概率統(tǒng)計及隨機過程知識總結(jié)

第1章隨機事件及其概率

一、隨機事件及樣本空間

1、隨機試驗

我們將具有以下三個特征的試驗稱為隨機試驗，簡稱試驗.

(1)重復(fù)性：試驗可以在一樣的條件下重復(fù)進展；

(2)多樣性：試驗的可能結(jié)果不止一個，并且一切可能的結(jié)果都；

(3)隨機性：在每次試驗前,不能確定哪?個結(jié)果會出現(xiàn)。

隨機試驗一般用大寫字母￡表示，隨機試驗中出現(xiàn)的各種可能結(jié)果稱為試驗的根本結(jié)果:

2、樣本空間

隨機試驗￡的所有可能結(jié)果組成的集合稱為試驗的樣本空間.記為S,樣本空間中的元素，即￡的

每個根本結(jié)果，稱為樣本點，

3、隨機事件

稱隨機試驗￡的樣本空間5.的了集為￡.的隨機事件，簡稱事件0

隨機事件通常利用大寫字母小B、。等來表示。

在一次試驗中，當(dāng)且僅當(dāng)這一子集(事件)中的某個樣本點出現(xiàn)時，稱這一事件發(fā)生.

特別地，將只含有一個樣本點的事件稱為根本領(lǐng)件：

樣本空間S包含所有的樣本點，它在每次試驗中都發(fā)生，稱S為必然事件：

事件0(0US)不包含任何樣本點，它在每次試驗中都不發(fā)生，稱0為不可能事件。

4、隨機事件間的關(guān)系及運算

(1)包含關(guān)系：假設(shè)BuA,則稱事件力包含事件5,也稱事件4含在事件力中，它表示：假設(shè)

事件8發(fā)生必導(dǎo)致事件力發(fā)生。

(2)相等關(guān)系：假設(shè)BuA且Au4,則稱事件力及事件6相等，記為A=

(3)事件的和：稱事件4D8={X|XGA或8}為事件N及事件夕的和事件.

事件Au8發(fā)生意味著事件力發(fā)生或事件夕發(fā)生，即事件月及事件8至少有一件發(fā)生。

類似地，稱為"個事件A,、4、…、A”的和事件，稱為可列個事件4、&、...的

1=1/=!

和事件。

(4)事件的積：稱事件Ac8={x|jc￡A且xeB}為事件力及事件8的積事件,

事件Ac8發(fā)生意味著事件力發(fā)生且事件夕發(fā)生，即事件月及事件8都發(fā)生。

4c8簡記為，他

ns

類似地，稱CA,?為〃個事件A、4、...、兒的積事件，稱eq.為可列個事件4、兒、…的

/=!*=1

積事件。

(5)事件的差：稱事件4-8={x|xwA且X任8}為事件力及事件8的差事件:，

事件A—8發(fā)生意味者事件A發(fā)生同事件4不發(fā)生。(A-8=4耳=A—A8)

(6)互不相容(互斥關(guān)系)：假設(shè)AcB=0,則稱事件/及事件6互不相容，又稱事件力及事

件8互斥。事件力及笈互不相容意味著事件力及8不可能同時發(fā)生。

(7)互逆關(guān)系(對立關(guān)系)：假設(shè)4。3=5且40^3=0,則稱事件力及事件8互為逆事件,

又稱事件A及事件8互為對立事件,記為4=5或3=^。

注意：事件/的對立事件記為4：根本領(lǐng)件是兩兩互不杵容的：

對立事件及互斥事件的關(guān)系：對立一定互斥，但互斥不一定對立。

事件的運算滿足的規(guī)律：

交換律：=Ac8=8cA：

結(jié)合律：(AU3)DC=AD(8UC)(AC3)CC=AC(3CC)；

分配律：AD(3CC)=(AU3)C(ADC)AC(4DC)=(ACH)D(ACC)：

對偶律：彳=月彳33=彳=月(德?摩根律)

二、隨機事件的概率

1、頻率

在一樣的條件下，將一個試驗重復(fù)進展〃次，在這〃次試臉中，記事件力發(fā)生的次數(shù)為N,［次，稱

比值；j為事件力在這〃次試驗中發(fā)生的頻率，記為/,(A)。

頻率描述了事件發(fā)生的頻繁程度.

