11

P(X<-=

2\22xdx=-J)04

p(y=2)=c；g)2(]):”

4464

2.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為：

-ax+b0<x<l

f(x)=一

I0其他

且EX=L則"-2__________,b=2___________o

3

1

If(ax+b)dx=1

—<]

J0x(ax+b)dx=;解之

3.已知隨機(jī)變量X在[1(),22J上服從均勻分布，則EX=16

DX=___12____________

4.設(shè)然隨機(jī)變量,Eg=3,Ef=11,則E(華+10)=_4心+10=22

54+10)=16。&=16歸長(zhǎng)一(EJ>]=32

ax+b0<x<1

5.已知X的密度為(p(x)=P(x<-)

{0其他，且3

=P(X>-)，則。=,b=

3

jJ0(x)dx=1

,聯(lián)立解得:

tpa〈*尸嗎=￡(…小j

((ax+b)dx

6.若f(x)為連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度，則匚/(幻公=1

0,x<0

7.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量M的分布函數(shù)F(x)=?//牝0?x<1,則

I,x>2

P(€=0.8)=0；尸(0.2vJv6)=0.99。

8.某型號(hào)電子管，其壽命(以小時(shí)記)為一隨機(jī)變量，概率密度以幻=

lOOz()

"),某一個(gè)電子設(shè)備內(nèi)配有3個(gè)這樣的電子管，則電子管使用150小時(shí)都不

0(其他)

需要更換的概率為8/27。

「100

rrx多。。

:.e(x)="I

Io其它

一八、八15010()110()「5022

P(f>150)=l-F(150)=l--^-dx=\+——=1+--1=-

JlOO/xJlOO33

78

[P(^>150)]3=(y)3=—

9.設(shè)隨機(jī)變量X服從B(n,p)分布，已知EX=1.6,DX=1.28,則參數(shù)n

P=。

EX=np=1.6

DX=npq=1.28,解之得：n=8,p=0.2

10.設(shè)隨機(jī)變量x服從參數(shù)為(2,P)的二項(xiàng)分布，Y服從參數(shù)為(4,P)的二項(xiàng)分

布，若P(&>1)=2,則P(n>l)=65/81o

9

解:

54

^>l)=-=>/X^<D=-=^=0)

2421

:.q=-=>q=—,p=-

-933

〃(〃<1)=1一〃("=。)

=1-C^°^4=1--=—=80.2%

-8181

11.隨機(jī)變量X?N(2,(T2),且P(2<X<4)=0.3,則P(X<0)=0.2

,4-22-2

P(2<X<4)=P(X<4)-P(X<2)=O(——)-0/——)=0.3

0(T(T

由此解出。，

再代入P(X<0)=(Do("Z),查表可得

(T

12.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則數(shù)學(xué)期望E(x+e-2x)=4/3

E(X+e-2X)=EX+Ee-2X=1+P^-2A=1+-=-

J。33

13.已知離散型隨機(jī)變顯x服從為2的泊松分布，則隨機(jī)變豉z=3x-2的期望

E(z)=3EX-2=3x2-2=4o

14.設(shè)隨機(jī)變量x服從參數(shù)為2的泊松分布，且P(x=1)=P(x=2)則E(x)=2一

D(x)=2.

—e~A=—eA=>/I2—2A=0

1!1!

.*.2=2(Z=0舍)

15.若隨機(jī)變量，服從參數(shù)入=0.05的指數(shù)分布，則其概率密度函數(shù)為:

OO5e-O,O5xX>Q

“(x)=；Eg=20；D^=400o

0,x<0

16.設(shè)某動(dòng)物從出生活到1()歲以上的概率為0.7,活到15歲以上的概率為0.2,則現(xiàn)齡

為10歲的這種動(dòng)物活到15歲以上的概率為到刀＞10)=℃＞匕)=坦=2=0.286

??尸(4＞10)0.77

17.某一電話站為300個(gè)用戶服務(wù)，在一小時(shí)內(nèi)每一用戶使用電話的概率為0.01,則在

一小時(shí)內(nèi)有4個(gè)用戶使用電話的概率為巴(4)=0.168031

一小時(shí)內(nèi)使用電話的用戶數(shù)服從X=叩=300x0.01=3的泊松分布

18通常在n比較大，p很小時(shí)，用泊松分布近似代替二項(xiàng)分布的公式,其期望

為4=〃〃，方差為2=np

19.x?N(M,(j2),P(x<-5)=0.045,p(x<3)=0.618,則〃=_1.8,。

=40

二、單項(xiàng)選擇:

