25.1隨機事件與概率

考點一：隨機試驗與樣本空間

具有下列三個特性的試驗稱為隨機試驗：

（1）試最可以在相同的條件下重復(fù)地進行；-

（2）每次試驗的可能結(jié)果不止一個，但事先知道每次試驗所有可能的結(jié)果；

（3）每次試驗前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).

試驗的所有可能結(jié)果所組成的集合為樣本空間，用。表示，其中的每一個結(jié)果用e表示，e稱為樣本空間中的樣本

點,記作C=｛4.

考點二：隨機事件

在隨機試驗中，把一次試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生、而在大量重復(fù)試驗中卻呈現(xiàn)某種規(guī)律性的事情稱為隨機事

件（簡稱事件）.通常把必然事件（記作。）與不可能事件（記作°）

看作特殊的隨機事件.

考點三：頻率與概率的定義

（1）頻率的定義設(shè)隨機事件A在n次重復(fù)試驗中發(fā)生了%次，則比值%/n稱為隨機事件A發(fā)生的頻率，記作

/；。）二區(qū)

（2）概率的統(tǒng)計定義

在進行大星重復(fù)試驗中，隨機事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即當試驗次數(shù)n很大時，頻率工（“）在一個穩(wěn)定的值

〃（O<P<1）附近擺動，規(guī)定事件A發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值〃為概率，即P（"）=P.

（3）古典概率的定義

具有下列兩個特征的隨機試驗的數(shù)學模型稱為古典概型：

⑴試驗的樣本空間。是個有限集，不妨記作。二回6,…，，,｝；

（ii）在每次試驗中，每個樣本點與（'=1，2,）出現(xiàn)的概率相同，即

尸（佰｝）=P（七｝）=?一=尸（｛0“｝）.

在古典概型中，規(guī)定事件A的概率為

力中所含樣本點的個數(shù)一4

Q中所含樣本點的個數(shù)-7.

（4）幾何概率的定義

如果隨機試驗的樣本空間是一個區(qū)域（可以是直線上的區(qū)間、平面或空間中的區(qū)域），且樣本空間中每個試驗結(jié)果

的出現(xiàn)具有等可能性，那么規(guī)定事件A的概率為

施勺長度（或面積、為積）

（樣本空間的的長度（或面積、體積）.

題型一：事件的分類

1.（2023上?廣東廣州?九年級鐵一中學校考期中）下列事件中是必然事件的是（）

A.打開電視機，正在播放《開學第一課》B.經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈

C.任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180。D.買一張彩票，一定不會中獎

【答案】C

【分析】本題考查事件的分類，根據(jù)必然事件是一定條件，一定會發(fā)生的事件，進行判斷即可.

【詳解】解：A、打開電視機，正在播放《開學第一課》，是隨機事;牛，不符合題意；

B、經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈，是隨機事件，不符合題意；

C、任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180。，是必然事件，符合題意；

D、買一張彩票，一定不會中獎，是隨機事件，不符合題意；

故選C.

2.（2023上?云南昆明?九年級云南師范大學實驗中學校考階段練習）下列事件是隨機事件的是（）

A.任意畫一個三角形，該三角形的內(nèi)角和為180。

B.從分別寫有2,4,6的三張卡片中隨機抽出一張，卡片上的數(shù)字能被2整除

C.購買一張福利彩票就中獎

D.從裝有4個紅球和2個黃球的袋中，隨機抽取一個是白球

【答案】C

【分析】根據(jù)事件發(fā)生概率的可能性大小來確定答案.

【詳解】解：A、任意畫一個三角形，該三角形的內(nèi)角和為180。，是必然事件，故本選項不符合題意；

B、從分別寫有2,4,6的三張卡片中隨機抽出一張，卡片上的數(shù)字能被2整除，是必然事件，故本選項不符合題

意；

C、購買一張福利彩票就中獎，是隨機事件，故本選項符合題意；

D、從裝有4個紅球和2個黃球的袋中，隨機抽取一個是白球，是不可能事件，故本選項不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題主要考查的是必然事件、隨機事件和不可能事件的概念，熟練掌握三者之間的區(qū)別是解題的關(guān)鍵.

3.（2023上?浙江紹興?九年級校聯(lián)考階段練習）下列生活中的事件，屬于不可能事件的是（）

A.經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到綠燈

B.在一個只裝著白球和黑球的袋中摸球，摸出紅球

C.打開電視，正在播放2023年杭州亞運會男子100米決賽

D.從兩個班級中任選三名學生，至少有兩名學生來自同?個班級

【答案】B

【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事件的類型即可.

【詳解】解：A、經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到綠燈，是隨機事件，不符合題意；

B、在一個只裝著白球和黑球的袋中摸球，摸出紅球，屬于不可能事件，符合題意；

C、打開電視，正在播放2023年杭州亞運會男子100米決賽，是隨機事件，不符合題意；

D、從兩個班級中任選三名學生，至少有兩名學生來自同一個班級，是必然事件，不符合題意：

故選：B.