頻率所具有的三個性質(zhì):

性質(zhì)1：非負性O(shè)?￡（A）?1：

性質(zhì)2：標(biāo)準(zhǔn)性fn（5）=1；

性質(zhì)3：可加性如果事件A.A?4發(fā)兩兩互不相容，則

2、概率的公理化定義

設(shè)匯是隨機試驗，S是它的樣本空間，對于匯的每一事件力賦予一個實數(shù)，記為〃（力，稱為事件4

的概率，且滿足以下三條公理：

非負性：對于任意事件4有尸（月）0;

標(biāo)準(zhǔn)性：對于必然事件W有P（5）=1;

可列可加性：設(shè)4,4,...是兩兩互不相容事件，即對于ij,A.Arf,工戶1,2,...,則有

產(chǎn)（4A:...）=P（4）+，（/0+...

3、概率的性質(zhì)

性質(zhì)1對不可能事件0，有尸（0）=0.

性質(zhì)2（有限可加性）假設(shè)4,4，….，兒是兩兩互不相容的n個事件，則有

夕你兒...

性質(zhì)3（逆事件的概率）對任意事件兒有尸（無）=1一尸（A）

性質(zhì)4設(shè)4〃是兩個事件，假設(shè)〃A,則有P（止而=尸（心-2（歷尸（4P⑺

性質(zhì)5對于任意事件A.P（A）1

性質(zhì)6（加法公式）對任意兩個事件44有P（A0=2（力）+,。（而-尸（而

性質(zhì)6的推論：P（AuB）＜P（A）+P（B）

性質(zhì)6的推廣：

三、古典概率模型

1、古典概率模型

假設(shè)隨機試驗滿足下述兩個條件：

（1）它的樣本空間只含有有限個樣本點，即根本領(lǐng)件數(shù)有限；

（2）每個樣本點出現(xiàn)的可能性一樣.

稱這種試驗為古典概率模型,簡稱古典概型，又稱為等可能概率模型.

假設(shè)事件力包含〃個根本領(lǐng)件，即4=｛繪｝=｛巧、｝=,則有

四、條件概率、全概率公式及貝葉斯公式

1、條件概率

設(shè)小白是兩個事件，且產(chǎn)出＞0,則稱尸(AI6)=今簿⑴為在事件6發(fā)生的條件下，事件力的

條件概率.

2、條件概率的性質(zhì)

條件概率？(?|A)具備概率定義的三個條件：

(1)非負性：對于任意的事件6,P(B|A)＞0；

(2)標(biāo)準(zhǔn)性：P(S|A)=1；

(3)可列可加性：設(shè)耳，與，…是兩兩互斥事件，則有：PuBiA=2?(周力。

\7*=1

3、乘法公式

由條件概率的定義：P(A\B)=——即得乘法定理：

P(B)

假設(shè)凡而設(shè),則P(制=P(0P(川囪；假設(shè)產(chǎn)(用＞。,則尸(第=尸(力/(用力.

乘法定理可以推廣到多個事件的枳事件的情況，

設(shè)小以c為三個事件，且P(AB)＞0,且P(ABC)=P(C|A8)P(8|A)P(A),

一般地，設(shè)有〃個事件Ad2,…，兒，〃22,并且尸(44…A-J＞。，則由條件概率的定

義可得：

P(A4...4)=P(4M&...A/)P(A_M&...AJ..P(A3IA&)P(4IA)P(A)

4、樣本空間的劃分

定義：設(shè)S為試驗￡的樣本空間，幾氏,...，8,為￡'的一組事件，假設(shè)

(i)比鳥=0,iw，，i,/=1,2,…，〃:

(2)BHJ???UB“二S

則稱耳，B?,???,8”為樣本空間S的一個劃分。

5、全概率公式

定理：設(shè)試驗￡的樣本空間為5,A為歹的事件，....反為S的一個劃分，且

P(g)>0(i=1,2,???,〃),則恒有全概率公式:

6、貝葉斯公式

定理：設(shè)試驗f的樣本空間為S,/為夕的事件，6,反,...，笈為S的一個劃分，且?(八)>0,

,尸(A|￡.)P(8,)

