數(shù)字通信原理課程主講人：李斯偉

在對數(shù)字通信系統(tǒng)的研究中，人們感興趣的問題是信號怎樣在系統(tǒng)中傳輸。因此，了解描述信號特征的頻譜等概念及利用這些知識對信號進行處理涉及的相關(guān)基礎(chǔ)知識都是非常必要的，同時也是學習數(shù)字通信原理的基礎(chǔ)。盡管信號原本表示的是物理量，但當它一旦變換為函數(shù)表達式時，信號的相關(guān)問題就變?yōu)槿绾翁幚磉@些函數(shù)的數(shù)學問題了。本章的目的是把一些將在本書中出現(xiàn)的數(shù)學定義、公式和理論集中在一起，不追求數(shù)學上的嚴密性，力爭使物理上的直觀和理論上的系統(tǒng)能很好地結(jié)合起來。本章的主要內(nèi)容圍繞信號與通信信道展開討論。引言2學習完本章，你應(yīng)重點掌握以下內(nèi)容：

典型信號的點及其數(shù)學表達式識記

信息量的計算

周期信號的傅里葉級數(shù)展開式及頻譜圖繪制

非周期信號的傅里葉變換簡單計算及頻譜的物理含義

信號的能量譜和功率譜、互相關(guān)與自相關(guān)的物理意義

隨機過程的數(shù)字特征的數(shù)學表示式及物理含義

信道的定義和分類及信道容量的相關(guān)計算

通信信道的噪聲及特征

本章學習重點學習指南34本講教學主要內(nèi)容內(nèi)容提要1信號如何承載信息？2信號的時域與頻域特性3周期信號的傅里葉級數(shù)及頻譜4

非周期信號的頻譜5通信中的相關(guān)5學習路線圖123概念的物理意義概念的數(shù)學意義熟練相關(guān)計算6信號如何承載信息？信號是消息的載體，通過信號的振幅、頻率或相位的不同變化來表示消息。模擬信號振幅變化模擬信號頻率變化7模擬信號相位偏移信號如何承載信息？8數(shù)字信號信號如何承載信息？9周期信號的振幅、周期和相位信號如何承載信息？10比特率和比特間隙（時間寬度）信號如何承載信息？11二、信號的時域與頻域特性為什么要對信號進行頻譜分析？①頻率是信號的一個特有屬性。

②對時間域的信號很難分析,頻譜只是一種數(shù)學工具，就像高中數(shù)學要引入向量一樣，采用頻譜分析更能夠了解信號的特性。③不同通信系統(tǒng)對不同頻率的信號表現(xiàn)出來的特性是不一樣的，所以要知道這個信號的頻率成分。例如要濾波，先要知道信號的頻譜在哪里才好設(shè)計濾波器。

頻譜分析儀12信號的時間特性表示確定信號的時間函數(shù)，包含了信號的全部信息量，信號的特性首先表現(xiàn)為它的時間特性。時間特性主要指信號隨時間變化快慢的特性。同一形狀的波形重復出現(xiàn)的周期長短信號波形本身變化的速率（如脈沖信號的脈沖持續(xù)時間及脈沖上升和下降邊沿陡直的程度）以時間函數(shù)描述信號的圖象稱為時域圖，在時域上分析信號稱為時域分析。13信號的頻率特性信號還具有頻率特性，可用信號的頻譜函數(shù)來表示。在頻譜函數(shù)中，也包含了信號的全部信息量。頻譜函數(shù)表征信號的各頻率成分，以及各頻率成分的振幅和相位。頻譜：對于一個復雜信號，可將其各正弦分量的振幅與相位分別按頻率高低次序排列成頻譜。頻帶：復雜信號頻譜中各分量的頻率理論上可擴展至無限，但因原始信號的能量一般集中在頻率較低范圍內(nèi)。