題型二：判斷事件可能發(fā)生的大小

4.（2023上?浙江溫州?九年級校聯(lián)考期中）一個布袋里裝有6個球，分別是1個紅球，2個白球，3個黑球，它們除

顏色外都相同，從中任意摸出1個球，則下列事件中，發(fā)生可能性最大的是（）

A.摸出的是紅球B.摸出的是白球

C.摸出的是黑球D.摸出的是綠球

【答案】C

【分析】個數(shù)最多的就是可能性最人的.

【詳解】解：因為黑球最多，

所以被摸到的可能性最大.

故選：C.

【點睛】本題主要考查可能性大小的比較：只要總情況數(shù)目相同，誰包含的情況數(shù)目多，誰的可能性就大；反之也

成立；若包含的情況相同，那么它們的可能性就相等.

5.（2023上?河北邢臺?九年級?？计谥校┰诓煌该鞯拇永镅b有2個紅球、3個白球、2個黑球，它們除顏色外都相

同，從袋子中任意摸出1個球.下列判斷正確的是（）

甲：摸到紅球比摸到白球的可能性小；乙：摸到紅球和摸到黑球的可能性相同

A.只有甲對B.只有乙對C.甲、乙都對D.甲、乙都不對

【答案】C

【分析】根據(jù)個數(shù)最多的就得到可能性最大分別分析即可.

【詳解】解：依題意，2個紅球、3個白球、2個黑球，白球的個數(shù)最多，

???摸到紅球比摸到白球的可能性小，改甲正確；

摸到紅球和摸到黑球的可能性相同，故乙正確；

故選：C.

【點睛】此題主要考查了隨機事件以及可能性大小，利用可能性大個的比較：只要總情況數(shù)目相同，誰包含的情況

數(shù)目多，誰的可能性就大；反之也成立；若包含的情況相當，那么它們的可能性就相等得出是解題關(guān)鍵.

6.（2023上?九年級單元測試）將只有顏色不同的7個白球和3個黑球放入不透明袋子中，一次性從袋中隨機摸出a

個球，則下列說法正確的是（）

A.若。=3,則摸到的球全是黑球的可能性很大

B.若摸到紅球是隨機事件

C.若記下顏色并放回，重復(fù)進行100次操作，一定會摸到70次白球

D.若a=4,則摸出的球中有白球是必然事件

【答案】D

【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性、事件的分類進行判斷即可.

【詳解】解：不透明袋子中有7個白球和3個黑球，共10個球，

A、若。=3,則摸到的球全是黑球的可能性不大，故選項錯誤，不符合題意；

B、若a=l,摸到紅球是不可能事件，故選項錯誤，不符合題意；

C、若0=1,記下顏色并放回，重復(fù)進行100次操作，可能會摸到70次白球，故選項錯誤，不符合題意；

D、若。=4,則摸出的球中有白球是必然事件，故選項正確，符合題意.

故選：D.

題型三：列舉隨機事件可能的結(jié)果

7.（2022上?天津紅橋?九年級統(tǒng)考期末）一只不透明的袋子中裝有3個黑球和2個白球，這些球除顏色外無其他差

別，從中任意摸出3個球，下列事件是必然事件的是（）

A.至少有1個球是黑球B.至少有1個球是白球

C.至少有2個球是黑球D.至少有2個球是白球

【答案】A

【分析】根據(jù)題意列舉所有可能，即可求解.

【詳解】解：?只不透明的袋子中裝有3個黑球和2個白球，這些球除顏色外無其他差別，從中任意摸出3個球，

可以是3個黑球，2個黑球和1個白球，1個黑球和2個白球，

，至少有1個球是黑球，

故選：A.

【點睛】本題考查了必然事件的定義，根據(jù)題意列舉所有可能是解題的關(guān)鍵.

8.（2021下?浙江杭州?九年級期中）浙教版九年級上冊課本第41頁中的一道題如圖所示，請你仔細閱讀后認真解

答.籠子里關(guān)著?只小松鼠（如圖），籠子的主人決定把小松鼠放歸大自然，將籠子所有的門都打開，松鼠要先經(jīng)

過第一道門（4B,或C）,再經(jīng)過第二道門（。或E）才能出去，問松鼠走出籠子的路線（經(jīng)過的兩道門）有多

少種不同的可能？你的答案是（）

A.12B.6C.5D.2

【答案】B

【分析】分析兩道門各自的可能性情況，再進行組合即可得解.

【詳解】解：???第一道門有人B、。三個出口，

???出第一道門有三種選擇，

又???第二道門有兩個出口，

故出第二道門有。、E兩種選擇，

???小松鼠走出籠子的路線有6種選擇，

分別為力。、AE、BD、BE、CD、CE,

故選B.

【點睛】本題考查了概率的知識，解題的關(guān)鍵是通過列舉法列出所有可能性的路徑.

9.（2019上?湖北武漢?七年級武漢市武珞路中學?？计谥校┠吵踔衅撸?）班學生軍訓排列成7、7=49人的方陣，

做了一個游戲，起初全體學生站立，教官每次任意點4個不同學號的學生，被點到的學生，站立的蹲下，蹲下的

站立，且學生都正確完成指令，同一名學生可以多次被點，則15次點名后蹲下的學生人數(shù)可能是（）

A.3B.27C.19D.以上都不可能

【答案】D

【分析】從每次點的4個同學與已經(jīng)蹲下的同學的重合人數(shù)入手，進而分析得到結(jié)果.

