第12章達(dá)朗貝爾原理12.1慣性力質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在主動(dòng)力和約束反力的作用下運(yùn)動(dòng)。則有改寫(xiě)上式令——質(zhì)點(diǎn)的慣性力于是——質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理（動(dòng)靜法）慣性力的大小:方向:

與加速度相反

一、慣性力質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理主動(dòng)力+約束力+慣性力=動(dòng)平衡力系直角坐標(biāo)系:自然坐標(biāo)系:質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理作用在質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力、約束力與慣性力構(gòu)成一動(dòng)平衡力系。例:

飛球調(diào)速器以等角速度

轉(zhuǎn)動(dòng)，已知:錘重力P，飛球A、B均重G，各聯(lián)桿長(zhǎng)l。試求:A、B在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的張角

。慣性力:[A]:[C]:解:jACwjBACGGP對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理：

系統(tǒng)中每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在主動(dòng)力、約束反力和慣性力的作用下處于平衡，則整個(gè)系統(tǒng)的主動(dòng)力、約束反力和慣性力相當(dāng)于一組平衡力系。平衡力系的平衡條件是：主矢：主矩（向簡(jiǎn)化中心O）：質(zhì)點(diǎn)系達(dá)朗貝爾原理二、質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理直角坐標(biāo)投影式：

應(yīng)用靜力學(xué)寫(xiě)平衡方程的方法求解質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，這種方法也稱(chēng)為動(dòng)靜法。解：附加動(dòng)約束力：由于運(yùn)動(dòng)引起的約束力例

已知:

,試求A、B的約束力。

BAP1P2O例:

在滑輪機(jī)構(gòu)中,物塊A重力P1=1kN，物塊B重力力P2=0.5kN，滑輪質(zhì)量不計(jì)。試求軸承處的力。解:a2a1FOxFOyFI1FI2[整體]例：飛輪重力P，半徑為R，在水平面內(nèi)以

勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，輪輻質(zhì)量不計(jì)。試求輪緣橫截面的張力。解:wyxo10.2質(zhì)點(diǎn)系慣性力系的簡(jiǎn)化一、一般質(zhì)點(diǎn)系的慣性力系簡(jiǎn)化慣性力主矢：

慣性力主矢與簡(jiǎn)化中心的選擇無(wú)關(guān)

慣性力主矩：

向固定點(diǎn)O簡(jiǎn)化：oxyzri慣性力主矩與簡(jiǎn)化中心的選擇有關(guān)

若向質(zhì)心C簡(jiǎn)化：oxyzriC(1)平移剛體慣性力系的簡(jiǎn)化向固定點(diǎn)O簡(jiǎn)化主矢：主矩：向質(zhì)心C簡(jiǎn)化主矢：主矩：二、剛體慣性力系的簡(jiǎn)化向質(zhì)心C簡(jiǎn)化剛體作平動(dòng)時(shí)，慣性力系向質(zhì)心C簡(jiǎn)化，得到作用在質(zhì)心上的一個(gè)合慣性力。

(2)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體慣性力系的簡(jiǎn)化向軸上O點(diǎn)簡(jiǎn)化主矢：主矩：若：剛體質(zhì)量關(guān)于xoy面對(duì)稱(chēng)，或稱(chēng)剛體具有垂直于轉(zhuǎn)軸z的質(zhì)量對(duì)稱(chēng)面，則：剛體對(duì)xz軸和yz軸的慣性積令：主矩：該情況為在質(zhì)量對(duì)稱(chēng)面(xoy面)內(nèi)的平面問(wèn)題主矢：平面問(wèn)題簡(jiǎn)化條件：轉(zhuǎn)動(dòng)軸垂直于質(zhì)量對(duì)稱(chēng)面0即主矢：向質(zhì)心C簡(jiǎn)化主矩：0即主矢：向軸心O簡(jiǎn)化主矩：(3)平面運(yùn)動(dòng)剛體慣性力系的簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化條件：剛體的質(zhì)量對(duì)稱(chēng)面平行于運(yùn)動(dòng)平面向質(zhì)心C簡(jiǎn)化主矢：主矩：剛體相對(duì)于質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(轉(zhuǎn)軸垂直于運(yùn)動(dòng)平面)主矢：主矩：在質(zhì)量對(duì)稱(chēng)面內(nèi)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問(wèn)題動(dòng)平衡條件:hl2l1C例：重P的轎車(chē)，以速度v0行駛，因剎車(chē)制動(dòng)，車(chē)滑行一段S才停車(chē)。試求:前、后輪的法向約束力。解:當(dāng)

a=0作勻減速運(yùn)動(dòng):故剎車(chē)時(shí)

