《再探三角形全等的條件》教案教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：梳理全等三角形判定方法的探究過程，能提出關(guān)于“SSA能否成為全等判定方法”的問題，并分類進(jìn)行證明或證偽.經(jīng)歷提出問題、證明猜想、構(gòu)造反例的過程，體會(huì)數(shù)學(xué)結(jié)論的生成過程，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、解決問題的能力.教學(xué)重點(diǎn)：分類討論兩邊一對(duì)角（SSA）分別相等的兩個(gè)三角形是否全等.教學(xué)難點(diǎn)：構(gòu)造反例、歸納結(jié)論.教學(xué)過程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)2min引入通過前面的學(xué)習(xí)，我們一起，經(jīng)歷了一次數(shù)學(xué)家探索三角形全等條件的過程——首先，由全等三角形的定義可知，滿足三條邊分別相等，三個(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形全等.但同時(shí)滿足6個(gè)條件，似乎過于苛刻和繁瑣.于是提出探究的方向：如果能用較少的條件，就能簡(jiǎn)潔地判斷兩個(gè)三角形全等，那會(huì)是幾組條件呢？通過實(shí)驗(yàn)，我們得到三組條件就能保證兩個(gè)三角形全等.那么，從邊、角出發(fā)，滿足三組條件的所有情況，我們是否在之前的學(xué)習(xí)中都討論完全了呢？并沒有下面，我們就一起再探三角形全等的條件，或許會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)！6min新課提出問題問題1：從邊、角出發(fā)的三組條件，應(yīng)該有幾種不同的組合？由單一條件構(gòu)成：SSS或AAA由邊、角的復(fù)合條件構(gòu)成：=1\*GB3①兩角一邊AAS或ASA=2\*GB3②兩邊一角SAS或SSA理論上，共有6種不同的組合.問題2：其中哪種組合是最容易被同學(xué)否定的呢？AAA是最容易被否定的.例如，任作兩個(gè)等腰直角三角形，滿足三組角均相等.形狀能被確定，但由于缺少邊的條件，大小不定，故不能保證二者全等.這樣，剩下的組合中，無論成立與否，我們發(fā)現(xiàn)，要想成為全等三角形的判定，都至少要有一組邊的條件.和我們已經(jīng)探究得到的5種判定方法相比，對(duì)于任意三角形，有4種判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS；對(duì)直角三角形，還多了一種特殊的HL.HL表面上只需要斜邊、直角邊兩組條件，但由于多了直角的前提，實(shí)則也是3個(gè)條件，可以并入“兩邊一對(duì)角分別相等”的情況.提出問題分析到這里，我們會(huì)有這樣的疑問：SSA能否在非直角三角形判定全等時(shí)也成立呢？進(jìn)行探究要想解決這個(gè)問題，按照我們對(duì)于幾何學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，首先要提出猜想：兩組邊及一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形全等.下面，我們對(duì)這個(gè)猜想進(jìn)行證明或證偽.前面的學(xué)習(xí)中，我們積累了這樣的經(jīng)驗(yàn)：三角形的全等條件就是確定三角形的形狀和大小的條件，根據(jù)這一思路，兩邊一對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形是否全等的問題，可以轉(zhuǎn)化為兩邊一對(duì)角是否能確定三角形的形狀和大小的問題.從這個(gè)角度出發(fā)，可進(jìn)行討論如下：我們要先將問題進(jìn)行數(shù)學(xué)化地?cái)⑹?，以便研?已知：在三角形中，兩邊為a，b，邊a的對(duì)角為α我們已經(jīng)探究過直角三角形的情況，現(xiàn)在，可以從它出發(fā)展開研究.當(dāng)α=90°時(shí)先作射線AP、AQ使其夾角為90°（如圖1-1）再任作線段a，b（a>b）圖1-圖1-2圖1-1圖圖1-1圖1-3圖1-4在射線AP上截取AB=b（如圖1-3），以B為圓心，a為半徑作弧，交射線AQ于點(diǎn)C，即BC=a（如圖1-4），可確定三角形的形狀和大小.同學(xué)們一定有這樣的經(jīng)驗(yàn)：α作為三角形中最大的角，所對(duì)的邊，也一定是最長(zhǎng)邊.所以，我們只需讓a邊與α角相對(duì)即可.下面，我們可以接著從角α出發(fā)，分類討論其為鈍角、銳角的情況。同學(xué)們可以先試著設(shè)計(jì)一下作圖流程，并嘗試自己作圖.當(dāng)α>90°時(shí)先構(gòu)造射線AP、AQ使其夾角為鈍角，仍用α表示，同（1），任作線段a，b（a>b）也可唯一確定三角形的形狀和大小（如圖2-1）；圖2圖2-1當(dāng)α<90°時(shí)圖3-圖3-1圖3-2沿用上面的作圖經(jīng)驗(yàn)，我們?nèi)菀椎玫綀D3-1，且也是唯一的.到目前為止，我們的猜想“似乎”都是成立的.我們可以將圖1-4、2-1、3-1的情況加以綜合，發(fā)現(xiàn)下面的結(jié)論：兩邊分別相等且兩邊中大邊的對(duì)角也分別相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)記為“SSA(1)”）我們已經(jīng)探究的HL，就屬于這種判定SSA(1)的特殊情況.注意，這里是假設(shè)a>b的情況。