【詳解】假設(shè)點的4個同學全部為站立的學生，則蹲卜人數(shù)十4；

假設(shè)點的4個同學中只有1個為已蹲下的學生，則蹲下人數(shù)-1+3=+2；

假設(shè)點的4個同學中有2個為已蹲下的學生，則蹲下人數(shù)-2+2=0；

假設(shè)點的4個同學中有3個為已蹲下的學生，則蹲下人數(shù)-3+1=—2；

假設(shè)點的4個同學全部為已蹲下的學生，則蹲下人數(shù)一4；

第一次點完之后，蹲下人數(shù)為4,為偶數(shù)，之后每次蹲下的人數(shù)一定符合上述五種情況之一，所以增加或減少的人

數(shù)仍為偶數(shù)，故蹲下的人數(shù)只可能為偶數(shù).

故選D.

題型四：概率的理解

10.（2023上?全國?九年級專題練習）某商店開展“有獎銷售活動”：凡購物滿100元，就可以獲得一次抽獎機會，中

獎的可能性是85%,也就是說抽獎（）

A.100個人抽獎必有85個人中獎

B.抽100次必有85次中獎

C.一定中獎

D.有可能中獎

【答案】D

【分析】中獎的可能性是85%,只能說明有可能中獎，據(jù)此作答即可.

【詳解】解：某商店開展“有獎銷售活動”：凡購物滿100元，就可以獲得一次抽獎機會，中獎的可能性是85%,也

就是說抽獎有可能中獎，

故選：D.

【點睛】本題考查了對可能性比率的理解，正確理解中獎的可能性是85%,是解答本題的關(guān)鍵.

II.（2023上?九年級課時練習）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝二的概率為下列說法正確的是（）

A.連續(xù)拋擲2次必有1次正面朝上

B.足球比蹇前，由拋擲一枚硬幣決定哪一支球隊首先開球是公平的

C.連續(xù)拋擲10次不可能都止面明上

D.大量反復(fù)拋擲，每100次出現(xiàn)正面朝上50次

【答案】B

【分析】根據(jù)概率的意義逐一判斷即可得.

【詳解】解：A.連續(xù)拋擲2次可能有1次正面朝上，此選項錯誤；

B.足球比賽前，由拋擲?枚硬幣決定哪?支球隊首先開球是公平的，此選項正確；

C.連續(xù)拋擲1（）次可能都正面朝上，但可能性較小，此選項錯誤；

D.大量反復(fù)拋擲每10（）次出現(xiàn)正面朝上接近5（）次，此選項錯誤；

故選：B.

【點睛】此題考查了概率的意義和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：概率是頻率（多個）的波動穩(wěn)定

值，是對事件發(fā)生可能性大小的量的表現(xiàn).

12.（2。23下?新疆伊犁?九年級?？奸_學考試）已知拋擲一枚均勻硬幣正面向上的概率是0.5,則下列說法正確的是

（）

A.通過拋一枚硬幣確定誰先發(fā)球的比賽規(guī)則是公平的

B.連續(xù)拋一枚硬幣2次必有1次正面向上

C.大量重復(fù):拋一枚硬幣，每1（）0次正面向上出現(xiàn)50次

D.連續(xù)拋一枚硬幣10次不可能都正面向上

【答案】A

【分析】概率是反映事件發(fā)生機會的大小，只是表示發(fā)生機會的大小，機會大也不一定會發(fā)生；聯(lián)系實際，分析每

種事件的可能性即可得解.

【詳解】解：A、通過拋一枚硬幣確定誰先發(fā)球的比賽規(guī)則是公平的，因為正反面朝上的概率是相等的，故A選項

正確；

B、連續(xù)拋一枚硬幣2次，可能2次都是正面，可能都是反面，也可能1次正面和1次反面，故B項錯誤；

C、大量重復(fù)拋一枚硬幣，每100次正面向上不一定出現(xiàn)50次，故C項錯誤；

D、連續(xù)拋一枚硬幣10次可能都正面朝上，故D項錯誤；

故選：A.

題型五：概率公式的應(yīng)用

13.（2023上?吉林長春?九年級統(tǒng)考期中）不透明的袋子里共裝有2個黑球和3個白球，這些球除了顏色不同外，其

余都完全相同，隨機從袋子中摸出一個球，摸到黑球的概率是（）

?!92

A-2B-iC-ID-i

【答案】D

【分析】利用概率公式即可求解.

【詳解】解：總的可能情況有5種，摸到黑球的可能有2種，

???摸到黑球的概率是:2，

故選D.

【點睛】本題主要考查了簡單的概率計算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握概率計算公式.