P(BJ〉0,(/=1,2,…,〃)，則P(圖A)=-~L———i=l,2,?，幾(貝葉斯公

ZP(M)P(生)

7=|

式)

斤2時，兩個公式的簡化：

全概率公式：P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|B)P(B)

P(A|B)P(B)

貝葉斯公式:P⑻A)=

P(A\B)P(B)+P(A\B)P(B)

7、條件概率P(8|A)及積事件概率P(43)的區(qū)別

P(AB)表示在樣本空間s中，，仍發(fā)生的概率，而尸(@A)表示在縮小的樣本空間5八中，3發(fā)生

的概率，用古典概率公式，則

一般來說,尸(目4)比來(AB)大。

五、事件的獨立性

1、事件的相互獨立性

定義，設(shè)力，8是兩事件，如果滿足等式P(A8)=P(A)P(8),則稱事件48相互獨立，簡稱

A,9獨立。

說明：

(1)事件力及事件B相互獨立,是指事件力的發(fā)生及事件B發(fā)生的概率無關(guān).

(2)兩事件相互獨立及兩事件互斥的關(guān)系：

兩事件相互獨立P(AB)=P(A)P(B)及兩事件互斥AB=0二者之間沒有必然聯(lián)系

(3)事件4、8獨立的充要條件為：

P(4|B)=P(A),P(B)＞0或P(B|A)=P(B),P(A)＞0

三事件兩兩相互獨立的概念

P(AB)=P(A)P(8),

定義：設(shè)A￡C是三個事件，如果滿足等式，尸(8C)二尸(8)P(C),則稱事件A,8,C兩兩相

?(AC)二尸(A)P(C),

互獨立。

三事件相互獨立的概念

P(A6)=P(A)P(8),

P(BC)=P(B)P(C),

定義：設(shè)4aC是三個事件，如果滿足等式《則稱事件A.B、C

P(AC)=P(A)P(C\

P(ABC)=P(A)P(B)P(C),

相互獨立.

注意：三個事件相互獨立=＞三個事件兩兩相互獨立

推廣：

設(shè)a，A2,…，A”是“個事件，如果對于任意攵(1vRW”)，任意1＜彳＜，2＜一

具有等式尸(444)=P(A；)P(4)2(&)，則稱A，&,…，4為相互獨立的事件、

結(jié)論：

假設(shè)事件4,4，?.，A,(〃之2)相互獨立，則其中任意女(2《女w〃)個事件也是相互獨立的。

2、幾個重要定理

定理一：設(shè)A,8是兩事件，且夕(A)＞0,假設(shè)A,B相互獨立，則P(@A)=P(B).反之亦

然。

定理二：假設(shè)A3相互獨立，則以下各對事件，A及A及B、A及B也相互獨立。

推廣：n個事件4,4，，4“(〃N2)相互獨立，則將a,4,…，A”中任意多個事件換成它們

的對立事件，所得的〃個事件仍相互獨立。

3、事件的獨立性在可靠性問題中的應(yīng)用

所謂系統(tǒng)(元件)的可靠性是指系統(tǒng)(元件)正常工作的概率：

補充：排列及組合知識

1、加法原理

設(shè)完成一件事有加種方式,第/種方式有2種方法,則完成這件事共有：州+分+……+〃?種不同

的方法。

2、乘法原理

設(shè)完成一件事有3個步驟，第，種步驟有〃，種方法，則完成這件事共有：qX",X……X/7,種不

同的方法。

3、排列公式

(1)從〃個不同元素。不放回(不市復(fù))地選取m個元素進展排列，稱為選排列，則所有不同排列

的總數(shù)為：A；(E；")=----——-=〃1)??2+1)

(n-m)：

(2)當(dāng)片小時，稱為全排列，其計算公式為：Pn=A：=n\

(3)有重復(fù)排列：從〃個不同元素中有放回(可重復(fù))地取加個元素進展排列，稱為可重排列，

其總數(shù)為/人

4、組合公式

(1)從〃個不同元素中不重復(fù)地選取勿個元素，組成一組(不管其順序)，稱為從〃個不同元素中選

取小個元素的組合。

則所有不同組合的總數(shù)為："=c：=——-——

卜〃J,〃!(〃—⑼！

選排列及選組合的關(guān)系：A；：=C：〃z!

