概論復(fù)習(xí)題

㈠

1.設(shè)在每次賭博中，賭博的人獲勝的概率是1/3.求在四次賭博中賭博的人至少有一次獲勝的概率和

恰好有三次獲勝的概率.

至少有一次獲勝的概率是65/81,恰好有三次獲勝的概率是8/81.

2.設(shè)袋中有5個(gè)球,其中有兩個(gè)是黑球.從中不放回地摸球三次,每次摸出一個(gè)球.證明第三次摸到的

球是黑球的概率是2/5.

3.甲盒中有3個(gè)白球和1個(gè)黑球，乙盒中有4個(gè)白球和2個(gè)黑球.丙盒中有5個(gè)白球和3個(gè)黑球.從

甲、乙兩盒中各取一個(gè)球放入丙盒,然后再?gòu)谋兄腥稳∫粋€(gè)球.

1）求從丙盒中取到的球是白球的概率.

2）如果已知從丙盒中取到的球是白球，求從甲、乙兩盒中取到的球都是白球的（條件）概率.

3）如果已知從丙盒中取到的球是白球，求在甲盒中取到的球是白球的（條件）概率

設(shè)八二”從甲盒取到臼球“，A="從乙盒取到白球”，C="從丙盒取到白球”.

1）P（Q=77/I2O.

2）P（AB\C）=^.

3）P（A|C）=60/77.

4.甲盒中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球：乙盒中有4個(gè)白球，4個(gè)黑球。從甲盒中任取2個(gè)球放入乙盒，然

后再?gòu)囊液兄腥稳蓚€(gè)球。（1）問(wèn)在乙盒中取到的是兩個(gè)白球的概沃；（2）乂如果已知在乙盒中取出

的是兩個(gè)黑球，問(wèn)在甲盒中取出的是兩個(gè)黑球的（條件）概率。

37/150,5/31.

5.（15分）在某個(gè)電子游戲中，甲乙兩人同時(shí)向同一個(gè)目標(biāo)射擊，甲的命中率是0.5,乙的命中率

是0.4。如果兩人都命中目標(biāo)，則目標(biāo)“死亡”的概率是0.9：如果剛好有一人命中目標(biāo)，則目標(biāo)“死

亡”的概率是0.6；如果無(wú)人命中目標(biāo)，則目標(biāo)“死亡”的概率是0。

1）求目標(biāo)“死亡”的概率：

2）如果已知目標(biāo)死亡，求兩人都命中目標(biāo)的概率；

3）如果已知目標(biāo)死亡，求甲命中目標(biāo)的概率。

設(shè)4=“甲命中"，8=“乙命中”，￡>="目標(biāo)死亡”.

1）P（￡>）=0.48.

2）P（AB\D）=3/S.

3)P(A|D)=3/4.

6.口袋中有3個(gè)白球和4個(gè)黑球.

1）從這個(gè)口袋中取球，每次取一個(gè)，有放回地取兩次,求兩次都取到黑球的概率.

2）從這個(gè)口袋中取球,每次取一個(gè),有放回地取3次,求恰好有兩次取到黑球的概率.

3）從這個(gè)口袋中同時(shí)取出兩個(gè)球，求取出的這兩個(gè)球都是黑球的概率.

4）從這個(gè)口袋中同時(shí)取出兩個(gè)球，已知取出的球中至少有一個(gè)是黑球,求取出的這兩個(gè)球都

是黑球的條件概率.

1）16/49.2）144/343.3）2/7.4）1/3.

1.口袋中有4個(gè)黑球和3個(gè)白球從口袋中任意地取球，每次取一個(gè)取后不放回，宜到取到黑球?yàn)橹?

求取到黑球前取到的白球的個(gè)數(shù)的概率分布.

設(shè)X為取到黑球前取到的白球的個(gè)數(shù)，則X有概率分布

23

401

4241

P(X=xk)

773535

2.設(shè)隨機(jī)向量（*,丫）服從矩形。={@,），）：-14人42,0W），〈2}上的均勻分布，求條件概率

P（X>11X<X）.

P(X>l|X<r)=l/8.

3.設(shè)隨機(jī)變量X有密度外（幻二6一“0”）（幻，求隨機(jī)變量卜=*的密度.

y有密度〃",'）=-y",共）（丫）.

y

4.設(shè)離散型隨機(jī)向量（X,Y）有如下的概率分布:

X0123

-11/121/1202/12

002/121/120

12/1202/121/12

2

1）求2=乂+丫的分布.

2）求概率尸（乂2之丫）.

