經(jīng)濟數(shù)學(xué)一概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案

第2章隨機變量及其分布

授課序號01

教學(xué)基本指標(biāo)

教學(xué)課題第2章第1節(jié)隨機變量與分布函數(shù)課的類型新知識課

教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合

教學(xué)重點隨機變量及其概率分布的概念、分布函數(shù)的概念教學(xué)難點分布函數(shù)的求法

及性質(zhì)與計算。

參考教材《經(jīng)濟數(shù)學(xué)一概率論W數(shù)理統(tǒng)計(慕課版)》作業(yè)布置課后習(xí)題

大綱要求理解隨機變量及其概率分布的概念。理解分布函數(shù)2(X)=P{XWx})的概念及性質(zhì)。會計算與

隨機變量有關(guān)的事件的概率。

教學(xué)基本內(nèi)容

一.隨機變量

1.隨機變量：設(shè)￡是隨機試驗，樣本空間為S,如果對隨機試驗的每?個結(jié)果①，都有一個實數(shù)X(@)與

之對應(yīng)，那么把這個定義在S上的單值實值函數(shù)X=X(⑼稱為隨機變量.隨機變量一般用大寫字母

x,v,z,…表示.

2.隨機變晶的兩種常見類型:離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變顯.

二.分布函數(shù)

1.分布函數(shù)：設(shè)*是一個隨機變量，X是任意實數(shù)，稱函數(shù)b(X)=P{XWx},—8VXV8為隨機變量

才的分布函數(shù)，顯然，F(xiàn)(x)是一個定義在實數(shù)域〃上，取值于［0,1］的函數(shù).

2.幾何意義:在數(shù)軸上，將才看成隨機點的坐標(biāo)，則分布函數(shù)F(x)表示隨機點乃落在陰影部分(即X<x)

內(nèi)的概率，如下圖.

3.對任意的實數(shù)。,。,。3<方)，都有:

P[a<X<b}=P{X<b]-P{X<a]=F(b)-F(a)f

P{X>c}=l-P{X<c}=l-F(c).

4.分布函數(shù)的性質(zhì)：

(1)單調(diào)性：分布函數(shù)是單調(diào)不減的，即若為<W，則尸(國)二/"2)：

(2)有界性：OWF(x)Kl,且/(y))=lim/(幻=0,F(+oo)=limF(x)=1;

XT—XT+cO

(3)右連續(xù)性;F(xI0)=F(x).

說明：分布函數(shù)一定具有這三個基本性質(zhì)；反過來，任意一個滿足這三個基本性質(zhì)的函數(shù)，一定可以作為

某個隨機變量的分布函數(shù).因此，這三個基本性質(zhì)成為判別一個函數(shù)是否能成為分布函數(shù)的充要條件.

三.例題講解

例1.通過某公交站牌的汽車每10分鐘一輛，隨機變量X為乘客的候車時間，其分布函數(shù)為：

0,x<0,

r

F(x)=^—,0<x<10,

10

l,x>10.

求：11)P(X<3)；(2)P{1<X<9}；(3)P[X>5}.

例2.設(shè)隨機變量乃的分布函數(shù)為

b

a+------r,x>0

FM=(1+4

c,x<0

求常數(shù)a,b,。的值？

授課序號02

教學(xué)基本指標(biāo)

教學(xué)課題第2章第2節(jié)離散型隨機變量課的類型新知識課

教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合

教學(xué)重點離散型隨機變量及其概率分布的概念，0—1分教學(xué)難點0—1分布、二項分布、超幾何

分布、泊松分布及其應(yīng)用。

布、二項分布、超幾何分布、泊松分布及其應(yīng)用。

參考教材《經(jīng)濟數(shù)學(xué)一概率論與數(shù)理統(tǒng)計(慕課版)》作業(yè)布置課后習(xí)題

大綱要求理解離散型隨機變量及其概率分布的概念，掌握0—1分布、二項分布、超幾何分布、泊松

(Poisson)分布及其應(yīng)用。

教學(xué)基本內(nèi)容

彎散型隨機變量及其概率分布

i.離散型隨機變量：若隨機變量丫所有可能的取值為有限個或者可列個，則稱這樣的隨機變量為離散型

隨機變量.