14.（2023上?福建寧德?九年級統(tǒng)考期中）學校運動會中，運動員小明與小剛，要從鉛球、跳高兩個項目中任意選擇

一個項目參加比賽，則兩人恰好都選擇鉛球項目的概率是（）

【答案】C

【分析】本題考查簡單隨機事件發(fā)生的概率，先列出所有的可能性，在找出滿足題意的可能性，根據(jù)概率公式計算

即可.

【詳解】運動員小明與小剛，要從鉛球、跳高兩個項目中任意選擇一個項目參加比賽，共有2x2=4種等可能情況,

其中兩人恰好都選擇鉛球項目是其中一種情況，

則兩人恰好都選擇鉛球項目的概率是7.

4

故選：C

15.（2023上?甘肅白銀?九年級統(tǒng)考期中）2023年12月13日，是我國第十個南京大屠殺死難者國家公祭日.某地

從《南京！南京！》《東京審判》《屠城血證》三部影片中隨機選取兩部進行展播，則恰好展播《南京！南京！》《東

京審判》的概率為（）

A-7B-1c-|D-1

【答案】B

【分析】根據(jù)概率公式計算即可.

【詳解】解：將《南京！南京!》，《東京審判》，《屠城血證》三部影片分別標記為b,c,

從中隨機選取兩部的可能結(jié)果有：（。力），（dc），（仇。），共3種可能，

則恰好展播《南京！南京!》《東京審判》的概率，即選取的概率為:，

故選：B.

題型六：已知概率求數(shù)量

16.（2023上?陜西西安?九年級統(tǒng)考期中）一個紙箱中裝有若干白色和黃色的乒乓球，共計20個，這些球除顏色外

都相同，將球攪勻，每次從中隨機摸出一個球，記下顏色后放回、攪勻再摸球，通過大量重復(fù)摸球試驗后，將摸到

白球的頻率繪制成如圖所示的統(tǒng)計圖，由此可估計紙箱中白球的個數(shù)為（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【分析】本題考查了利用頻率估計概率，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定

的近似值就是這個事件的概率.

【詳解】解：由題意知，袋子中有白球20x0.4=8（個）.

故選：C.

17.（2023下?山東青島?七年級統(tǒng)考期末）一個不透明的口袋中裝有4個紅球和若干個白球，每個球除顏色外都相

同.若從中任意摸出一個球是白球的概率是則II袋中白球的數(shù)量是（）

6

A.20B.24C.30D.36

【答案】A

【分析】設(shè)白球的個數(shù)是人，根據(jù)概率公式列出方程，求得答案即可.

【詳解】解：設(shè)白球的個數(shù)是x,

根據(jù)題意得：上；=；，

x+46

解得：x=20,經(jīng)檢驗20是原方程的解，

即：口袋中的白球有20個，

故選：A.

【點睛】本題考查概率的求法：如果一個事件有〃種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)加種可能,

那么事件A的概率尸（力）=”.

n

18.（2023?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?統(tǒng)考一模）一個不透明的箱子中有5個紅球和若干個黃球，除顏色外無其它差別.若任

意摸出一個球，摸出紅球的概率為4，則這個箱子中黃球的個數(shù)為（）

4

A.14個B.15個C.16個D.17個

【答案】B

【分析】接利用概率公式得出紅球的個數(shù)+小球總個數(shù)=!，進而得出答案.

【詳解】解：設(shè)箱子中黃球的個數(shù)為x個，根據(jù)題意可得：

51

x+5-41

解得：x=15,

經(jīng)檢驗得：'=15是原方程的根.

故答案為：15.

題型七：幾何概率

19.（2023上?廣西南寧?九年級南寧十四中?？计谥校┤鐖D所示的是由8個全等的小正方形組成的圖案，假設(shè)可以隨

意在圖中（不過括邊界線）取一點，則這個點取在陰影部分的概率是（）

A.1B.1C.yD.!

【答案】D

【分析】根據(jù)陰影部分的面積所占比例得出概率即可.

【詳解】解：由圖知，陰影部分的面積占圖案面積的:，

即這個點取在陰影部分的概率是《，

O

故選：D.

【點睛】本題主要考查幾何概率的知識，熟練根據(jù)幾何圖形的面積比得出概率是解題的關(guān)鍵.

20.（2023上?全國?九年級專題練習）如圖，飛鏢游戲板中每一塊小正方形除顏色外都相同.若某人向游戲板投擲飛

鏢一次（假設(shè)飛鏢落在游戲板上），則飛鏢落在陰影部分的概率是（）

NLB1

A.2?3JQ—9□—9

【答案】C

【分析】根據(jù)幾何概率的求法：飛鏢落在陰影部分的概率就是陰影區(qū)域的面積與總面積的比值.

【詳解】解：???總面積為3x3=9,其中陰影部分面積為4xgxlx2=4,

2

4

???飛鏢落在陰影部分的概率是§.

故選：C.

【點睛】本題考查了幾何概率的求法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面枳表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所

求事件出然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件4發(fā)生的概率.