1）Z有分布

zk-101234

P(Z=Zk)1/121/124/123/122/121/12

2)P(X2>y)=i/3.

5.設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布僅4,1/3),求X的分布函數(shù)和y=(X-2)2的分布.

X有分布函數(shù)

廠/、16,/\48r/\72,/\80,,、，/\

產(chǎn)(#=77Ao.l)(工)+*4L2)(X)+7T'[2,3)⑴+*/[3,4)⑴+《4”)⑴?

O1O1O1O1

y有分布

014

p（y="）24/8140/8117/81

6.設(shè)離散型隨機(jī)變量X僅取值1,2,L,P（X=Z+l）=P（X=%）/4,4=1,2,L.求概率

P（X=3）.

p（X=3）=3/64.

7.設(shè)隨機(jī)變量X有密度px（幻=gcosx?4_1/2,2］（幻，求概率尸（1^X|<l/2）.

P（|sinX|<l/2）=l/2.

8.設(shè)x服從［-1,2］上的均勻分布，y=x2.求丫的分布函數(shù).

y有分布函數(shù)用（>）=|44。」）（）'）十耳Lu.4）（y）+/［4.g）（M

9,隨機(jī)變量x服從均勻分布u（-1,1）,求（1）y=x?的密度：（2）y的分布函數(shù)。

PY（N）=4（）j（y）,Fy（y）=方/叩）。）+%“）（，）?

io.二維隨機(jī)向量（x,y）有聯(lián)合密度

/、fcV,0<x<1,y>0,

A。）二1n廿在

0,具匕。

求：1）常數(shù)c；2）x及丫的邊緣密度：3）x與y是否獨(dú)立？4）x+y的密度。

1）c=2.2）px（x）=2X/|Qj|（x）,Py（y）=e'^（o,-H?）（y）,3）獨(dú)立.

z2

4）p（z）=2（z/-e+l）7[0,i）（z）+2e~I[l^）（z）.

11.二維隨機(jī)向量（x,y）有聯(lián)合密度

cxy>2,0<x<l,0<y<l

p(x,y)=<

o,其它

求：（1）常數(shù)c：（2）x及y的邊緣密度；（3）x與y是否獨(dú)立？

（4）x+y的密度。

(1)6.(2)2Moj(x),3y2/(0“(y).(3)獨(dú)立.

⑷,4o,i)(z)+g(-z4+6z2-4zM[i,2)(z)?

12.設(shè)隨機(jī)向量（X,y）的密度函數(shù)為

-(x+y)e~(x+y)x>0,y>0

〃(x,y)h

0其它

i）判斷x和y是否獨(dú)立并說(shuō)明理由.

2）求2=*+丫的密度函數(shù).

券/Zo.鈣)(X),&()，)=等/"0”)。)，X,

1)Px（幻y不獨(dú)立.

12_

2)〃Z(Z)=5Z/(o.4oo)(2).

乙

4

0<x<l,0<y<2

13.設(shè)隨機(jī)向量(X,y)有密度,pQ,y)={2—xy-)，又設(shè)7=max{X,y}.

0其他

i)求x和y的邊緣密度.

2)判斷x和y是否相互獨(dú)立.

3)寫(xiě)出x和y的分布函數(shù).

4)求丁的分布函數(shù)和密度.(

)1

1)Px(X)=3廠/[0J](x),Py(y)=—W[O.2]()')?

2)x和丫相互獨(dú)立.

3)(x)=(x)+7||^(x),(y)=—x^o,2)(y)+^2,+oc)(y)?

FXA?/(01)

4

4)=；//[0])⑺+⑺+/⑵田)(f),/VW=^/(O.I)(O+1//(L2)?.

14.二維隨機(jī)向量(x,y)有聯(lián)合密度

/、\cxe~y0<x<1,v>0,

爪2)=|八y廿…

0,其匕。

求：1)常數(shù)。：2)x及y的邊緣密度：3)x與y是否獨(dú)立？4)x+y的密度。

I)C=2.2)Px(x)=2x/[0j(x),Py(y)="v/(o,田)(y)-3)獨(dú)立.

4)p(z)=2(zez一/+lM[0])(z)+2eT/[]銬)(z).

15.隨機(jī)變量x服從均勻分布求(1)y=x?的密度：(2)y的分布函數(shù)。

py(y)=^4o1](y)，型y)=64o,i)(y)+%*)()，)?

