學(xué)年廣州市增城中學(xué)，華僑中學(xué)，協(xié)和中學(xué)高二上學(xué)期期中三校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷年月命題：廣東僑中高二備課組審題人：李小琪85分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先求出直線的斜率，由，求得傾斜角.【詳解】直線，即，所以直線的斜率，設(shè)傾斜角為，則，又，所以，即直線的傾斜角為，故選：D2.已知空間向量，，且，則的值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量垂直得，即可求出的值.詳解】.故選：B.3.已知空間向量，，共面，則（）A.B.1C.2D.3【答案】A第1頁/共19頁【解析】【分析】由空間向量的共面定理，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由共面可知，存在實數(shù)使得，即，所以，解得.故選：A4.若直線與圓相交，則點（A.與圓O的位置關(guān)系不確定B.在圓O內(nèi)C.在圓O上D.在圓O外【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，利用圓心到直線的距離可得解.【詳解】由可知圓心為，半徑，因為直線與圓相交，所以，即，所以點在圓外.故選：D5.一條光線從射出，經(jīng)直線后反射，反射光線經(jīng)過點，則反射光線所在直線方程為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先求出關(guān)于的對稱點，然后根據(jù)兩點式求解直線方程即可；第2頁/共19頁則有，解得：，即，反射光線所在直線為，整理得：故選：B．6.在平行六面體中，，，，，，，則的長為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由，利用向量數(shù)量積的運算律及已知求的長.【詳解】如下圖，，則，所以，又，，所以.故選：B7.過定點的直線與過定點的直線交于點（與不面積的最大值為（）第3頁/共19頁A.4B.C.2D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)方程可得定點A、B，并且可判斷兩直線垂直，然后利用基本不等式可得.【詳解】動直線化為，可知定點，動直線化為，令，解得，可知定點，又，所以直線與直線垂直，為交點，.則，當且僅當時，等號成立.即面積的最大值為.故選：B.8.3的正方體的頂點A在平面都在平面到平面的距離分別為，則頂點到平面的距離是（）A.B.2C.D.【答案】C【解析】【分析】求點到平面的距離，建立空間直角坐標系，由頂點到平面的距離分別為，利用空間點到平面距離公式，求出平面的法向量，即可求出結(jié)論.【詳解】如圖，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，第4頁/共19頁則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則點到平面距離為，①點到平面距離為，②由①②可得，所以到平面距離為.故選：C.36分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部外選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題正確的有（）A.兩平行線間的距離為2B.過點且在兩坐標軸上截距相等的直線有兩條C.直線的方向向量可以是D.直線與直線平行，則或2【答案】AB【解析】【分析】計算平行直線的距離得到A正確；截距相等的直線有和，B正確；直線的一個第5頁/共19頁方向向量是，C錯誤；當時，兩直線重合，D錯誤.【詳解】A，兩平行線間的距離為，A正確；B，過點且在兩坐標軸上截距相等的直線：截距為0時，截距不為0時，設(shè)，代入，可得，故直線方程為：，B正確；C，直線的一個方向向量是，與不平行，C錯誤；D，驗證當時，兩直線重合，D錯誤.故選：AB.10.設(shè)動直線：交圓：于AB則下列說法正確的有（）A.直線l過定點B.當取得最小值時，C.當最小時，其余弦值為D.的最大值為24【答案】AD【解析】A將直線方程整理為B根據(jù)幾何知識得到當直線與過點和的直線垂直時，利用即可求解，進而判斷，對于C根據(jù)幾何知識得到當直線與過點和的直線垂直時余弦定理求余弦值即可；對于D，根據(jù)外心的結(jié)論得到，然后求最值即可.【詳解】對于A：由有，令有，所以，所以直線l過定點，故A正確；對于B在圓的圓心為與過點和的直線垂直，所以，解得，故B錯誤；第6頁/共19頁則，由余弦定理有，故C錯誤；對于D：，即的最大值為24，故D正確，故選：AD.的棱長為2，，，分別為，，的中點，是其表面上的一個動點，則下列說法正確的是（）A.當在表面上運動時，三棱錐的體積為定值B.當在線段中點時，平面截正方體所得截面的面積為C.當在底面上運動，且滿足平面時，長度的最小值是D.使直線與平面所成的角為45°的點的軌跡長度為【答案】BCD【解析】的底面積和高即可判斷AB標系，求出平面的法向量，然后利用向量關(guān)系即可確定點坐標滿足的關(guān)系，從而可求長度的表達式，進而判斷C項；分在各個面內(nèi)討論，可判斷D項.【詳解】選項A：當在表面上運動時，由于的面積不變，點到平面的距離為正方體棱長，所以三棱錐的體積不變，且，所以A錯誤；第7頁/共19頁選項B：由平面在兩平行平面上的交線互相平行，取的中點，的中點，的中點，連接，，，，延長，一定與交于一點，所以，，，四點共面，同理可證，，，四點共面，則過點，，作正方體的截面，截面為正六邊形，邊長為，設(shè)正六邊形對角線交點為的面積為B正確；選項C在底面上運動，以為原點，，，所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標系，可得，，，，，，設(shè)，，，則，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，可得，，所以，因為平面，所以，可得，第8頁/共19頁以C正確；選項D：因為直線與平面所成的角為45°，由平面，得直線與所成的角為45°，若點在平面和平面內(nèi)，因為，，故不成立；若點在平面內(nèi)，此時點的軌跡是；若點在平面內(nèi)，此時點的軌跡是；若點在平面時，作平面，如圖所示，因為，所以，又因為，所以，所以，所以點的軌跡是以點為圓心，以2為半徑的四分之一圓，所以點的軌跡的長度為，綜上，點的軌跡的總長度為，所以D正確；故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.