測量誤差概述觀測某量→產生誤差(error)表現(xiàn)：在相同條件下對某量進行多次重復觀測，所得觀測值l1，l2

，…，ln一般互不相等設觀測量的真值——

觀測量li的誤差——

產生誤差原因：

儀器誤差、觀測誤差、外界環(huán)境誤差分類：偶然誤差、系統(tǒng)誤差。測量誤差與觀測條件測量誤差：觀測值與真實值之差三大誤差源儀器觀測者外界環(huán)境測量誤差分類系統(tǒng)誤差（Systematicerror）偶然誤差（Stochasticerror）

粗差（Grosserror）觀測條件等精度觀測非等精度觀測系統(tǒng)誤差（Systematicerror）定義：在相同觀測條件下，對某一未知量進行一系列的觀測，若誤差的大小和符號保持不變，或按照一定的規(guī)律變化（規(guī)律性）。表現(xiàn)出確定性：系統(tǒng)誤差是某些因素的函數(shù)。案例：鋼尺量距用名義長為30m、實際長為30.005m的鋼尺量距，每丈量一整尺段距離就產生-0.005m的量距誤差，各整尺段的量距誤差大小都是-0.005m，符號都是負，不能抵消，具有累積性。系統(tǒng)誤差的處理

系統(tǒng)誤差因符號一致而具有累積性，危害很大，但可利用其規(guī)律性消除或削弱：檢校好儀器，確保一定的精密度，把系統(tǒng)誤差的影響減小到最低限度；建立數(shù)學物理模型，對觀測結果進行改正；采用適當?shù)挠^測方法和程序，使系統(tǒng)誤差在觀測中自行抵消或削弱。

偶然誤差（Stochasticerror）定義：在相同觀測條件下，對某一未知量進行一系列的觀測，從單個誤差看，大小和符號沒有明顯的規(guī)律性；但從總體上看，則呈現(xiàn)出統(tǒng)計規(guī)律。單個誤差表現(xiàn)出隨機性：偶然誤差是由多種復雜因素共同作用造成的。中心極限定理：無論各隨機變量XK具有怎樣的分布，只要相互獨立、具有有限的數(shù)學期望和方差，其和∑XK在隨機變量個數(shù)n很大時，近似地服從正態(tài)分布。

案例1：三等、四等水準測量在cm分劃水準標尺上估讀mm位，估讀的數(shù)有時過大，有時偏小。案例2：經緯儀測量水平角大氣折光使望遠鏡中目標的成像不穩(wěn)定，引起瞄準目標有時偏左、有時偏右。多次觀測取平均值可以削弱偶然誤差的影響不能完全消除偶然誤差的影響。觀測實例觀測值：三角形內角和l真值：平面三角形內角和為180°aibici所觀測的三角形個數(shù)：n=162三角形內角和真誤差統(tǒng)計表誤差直方圖偶然誤差的特性在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值，即超過一定限值的誤差，其出現(xiàn)的概率為零。絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的概率大。絕對值相等的正誤差和負誤差出現(xiàn)的概率相同。偶然誤差的數(shù)學期望為零，即偶然誤差理論分布—正態(tài)分布曲線I表現(xiàn)較陡峭，即誤差分布比較集中，或稱離散度較小，故觀測精度較高。偶然誤差的處理提高儀器的精密度選擇較好的觀測條件合理處理觀測數(shù)據(jù)（平差）

必要觀測多余觀測多余觀測產生檢核條件（平差條件）——閉合差粗差（Grosserror）定義：

誤差量級遠大于系統(tǒng)誤差和偶然誤差，是由于觀測或操作失誤、外界干擾所造成的。評定精度的標準精度：誤差分布的離散程度

（觀測值偏離真實值的整體程度）解釋：在一定觀測條件下進行一組觀測，對應著一定的誤差分布。如果該組誤差分布比較密集（偏離程度較?。?，則表示該組觀測值精度較高；如果誤差分布比較分散（偏離程度較大），則表示觀測值精度較低。舉例說明