16.隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布3(3,1/3),

1)求Y的分布函數(shù)

2)求y=(x—1)2分布。

x有分布函數(shù)

,I719

/(X)=寺4o.l)(X)+5?4l,2)(X)+—/[2.3)(幻+43.x)(X)'

4/乙/乙/

y有分布

Yk014

6/2713/278/27

P(y=yk)

17.在一個(gè)袋子中有5個(gè)紅球和3個(gè)白球,每一次從這個(gè)袋子中任意地取出一個(gè)球并放回一個(gè)紅球,

直到取得紅球?yàn)橹?用X表示取球的次數(shù),求X的分布并求概率尸(1<X<3).

X有分布

3

xk124

P(X=xQ5/89/3221/2563/256

P(1<X<3)=93/256.

(=)

1.證明：

1)cov(X,Y)=E(XY)-(EX)(EY).

2)當(dāng)x,y相互獨(dú)立時(shí)，ax-y)=ox+oy.

2.設(shè)(X,丫)有聯(lián)合密度p(x,y)=(x+)，)//)(x,y),其中

O={(x,)，):0WE,0WyWl}.

i)求x和y的邊緣分布.

2)判斷x和y是否獨(dú)立.

3)^EX,DX,EY,DY.

4)求cov(X,Y)和pxy.

?7

1)Px(x)=4o,i](x)(x+1/2),pY(y)=/|(),||())(3+1/2).

2)X和丫不獨(dú)立.

3)￡X=7/12,DX=11/144,"=7/12,DY=\\/\44.

4)cov(X,r)=-1/144,pXY=-\/\\.

3.設(shè)DX=25,。丫二16,做-=。5.求8丫(2*,丫)和￡>(2*-丫+10).

cov(2X,y)=20,D(2X-y+10)=76.

4.設(shè)(X,y)有聯(lián)合密度p(x,y)=(x+y),其中

。={(工，>)：0VxKLowy〈i}?

1)求概率P(XW2Y).

2)設(shè)R=XK,求成和DH.

3)求2=*+丫的密度.

19

1)P(X<2Y)=—.

24

2)ER=l/3,DR=1八8.

2IZ

3)Pz(z)=2/|0.)(2)+(2-z)/[l2J(z).

5.設(shè)離散型隨機(jī)向量(x,y)有如下的概率分布:

X0123

-11/121/1202/12

002/121/120

12/1202/121/12

1)求X和丫的邊緣分布.

2)判斷x和丫是否獨(dú)立.

3)^.EX,DX,EY,DY.

4)求cov(X,y)和/?xy.

i)x和y分別有的邊緣分布

xk-101

P(X=xQ4/123/125/12

0123

p(y=%)3/123/123/123/12

2)X和丫不獨(dú)立.

3)￡X=1/12,Z>X=107/144,EY=3/2,DY=5/4.

3

4)cov(X,X)=—1/8,PXY——?-

7535

6.二維隨機(jī)向量二維隨機(jī)向量（X,Y）有如下的概率分布,

123

1001/6

201/61/6

31/61/61/6

求x和y的邊緣分布，期望，方差及x與y的相關(guān)系數(shù)。

x和y分別有邊緣分布

xk123

P(X=x?1/61/31/2

1，

Jki23

p（y="）1/61/31/2

E￥=7/3,Ey=7/3,DX=5/9.DV=5/9.pXY=-l/2.

7.二維隨機(jī)向量（X,Y）在三角形D=｛（%y）:x>0,y>0,x+），v1｝上服從均勻分布，求X和V的

邊緣密度，期望，方差及x與y的相關(guān)系數(shù)。

,

pxU)=2(l-x)/(01)(x),/v(>)=2(l-y)/(o,n(y)>

￡X=l/3,DX=1/18,Er=l/3,DF=1/18,=-1/2.

8.設(shè)某人在3人中共收到4份屯了郵件，每份電了郵件在這3人中的那人被收到都是等可能的.

設(shè)這3天中有X天每天都至少收到一份電子郵件,求X的期望.

第/?天至少收到一份電子郵件

（提示：設(shè)匕=%則乂=乂+與+匕）

第i天沒(méi)有收到電子郵件

E￥=65/27.

9.設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,密度函數(shù)為

P（x）=T"Sd向⑴，

又設(shè)y=3X+l.求EY,。丫和cov（X,V）.

EY=7,DY=36,cov(X,X)=12.

8

10.設(shè)隨機(jī)變量X和y相互獨(dú)立，Z=2X+Y,W=XY.已知EX=3,EY=4,DX=5,

。丫=6.求

5)EZ,DZ.

6)EW,DW.

7)cov(X,Z),pxz.

1)EZ=1O,DZ=26.

2)EW=\2,DW=\20.