如果a不變，b變長(zhǎng)，當(dāng)a=b時(shí)，如圖3-2所示，以B為圓心，a為半徑作弧，與射線AQ存在兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)與點(diǎn)A重合，不能構(gòu)成三角形，另一個(gè)交點(diǎn)為C，得到三角形的形狀，也是確定的.當(dāng)a<b時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，三角形由不能唯一確定（圖3-3）到唯一確定（圖3-4），最后，由于b變得太大，以B為圓心a為半徑作弧時(shí)，無法與射線AQ相交，三角形不存在了（圖3-5）.圖3-3圖3-3圖3-4圖3-5至此，回顧一下，我們的討論是否完全？我們以“兩邊一對(duì)角”中的“一對(duì)角”α作為分類的第一層標(biāo)準(zhǔn)，按照α為鈍角、直角和銳角三種情況展開討論；每一種討論中，又對(duì)“兩邊一對(duì)角”中的“兩邊”a、b誰為α所對(duì)的較長(zhǎng)邊，展開第二個(gè)層次的討論，故討論是完全的.我們發(fā)現(xiàn)：其實(shí)，兩邊一對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形，在多數(shù)情形下是全等的，只有一種情況不能確定三角形的形狀，就是圖3-3的情況.此時(shí)，a<b，但a又不能小太多，否則會(huì)繼續(xù)變化到圖3-4、3-5的情況.隨著學(xué)習(xí)的深入，我們會(huì)知道，當(dāng)a<b且a大于點(diǎn)B到AQ的距離，也就是△ABC，AC邊上的高時(shí)，正好是圖3-3的情況.歸納小結(jié)下面，我們梳理一下今天的探究的過程，結(jié)合圖形歸納我們的結(jié)論.已知：在三角形中，兩邊為a，b，邊a的對(duì)角為αSSA成立的情況：α>90°α=90°當(dāng)α≥90°時(shí)由a，b，α可確定三角形的形狀和大小，其中α=90°時(shí)，就是我們熟悉的HL.（2）當(dāng)α＜90°時(shí)=1\*GB3①若a>b或a=b，由a，b，α可確定三角形的形狀和大小a>ba=b=2\*GB3②若a＜b且a等于點(diǎn)B到AQ的距離時(shí)，由a，b，α可確定三角形的形狀和大小.SSA不成立的情況：當(dāng)α＜90°，a＜b且a大于點(diǎn)B到AQ的距離時(shí)，從圖中我們能直觀地看出，長(zhǎng)邊b的對(duì)角一個(gè)是鈍角，一個(gè)是銳角，兩個(gè)三角形顯然是不全等的.同學(xué)們?cè)谛睦?，一定為“SSA”鳴不平吧：差一點(diǎn)兒就能升級(jí)成世界公認(rèn)的判定定理了！但因?yàn)檫@一點(diǎn)瑕疵，該結(jié)論就不具有普適性了.這也正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)和科學(xué)，不是嗎？補(bǔ)充思考三組條件的情況，我們已經(jīng)進(jìn)行了較為深入地研究，至此，同學(xué)們可能會(huì)有這樣的想法：如果條件多于三組，應(yīng)該會(huì)更保險(xiǎn)些吧？曾經(jīng)有一位中學(xué)的數(shù)學(xué)教師向數(shù)學(xué)家趙訪熊教授請(qǐng)教：如果一個(gè)三角形，有五個(gè)元素與另一個(gè)三角形的五個(gè)元素兩兩相等，這兩個(gè)三角形是否全等？同學(xué)們，你們認(rèn)為全等嗎？趙教授的答案是：不一定我們來看舉出的反例：如圖，在△ABC與△DEF中，AC=DE，BC=DF,∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F,兩個(gè)三角形有5個(gè)元素兩兩相等，但這兩個(gè)三角形顯然不全等.從反例的構(gòu)造中我們發(fā)現(xiàn)，三角形的形狀不難任意給出，但要保證還有兩條邊分別相等，邊的長(zhǎng)度就要有限制了，至于為什么是8、12、18、27這組數(shù)，或者還有哪些符合條件的數(shù)可以構(gòu)成這樣的兩個(gè)三角形，就需要更多的數(shù)學(xué)知識(shí)了.感興趣的同學(xué)，可以查閱相關(guān)資料，繼續(xù)探討.由此看來，如果三角形的角或邊不是對(duì)應(yīng)相等的關(guān)系，即使兩兩相等的元素再多，也不一定有全等關(guān)系.小結(jié)同學(xué)們，今天，我們雖然沒有探究出新的方法來判定兩個(gè)三角形全等，但我們發(fā)現(xiàn)兩邊一對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形，在哪些情形下是可以判定全等的.雖然我們發(fā)現(xiàn)的結(jié)論不能稱為定理，也不能在解題中直接使用，但探究的過程、分類的依據(jù)、討論的完備，都非常有意義.我們可以沿用今天的思路，去發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證我們?cè)趲缀螌W(xué)習(xí)中的其他猜想.記住，珍視自己的每一個(gè)質(zhì)疑，它們都承載著人類的智慧哦.作業(yè)閱讀教材P46-47借助幾何畫板，或通過尺規(guī)作圖，試著復(fù)盤今天探究的過程吧，把你的發(fā)現(xiàn)，整理在作業(yè)本上.綜合訓(xùn)練一、選擇題1.下列說法正確的是()A.有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B.有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C.有兩個(gè)角與其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等D.