2.隨機變量的概率分布：設(shè)/為離散型隨機變最，X所有可能的取值為外,，=1,2,3,...,稱

P{X—Xj}—pjyi—1,2,3,...

為隨機變量才的概率分布，也稱為分布律或分布列.

概率分布也可以用表格的形式表示：

??????

X*￡

??????

PPlP1Pi

或者記為：

/\

"^7???j?■?

Pl???Pi,?,>

3.離散型隨機變量概率分布的性質(zhì)：

(1)非負性:p,>0,z=l,2,3,...;

(2)正則性：?%=1.

-1.離散型隨機變量的分布函數(shù)：若離散型隨機變量X的分布律為P{x=%}=〃,/=1,2,3,...,則才的分

布函數(shù)為

FM=P{XV幻=Z8X=七},i=1,2,3,...

Xf<X

即分布函數(shù)是分布律在?定范圍內(nèi)的累積.

二.常用的離散型隨機變量

1.(0-1)分布

(1)(0-1)分布:若隨機變量才只有兩個可能的取值0和1,其分布律為P[X=k]=pk(\-p)i,k=0,1,

則稱X服從以夕為參數(shù)的(0-1)分布或兩點分布.

(2)(0-1)分布的分布律也可以記為

01

P1-pP

2.二項分布

(1)二項分布：若隨機變量/表示〃重伯努利試驗中事件/出現(xiàn)的次數(shù)，則有

P{X=k}=C：p；(l-p)n~\k=0,1,2,...,〃.

則稱隨機變量才服從二項分布，記為X~B(〃,p),其中〃和,(0<p<l)是二項分布的參數(shù)，上式就是二項分

布的分布律.

(2)二項分布的特例：在二項分布中，若令77=1,則X-B(l,p),其分布律為

P{X=Z}=p“l(fā)-p)j#=0,l,即I服從(0-1)分布.因此(0-1)分布是二項分布的特例，簡記8(1,p).

3.泊松分布

把

(1)泊松分布：若隨機變量X的分布律為P{X=k}=—6-%,2=0,1,2,...,其中之為大于0的參數(shù)，

k!

則稱隨機變量1服從參數(shù)為4的泊蟲分布，記為XP(2).

(2)泊松定理：在〃重伯努利試驗中，事件月在一次試驗中出現(xiàn)的概率為p“(與試驗總數(shù)〃有關(guān))，如

2k

果當(dāng)〃—時，〃->>0常數(shù))，則有l(wèi)imC：p；(1-pJi=—e。&=01,2,….

k\

(3)說明：泊松定理表明，泊松分布為二項分布的極限分布，即在試驗次數(shù)〃很大，而“p“不太大時，

二項分布可以用參數(shù)為九二叩”的泊松分布來近似.

4.幾何分布

(1)若隨機變量］的分布律為P{X=%}=〃/，2=1,2,...,q=l_p,其中〃(0<〃<1)為參數(shù)，則

稱>服從幾何分布，記為XG(p).

(2)說明：幾何分布描述的是試驗首次成功的次數(shù)X所服從的分布，也可以解釋為：在〃重伯努利試驗

中，試驗到第★次才取得第一次成功，前hl次皆失敗.

5.超幾何分布

(1)超幾何分布：若隨機變量才的分布律為P{X=Z}=G^m?次=0,1,2,...,廠其中r=1］］訪{加,〃},

5

且?guī)譓歷均為正整數(shù)，則稱隨機變量才服從超兒何分布，記為X

(2)有限總體N中的不放回抽樣服從超幾何分布，例如有4件產(chǎn)品，其中3件不合格，從產(chǎn)品中不放回

的抽取〃件，則抽取的產(chǎn)品中不合格品的件數(shù)/服從超幾何分布.