說明：選組合也等價于：如果把。個不同的元素分成兩組.一組打個，另一組hm個，組內(nèi)元素不

n\

考慮順序，則不同分法的總數(shù)為：—---------

ml(n-m)!

(2)多組組合：把〃個不同元素分成衣組(1WkS玲，使第了組有，個元素，

i=l

假設(shè)組內(nèi)元素不考慮順序，則不同分法的總數(shù)為：-----:—

勺!…外!

⑶常用組合公式：c：=c：T，C3=C：+C：T，C二工c；c：「，tc；=2〃.

*=0i=o

第2章隨機變量及其分布

一、隨機變量

1、隨機變量的概念

定義：設(shè)￡是隨機試驗，它的的樣本空間為&｛e｝.如果對于每一個GWS,有?個實數(shù)He)及之

對應(yīng)，這樣右尺。)是定義在樣木空間S上的實值單值函數(shù).稱加1Q)為隨機變量.

說明：(D隨機變量及普通的函數(shù)不同；

(2)隨機變量的取值具有?定的概率規(guī)律：(3)隨機變量及隨機事件的關(guān)系

2、隨機變量的分類

(1)離散型：隨機變量所取的可能值是有限多個或無限可列個，叫做離散型隨機變量.

(2)連續(xù)型：隨機變量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個區(qū)間，叫做連續(xù)型隨機變量.

二、離散型隨機變量的概率分布

1、離散型隨機變量的分布律

定義：設(shè)離散型隨機變量/所有可能取的值為心0=1,2,...),/取各個可能值的概率，即事件【卻斯｝

的概率，為尸｛后及｝=外公1,2,...,稱此為離散型隨機變量才的分布律

8

說明：(1)pk>0,攵=1,2,??,：(2)￡P(guān)k=1

*=|

XXj???X???

離散型隨機變量的分布律也可表示為：X~?2

5P1…凡

XX、XtX。?.?

PAPlA???p????

2、常見離散型隙機變量的概率分布

(1)兩點分布

設(shè)隨機變量J只nJ■能以0及1兩個值，它的分布律為:

X01

1-pP

則稱乃服從(0-1)分布或兩點分布.

(2)等可能分布

如果隨機變量才的分布律為:

X???

%%%

??.

Pt

nnn

其中(q0％〕，則稱才服從等可能分布.

(3)二項分布

〃重伯努利試驗：設(shè)實驗〃只有兩個可能結(jié)果：A及則稱/為伯努利試驗.

設(shè)。(A)=〃(Ovp<l),此時P(N)=1—〃，將Z?重復(fù)地進展〃次，則稱這一串重斃的獨立

試驗為A重伯努利試驗。

用X表示〃重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則

/X

P{X=A}=p*(l—〃)""，A=U,1,...?n

\k)

得才的分布律為:

X0i????.k???n

q"???

Pk*p"

稱*服從參數(shù)為〃和P的二項分布，記為

“n(n

顯然：ZP{X=A=Z,P、z=(P+q)"=l

k=OJt=O1攵/

注意：當(dāng)比1時，二項分布就是(o-i)分布

Possion定理

設(shè)叩〃二義〉0,則對固定的A,C-,A=0,l,2,，,

ck!

Poisson定理說明假設(shè)1~8(〃，p),則當(dāng)〃較大，夕較小，而〃〃=2適中，則可以用

乃

近似公式：C：p“l(fā)_p尸=0,1,2,-?.

k!

(4)泊松分布

設(shè)隨機變量X所有可能取的值為0,1,2,…，且概承分布為：

其中2>0是常數(shù),則稱x服從參數(shù)為4的泊松分布,記作二萬(義).

(5)幾何分布

假設(shè)隨機變量X的分布律為：

X12?■?k???

Pqp??????

Pkqip

其中，〃+g=l,貝!稱彳服從幾何分布。

說明：幾何分布可作為描述某個試驗“首次成功”的概率模型.