FNA>FNB,車(chē)頭下沉。例:

桿長(zhǎng)均l、量均為P的均勻細(xì)桿從水平位置由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求兩桿在該瞬時(shí)的角加速度。解得:解:[整體][AB]ABa2OAa1a2B第13章虛位移原理13.1約束的分類(lèi)、自由度與廣義坐標(biāo)一、約束1、約束概念約束就是限制物體任意運(yùn)動(dòng)的條件。不受約束可以任意運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)系稱(chēng)為自由質(zhì)點(diǎn)系，于此相反，受有約束而不能任意運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)系則稱(chēng)為非自由質(zhì)點(diǎn)系。2、約束方程

約束可以通過(guò)聯(lián)系坐標(biāo)、坐標(biāo)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)以及時(shí)間t之間的關(guān)系的數(shù)學(xué)方程組加以描述，這些數(shù)學(xué)方程組稱(chēng)之為約束方程。3、約束分類(lèi)(1)如果限制運(yùn)動(dòng)的條件是幾何性質(zhì)的，則稱(chēng)為幾何約束。

(2)如果運(yùn)動(dòng)時(shí)速度也受到一定條件的限制，則這個(gè)條件稱(chēng)為運(yùn)動(dòng)約束。(3)當(dāng)約束方程中都不包含時(shí)間t時(shí)，這種約束稱(chēng)為定常約束。(4)若約束方程中明顯包含時(shí)間t，這種約束就稱(chēng)為非定常約束。(5)約束方程中不包含坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)（即質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)速度的投影）的約束，稱(chēng)為完整約束。(6)約束方程總是以微分形式表示，不可能積分成有限的形式的約束稱(chēng)為非完整約束。(7)由于構(gòu)成約束的形式不同，約束又可分為單面約束和雙面約束。

（1）幾何約束與運(yùn)動(dòng)約束幾何約束xyOAzxyzM曲面上的質(zhì)點(diǎn)：?jiǎn)螖[:運(yùn)動(dòng)約束——幾何約束——運(yùn)動(dòng)約束純滾動(dòng)的圓輪：（2）定常約束與非定常約束定常幾何約束xyOAz單擺:非定常幾何約束(3)完整約束與非完整約束。

不可積分的運(yùn)動(dòng)約束：如碰撞和摩擦系統(tǒng)中的運(yùn)動(dòng)約束完整約束:1.位移約束：全部幾何約束2.可積分的運(yùn)動(dòng)約束：如純滾動(dòng)的圓輪的運(yùn)動(dòng)約束

非完整約束:單擺OA為剛性桿：xyOAzOA為柔繩：雙面約束：在約束方程中用嚴(yán)格的等號(hào)表示的約束。單面約束：在約束方程含有不等號(hào)表示的約束。（4）單面約束與雙面約束n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，約束方程的一般形式為：(j=1,…,s)約束方程的個(gè)數(shù)為：s單面約束方程的一般數(shù)學(xué)形式：雙面約束方程的一般數(shù)學(xué)形式：4、約束方程完整約束方程的一般形式非完整約束方程的一般形式：非定常約束方程的一般形式定常約束方程的一般形式幾何約束方程的一般數(shù)學(xué)形式：

定常幾何約束方程的一般數(shù)學(xué)形式：

本教材研究：定常、雙面、完整約束。二、廣義坐標(biāo)、自由度自由度：唯一確定質(zhì)點(diǎn)系空間位置的獨(dú)立參變量個(gè)數(shù)平面質(zhì)點(diǎn):空間質(zhì)點(diǎn):廣義坐標(biāo)：用以確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參變量i=1,2,······nn個(gè)質(zhì)點(diǎn)，一般地：自由度為k，取廣義坐標(biāo)：1、基本概念2、剛體的自由度

設(shè)剛體由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的不變系統(tǒng)可以設(shè)想由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)用很短很短的剛桿連成的空間不變形的剛性結(jié)構(gòu)?？梢运愠鲞B接質(zhì)點(diǎn)的剛桿數(shù)為：每一根剛桿相當(dāng)于一個(gè)約束，所以約束數(shù)為：自由度數(shù)為：3、約束剛體的自由度與廣義坐標(biāo)