(3)超幾何分布與二項分布之間的區(qū)別：超幾何分布是不放回抽取，二項分布是放回抽取，因此，二項

分布中每個事件之間是相互獨立的，而超幾何分布不獨立.兩個分布之間也有聯(lián)系，當(dāng)總體的容量“非常大時,

超幾何分布近似于二項分布.

三.例題講解

例1.已知盒中有10件產(chǎn)品，其中8件正品，2件次品.需要從中取出2件正品，每次取1件，直到取出兩

件正品為止，做不放回抽樣.設(shè)X為取件的次數(shù)，則：(1)求I的分布律；(2)求X的分布函數(shù)尸(外；(3)求

概率P{2?X?3}.

例2.設(shè)某品牌的所有平板電腦中有20%需要在保修期內(nèi)進行維修服務(wù)，其中有60%可以修好，而其余40%

只能用新平板電腦更換。如果一家公司購買了10臺這樣的平板電腦，那么有兩臺在保修期內(nèi)被換新的可能性

有多大？

例3.有2500個相同年齡階段、相同社會層次的人參加某保險公司的意外傷害保險，根據(jù)以往統(tǒng)計資料，

在1年里每個人出現(xiàn)意外傷害的概率是0.0001,每個參加保險的人1年付給保險公司120元保費，而在出現(xiàn)意

外時家屬從保險公司領(lǐng)取2萬元.請計算

(1)保險公司虧本的概率：

(2)保險公司一年獲利不少于10萬元的概率.

例4.一家商店在每個月的月底要制定出下個月的商品進貨計劃，為了不使商品的流動資金積壓，進貨量

不宜過多，但為了獲得足夠的利潤，進貨量又不易過少.由該商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售

可以用參數(shù)為2=10的泊松分布來描述，為了以95%以.上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進某種商品

多少件？

例5.某醫(yī)學(xué)調(diào)查報告顯示，每200人中就有1人攜帶導(dǎo)致某種遺傳性疾病的缺陷基因。求在一個有1()0()

個人的群體中，至少有8個人攜帶該基因的概率.

例6.某流水線生產(chǎn)一批產(chǎn)品，其不合格率為外有放回地對產(chǎn)品進行檢驗，直到檢驗出不合格品為止.設(shè)

隨機變量X為首次檢驗出不合格品所需要的檢驗次數(shù)，求乃的概率分布.

授課序號03

教學(xué)基本指標(biāo)

教學(xué)課題第2章第3節(jié)連續(xù)型隨機變量課的類型復(fù)習(xí)、新知識課

教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合

教學(xué)重點連續(xù)性隨機變最及其概率密度的概念，概率密度教學(xué)難點概率密度與分布函數(shù)之間的關(guān)

與分布函數(shù)之間的關(guān)系，正態(tài)分布、均勻分布、系，正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)

指數(shù)分布及其應(yīng)用。分布及其應(yīng)用。

參考教材《經(jīng)濟數(shù)學(xué)一概率論與數(shù)理統(tǒng)計(慕課版)》作業(yè)布置課后習(xí)題

大綱要求理解連續(xù)性隨機變量及其概率密度的概念，掌握概率密度與分布函數(shù)之間的關(guān)系，掌握正態(tài)分布、

均勻分布、指數(shù)分布及其應(yīng)用。

教學(xué)基本內(nèi)容

一.連續(xù)型隨機變量及其概率密度

1.連續(xù)型隨機變量：設(shè)X是隨機變量，如果存在函數(shù)/(x),對任意的常數(shù)〃/(〃《〃)，有

P[a<X<Z?}=jf(x}dx,

則稱X為連續(xù)型隨機變量，同時稱/(幻為￥的概率密度函數(shù)，或簡稱為概率密度.