三、隨機變量的分布函數(shù)

1、分布函數(shù)的概念

定義：設(shè)才是一個隨機變量，x是任意實數(shù)，函數(shù)廠(x)=P{XW燈為彳的分布函數(shù)。

性質(zhì)：

(1)0<F(x)<1,xe(-00,00)：

<XJ)；

⑵F(X])<F(X2),(XX

(3)F(-oo)=limF(x)=0,F(co)=limF(x)=1；

XT-XX->00

(4)limF(x)=r(x0),(-8v/<8),即任一分布函數(shù)處處右連續(xù)，

重要公式

(1)P{a<X<b}=F(b)-F(a)；(2)P{X>a}=\-F{a}

四、連續(xù)型隨機變量及其分布

1、概率密度的概念及性質(zhì)

定義：如果對于隨機變量X的分相函數(shù)尸㈠)，存在非負函數(shù)，使得對于任意實數(shù)*有

F(x}=則稱才為連續(xù)型隨機變量，其中/、3稱為X的概率密度函數(shù).簡稱為概

率密度。

性質(zhì)：

(1)f(x)>0：(2)j,f(x)dx=l；

這兩條性質(zhì)是判定一個函數(shù)f在)是否為某一隨機變量的概率密度的充要條件

(3)<X<X,)=F(x2)-F(A])

(4)假設(shè)fix)在點x處連續(xù)，則有尸(x)=/(x):

(5)對于任意可能值a,連續(xù)型隨機變量取a的概率等亍零.即：P{X=。}=0.

由此⑸可得：P[a<X<b}=P{a<X<b}=P[a<X<b]=P{a<X<b].

連續(xù)型隨機變量取值落在某一區(qū)間的概率及區(qū)間的開閉無關(guān)

2、常見連續(xù)型隨機變量的分布

(1)均勻分布

1

------,a<x<bf,

設(shè)連續(xù)型隨機變量才具有概率密度：/(x)=《〃一a

0,其它，

則稱1在區(qū)間(&6)上服從均勻分布，記作:?〃(當(dāng)H)

均勻分布的意義

在區(qū)間Q,份上服從均勻分布的隨機變量K落在區(qū)間(a,b)中任意等長度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是

一樣的。

概率密度函數(shù)圖形、

/(X)

abx

分布函數(shù)

(2)指數(shù)分布

設(shè)連續(xù)型隨機變量/具有概

度：/(%)=[&'其中%>0為常數(shù)，

0,x<0.

則稱x服從參數(shù)為A的指數(shù)分布.

概率密度函數(shù)圖形

注:￡

分布函數(shù)

如4服從指數(shù)分布,P{A>s+t

T>s)=P{X>t)(無記憶性)

(3)正態(tài)分布(或高斯分布)

1(X”

設(shè)連續(xù)型隨機變量I具有概率密度，-8Vx<+8,

271(7

其中〃，(7((7>0)為常數(shù)，則稱彳服從參數(shù)為4,O的正態(tài)分布或高斯分布,

記作X?

正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征

(1)曲線關(guān)于X=〃對稱：(2)當(dāng)/=〃時，/(尢)取得最大值「一-：

yl27i(y

(3)當(dāng)Xf±00時，/(x)f0；(4)曲線在X二〃±。處有拐點；

(5)曲線以工軸為漸近線：

16)當(dāng)固定。，改變,〃的大小時，/(X)圖形的形狀不變，只是沿著X軸作平移變換：

(7)當(dāng)固定〃，改變。的大小時，/(X)圖形的對稱軸不變，而形狀在改變，a越小，圖形越

高越瘦，。越大，圖形越矮越胖。

正態(tài)分布的分布函數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

當(dāng)正態(tài)分布中的

〃=0,。=1時，這樣的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)

正態(tài)分布，記為N(0,1)

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為：

1~

火幻=.—e2,-co<x<co,

J2兀

ex1--

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為：①(x)=-7=^-dz,-8cx<00.

Jr而

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形

常用結(jié)論：⑴①(o)=g；(2)Vxe/?,0)(f)=l—a)(x)

引理：假設(shè)X~N(4，/)，則Z=±N~N(0』)

(7

30"準(zhǔn)則

由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計算可以求得，當(dāng)/?M0,1)時，

P(|J1<1)=2<D；AI/1<2)=20)(2)-l=0.9544；P(IM43)=2①⑶-1=0.9974；

這說明，J的取值幾乎全部集中在［-3,3］區(qū)間內(nèi)，超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%.