約束剛體的自由度與廣義坐標(biāo)根據(jù)其運(yùn)動(dòng)形式不同有所減小，下表給出剛體在不同的運(yùn)動(dòng)形式時(shí)的廣義坐標(biāo)數(shù)。剛體約束情況自由度廣義坐標(biāo)剛體上一軸被固定（定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）1剛體上一點(diǎn)被固定（定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)）3剛體被限制作平面平行運(yùn)動(dòng)（平面運(yùn)動(dòng)）3剛體被限制作平行移動(dòng)（平移）313.2虛位移一、基本概念

虛位移：質(zhì)點(diǎn)系在給定瞬時(shí)為約束所容許的任何微小的位移M實(shí)位移：在無(wú)限小時(shí)間間隔dt內(nèi),系統(tǒng)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的位移所謂真實(shí)運(yùn)動(dòng),是指既滿足約束方程又滿足運(yùn)動(dòng)微分方程和初始條件的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)。因此,在任意時(shí)刻,系統(tǒng)的實(shí)位移是唯一的,1、虛位移與實(shí)位移虛位移不唯一虛位移可以是線位移，也可以是角位移（1）靜止質(zhì)點(diǎn)可以有虛位移，但肯定沒(méi)有實(shí)位移。即：實(shí)位移與力有關(guān)，而虛位移只與約束有關(guān)。（2）虛位移是約束允許的微小位移，與時(shí)間無(wú)關(guān)，實(shí)位移是真實(shí)發(fā)生的位移，可以是微小值，也可以是有限值，而且與時(shí)間有關(guān)。2、虛位移與實(shí)位移的區(qū)別與聯(lián)系（4）在定常系統(tǒng)中，微小的實(shí)位移是虛位移之一，在非定常系統(tǒng)中，微小的實(shí)位移不再成為虛位移之一。

（3）虛位移不唯一，而實(shí)位移是唯一的。AB標(biāo)注B質(zhì)點(diǎn)的真實(shí)位移、虛位移B虛位移特點(diǎn)

（2）虛位移是約束允許的微小位移，與時(shí)間無(wú)關(guān)；（1）虛位移不是任何隨便的位移，它必須為約束所允許的微小位移；（3）在完整定常約束下，虛位移方向沿其真實(shí)速度方向。（4）虛位移可能有多組虛位移：幾何概念，僅依賴(lài)于約束條件二、虛位移的分析方法1、幾何法

（虛速度法）自由度：k＝3×2－2－2－1＝1在同一時(shí)刻（位置），各點(diǎn)之間的虛位移的關(guān)系等同于各點(diǎn)之間的虛速度的關(guān)系。適用于待分析點(diǎn)的“速度”易于分析的情況2、變分的概念變分與微分的差別qtq(t)q1(t)qdq切線dtdqq=q(t)q1=q(t)+eh(t)變分：dq=q1(t)-q(t)=eh(t)dq是同一時(shí)刻t，函數(shù)q1與q的差值，是等時(shí)變分。微分：dq是同一函數(shù)、不同時(shí)刻（dt）的增量。例：質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)x=x(q,t)，其中q=q(t)，計(jì)算其微分與變分。解：微分：變分：2.解析法

2yxOA(x1,y1)B(x2,y2)ab

1直角坐標(biāo)原點(diǎn)選在固定點(diǎn)O，則A、B兩點(diǎn)虛位移在x、y方向的投影：適用于完整、定常、雙面約束例：求A和B兩點(diǎn)的虛位移注意：◎原點(diǎn)必須選在固定點(diǎn)；◎體系必須處于一般的位置自由度：2選

1、

2為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)A、B坐標(biāo)可表示為：?jiǎn)栴}：系統(tǒng)獨(dú)立的虛位移數(shù)目是多少？(i=1,2,……,N)若體系自由度為k，則選k個(gè)廣義坐標(biāo)qi，任一質(zhì)點(diǎn)的定位矢量r可表示成k個(gè)廣義坐標(biāo)的函數(shù)：寫(xiě)成投影：用類(lèi)似求微分的方法求虛位移的投影：則可以計(jì)算力在微小位移上的“功”平衡條件：（a）圖示杠桿平衡，求F1與F2關(guān)系假定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)了微小角度10.3虛位移原理F1與F2在相應(yīng)位移上的功之和：條件（a）和條件（b）是等價(jià)的（b）力平衡條件虛位移原理（a）（b）猜想：力在微小位移中所作的功來(lái)建立虛位移虛功一、虛功理想約束反力的虛功：