3)cov(X,Z)=10,px/=.

10.設(shè)有一批木材,其中80%的長(zhǎng)度不少于3米.現(xiàn)從這批木材中隨機(jī)地取出100根.問(wèn)其中至少有3C

根長(zhǎng)度不到3米的概率是多少？

X[++X]0p-30

P(X1+—+XIOO>3O)=P>2.5巾一心(2.5)=0.0062.

7100x0.2x0.8

(四)

1.

1）設(shè)總體X有密度PCE）=W&/。缶”）*）,其中未知參數(shù)，＞o又設(shè)樣本值為』,L，與，求

參數(shù)。的最大似然估計(jì).

2）設(shè)總體X有密度〃（蒼。）“-'"）：/"）。），樣本為XPL,x“，求未知參數(shù)e的矩估計(jì)

量.

3）設(shè)總體X有樣本X1,L，貓，求〃的值使）2=3〃WX：（Xi+2-X,）2是總體方差OX的無(wú)

偏估計(jì).

人2工,1

1）e的最大似然估計(jì)/,=2元.

2）。的矩估計(jì)量』=1一又.

3）k=—!—.

6（〃一2）

2.用儀器測(cè)量某種金屬的密度，測(cè)量的結(jié)果X:測(cè)量16次,得到元=2.705,5=0.02.

求X的均值和方差的置信水平為C.95的置信區(qū)間.

均值4的置信區(qū)間為[2,694,2,716],方差。？的置信區(qū)間為[0.000219,0.000958].

3.用自動(dòng)打包機(jī)包裝方便面，設(shè)定每包方便面的重量為100克.需要每個(gè)小時(shí)都檢查方便面的包裝重

量是否存在系統(tǒng)偏差,抽查得某個(gè)小時(shí)包裝的7包方便面的重量（克）為

96,97,97,99,99,102,103.

問(wèn)在這個(gè)小時(shí)打包機(jī)的工作狀態(tài)是否正常？（取a—0.1并設(shè)包垂服從正態(tài)分布）

--100

P(|7|21.943)=0.1,|止1<1.943,接受“?

4.設(shè)總體X:N（M，b；）,y：N（〃2，￡）,X，L,X〃,和X，L分別為來(lái)自XI的簡(jiǎn)單樣本,

且這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立,樣本的值為2,L，七〃和％,L）”利用以下數(shù)據(jù),完成相應(yīng)的假設(shè)檢驗(yàn).

mn工y檢驗(yàn)水平a零假設(shè)明

丁2丁2

128556056.1510.056=，

尸=胃~吊7，P（F<1/3.759）=0.025,P（F>4.709）=0.025,

S?

1/3.759</=母=曳=1.1<4.709,接受”o.

$251

5.設(shè)總體X有密度〃（1初二14仍年什）。），其中6￡（YO,+OO）是未知參數(shù)，X],,X“是來(lái)自

X的樣本.試求0的最大似然估計(jì)和矩估計(jì).

1）A=min{X1,,X〃}是。的最大似然估計(jì).

2）6=無(wú)-1是夕的矩估計(jì).

6設(shè)某批鋁錠的比重服從正態(tài)分布，隨機(jī)他抽查了16塊鋁錠的比重，得到樣本均值5=2.705和樣

本方差J=0.0292.求這批鋁錠的比重的置信水平為0.95的置信區(qū)間.

置信區(qū)間為為.69,2.72].

1C

7.某工廠生產(chǎn)的人造板的厚度(亳米)X~N(").現(xiàn)從該廠的產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取10張進(jìn)行測(cè)量,

得樣本方差52=0.056.檢驗(yàn)假設(shè)40:M<0.025c:>0.025.(a=().05)

9s27

1=志行=20.16之16.919=焉(0.05),拒絕為.

8.甲、乙兩個(gè)工廠都生產(chǎn)同一種部件,其重量(單位:千克)分別用x和y來(lái)表示,假定它們都服從正態(tài)

分布.現(xiàn)從兩個(gè)工廠中分別取出8件和9件部件測(cè)量其重量，分別得到樣本方差寸=15.50和

$=9.60.問(wèn)能杳由此推斷兩個(gè)工廠生產(chǎn)的部件的重量的方差有顯著差異？(a=0.1)

片8(0.95)=0.268<尸=s；/$=1.616<3.5=外用(°95),故接受.

㈤

選擇題

1.

(1)設(shè)P(A|8)=P(B\C)=P(C\A)=2/3；P(AB)=P(BC)=P(CA)=1/6,

產(chǎn)(4?C)