在工程應(yīng)用上一般忽略高于某一頻率的分量。頻譜中該有效頻率范圍稱為該信號的頻帶。以頻譜描述信號的圖象稱為頻域圖，在頻域上分析信號稱為頻域分析。14復合信號波形tf15數(shù)字信號的諧波16基伯斯（Gibbs）現(xiàn)象多個正余弦分量的頻率信號合成17周期信號的傅里葉級數(shù)兩種不同形式的展開式三、周期信號的傅里葉級數(shù)及頻譜單擊添加三角函數(shù)形式展開式指數(shù)形式展開式信號的頻帶寬度【引例】有三個不同的信號，分別是正弦波、方波和鋸齒波，它們的頻率都是1000Hz，這三個信號在音質(zhì)上有區(qū)別嗎？為什么？18信號分析的利器——傅里葉級數(shù)與變換對周期信號的分析，最早來自1784年歐拉對振動弦的研究。歐拉發(fā)現(xiàn)所有的振動模式都是x的正弦函數(shù)，并稱其為諧波關(guān)系。歐拉得出結(jié)論：如果某一時刻振動弦的形狀是其諧波的組合，那么在其后的任何時刻，振動弦的形狀也都是這些振蕩諧波的組合。1753年，伯努利聲稱一根弦的實際運動都可以用振動諧波的線性組合來表示。1759年，拉格朗日提出反對意見。1807年，傅里葉在熱力學研究時，得出：任何周期信號都可以用成諧波關(guān)系的正弦函數(shù)來表示。最后由狄里赫利給出數(shù)學表達式。19傅里葉生平1768年生于法國1807年提出“任何周期信號都可用正弦函數(shù)級數(shù)表示”1829年狄里赫利第一個給出收斂條件拉格朗日反對發(fā)表1822年首次發(fā)表在“熱的分析理論”一書中20周期信號的三角函數(shù)傅里葉級數(shù)展開式一個周期為T的周期信號f(t)，可以展開成如下的傅里葉級數(shù)，即直流分量余弦分量正弦分量21任何周期信號的波形是由一個平均分量（直流分量）和一系列諧波相關(guān)的正弦波和余弦波組成的。傅里葉級數(shù)可寫成通信工程上更為實用的形式，即其中，

（諧波振幅）（諧波初相角）周期信號的傅里葉級數(shù)工程實用形式22將周期信號的各分量的振幅和相位用圖形表示出來，稱之為頻譜圖。頻譜圖中諧波分量的振幅隨頻率變化的關(guān)系稱為振幅譜（或幅度譜），諧波分量的相位隨頻率變化的關(guān)系稱為相位譜，一般習慣地將振幅頻譜簡稱頻譜。23例題講解

【例1】試將下圖所示的方波信號f(t)展開為傅里葉級數(shù)。

解答24矩形脈沖（或矩形脈沖串）也是由一系列諧波相關(guān)的正弦波組成，信號譜分量的幅度取決于占空比。一個矩形脈沖的傅里葉級數(shù)展開式表示為一個矩形脈沖的直流分量等于。脈沖寬度越窄，直流分量將越小。n次諧波的幅度為25？想一想1.如下式所示的一個信號，試問該信號有幾個頻率分量？分別是什么？并求該信號的直流功率、交流功率，以及信號輸出的最大值和最小值。26？想一想2.下圖所示的三個信號，它們的脈寬和頻率都相同，它們所含的頻率分量相同嗎？TTT27周期信號不僅可以用三角函數(shù)以及工程實用形式表示，還可以用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)表示，這種指數(shù)形式簡潔便于計算，在通信中也獲得了廣泛應(yīng)用。（復傅里葉系數(shù)）

結(jié)論：任意周期信號f（t）可以分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號

之和，

其各分量的復數(shù)幅度為

。周期信號的傅里葉級數(shù)復指數(shù)形式28實、復傅里葉系數(shù)的關(guān)系實傅里葉系數(shù)：

a0

an

bn復傅里葉系數(shù)：

29周期復指數(shù)信號的頻譜圖

周期矩形脈沖信號指數(shù)形式傅里葉級數(shù)的頻譜是一個離散譜。30例題講解

【例2】設(shè)有一個幅度為A，脈沖寬度為的周期性矩形脈沖，其周期為T，如圖所示，求其復傅里葉系數(shù)。

解答31

頻帶寬度（帶寬）頻譜圖上第一個零點以內(nèi)的范圍，記作B。例：對周期矩形脈沖信號，

Bω=2π/τ

或

Bf=1/τ32

頻帶寬度（帶寬）33

頻帶寬度（帶寬）34？想一想1.如下圖所示的信號試回答下面的問題：（1）畫出該信號指數(shù)形式的頻譜圖。（2）該頻譜的第一個過零點對應(yīng)的頻率是多少？（rad/s）（3）該頻譜的第一個過零點內(nèi)有多少個頻率分量？（4）試求信號的總功率。11-0.100.1135非周期信號的頻譜傅里葉認為，非周期信號可以看做是周期無限長的周期信號。一個非周期信號f(t)可以用其傅里葉變換求其頻譜函數(shù)，即通常把叫做f(t)的頻譜密度函數(shù)，或簡稱頻譜密度。36【例2-6】試求圖2-13所示的矩形脈沖的頻譜。解：利用式（2-5），有

37相關(guān)相關(guān)是現(xiàn)代通信中廣泛應(yīng)用的概念之一，它也是在時域中描述信號特征的一種重要方法。在通信中通常用相關(guān)函數(shù)衡量信號波形之間的相似程度或關(guān)聯(lián)程度?；ハ嚓P(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)38三字經(jīng)人之初，性本善。性相近，習相遠。茍不教，性乃遷?！B(yǎng)不教，父之過。教不嚴，師之惰。子不學，非所宜。幼不學，老何為。玉不啄，不成器。人不學，不知義。為人子，方少時。親師友，習禮