21.（2023?江蘇鹽城??？级＃┤鐖D，點C、。在線段上，旦4C：CQ：O3=3：2：1.以點力為圓心，分別以線

段4C、/［。、43為半徑畫同心圓，記以力C為半徑的圓為區(qū)域I,CD所在的圓環(huán)為區(qū)域H,所在的圓環(huán)為區(qū)域

III.現(xiàn)在此圖形中隨機撒一把豆子，統(tǒng)計落在I、II、HI三個區(qū)域內(nèi)的豆子數(shù).若大量重復(fù)此實驗，則（）

A.豆子落在區(qū)域I的概率最小B.豆子落在區(qū)域II的概率最小

C.豆子落在區(qū)域III的概率最小D.豆子落在區(qū)域I、II、川的概率相同

【答案】A

【分析】計算出三個區(qū)域的面積，面積最小的概率最小，進而即可得到答案.

【詳解】解：.?"。：。。：。8=3：2：1,

:.設(shè)DB=a,MAC=3a,CD=2a,

AD=3a+2a=5a,AB=3a+2a+a=6a,

「.【區(qū)域的面積為：（3a『兀=9〃，，

H區(qū)域為面積為：（5a）27i-（367）\=16a27r,

HI區(qū)域的面積為：（64），-（54兀=11/兀，

...【、II、III三個區(qū)域的面積比為：9：16：11,

豆子落在區(qū)域I的概率最小.

故選A.

一、單選題

22.（2023上?浙江溫州?九年級校聯(lián)考階段練習）下列事件中為必然事件的是（）

A.任意拋擲一枚圖釘，結(jié)果釘尖著地B.在一個只裝著白球和黑球的袋中，摸出紅球

C.太陽從東邊升起D.明天會下雨

【答案】C

【分析】必然事件，在一定的條件下重復(fù)進行試驗時，有的事件在每次試驗中必然會發(fā)生，這樣的事件叫必然發(fā)生

的事件，簡稱必然事件，由此即可求解.

【詳解】解：A、任意拋擲一枚圖釘，結(jié)果釘尖著地，是隨機事件，故A錯誤，不符合題意：

B、在一個只裝著白球和黑球的袋中，摸出紅球，是不可能事件，故B錯誤，不符合題意；

C、太陽從東邊升起，是必然事件，故C正確，符合題意；

D、明天會下雨，是隨機事件，故D錯誤，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題主要考查事件的分類，掌握隨機事件，不可能事件，必然事件的概念是解題的關(guān)鍵.

23.（2023上?廣東佛山?九年級校考階段練習）經(jīng)過某十字路口的汽車，它可以繼續(xù)直行，也可以向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn).如

果這三種可能性大小相同，則這輛汽車經(jīng)過這個十字路口繼續(xù)直行的概率是（）

A"B.|C.'D,1

【答案】B

【分析】根據(jù)等可能事件概率的定義計算即可.

【詳解】解：,??這三種可能性大小相同，

...這輛汽車經(jīng)過十字路口繼續(xù)直行的概率為;.

故選：B.

【點睛】本題考查了等可能事件的概率，熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵.

24.（2。23上?廣東深圳?九年級深圳中學?？计谥校┰谝粋€不透明的布袋中，有大小、形狀完全相同，顏色不同的

15個球，從中摸出紅球的概率為:，則袋中紅球的個數(shù)為（）

A.2B.5C.10D.12

【答案】B

【分析】本題主要考查隨機事件概率，假設(shè)紅球有x個，根據(jù)紅球可能出現(xiàn)的情況除以總的可能情況即可，利用事

件發(fā)生的概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

X1

【詳解】解：設(shè)有x個紅球，得亮=：，解得x=5.

故詵:B.

25.（2023上?山西太原?九年級統(tǒng)考期中）某學習小組做“用頻率估計概率”的試驗時，統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，

繪制了如下折線統(tǒng)計圖，則符合這一結(jié)果的試驗最有可能的是（）

A.先后兩次擲一枚之地均勻的硬幣，一次正面朝上一次反面朝上

B.先后兩次擲一枚之地均勻的硬幣，兩次都出現(xiàn)反面朝上

C.擲一枚之地均勻的正六面體做子，向上面的點數(shù)是偶數(shù)

D.擲一枚之地均勻的正六面體散子，向上面的點數(shù)是2或4

【答案】D

【分析】本題考查了用頻率估計概率，根據(jù)題意得，頻率約為0.33,依次計算各選項的概率，即可得，掌握用頻率

估計概率，概率計算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)題意得，頻率約為0.33,

A、先后兩次擲一枚之地均勻的硬幣，一次正面朝上一次反面朝上，概率為0.5,選項說法錯誤，不符合題意；

B、先后兩次擲一枚之地均勻的硬幣，兩次都出現(xiàn)反面朝上，概率為0.25,選項說法錯誤，不符合題意；

C、擲一枚之地均勻的正六面體骰子，向上面的點數(shù)是偶數(shù)，概率為0.5,選項說法錯誤，不符合題意；

D、擲一枚之地均勻的正六面體骰子，向上面的點數(shù)是2或4,概率約為0.33,選項說法有可能，符合題意；

故選：D.