甲乙兩組，各自觀測了6個三角形的內角，得三角形的閉合差（即三內角和的真誤差）

甲組觀測精度較高（誤差分布比較密集）；乙組觀測精度較低（誤差分布比較分散）。偶然誤差的理論分布：正態(tài)分布曲線I表現(xiàn)較陡峭，即誤差分布比較集中，或稱離散度較小，故觀測精度較高。一、中誤差方差（Variance）是反映一組觀測值離散程度的一個數(shù)字指標。其數(shù)學定義為：取方差的平方根作為觀測值的中誤差（Standarddeviation）測量工作中，均采用中誤差作為評定精度的標準。中誤差（續(xù)）實際工作中，觀測的個數(shù)n是有限的，因此只能由有限個數(shù)的觀測量來估計方差和中誤差，分別表示如下計算實例有甲乙兩組，各自觀測了6個三角形的內角，得三角形的閉合差（即三內角和的真誤差）二、相對誤差真誤差、中誤差等具有與觀測量相同的量綱，它們被稱為“絕對誤差”。絕對誤差適用于那些觀測誤差與觀測量大小無關的觀測值，如角度、方向等。相對中誤差：觀測值誤差的絕對值與相應觀測值之比三、容許誤差容許誤差由偶然誤差的第一特性可知，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。這個限值就是容許誤差。由概率計算可知在一系列的同精度觀測值中，真誤差絕對值大于1倍中誤差的概率約為32%。大于2倍中誤差的概率約為5%。大于3倍中誤差的概率約為0.3%。

大于3倍中誤差的真誤差實際上是不可能出現(xiàn)的。因此，通常以3倍中誤差作為偶然誤差的極限值。在測量工作中一般取2倍中誤差作為觀測值的容許誤差，即

Δ容=2m

當某觀測值的誤差超過了容許的2倍中誤差時，將認為該觀測值含有粗差，而應舍去不用或重測。

誤差傳播定律在實際工作中，往往會遇到某些量的大小并不是直接測定的，而是由觀測值通過一定的函數(shù)關系間接計算出來的。例如，水準測量中，h=a-b，高差h就是直接觀測值a、b的函數(shù)。當a、b存在誤差時，h也受其影響而產生誤差，這就是所謂的誤差傳播。闡述觀測值中誤差與觀測值函數(shù)中誤差之間關系的定律稱為誤差傳播定律。誤差傳播定律的推導誤差傳播定律的推導（續(xù)）誤差傳播定律的推導（續(xù)）求任意函數(shù)中誤差的步驟列出獨立觀測值的函數(shù)式對函數(shù)式進行全微分代入方差關系式常用函數(shù)的中誤差公式水準測量的精度水準測量的精度（續(xù)）例-11．量得某圓形建筑物的直徑D=34.50m，其中誤差為，求建筑物周長及其中誤差。解：圓周長及其中誤差：例-2例-3