I.設(shè)隨機(jī)變量x的密度函數(shù)為:

f(x)=r4x\0<x<l

I。其他

則使P(x>a)=P(x<a)成立的常數(shù)a=A

11

A.—^=B.V2D.F

V2

p(x)a)=『。'⑴公=J14x3dx

3

p(x〈a)=f"/(x)dx=聯(lián)立,「'4x3[；;4xdx解之得：a=

J-ooJoJoJV2

2.設(shè)B(X)與F2(X)分別為隨機(jī)變量Xi與X2的分布函數(shù)，為使F(X)=aFi(x)

—bFz(x)是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，在下列給它的各組值中應(yīng)取(A)

32「2」2

A.a=—,bL=——B.a=—,b=—

5533

F(+oo)=aF|(+oo)-BFz(+oo)=l=>a—Z?—1

.,."3,/?=:適合

3.已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)為F(x)=A+Barctgx,貝U：(B)

11n1

A、A=—B二萬(wàn)B、A=—B=—C、A=〃B=一D、A=-B=—

227127C2

本題為課堂例題

4.設(shè)離散型隨機(jī)變量X僅取兩個(gè)可能值Xi和X2,而且XWX2,X取值Xi的概率為

0.6,又已知E（X）=1.4,D（X）=0.24,則X的分布律為（b）

X

A01x12

A.B.

p0.60.4p0.60.4

Xnn+1xab

uI、.

p0.60.4p0.60.4

①1.4;EX=0.6Xi+0.4X2

②DX=EX2-(EX)2

0.24=0.6X12+0.4X22-1.42

聯(lián)系①、②解得X0,XF2

5.現(xiàn)有10張獎(jiǎng)券，其中8張為2元,2張為5元，今某人從中隨機(jī)地?zé)o放回取3張，則

此人得獎(jiǎng)金額的數(shù)學(xué)期望為(c)

A.67GB.12元C.7.8元D.9元

設(shè)U表示得獎(jiǎng)金額，則其分布律為:

百6912

pC8c2q-2

。0cioGo

故期望值為：7.8

6.隨機(jī)率量X的概率分布是:

X1234

則：（D）

D、a=—,b=—

43

I17

〃+/?=1—（一+—）=—=故選。

6412

7.下列可作為密度函數(shù)的是：（B)

[

x>0

A、(p(x)=f|+j2

I0x<0

-(x-a)

ex>a

B、>(X)=v

10其它

sinxXE[0,l]

C、(p(x)=一

0其它

-1<x<1

Ds(p(x)=J

10其它

(P(x)>()

依據(jù)密度函數(shù)的性質(zhì)：、進(jìn)行判斷得出：B為正確答案

J(p(x)dx=1

8.設(shè)X的概率密度為°(x),其分布函數(shù)F(x),則(D)成立。

A、P(x=oo)=F(x)B、0<夕(才)<1

C、P(x=oo)=(p(x)D、P(X<A)=F(x)

rx0<X<1

9.如果x~(p(x),而(p(x)=y2-xI<x<2,則P(x<1.5)=

-0其它

C)

rl.5pl.5

A、￡(2-x)dxB、x(2-x)dxC、0.875D、j(2-x)dx

Io

“：L57

(xdx+\(2-x)dr=-=0.875

。J8

10.若隨機(jī)變量X的可能取值充滿區(qū)間,那么Sinx可以作為一個(gè)隨機(jī)變

量的概率密度函數(shù)。(B)

A.[0,7i\B.[0.5乃，71]C.[0,1.5乃]D.[乃，1.5乃]

(x)>0

依據(jù)密度函數(shù)的性質(zhì)：,、進(jìn)行判斷得出：B為正確答案

(P(%)dx=1

11.某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品次品率為5%,每天從生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽5個(gè)檢驗(yàn)，記X為出現(xiàn)次品

的個(gè)數(shù)，則E(X)為o(D)

A.0.75B.0.2375C.0.487D.0.25

此題X服從二項(xiàng)分布

12.設(shè)X服從二項(xiàng)分布，若(n+l)P不是整數(shù)，則K取何值時(shí)，P(X=K)最大?

(D)

A.K=(n+1)PB.K=(n+1)P-i

C.K=nPD.K=[(n+1)P]

13.設(shè)X服從泊松分布，若2不是整數(shù)，則K取何值時(shí)，P(X=K)最大？

(B)

A.A,B.[2]C.2-1D.2+1

14.X?N(OJ),Y=2X-1,則Y~(C)

A、N(0,1)B、N(1,4)C、N(-1,4)D、N(-1,3)

DY=D(2X-1)=4Z)X=4,EY=E(2X-1)=2EX-1=-l

15.己知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，則其標(biāo)準(zhǔn)差為：(C)

A.2B.1/4C.1/2D.—

2

隨機(jī)變量的參數(shù)為2,即方差為1/4,標(biāo)準(zhǔn)差則為1/2

16.設(shè)X?M10,25),已知①。⑴“03413,①。⑵=097725,則〃{'同和

〃{X>20}的概率分別為[c]

A.U.U228,U.l5S7B.U.3413;0.4772

C.0.1587,0.0228D.0.8413,0.97725

5-10

P(X〈5)=①0(^^)=①o(—1)=1—①o(l)=l—0.8413=0.1587

2Q1Q

P(X>2())=l-P(X<20)=1-On(-)=1-O0(2)=0.0228

°5°

17.離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：P(X=k)=l認(rèn)…則以下只有

(D)不成立。

A.b>0B.2>0C.b=Z'-\D.2=14-/?