26.（2023上?四川成都?九年級雙流中學校考期中）如圖所示的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤被分成四個相同的扇形，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤時指針

落在每一個扇形內(nèi)的機會均等，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，則指針落在標有偶數(shù)扇形內(nèi)的概率為（）

B-IC.；D.（

【答案】A

【分析】轉(zhuǎn)盤中4個數(shù)，每轉(zhuǎn)動一次就有4種可能，而其中是偶數(shù)的有2種可能，然后根據(jù)概率公式直接計算即可.

【詳解】解：偶數(shù)有兩種，共有四種情況，將轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動一次，

21

指針落在標有偶數(shù)扇形內(nèi)的概率為：牛*）=4=5.

故選：A.

【點睛】本題考查了概率公式求概率，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

27.（2023上?廣東河源?九年級統(tǒng)考期中）小穎和小紅兩位同學在做投擲骰子（質(zhì)地均勻的正方體）試驗，他們共做

了60次試驗，試驗的結(jié)果如下表：

朝上的點數(shù)123456

出現(xiàn)的次數(shù)79682010

⑴計算出現(xiàn)“3點朝上”的頻率和“5點朝上”的頻率.

（2）小穎說：“根據(jù)試驗得出，出現(xiàn)，5點朝上，的機會最大.”小紅說：“如果投擲600次，那么出現(xiàn)，6點朝上，的次數(shù)正

好是100次.”小穎和小紅的說法正確嗎？為什么？

【答案】⑴9i

（2）兩人的說法都是錯誤的，見解析

【分析】（1）根據(jù)頻率的計算公式“事件力的頻率等于事件41H現(xiàn)的次數(shù)除以所有統(tǒng)計的次數(shù)”結(jié)合題目信息即可；

（2）由頻率和隨機事件發(fā)生的可能性大小由隨機事件自身的屬性即概率決定，即可判斷.

【詳解】⑴解：出現(xiàn)“3點朝上”的頻率是2=1

6010

出現(xiàn)“5點朝上”的頻率是2令0=：1.

603

（2）解：兩人的說法都是錯誤的.因為?個隨機事件發(fā)生的概率是由這個隨機事件自身決定的，并客觀存在.隨

機事件發(fā)生的可能性人小由隨機事件自身的屬性即概率決定.因此，判斷事件發(fā)生的可能性人小不能由此次試驗中

的頻率決定.

28.（2023上?廣東茂名?九年級統(tǒng)考期中）今年“6.18”互聯(lián)網(wǎng)促銷期間，某網(wǎng)紅店開展有獎促銷活動，凡進店購物的

顧客均有轉(zhuǎn)動8等分圓盤的機會，（如圖），如果規(guī)定當圓盤停下來時指針指向1就中一等獎，指向3或8就中二等

獎，指向2或4或6就中三等獎；指向其余數(shù)字不中獎.

（1）轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，中一等獎、二等獎、三等獎的概率分別是多少？

（2）6月18Fl這天有1600人參與這項活動，估計這天獲得一等獎的人數(shù)是多少？

【答案】⑴?!

（2）200人

【分析】本題主要考查了概率.

（1）分別找到1,3或8,2或4或6的份數(shù)即可得到概率；

（2）總?cè)藬?shù)乘以獲得一等獎的概率即可.

解題的關(guān)鍵是掌握概率公式：如果一個事件有〃種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)加種結(jié)果，

那么事件A的概率尸□）='.

n

1?I3

【詳解】⑴解：由題意知，生等獎）=＞生啊=京=“生等獎）=『

即中一等獎、二等獎、三等獎的概率是分別是J,q,

X48

（2）解：由（1）知，獲得一等獎的概率是：，

8

1600x1=200（人），

8

估計獲得一等獎的人數(shù)為200人.

一、單選題

29.（2D23上?河南鄭州?九年級?？迹┮韵抡f法合理的是（）

A.小明做了3次擲圖釘?shù)膶嶒?，發(fā)現(xiàn)2次釘尖朝上，由此他說釘尖朝上的概率是:

B.某彩票的中獎概率是5%,那么買100張彩票一定有5張中獎

C.某射擊運動員射擊一次只有兩種可能的結(jié)果：中靶與不中靶，所以他擊中靶的概率是/

D.小明做了3次擲均勻硬幣的實驗，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他認為再擲一次，正面朝上的概率

還是方

【答案】D

【分析】直接利用概率的意義分別分析得出答案.

【詳解】解：A、小明做了3次擲圖釘?shù)膶嶒?，發(fā)現(xiàn)2次釘尖朝上，由此他說釘尖朝上的概率是（是錯誤的，3次

試驗不能總結(jié)出概率，故選項A錯誤，不符合題意；

B、某彩票的中獎概率是5%,那么買100張彩票可能有5張中獎，但不一定有5張中獎，故選項B錯誤，不符合

題意；

C、某射擊運動員射擊一次只有兩種可能的結(jié)果：中靶與不中靶，所以他擊中靶的概率是g不正確，中靶與不中靶

不是等可能事件，故選項C錯誤，不符合題意；

D、小明做了3次擲均勻硬幣的實驗，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他認為再擲一次，正面朝上的可能性

是今，放選項D正確，符合題意.

故選：D.