3、用長30m的鋼尺丈量了10個尺段，若每尺段的中誤差為±5mm，求全長D及其中誤差。例–3——錯誤的求解3、用長30m的鋼尺丈量了10個尺段，若每尺段的中誤差為±5mm，求全長D及其中誤差。例-4例–4（續(xù)）按三角形的閉合差求測角中誤差按雙觀測值之差求觀測值的中誤差對某一量進行同精度的雙次觀測，其較差為例-66、在1～6點之間進行水準測量，每測段各往返一次，各點間的距離均為1km,各段往返高差見下表。求每公里單程水準測量的中誤差和往返測平均高差的中誤差。123456h’h”例–6求解測段高差觀測值(m)1~2-0.185+0.188+392~3+1.626-1.629-393~4+1.435-1.430+5254~5+0.505-0.509-4165~6-0.007+0.005-24半測回角值之差的限差兩測回角值之差的限差應用誤差傳播定律時應注意的兩點要正確列出函數(shù)式（如例3）由全微分式代入方差式的各自變量必須是相互獨立的算術平均值及其中誤差在測量工作中，除了要對觀測成果評定精度外，還要確定觀測量的最佳估值，也稱最或然值(Mostprobablevalue,MPV)。由于觀測量的真值難以求得，因此最佳估值是最接近真值的估計值。對某一個量進行多次等精度觀測，其算術平均值(arithmeticmean)就是觀測值的最佳估值。算術平均值（續(xù)）設對某一個量進行了n次等精度觀測，觀測值為L1、L2、…、Ln，求該觀測量的算術平均值。算術平均值的中誤差（續(xù)）觀測次數(shù)與算術平均值中誤差的關系觀測次數(shù)算術平均值中誤差20.7140.5060.41100.32200.22500.14用改正數(shù)計算觀測值的中誤差前面已介紹的中誤差公式（理論式）是不實用的因為其中的真誤差Δ是較難得到的。因此，一般我們按觀測值的最或然誤差來求得觀測值的中誤差。觀測值的最佳估值x與觀測值Li之差，稱為觀測值的改正數(shù)(correction,residual)，以v表示。用改正數(shù)計算觀測值的中誤差（續(xù)）兩式相加上式兩端各自平方，并取n式之和

用改正數(shù)計算觀測值的中誤差（續(xù)）上式稱為白塞爾公式，為多余觀測數(shù)。由上式得故算術平均值的中誤差為例-55、對某段距離同等精度丈量了6次，結果列于下表，求這段距離的最或然值，觀測值的中誤差及最或然值的中誤差。次序觀測值Li(m)改正數(shù)vi(mm)1346.535+4.32346.548-8.73346.520+19.04346.546-6.75346.550-10.76346.537+2.3非等精度獨立觀測量的最可靠值與精度評定1)權(Weight)的定義觀測量li的中誤差——mi，權m02

——任意正實數(shù)li的方差mi2愈大，權就愈小，精度越低li的方差mi2愈小，權就愈大，精度越高令Wi=1，則有m02=mi2m02——權等于1的觀測量方差，單位權方差m0——單位權中誤差2)加權平均值及其中誤差對某量進行不等精度獨立觀測得觀測值——l1，l2，…，ln中誤差——m1，m2，…，mn權——W1，W2，…，Wn觀測值的加權平均值為應用誤差傳播定律[例6-4]1，2，3點—已知高等級水準點（高程誤差很小，可忽略不計），為求P點高程，用DS3水準儀獨立觀測了三段水準路線的高差，求P點高程的最可靠值與中誤差[解]

都是用DS3水準儀觀測可認為每站高差觀測中誤差相等高差觀測值h1，h2，h3的中誤差——取h1，h2，h3的權——W1=1/n1，W2=1/n2，W3=1/n3計算出P點的高程值為HP1=H1+h1=21.718+5.368=27.086mHP2=H2+h2=18.653+8.422=27.075mHP3=H3+h3=14.165+12.914=27.079m因為三個已知水準點的高程誤差很小，忽略不計，所以三個高差觀測值的中誤差m1、m2、m3就等于用該高差觀測值計算出的P點高程值HP1、HP2、HP3的中誤差P點高程加權平均值為——P點高程加權平均值的中誤差——下面驗證P點高程算術平均值的中誤差滿足P點高程的算術平均值——

根據(jù)誤差傳播定律求得點高程算術平均值的中誤差——結論——不等精度獨立觀測的加權平均值比算術平均值更合理(中誤差更小)3)單位權中誤差的計算不等精度獨立觀測量l1，l2，l3

…

ln權W1，W2，…，Wn構造虛擬觀測量l’1，l’2，l’3

…

l’n虛擬觀測量l’1，l’2，l’3

…

l’n為等精度獨立觀測量不等精度獨立觀測量單位權中誤差的計算加權平均值方差為未知量估計的最小方差不等精度獨立觀測量——l1，