1、p,>0;M/?>0,2>0

解：利用離散型概率函數(shù)性質(zhì)：c白，M

2、Z〃尤=1,貝n|I肪f=/17_1,4=(1+力7

￡=1

三、計(jì)算題：

I.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：

rAXO<X<1

f(x)=[B-X1<X<2

0其它

如果又已知f(x)是連續(xù)函數(shù)，試求：(1)常數(shù)A、B。

(2)分布函數(shù)F(X)

(3)P(Lcx<,-)

22

(inian2力〃行〃7

解：(1)由f(x)是連續(xù)函數(shù)，/(x)=/(I),BP:(B-X)=AX

Xf1Xf1Xf1

=>B—\-A..........①

+CO

f{x}dx=\=A+23=5……②

r—co

①、②式聯(lián)系解得：A=l,B=2

，x

(2)F(x)=f(x)dx,

J-oo'

當(dāng)。〈x〈l,尸(x)==g/

r1rX11-x17

1<x<2,F(x)=jA-dr+J1(2-x)dx=—+(2x——x")=2x——x~一]

2212

1。XMO

2X--X2-\/〈2

[2x>2

1331

(3)p(-<^<-)=F(-)-F(-)=2cx-3--1x(/-3)、2-11--1x(/-、)，=-3

乙乙乙乙222224

2x0<x<l,

2.設(shè)已知X~°(x)=一r，求x：

?P(%<0.5)②F(x)③Y-3X+1,求ey()，)

0.5]

解：①P(X<5)=￡f2xdx=-

②

F(x)=J夕(x)t/x-=￡Ixdx=x2

0,x<0

F(x)=?〈1

1,x)\

0<x<1

③X~(p(x)=

其它

y~4(y)=P(y?y)=〃(3X+1<y)=P(X<=

v—11

勿(y)=耳(y)=AY--

'22

,—y——(1<y<4)

??.V9”9

0(其他)

3.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：

-ax0<x<2

f(x)=vex+b2WxW4

I0其他

3

已知EX=2,P(1<X<3)=-,

4

求a、b、c的值

24

解：(1)①faxdx+f(ex+b)dx=2a+6c+2b=\

J0J2

2QCZ

②EX=j0加4元+J42(c￡+b^dx=-?+—c+66=2

233

@/?(1(x(3)=jaxdx+J2(cx+b)dx=

4

聯(lián)系解得?

4.假定在國(guó)際市場(chǎng)上每年對(duì)我國(guó)出口商品的需求量是隨機(jī)變量X(單位：1),已知X

服從［2000.4000］上的均勻分布，設(shè)每出售這種商品k可為國(guó)家掙得外匯3萬(wàn)元，但假如銷

售不出而囤積于倉(cāng)庫(kù)，則每噸需浪費(fèi)保養(yǎng)費(fèi)1萬(wàn)元，問(wèn)應(yīng)組織多少貨源，才能使國(guó)家的收益

最大？

解：Y：每年該商品的出U后

R：收益

］2000<x<4000

X：需求量--/(x)=，2000

0其他

f3yx>y

R(X)=Lx”[2000,4000]

px-(y-x)x<y

r+co

ER=fR(x)f(x)dx

J—00

y140001

=[f(4x-y)-------dx+\f3)，-------dx

J2000-2000Jy-2000

1

(-/+7000.y-4106)

iooo

八,

=--1c[825000-(y-3500)2]

.??y=3500時(shí),利益最大

5.設(shè)某種商品每周的需求量X服從區(qū)間［10,30］上均勻分布，而經(jīng)銷商店進(jìn)貨量為

［10,30］中的某一整數(shù)，商店每銷售一單位商品可獲利500元，若供大于求，則削價(jià)處理,

每處理一單位商品虧損10()元，若供不應(yīng)求，則可從外部調(diào)劑供應(yīng)，此時(shí)一單位商品僅獲利

300元，為使商店所獲利潤(rùn)期望值不少于9280元，試確定最小進(jìn)貨量？

解：設(shè)進(jìn)貨最為a,則利澗為：

[50067+(X-67)300?<x<30

Ma=<

500x-(tz-x)100\0<x<a

EMa=J\'(600100a)dx+J招卷(3°°x+200

=-7.5a2+35(k/+5250

若EMa>9280即：-7.5a2+350。+5250292M)