2.概率密度函數(shù)的性質(zhì)：

(1)非負性：/(幻川；

(2)正則性：rf{x}dx=\.

3.概率密度的幾何意義：隨機變量落入?yún)^(qū)間包內(nèi)的概率等于曲線y=/(x)在區(qū)間上形成的曲邊

梯形的面積，而正則性表明，曲線y=/(x)與X軸之間的部分面積為1.

4.連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)：F(x)二尸{乂《工}=工/())力，則在/*)的連續(xù)點處，F(xiàn)\x)=/(x).

5.兩點說明：

(1)連續(xù)型隨機變量在某一個點c處的概率為0,即P{X=c}=[f(x)dx=0.

(2)連續(xù)型隨機變量落在某個區(qū)間內(nèi)的概率,不受區(qū)間端點處取值’的影響，即

P[a<X<b}=P{a<X<b}=P{a<X<b]=P[a<X<h}

=￡f{y}dy=F(b)-F(a).

二.常用的連續(xù)型隨機變量

1.均勻分布

1,

----,a<x<b,

(1)均勻分布：設(shè)X為連續(xù)型隨機變量，若概率密度為b-a----------其中a,b(a<b)為任意

0,其它，

實數(shù),則稱隨機變量才服從區(qū)間儲,扮上的均勻分布,記為X~U(a,。).

O,x<ay

x-a」.

(2)均勻分布的分布函數(shù)：F(x)=----、aJx<b,

b-a

\,x>b.

(3)應(yīng)用：若不在⑵6)上服從均勻分布，對(劣6)內(nèi)的任一個子區(qū)間億而，有

rd1d—C

P[c<X<d]=\——dx=——

b-ab-a

2.指數(shù)分布

?1>°'其中參數(shù)/1>0,則稱隨機

(1)指數(shù)分布：設(shè)X為連續(xù)型隨機變量，若概率密度為f(x)=?

0,其它，

變量［服從參數(shù)為％的指數(shù)分布，藝為X￡(A).

l-e-Zr,x>0,

(2)指數(shù)分布的分布函數(shù)：F(x)=〈

0,其它.

(3)定理：(指數(shù)分布的無記憶性)設(shè)隨機變量XE(A),則對于任意的正數(shù)s和￡有

P{X>5+/|X>/}=P{X>5}.

3.正態(tài)分的

ia-4)?

(l)正態(tài)分布：設(shè)才為連續(xù)型隨機變量，若概率密度為=2b?,_8<戈<8,其中

\l27ro-

>0)為參數(shù)，則稱隨機變量才服從參數(shù)為〃和/的正態(tài)分布，也叫高斯分布，記為XN",八

(2)正態(tài)分布的分布函數(shù)：F(x)=P{X<x)=2ct'dt,-oo<x<oo.

(3)幾點說明:

(i)概率密度/(x)的圖形關(guān)于x=〃對稱，是軸對稱圖形，在x=〃處取到最大值，并且對于同樣長度

的區(qū)間，若區(qū)間離〃越遠，則乃落在這個區(qū)間內(nèi)的概率越小.

(ii)/(x)的圖形以x軸為漸近線，隨著不的取值往兩側(cè)無限延伸，圖形與x軸無限接近，但又不會相

交.

(iii)當(dāng)參數(shù)〃固定時，。的值越大，/。)的圖形就越平緩：。的值越小，/(X)的圖形就越尖狹，由

此可見參數(shù)。的變化能改變圖形的形狀，稱。為形狀參數(shù).

(iv)當(dāng)參數(shù)。固定時，隨著4值的變化，/(幻圖形的形狀不改變，位置發(fā)生左右平移，由此可見參數(shù)〃

的變化能改變圖形的位置，稱〃為位置參數(shù).

(4)標(biāo)準正態(tài)分布XN(O,1)

1

(i)概率密度°(x)=e*,-00<x<oo

5/2^

(ii)分布函數(shù)①(x)=dt,-<20<x<oo.