過，，三點的圓的標準方程為_______.【答案】.【解析】【分析】設(shè)圓的標準方程為，代入，，得到的方程組求解即可.第9頁/共19頁【詳解】不妨設(shè)圓的標準方程為，由，可解得于是圓的標準方程為.故答案為：.13.圓與圓的公共弦長為________.【答案】【解析】【分析】先將圓的方程化為標準方程，確定圓心和半徑，然后通過兩圓方程相減得到公共弦所在直線方程，再利用點到直線距離公式求出圓心到公共弦的距離，最后結(jié)合勾股定理求出弦長.【詳解】法1，兩圓與圓均過點，，弦長為.法2，兩圓方程相減可得公共弦所在的直線方程，圓的圓心到直線的距離，故公共弦長為.故答案為：.14.已知正四面體的棱長為在面，則的值為__________.【答案】0【解析】【分析】由四點共面推得，再以為基底進行向量運算可得.【詳解】動點在平面上運動，且不共線，第10頁/共19頁即，所以.又，不共面，由空間向量基本定理可知，故，解得.即.因為四面體正四面體，且棱長為.所以，.所以.故答案為：0.四、解答題（本題包括5小題，共分，請寫出解答過程和必要的計算步驟）15.直線l經(jīng)過兩直線：和：交點.（1）若直線l與直線垂直，求直線l的方程；（2）若點到直線l的距離為5，求直線l的方程.【答案】（1）（2）或第11頁/共19頁【解析】1）聯(lián)立方程組，求得兩直線的交點坐標，利用垂直關(guān)系求得斜率，結(jié)合點斜式方程，即可求解；（2）分直線的斜率存在與不存在，結(jié)合點到直線的距離公式求得斜率，利用點斜式方程，即可求解.【小問1詳解】解：聯(lián)立方程組，解得交點，又直線與直線垂直，所以直線的斜率為，則直線的方程為，即.【小問2詳解】當直線的斜率不存在時，直線的方程為，滿足點到直線的距離為5；當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，則點到直線的距離為，求得，故直線的方程為，即，綜上可得，直線的方程為或.16.已知圓M以為圓心且過坐標原點O，直線交圓M于不同的兩點C，D.（1）求圓M的方程，并求與直線相交的弦長；（2）設(shè)P在圓M上，當?shù)拿娣e為4時，求直線PM的方程.【答案】（1），（2）【解析】1）由圓心、圓上點坐標求半徑，進而寫出圓M的方程，先利用點線距離公式求得弦心距，然后利用幾何法求解弦長；（2）由點線距離公式求得P到直線PM垂直于直線，進而應(yīng)用點斜式直線方程求解即可.【小問1詳解】第12頁/共19頁圓M的半徑．故圓M的方程為．圓心到直線即的距離，即，直線與圓M相交，可知弦長為．【小問2詳解】因為圓心在直線上，所以．設(shè)點P到直線距離為，則的面積為，所以，因為且P在圓M上，所以直線PM垂直直線，所以直線PM的斜率為，故直線PM方程為，即．17.如圖，在四棱錐中，四邊形為菱形，，為正三角形，，.（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）設(shè)中點為，連接，利用線面垂直和面面垂直的判定定理證明即可；（2為原點，所在直線分別為與平面的第13頁/共19頁法向量，利用坐標公式求解即可.【小問1詳解】設(shè)中點為，連接，因為四邊形為菱形，，所以為正三角形，又正三角形，則，，因為，所以，所以，即，因為，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】由（1）可知兩兩垂直，以為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示坐標系，則，，，，，易知平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量，則，可得平面的一個法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，第14頁/共19頁則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.圓C過點及原點，且圓心C在直線上．（1）求圓C的方程：（2）定點，由圓C外一點P向圓C引切線，切點為Q，且滿足．①求點P的軌跡方程；②求的最大值．【答案】（1）（2）①；②【解析】1）由題意可求出圓心和半徑，即可求得答案；（2）①設(shè),連接，利用圓的切線性質(zhì)以及即可求解；②求出C關(guān)于直線的對稱點，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)的幾何意義，即可求解.【小問1詳解】由題意知圓C過點及原點，則線段的垂直平分線方程為，又圓心C在直線上，則聯(lián)立，解得，則圓心為，故半徑為,故圓的方程為；【小問2詳解】第15頁/共19頁則，而，即得，即得，即點P的軌跡方程為；②設(shè)C關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，即，故,當P點位于上時，等號成立，故的最大值為.19.如圖，在三棱柱中，滿足平面，且．第16頁/共19頁（1，分別是，AD與平面的夾角的正弦值．（2）若，求三棱錐的外接球的半徑的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】1）建立空間直角坐標系，求出關(guān)鍵點的坐標和關(guān)鍵平面的法向量，再利用向量與法向量求解正弦值即可.（2后得到的最小值即可.【小問1詳解】建立為軸，