【點睛】此題主要考查了概率的意義，正確理解概率的意義是解題關(guān)鍵.

30.（2023上?福建福州?九年級?？计谥校┰谝粋€不透明的袋子中裝有3個紅球，2個白球和4個黃球.每個球除顏

色外其余均相同，從袋中隨機摸出一個球，摸到紅球的概率是（）

2142

AB.§C.-D.-

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可知，從中任意摸出1個球，?共有9種可能性，其中摸到紅球的可能性有3種，從而可以計算

出相應(yīng)的概率.

【詳解】解：?.?一個不透明的袋子中裝有3個紅球，2個白球和4個黃球，

二.從中注意摸出1個球，一共有9種可能性，其中摸到紅球的可能性有3種，

???從中任意摸出1個球，摸到紅球的概率是:，

故選：B.

【點睛】本題考查概率公式，解答本題的關(guān)犍是明確題意，求出相應(yīng)的概率.

31.（2。23上?浙江嘉興?九年級校聯(lián)考階段練習）若實數(shù)〃為不大于6的非負整數(shù)，則使關(guān)于x的分式方程

+1的解為整數(shù)的概率為（）

x-33-x

25_43

A.-B.-C.-D.—

3657

【答案】D

【分析】解分式方程一二十1=1得工=修，因為實數(shù)。為不大于6的非負整數(shù)，則。=0,1,2,3,4,5,

x-33-x2

IY一〃

6,分別討論。=0,I,2,3,4,5,6幾種情況，得出使關(guān)于x的分式方程--+-——1的解為整數(shù)情況，即

x-33-x

可求得概率.

【詳解】解：解分式方程一二+1=1得工=3廠，

x-33-x2

?實數(shù)。為不大于6的非負整數(shù)，

，〃=0,192,39495969

顯然解的分子只能是2的倍數(shù)，從而。只能取偶數(shù)；

???當。=0時，x=2；

當。=2時，x=3,方程無解，故舍去；

當”=4時，x=4；

當〃=6時，x=5>

???使關(guān)于x的分式方程一工+1-1的解為整數(shù)的概率為。，

x-33-x7

故選：D.

【點睛】本題考查概率公式，分式方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識的靈活運用.

32.（2023上?浙江衢州?九年級衢州市實驗學校教育集團（衢州學院附屬學校教育集團）校聯(lián)考階段練習）小聰和媽

媽計劃在“江郎山、爛柯山、九華山、藥王山”四個景區(qū)中隨機選擇一個地點出游，則他們選中“江郎山”的概率為（）

A.1B.；C.~~D.—

234

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，可應(yīng)用概率公式“概率-所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比”來解答即可；

【詳解】在“江郎山、爛柯山、九華山、藥王山”四個景區(qū)中隨機選擇一個地點出游，

則選中“江郎山”的概率為：?；

4

故答案為：D.

【點睛】該題主要考查了概率計算，解答該題的關(guān)鍵是掌握概率計算公式.

33.（2D23上?四川成都?九年級校考階段練習）一個不透明的箱子里共裝有〃?個球，其中紅球4個，這些球除顏色

不同其余都相同，每次攪拌均勻后，任意摸出一個球記下顏色后再放回，大量重復(fù)試驗發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定

在0.4附近，則可以估算出m的值為（）

A.4B.6C.10D.12

【答案】C

【分析】根據(jù)概率計算方法變換求解；

4

【詳解】解：根據(jù)題意得一二。4,

m

:.m=10.

故選：C.

【點睛】本題主要考查簡單概率計算的應(yīng)用，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

34.（2023上?浙江溫州?九年級蕭江二中校考階段練習）如圖將一個飛鏢隨機投擲到3x5的方格紙中，則飛鏢落在陰

影部分為概率為（）

【答案】B

【分析】確定陰影部分的面枳在整個圖形中占的比例，根據(jù)這個比例即可求出飛鏢落在陰影區(qū)域的概率.

【詳解】解：.??3x5的方格紙的面積為=3x5=15,陰影部分占7份，

???飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是微7；

故選：B.

【點睛】本題考查了幾何概率.用到的知識點為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比.

35.(2023?浙江?模擬預(yù)測)現(xiàn)有三個E方體形的公正骰子，每個骰子的六個面上分別標有點數(shù)1,2,3,4,5,6.投

擲這三個骰子，則其中兩個骰子的點數(shù)之和恰好等于余下的一個骰子的點數(shù)的概率是()

7八13

A.——B.—C.—D.—

3672624

【答案】D

【分析】先求得總的可能情形，根據(jù)題意得出有9種可能，按照不同方式可得共有45種符合題意的情形，進而根

據(jù)概率公式，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)樹狀圖法可得第一個數(shù)字有6種情形，第二個數(shù)字可以選6個數(shù)字，第三個數(shù)字也可以選6個數(shù)

寧，故總可能結(jié)果有6x6x6=216種可能

依題意，1+1=2,1+2=3,1+3=4,1+4=5,1+5=6,2+2=4,2+3=5,2+4=6,3+3=6,共有9種可能，每種有6種

排列方式，

其中1,1,2,2,2,4,3,3,6每種可能有3種不同排列

(2,2,4);(2,4,2);(4,2,2)和(3,3,6)；(3,6,3)；(6,3,3),共9種可能；

1,2,3的排列有(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)6種可能,同理1,3,4；1,4,5山5,6....,6種可能

則符合題意的共有6x6+3x3=45種，

455

???其中兩個骰子的點數(shù)之和恰好等于余下的?個骰子的點數(shù)的概率是王x=

故選：D.