有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,還有一條邊也相等的兩個(gè)三角形全等2.如圖,△ABC≌△AEF,AC與AF是對(duì)應(yīng)邊,則∠EAC等于()A.∠ACBB.∠CAFC.∠BAFD.∠BAC3.如圖,給出下列四組條件:①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.其中,能使△ABC≌△DEF的條件共有()A.1組 B.2組 C.3組 D.4組4.如圖,將兩根鋼條AA',BB'的中點(diǎn)O連在一起,使AA',BB'能繞著點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng),就做成了一個(gè)測(cè)量工具,則A'B'的長(zhǎng)等于內(nèi)槽寬AB,其中判定△OAB≌△OA'B'的理由是()A.SAS B.ASA C.SSS D.HL5.如圖,AC=BD,AB=CD,圖中全等的三角形共有 ()A.2對(duì) B.3對(duì) C.4對(duì) D.5對(duì)6.如圖,AB∥CF,DE=EF,AB=10,CF=6,則DB等于 ()A.3 B.4 C.5 D.67.要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A,B間的距離,先在AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C,D,使CD=BC,再定出BF的垂線DE,使A,C,E在一條直線上,如圖,可以證明△EDC≌△ABC,得到DE=AB,因此測(cè)得ED的長(zhǎng)就是AB的長(zhǎng).判定△EDC≌△ABC的理由是()A.SAS B.ASA C.SSS D.HL8.如圖,在△ABC中,已知AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分別為點(diǎn)D,E,AD,CE交于點(diǎn)H.若EH=EB=3,AE=4,則CH的長(zhǎng)是()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題9.如圖,已知△ABC≌△A'B'C,點(diǎn)B'在邊AB上,若∠A=40°,∠B=60°,則∠A'CB的度數(shù)為.

10.如圖,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分別為D,E,AD,CE交于點(diǎn)H,請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件:,使△AEH≌△CEB.

11.雨傘開閉過程中某時(shí)刻的截面圖如圖所示,傘骨AB=AC,支撐桿OE=OF,AE=13AB,AF=13AC.當(dāng)O沿AD滑動(dòng)時(shí),雨傘開閉.雨傘開閉過程中,∠BAD與∠CAD12.如圖,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,一條線段PQ=AB,P,Q兩點(diǎn)分別在AC和AC的垂線AX上移動(dòng),則當(dāng)AP=cm時(shí),才能使△ABC和△QPA全等.

三、解答題13.如圖,C為線段AB上一點(diǎn),AD∥EB,AC=BE,AD=BC.求證:△ACD≌△BEC.14.如圖,BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=6,BC=8,若S△ABC=28,求DE的長(zhǎng).15.已知△ABN和△ACM位置如圖所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.求證:(1)BD=CE;(2)∠M=∠N.16.如圖,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC與DE相交于點(diǎn)F,連接CD,EB.(1)圖中還有幾對(duì)全等三角形,請(qǐng)你一一列舉;(2)求證:CF=EF.綜合訓(xùn)練一、選擇題1.C2.C3.C4.A5.B根據(jù)全等三角形的判定可得圖中全等的三角形有:△ADB和△DAC;△ABC和△DCB;△ABO和△DCO.6.B7.B8.A二、填空題9.140°∵△ABC≌△A'B'C,∴∠A'=∠A=40°,∠A'B'C=∠B=60°,CB=CB',∠A'CB'=80°,∴∠BB'C=∠B=60°,∴∠BCB'=180°-60°-60°=60°,∴∠A'CB=∠A'CB'+∠BCB'=140°.10.AH=CB(或EH=EB或AE=CE)根據(jù)“AAS”需要添加AH=CB或EH=EB;根據(jù)“ASA”需要添加AE=CE.11.相等∵AE=13AB,AF=13AC,∴AE=AF.又OE=OF,OA=OA,∴△AOE≌△AOF(SSS).∴∠BAD=∠CAD.12.5或10三、解答題13.證明∵AD∥BE,∴∠A=∠B.在△ACD和△BEC中,∵AC∴△ACD≌△BEC.14.解∵BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF.∵S△ABC=28,AB=6,BC=8,∴12×6×DE+12×8×∴DE=DF=4.15.證明(1)在△ABD和△ACE中,AB∴△ABD≌△ACE(SAS).∴BD=CE.(2)∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE,即∠BAN=∠CAM.由(1),得△ABD≌△ACE,∴∠B=∠C.在△ACM和△ABN中,∠∴△ACM≌△ABN(ASA),∴∠M=∠N.16.(1)解2對(duì),分別為△ADC≌△ABE,△CDF≌△EBF.