2

解得：20—W0W26

3

，取得小a=21

上式：X—73）=].10<x<30

〔。其他

6.某高級(jí)鏡片制造廠試制成功新鏡頭，準(zhǔn)備出口試銷，廠方的檢測(cè)設(shè)備與國(guó)外的檢測(cè)

設(shè)備仍有一定的差距，為此，廠方面臨一個(gè)決策問(wèn)題：①直接進(jìn)口，②租用設(shè)備，③與

外商合資。不同的經(jīng)營(yíng)方式所需的固定成本和每件的可變成本如表：

自制進(jìn)口租賃合資

固定成本（力兀）1204064200

每件可變成本（元）601008040

已知產(chǎn)品出口價(jià)為2（X）元/件，如果暢銷可銷3.5萬(wàn)件，中等可銷2.5萬(wàn)件，滯銷只售0.8

萬(wàn)件，按以往經(jīng)驗(yàn)，暢銷的可能性為0.2,中等的為07滯銷的為0.1,請(qǐng)為該廠作出最優(yōu)

決策。

解：設(shè)4=銷量，4=自制，&=進(jìn)口，&=租賃，4=合資

E(B)=2.53萬(wàn)件

E(A)=2.53X200-(120+2.53X60)=234.2

E(A2)=2.53X200-(40+2.53x100)=213

E(A.)=2.53x200-(64+2.53x80)=239.6

E(A4)=2.53X20()-(200+2.53x40)=204.8

?,?&為最優(yōu)方案，即租用設(shè)備。

8.若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率是

ax2+bx+c(0<x<1)

*(幻=?

0(其他)

己知EX=0.5,DX=0.15,求系數(shù)a,b,c。

解：

fMx)d):=1

J00

fx(b(x)dx=0.5

J-00

公=。彳+(七€)2=0.4

J-00

解方程組得：6'=12b=-nc=3

9.五件商品中有兩件次品，從中任取三件。設(shè)，為取到的次品數(shù)，求&的分布律、

數(shù)學(xué)期望和方差。

解：，的分布律為

g012

p1/106/103/10

E€=1.2-0.36

10.某次抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語(yǔ)成績(jī)(百分制)近似服從正態(tài)分布，平均成

績(jī)72分，96分的以.匕狗占考生總數(shù)的2.3%,試求考生的外語(yǔ)成績(jī)?cè)?0至84分之間的

概率。

解:X—N(72,b2)

96-7224

p(x<96)=1-①0(―——)=1一①0(一)=0.023s

cra

2424

即：①〃(——)—0.977,n——=2(7=12

(Tcr

X-W2J22)

84-7260-72

P(60WxK84)=(I\()一叱(=0.682

1212

11.假設(shè)一電路有3個(gè)不同種電氣元件，其工作狀態(tài)相互獨(dú)立，且無(wú)故障工作時(shí)間都

服從參數(shù)為4>0的指數(shù)分布，當(dāng)三包元件都無(wú)故障的，電路正常工作，否則整個(gè)電路不

能正常工作，試求電路正常工作的時(shí)間T的概率分布。

解：設(shè)Xi表示第i個(gè)電氣之元件無(wú)故障工作的時(shí)間，i=l,2,3，則X1X2X3獨(dú)立且同分布，

分布函數(shù)為：F(x)=-

0A<0

設(shè)G(t)是T的分布函數(shù)。

當(dāng)tWO時(shí)，G(t)=0

DO時(shí),G(t)=P(TWt)=l-P(T〉t)

=l-P(X1>t,X2>tX3>t)

=l-P(Xi>t)P(X2>t)p(X3>t)

=l-[P(X>t)]3=l-ll-F(t)]3

=l-e~3A,

,GQ)=」00

f<0

服從參數(shù)為u的指數(shù)分布

12.設(shè)從一批材料中任取--件測(cè)出這種材料的強(qiáng)度X~N(200,18?),求：①取出的

該材料的強(qiáng)度不低于1X0的概率；②若某項(xiàng)工程要求所用的材料強(qiáng)度要以99%的概率保

證不低于150,問(wèn)這批材料是否合乎要求？

解：①?2180)=0.8665

②P(x>150)=0.9973大于0.99,故這批材料合要求。

13.生產(chǎn)某種產(chǎn)品的廢品率為0.1,抽取20件產(chǎn)品，初步檢查已發(fā)現(xiàn)有2件廢品，則

這20件產(chǎn)品中，廢品不少于3件的概率為多大？

解:"2()件產(chǎn)品中廢品數(shù)目”

“初步檢查已發(fā)現(xiàn)有2件廢品”=“022”

“廢品數(shù)不少于3