【點睛】本題考查了根據(jù)概率公式求概率，根據(jù)題意找出符合題意的可能數(shù)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

36.(2023上?浙江嘉興??1,年級校聯(lián)考期中)某班共有學牛36人，在迎新年慶祝會匕隨機抽取1名一等獎，3名

二等獎，5名三等獎，以上統(tǒng)稱為等第獎，該班每一名學生獲得等第獎的概率是.

【答案】J/0.25

4

【分析】本題主要考查了概率的計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握概率的計算公式.

【詳解】解：???共36人，其中有1+3+5=9個等第獎，

91

???該班每一名學生獲得等第獎的概率是-7=7，

364

故答案為：

37.（2023上?廣東茂名?九年級校考期中）在一個不透明的口袋中裝有僅顏色不同的白、黃兩種小球，其中白球2

4

個，黃球〃個，若從袋中任取一個球，摸出黃球的概率是則〃二.

【答案】8

4

【分析】本題考查已知概率求數(shù)量，根據(jù)摸出黃球的概率是三，列式計算即可.

【詳解】解：由題意，得：一n二=24.

解得：〃=8,

經(jīng)檢驗〃=8是原方程的解，

故答案為：8.

38.（2023上?浙江溫州?九年級校聯(lián)考期中）小球在如圖所示的地板上自由滾動，并隨機地停留在某塊方磚上，每一

塊方磚除顏色外完全相同，它最終停留在黑色方磚上的概率是.

4

【答案】|

【分析】根據(jù)幾何概率的求法：最終停留在黑色的方磚上的概率就是黑色區(qū)域的面積與總面積的比值.

4

【詳解】解：觀察這個圖可知：黑色區(qū)域（4塊）的面積占總面積（9塊）的

則它最終停留在黑色方磚上的概率是［:

故答案為：

【點睛】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面稅表示出來，?般用陰影區(qū)域表示所求事件（力）；

然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件3）發(fā)生的概率.

39.（2023上?安徽宿州?九年級統(tǒng)考期中）如果一個「位數(shù)中任意兩個相鄰數(shù)字之差的絕對值不超過1,則稱該三位

數(shù)為“平穩(wěn)數(shù)用3,4,5這三個數(shù)字隨機組成一個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，恰好是"平穩(wěn)數(shù)''的概率為.

【答案】|

【分析】根據(jù)題意列出所有可能，根據(jù)新定義，得出2種可能是“平穩(wěn)數(shù)”，根據(jù)概率公式即可求解.

【詳解】解：依題意，用3,4,5這三個數(shù)字隨機組成一個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，

可能結(jié)果有345,354,435,453,534,543,共六種口J能，

只有345,543是“平穩(wěn)數(shù)”,

???恰好是“平穩(wěn)數(shù)”的概率為P=22.1

63

故答案為：

40.（2023上?山西運城?九年級統(tǒng)考期中）在一個不透明的口袋中裝有紅球和白球共12個，這些球除顏色外都相同，

將口袋中的球攪勻后，從中隨機摸出1個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復(fù)這一過程，共摸球100次，

發(fā)現(xiàn)有25次摸到紅球，則口袋中紅球約有個.

【答案】3

【分析】本題考查利用頻率估計概率，利用頻率估計隨機摸出1個球是紅球的概率為根據(jù)概率公式即可求出答

案.解答本題的關(guān)鍵是明確題意，計算出相應(yīng)的紅球個數(shù).

【詳解】解：設(shè)紅球有x個，

x25

則nil—=---,

12100

解得x=3,

...紅球的個數(shù)約為3個.

故答案為：3.

41.（2。23上?廣東茂名?九年級統(tǒng)考期中）有四張不透明的卡片為為百，,，團，羽，除正面的數(shù)不同外，其

余都相同，將它們背面朝上洗勻后，從中隨機抽取一張卡片，抽到寫有無理數(shù)的卡片的概率為.

【答案】1/0.5

【分析】本題考查概率和無理數(shù)的概念.根據(jù)無理數(shù)的定義和概率公式即可求出概率.

無理數(shù)，也稱為無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫作兩整數(shù)之比.若將它寫成小數(shù)形式，小數(shù)點之后的數(shù)字有無限多個，并

且不會循環(huán).

【詳解】解：???兀、拉為無理數(shù)，

???抽到寫有無理數(shù)的卡片的概率為：1=p

故答案為：!

三、解答題

42.（2023上?九年級課時練習）不透明的盒子里有1號球（紅色）、2號球（紅色）、3號球（紅色）、4號球（白色）、

5號球（白色）、6號球（綠色），這6個球的形狀和大小完全一樣.小麗從這個盒子里任意摸出