將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布，當(dāng)丫?N(〃,b2)時，

P(|y-|<CT)=；P(\Y-/H|<2a)=0.9544；P(\Y-|<3b)=0.9974

可見服從正態(tài)分布NR,/)的隨機

變量才之值根本上落在區(qū)間

(//-2(r,〃+2a)內(nèi)，而

幾乎不落在(〃-3。,〃+3。)之外，在實際應(yīng)用中稱為3。準(zhǔn)則。

五、一維隨機變量困數(shù)的分布

1、離散型隨機變量函數(shù)的分布

如果I是離散型隨機變量，其函數(shù)后g(勿也是離散型隨機變量，假設(shè)X的分布律為:

X??????

再x2Xk

*■???■

PkPlPiPk

則聆g(X)的分布律為:

??????

y=g（x）雙為)g(w)g區(qū))

??????

PkPiPiPk

假設(shè)g(x?)中有值一樣的，應(yīng)將相應(yīng)的P(合并。

2、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布

如果才是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為,/x(x),欲求片g(川的概率密度力，(y),

一般，我們采用先求分布函數(shù)，再求概率密度的方法，步驟如下：

(1)求出六g(加的分布函數(shù)《()')：

⑵由關(guān)系式力，(y)=耳(y)求出人()，)。

定理：設(shè)隨機變量才具有概率密度fx(X)，其中Y0<KV”，又設(shè)函數(shù)g(x)處處可導(dǎo)，且

恒有g(shù)'(x)>o(或恒有g(shù)'(x)vO)，則稱y=g(X)是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為：

，/、a<y<B，.

A(y)=1c廿/L,其中a=mm!g(-oo),g(+co))，

0,其他.

B=max(g(Yo),g(+o))),h(y)是g(x)的反函數(shù)，

第3章多維隨機變量及其分布

一、二維隨機變量及其分布函數(shù)

1、二維隨機變量

定義：設(shè)￡是一個隨機試驗，它的樣本空間是5=化｝,設(shè)X=X(e)和y=Y(e)是定義在s

上的隨機變量，由它們構(gòu)成的一個向量（x,y）,叫做二維隨機向量或二維隨機變量,

2、二維隨機變量的分布函數(shù)

定義：設(shè)（x,y）是二維隨機變量，對于任意實數(shù)二元函數(shù)

尸（羽y）=P{（X<x）C［（Y<y）］=P{X<x,Y<y）稱為二維隨機變量（X,Y）的分布函

數(shù)，或稱為隨機變量1和y的聯(lián)合分布函數(shù)。

/（乂），）的函數(shù)值就是隨機點落在如下圖區(qū)域內(nèi)的概率。

性質(zhì)：

(1)0<F(x,y)<l,

（2）對每個變量單調(diào)不減,

固定X,對任意的7）<y2,F（x,yi）F（x,㈤：

固定y,對任意的xi<xz,F（xhy）F（x2,y）；

（3）對每個變量日連續(xù)

尸（劉，yo）=F（Ai>+0,%），尸（*。，％）=尸（劉，y0+0）；

(4)對于任意a<b,c<d,F也小-F(b,<?)-F{a,d)+F(a,c)0

3、二維離散型隨機變量

定義：假設(shè)二維隨機變量（*K）所取的可能值是有限對或無限可列多對，則稱（X,F）為二維

離散型隨機變量.

4、二維離散型隨機變量的分布律

設(shè)二維離散型隨機變量（X,丫）所有可能取的值為CjyJ",J=1,2,

記p{x=改，y=*}=］%,i,j=1,2，…,稱此為二維離散型隨機變量（X,丫）的分布律,

008

或隨機變量才和y的聯(lián)合分布律。其中，Pu>0,〃加二1。

i=ij=i

??????

P11Pl\P/1

???

為P12P22P.2

:z

■?

匕%P1J%

5、二維連續(xù)型隨機變量

定義：對于二維隨機變量（X,y）的分布函數(shù)b（x,y）,如果存在非負的函數(shù)/*,），）使對于任意

My有/（X,y）=「「/（W,v）di/dv,則稱（X,丫）是連續(xù)型的二維隨機變量，函數(shù)f（x,刃稱

J-<OJ-00

為二維隨機變量（x,y）的概率密度，或稱為隨機變量彳和卜的聯(lián)合概率密度.

