第二部分專題提升專題四幾何綜合第39講相似運用1．掌握相似三角形模型——基本型、斜交型、旋轉(zhuǎn)型、一線三等角型．2．從復(fù)雜圖形中“離析”出相似三角形的基本模型解決問題．3．通過抽象模型、圖形變換、變式類比等方法提高解決綜合題的能力．1．【基本型】(2025·貴陽模擬)如圖，在5×4的正方形網(wǎng)格中，點A，C在網(wǎng)格點上，線段AC與網(wǎng)格線交于點B，則AB∶BC等于(

)AC3．【一線三等角型】如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，F(xiàn)在CD邊上，CF＝2，E是BC邊上一點，EF⊥AE，求BE的長．解：在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝8，CD＝AB＝6，∴∠BAE＋∠AEB＝90°.∵EF⊥AE，∴∠AEB＋∠CEF＝90°.∴∠BAE＝∠CEF.4.(2024·黔南州一模)如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，過點B作BE∥AD交CD于點E，點F為AD邊上一點，且AF＝BE，連接EF.(1)判斷四邊形ABEF的形狀，并說明理由；解：(1)四邊形ABEF是矩形．理由如下：∵BE∥AF，BE＝AF，∴四邊形ABEF是平行四邊形．又∠A＝90°，∴四邊形ABEF是矩形．(2)由(1)知四邊形ABEF是矩形，∴∠BEF＝∠C＝90°.∴∠CEB＋∠CBE＝∠CEB＋∠FED＝90°.小明：經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，圖形中存在與∠BAD相等的角；小胖：根據(jù)我的解題經(jīng)驗，要求AB的長，可以考慮構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例解決問題；小林：既然構(gòu)造相似三角形，可以在CD上取一點F，構(gòu)建“一線三等角”的圖形解決問題．(1)請你完成這個題目的解答過程；解：如圖①，在CD上取點F，連接EF，使∠DEF＝∠ADB.∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.∵∠AED＝∠B，∴∠ADE＝∠B.∵∠ADF＝∠B＋∠BAD＝∠EDF＋∠ADE，∴∠EDF＝∠BAD.∵∠ADB＝∠DEF，∴△ADB∽△DEF.解：如圖②，作∠DAT＝∠BDE，作∠RAT＝∠DAE，連接ER.∵AB＝AC，AD＝CD，∴∠C＝∠DAC＝∠ABC．∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE.∵∠ADE＝∠DBE，∴∠DBE＝∠AED＝∠ADE.∵∠BDA＝∠DAT＋∠ATD＝∠BDE＋∠ADE，∠DAT＝∠BDE，∴∠ATD＝∠ADE＝∠DBE.∴∠ADT＝∠AER，DT＝ER.∴∠BED＝∠AER.∴∠BER＝∠AED＝∠DBE.∴ER＝BR＝DT.∵AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，∠ARB＝∠ATC，∴△ABR≌△ACT(AAS)．∴BR＝CT.∴DT＝CT.∴CD＝2DT.變式訓(xùn)練【基礎(chǔ)鞏固】(1)如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點，F(xiàn)是BC邊上一點，∠CDF＝45°.求證：AC·BF＝AD·BD.證明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°.∵∠A＋∠ACD＝∠CDF＋∠BDF，∠A＝∠CDF＝45°，∴∠ACD＝∠BDF.∴△ACD∽△BDF.【嘗試應(yīng)用】(2)如圖②，在四邊形ABFC中，點D是AB邊的中點，∠A＝∠B＝∠CDF＝45°，若AC＝9，BF＝8，求線段CF的長．解：如圖②，延長AC交BF的延長線于點T.∵∠A＝∠CDF＝∠B＝45°，∴∠T＝90°，TA＝TB.∵∠CDB＝∠A＋∠ACD＝∠CDF＋∠BDF，∴∠ACD＝∠BDF.∴△ACD∽△BDF.解：如圖③，過點E作EF與CD交于點F，使∠EFD＝45°，則∠B＝∠EFD.∵△ADE是等腰直角三角形，∴∠B＝∠ADE＝45°.∴∠BAD＝∠EDF.∴△ABD∽△DFE.∵∠EFD＝45°，∠ADE＝∠AED＝45°，∴∠EFC＝∠DEC＝135°.又∠C＝∠C，∴△EFC∽△DEC．∴EC2＝FC·CD＝FC×(8＋FC)＝20.解得FC＝2或FC＝－10(舍去)．∴CD＝DF＋FC＝10.基本型與斜交型均有一個公共角，確定公共角后準(zhǔn)確找到另一組相等的角即可“離析”出相似三角形，結(jié)合方程思維解決問題．在一條直線上出現(xiàn)三個相等的角，則會存在相似三角形，即“一線三等角”．判定三角形相似有三個定理，使用最多的是找兩對對應(yīng)角相等，特別是相似的直角三角形，固定直角后，尋找另一組相等的角即可．(2024·貴州)綜合與探究：如圖，∠AOB＝90°，點P在∠AOB的平分線上，PA⊥OA于點A．(1)【操作判斷】如圖①，過點P作PC⊥OB于點C，根據(jù)題意在圖①中畫出PC，圖中∠APC的度數(shù)為______度；90解：如圖①，PC即為所求．(2)【問題探究】如圖②，點M在線段AO上，連接PM，過點P作PN⊥PM交射線OB于點N，求證：OM＋ON＝2PA；證明：如圖②，過點P作PC⊥OB于點C．由(1)知四邊形OAPC是矩形．∵點P在∠AOB的平分線上，PA⊥OA，PC⊥OB，∴PA＝PC．∴矩形OAPC是正方形．∴OA＝AP＝PC＝OC．∵PN⊥PM，∠APC＝90°，∴∠APM＝∠CPN.又∠MAP＝∠NCP＝90°，∴△APM≌△CPN(ASA)．∴AM＝CN.∴OM＋ON＝OM＋OC＋CN＝OM＋AM＋OC＝OA＋OC＝2AP.∴OM＋ON＝2PA．解：①當(dāng)點M在線段AO上時，如圖，延長NM，PA交于點G.由(2)知OM＋ON＝2AP.設(shè)OM＝x，則ON＝3x，OA＝AP＝2x.∴AM＝AO－OM＝x＝OM.∵∠MON＝∠MAG＝90°，∠OMN＝∠AMG，∴△MON≌△MAG(ASA)．∴AG＝ON＝3x.②點當(dāng)M在AO的延長線上時，