(iii)根據(jù)概率密度9(x)的對稱性,有①(T)=1-①(x).

(5)定理：(標(biāo)準化定理)若X-N(4。2),則Z=4二W-N(O,1).

<y

(6)標(biāo)準化定理的應(yīng)用：設(shè)X,。,仇”<b)為任意實數(shù)，則

產(chǎn)(x)-P[X<x}-0(^^),

(Jcracr

nr一〃X-[I,b一口、不/匕一〃、小/。一〃、

P[a<X<b}=P{——-<-------<——-}=中(——-)-中(——-).

aerercra

6.“3b”法則：設(shè)XNUg,則

P{ju-3a<X<ju+3a}=6(3)-0(-3)=2O(3)-1?0.997,

即正態(tài)分布NCiAb2)的隨機變量以99.7%的概率落在以〃為中心、3。為半徑的區(qū)間內(nèi)，落在區(qū)間以外的概率

非常小，可以忽略不計，這就是“3cr”法則.

三.例題講解

例1.車流中的“時間間隔”是指?輛車通過一個固定地點與下一輛車開始通過該點之間的時間長度.設(shè)I

表示在大流量期間，高速公路上相鄰兩輛車的時間間隔，I的概率密度描述了高速公路上的交通流量規(guī)律，其

表達式為：

10.15產(chǎn)（9405,

/（幻=

其它.

求時同間隔不大于5秒的概率.

例2.設(shè)某供應(yīng)公司在一周內(nèi)出售的特殊材料數(shù)量為連續(xù)型隨機變量X（噸），其概率密度為

3,

弓（17）0<x<l

fM=<

0,其它

求：門）分布函數(shù)尸（外；（2）概率尸{IwXWl}及P{X>,}.

23

例3.某食品廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，規(guī)定其重量的誤差不能超過3克，即隨機誤差X服從（-3,3）上的均勻分

布.現(xiàn)任取出一件產(chǎn)品進行稱重，求誤差在-r2之間的概率.

例4.設(shè)隨機變量乃在（1,4）上服從均勻分布，對才進行三次獨立的觀察，求至少有兩次觀察值大于2

的概率.

例5.設(shè)隨機變量X表示某餐館從開門營業(yè)起到第一個顧客到達的等待時間（單位：min）,則X服從指數(shù)分

fo4e04xr>0

布，其概率密度為f（x）=l.“一/'求等待至多5分鐘的概率以及等待3至4分鐘的概率.

［（）,其它.

例6.汽車駕駛員在減速時，對信號燈做出反應(yīng)所需的時間對于幫助避免追尾碰撞至關(guān)重要.有研究表明，

駕駛員在行車過程中對信號燈發(fā)出制動信號的反應(yīng)時間服從正態(tài)分布，其中〃=1.25秒，。=0.46秒.求駕

駛員的制動反應(yīng)時間在1秒至1.75秒之間的概率？如果2秒是一個非常長的反應(yīng)時間，那么實際的制動反應(yīng)

時間超過這個值的概率是多少？

例7.設(shè)某公司制造繩索的抗斷強度服從正態(tài)分布，其中〃=300千克，b=24千克.求常數(shù)使抗斷強

度以不小于95%的概率大于"

授課序號04

教學(xué)基本指標(biāo)

教學(xué)課題第2章第4節(jié)隨機變量函數(shù)的分布課的類型新知識課

教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合

教學(xué)重點簡單隨機變量函數(shù)的概率分布教學(xué)難點簡單隨機變量函數(shù)的概率分布

的求法

參考教材《經(jīng)濟數(shù)學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）》作業(yè)布置課后習(xí)題

大綱要求會求簡單隨機變量函數(shù)的概率分布。

教學(xué)基本內(nèi)容

一.離散型隨機變量函數(shù)的分布

若x是離散型隨機變量，g（x）是實數(shù)x的函數(shù)，則當(dāng)x取有限個或可列個值時，y=g（x）也取有限