性質(zhì)：

⑵「1*f（x,y）dxdy=F（oo,oo）=l;

JYJ-<O

（3）設(shè)G是其少平面卜.的?個區(qū)域，點（X,y）落在G內(nèi)的概率為

（4）假設(shè)f（x,y）在（x,y）連續(xù)，則有!?：-'）=f（x,y）-

dxdy

6、兩個常用的分布

（1）均勻分布

定義：設(shè)〃是平面上的有界區(qū)域，其面積為5假設(shè)二維隨機變量（才，V）具有概率密度

“、—，（x,y）eD

f（x,y）=lS則稱（才，？）在〃上服從均勻分布.

0,其他

（2）二維正態(tài)分布

定義：假設(shè)二維隨機變量（尤）'）具有概率密度

其中"i，"2，C，C，P均為常數(shù)，且6〉°，外〉0,-1<〃<1.則稱（％JO服從參數(shù)為出，

42,外，%，〃的二維正態(tài)分布，記為（x,y）~蟾,〃）。

推廣："維隨機變量的概念

定義：設(shè)萬是一個隨機試驗，它的樣本空間是5=卜},設(shè)X]=X]（e）,

X2=X2（e）,X”=X”（e）,是定義在s上的隨機變量，由它們構(gòu)成的一個〃維向量

（X,,X2,,X“）叫做〃維隨機向量或n維隨機變量。對于任意〃個實數(shù)X，%，，%,n元函數(shù)

尸…,X”）=P{X1<xpX2…，X”《西』稱為隨機變量（X1,X2,…，X“）的聯(lián)合分

布函數(shù)。

二、邊緣分布

1、邊緣分布函數(shù)

定義：設(shè)“（X,），）是隨機變量（x,y）的分布函數(shù)，則萬（乂），）=P{x工乂丫三川，令

y->oo,稱P{XW_r}=P{X《乂丫<8}=/（芯8）為隨機變量（*,丫）關(guān)于力的邊緣分

布函數(shù)，記為&*）=尸",8）。

同理令xfco,FY（y）=F（^y）=P[X<8,丫<y}=P{Y<y}為隨機變量（X,Y）

關(guān)于v的邊緣分布函數(shù)，

2、二維離散型隨機變量的邊緣分布律

定義：設(shè)二維離散型隨機變量（XJ，）的聯(lián)合分布律為P{X=xiyY=乃}=p.,

0000

Z,j=1,2,，記Pi.=￡P(guān)ij=P〈X=Xj]，i=l,2，…，p,j=pit=P{Y=yj],

j=\i=l

j=1,2,?,分別稱（i=l,2,）和〃./（/=1,2」一）為（人產(chǎn)）關(guān)于彳和關(guān)于/的邊緣分

布律。

??????

再%

??????

XPuP21P/1

??????

Pl2P22P.2

:

???

%P2JPij

z::

得離散型隨機變量關(guān)于X和J'的邊緣分布函數(shù)分別為：

3,二維連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度

定義：對于連續(xù)型隨機變量(XV),設(shè)它的概率密度為7(x,y),由于

.(x)=/(x,8)=記力(x)=J/(x,y)dy,稱其為隨機變

量(關(guān)于才的邊緣概率密度。

同理可得r的邊緣分布函數(shù)4(y)=28,y)=J：J,/(x,y)dxdy,

f-KO

fY(y)=J,y)dx為隨機變量(％y)關(guān)于卜的邊緣概率密度

三、隨機變量的獨立性

定義：設(shè)F(x.y)及Fx(x),FY(y)分別是二維隨機變量(%Y)的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)，

假設(shè)對所有*,y有P{X?蒼丫工訓(xùn)=P{XVx}P{Y<y],

即F(x,y)=Fx(X)FY()，),則稱隨機變量才和Y是框互獨立的、

說明：

(1)假設(shè)離散型隨機變量(%J')的聯(lián)合分布律為尸{X=j,y=/}=%,=1,2,?,

￥和y相互獨立=P{X=xi9Y=y.]=P[X=xi}P{Y=.)，即用=

(2)設(shè)連續(xù)型隨機變量(尤了)的聯(lián)合概率密度為/(x,/)，邊緣概率密度分別為

fxM?4()')，則有

￥和Y相互獨立<=>f(x,y)=fx(x)4(J)；

(3)￥和y相互獨立，fix}及g(0連續(xù)，則/1(加和也相互獨立。

四、二維隨機變量函數(shù)的分布

1、二維離散型隕機變量函數(shù)的分布

結(jié)論：假設(shè)二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律為尸{X=%，丫=%}=/%,,/=1,2,??，

則隨機變量函數(shù)Z=g(X,Y)的分布律為P{Z=zk}=P{g(XJ)=zk}=%Pu，

2t=g(xty})

具有可加性的兩個離散分布

(1)設(shè)X?(/?.,冰y、BS,p),且獨立，則X+Y~B(小+m,P)

(2)設(shè)X~(.)fY~〃(J,且獨立，則X，V~(,+J

2、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布

(1)必小'F的分布

設(shè)(X,Y)的概率密度為/(x,y),則Z=X+y的分布函數(shù)為Fz(z)=P[Z<z}

=JJ/(x,)，)dxdy=]二]1/(x,y)dxdy,兩邊求導(dǎo)可得概率密度函數(shù)為:

x^y<z

心(z)=/(z-y,y)d由于”及Y對稱，^(z)=/(x,z—x)dx，當(dāng)x,Y獨立

時，fz(z)也可表示為/2(2)=］：/x(z-y)/y(>)dy.

或%(z)=J：人(x)人(z-x)dx，稱之為函數(shù)f人力及fY(Z)的卷積。

(2)M=max(X,y)及N=min(X,y)的分布

設(shè)尤了是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數(shù)分別為&W和月，()，)，則有:

Fm^=P\M<Z}=P{X<Z,Y<Z}^P[X<Z}P\Y<Z}=FX{Z}FY(Z),

故有:Jz)=〃(z)K(z),(z)=l-[l-^(z)][l-/；(z)]

推廣：設(shè)X1,X2，一?，X〃是"個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數(shù)分別為

七(七)(i=L2,…，〃)，則M=max(Xi，Xz.….X“)及N=miMX-Xz.….X“)的

分布函數(shù)分別為冗皿(z)=FXi(z)-Fx；(z)Fx(z),

假設(shè)X1,X”…，X”相互獨立且具有一樣的分布函數(shù)Fix)，則耳皿(z)=[F(z)]n,

第4章隨機變量的數(shù)字特征

一、隨機變量的數(shù)學(xué)期望

1、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望

00

定義：設(shè)離散型隨機變量X的分布律為PU三⑷=",公1,2,…，假設(shè)級數(shù)X文/〃絕對收斂，則

hl

008

稱級數(shù)?為隨機變量1的數(shù)學(xué)期望，記為E(X)，即E[X)=Zzp-

A=l*=l

2、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望

定義：設(shè)連續(xù)型隨機變量￥的概率密度為了(X),假設(shè)積分絕對收斂，則稱積分

「'x/(x)dx的值為隨機變量1的數(shù)學(xué)期望，記為E(X),即E(X)=「“x/(x)dx。

J-?J-00

數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

(1)設(shè)C是常數(shù)，則有E(C)=C；

(2)設(shè)X是一個隨機變量，。是常數(shù)，則有E(CX)=CE(X)；

(3)設(shè)川Y是兩個隨機變量，則有E(x+y)=E(x)+E(y).：

⑷設(shè)尤y是相互獨立的隨機變量，則有E(xy)=E(x)E(y)

3、隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

(1)離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

8

假設(shè)片gO),旦P{X=xJ=p『攵=1,2,,則有E(g(X))=Zg(Z)〃￡

*=i

(2)連續(xù)型隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

假設(shè)Y是連續(xù)型的，它的分布密度為r(丫)，則E(g(X))=[：g(x)/(x)dx

(3)二維隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

設(shè)Mv為離散型隨機變量，g(x,y)為二元函數(shù)，則E[g(X,y)]=ZZg(為，X)P“，其

>j

中，(x,y)的聯(lián)合概率分布為化廣

設(shè)片廠為連續(xù)型隨機變量，g(x,y)為二元函數(shù)，則

E[g(X,y)]=LJ,g(x,)，)/“,y)dxdy,其中，(X,Y