約束反力在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移中所作元功之和等于零。(a)即約束處無(wú)虛位移，如固定端約束，鉸支座等；(b)即約束力與虛位移相垂直，如光滑接觸面約束等；

(c)即約束點(diǎn)上約束力的合力為零，如鉸鏈連接；

(d)即虛功之和即為零。如連接兩質(zhì)點(diǎn)的無(wú)重剛性桿。

作用于質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系上的力在給定虛位移上所作的功。主動(dòng)力的虛功：計(jì)算方法與力的元功計(jì)算一樣。

二、虛位移原理（虛功原理）

具有雙側(cè)、定常、理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在給定位置平衡的充要條件是：所有主動(dòng)力在質(zhì)點(diǎn)系任何虛位移中的元功之和等于零。—解析式證明：（1）必要性

命題：如質(zhì)點(diǎn)系平衡，則上式成立。假設(shè)等式成立但質(zhì)點(diǎn)系不平衡dri也為虛位移δri因故有結(jié)果與假設(shè)的條件相矛盾。所以，質(zhì)點(diǎn)系不可能進(jìn)入運(yùn)動(dòng)，而必定成平衡。

質(zhì)點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)Mi有合力FRi(＝Fi＋FNi)產(chǎn)生同方向的微小實(shí)位移dri完整、雙面、定常約束主動(dòng)力的虛功之和為零則系統(tǒng)平衡（2）充分性

命題：上式成立，則質(zhì)點(diǎn)系平衡。虛位移原理：具有雙側(cè)、定常、理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在給定位置平衡的充要條件是：所有主動(dòng)力在質(zhì)點(diǎn)系任何虛位移中的元功之和等于零。◎第二類(lèi)問(wèn)題：求平衡位置◎第一類(lèi)問(wèn)題：求主動(dòng)力之間關(guān)系可解決的問(wèn)題：機(jī)構(gòu)◎第三類(lèi)問(wèn)題：求靜定結(jié)構(gòu)的約束力◎第四類(lèi)問(wèn)題：求桁架結(jié)構(gòu)桿件的內(nèi)力例：已知OA=L，求系統(tǒng)在圖示位置平衡時(shí)，力偶矩M與力F的關(guān)系（不計(jì)摩擦）ABO基本步驟：1.確定系統(tǒng)是否滿足原理的應(yīng)用條件2.分析主動(dòng)力作用點(diǎn)的虛位移3.求主動(dòng)力的虛功之和ABO解：例:已知各桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，重為W，求維持平衡所需力F的大小?解：不計(jì)摩擦自由度：1選θ為廣義坐標(biāo)變形體的虛位移原理變形體的虛位移原理：具有雙面、定常、完整、理想約束處于靜止的質(zhì)點(diǎn)系,在給定位置處于平衡的充分必要條件是，其所有外力和內(nèi)力在該位置任意給定的虛位移上所作的虛功之和等于零。建立圖示體系的虛位移原理的方程不同點(diǎn)：內(nèi)力做功例：機(jī)構(gòu)如圖所示，不計(jì)構(gòu)件自重.已知AB

=BC=l,BD=BE=b，彈簧剛度為k，當(dāng)AC=a

時(shí)，彈簧無(wú)變形。設(shè)在滑塊上作用一水平力F，求該機(jī)構(gòu)處于平衡時(shí)，A和C間的距離（x=？）ABCDE內(nèi)力虛功：外力虛功：ABCDE解：自由度1選廣義坐標(biāo)：ABCDE例：結(jié)構(gòu)及其受力如圖所示，求A端的約束力偶。ABCDDAAAAFAyAAFAy解：給出虛位移（如圖所示）ABCDD確定虛位移的關(guān)系將固定端A變成固定鉸鏈約束力偶變?yōu)橹鲃?dòng)力偶例:

圖示桁架，各桿長(zhǎng)度均為l，F(xiàn)1=10kN，F(xiàn)2=15kN。試求:桿力FDE,FBC。ACDEBF2F1ACDEBF2F1解：幾何法:先求FDE,對(duì)具有轉(zhuǎn)動(dòng)中心的剛體，可用力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)中心的矩所做的虛功來(lái)代替。FDEFED

rB

rD

A

rE

CACDEBF2F1再求FBCFBCFCB

rE

A

rB

rCI

EC第14章軸向拉伸與壓縮一、軸向拉壓的工程實(shí)例起重機(jī)支腿－軸向壓縮斜拉橋鋼索－軸向拉伸一、軸向拉壓的工程實(shí)例活塞桿－軸向壓縮桁架－軸向拉伸與壓縮以軸向拉壓為主要變形的桿件，稱(chēng)為軸向拉壓桿。（1）受力特點(diǎn)：外力合力作用線與桿軸線重合。（2）變形特點(diǎn)：桿沿軸線方向伸長(zhǎng)或縮短。二、軸向拉壓桿的內(nèi)力、應(yīng)力軸力：拉壓桿的內(nèi)力，常用FN表示。截面法的步驟：截、取、代、平（1）截開(kāi)（2）畫(huà)脫離體受力圖（3）平衡方程∑Fx=0,FN

-F=0,

FN

=FFF1—1FFNFNF軸力正負(fù)號(hào)的規(guī)定拉伸—拉力，其軸力為正值。方向背離所在截面。壓縮—壓力，其軸力為負(fù)值。方向指向所在截面。FNFFFN（＋）FNFFFN（－）軸力圖+FNx①直觀反映軸力隨截面位置變化的關(guān)系；②確定出最大軸力的數(shù)值及其所在位置，即確定危險(xiǎn)截面位置，為強(qiáng)度計(jì)算提供依據(jù)。軸力圖的意義軸力沿軸線變化的圖形FFFN

=F例圖示桿的A、B、C、D處分別作用著大小為FA=5F、FB=8F、FC=4F、FD=F

的軸向力，方向如圖，試求桿內(nèi)各段的內(nèi)力并畫(huà)出桿的軸力圖。FN1ABCDFAFBFCFDO解：求OA段內(nèi)力FN1：設(shè)截面如圖ABCDFAFBFCFDFN1=2FFN2FN3DFDFN4ABCDFAFBFCFDO求CD段內(nèi)力：求BC段內(nèi)力：求AB

段內(nèi)力：FN3=5F，F(xiàn)N4=FFN2=–3F，BCDFBFCFDCDFCFDFN2=–3F，F(xiàn)N3=5F，F(xiàn)N4=FOA段內(nèi)力軸力圖如下圖示FNx2F3F5FFABCDFAFBFCFDOFN3=5F，F(xiàn)N4=FFN2=–3F，解：用截面法例圖示桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，受分布力q=kx作用（x坐標(biāo)向右為正，坐標(biāo)原點(diǎn)在自由端），方向如圖，試畫(huà)出桿的軸力圖。Lq(x)FN（x）xq(x)FNxO–

取左側(cè)長(zhǎng)為x的一段為對(duì)象分析，內(nèi)力FN(x)為：軸力圖的要求軸向拉壓桿的內(nèi)力、應(yīng)力與桿平行對(duì)齊畫(huà)標(biāo)出內(nèi)力的性質(zhì)（

FN

）標(biāo)出內(nèi)力單位畫(huà)出內(nèi)力沿著軸線變化規(guī)律標(biāo)出內(nèi)力的正負(fù)號(hào)注明特殊截面的內(nèi)力數(shù)值+FN(kN)xFFF=10kN10推導(dǎo)思路：實(shí)驗(yàn)→變形規(guī)律→應(yīng)力的分布規(guī)律→應(yīng)力的計(jì)算公式三、軸向拉壓桿橫截面的應(yīng)力1、實(shí)驗(yàn)：變形前受力后FF2、變形規(guī)律：橫向線——仍為平行的直線，且間距增大?？v向線——仍為平行的直線，且間距減小。3、平面假設(shè)：變形前的橫截面，變形后仍為平面且各橫截面沿桿軸線作相對(duì)平移橫向線——仍為平行的直線，且間距增大。縱向線——仍為平行的直線，且間距減小。橫向線——仍為平行的直線，且間距減小。縱向線——仍為平行的直線，且間距增大。5、應(yīng)力的計(jì)算公式：由于“均布”，可得——軸向拉壓桿橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式4、應(yīng)力的分布規(guī)律——內(nèi)力沿橫截面均勻分布F

7、正應(yīng)力的符號(hào)規(guī)定——同內(nèi)力拉伸——拉應(yīng)力，為正值，方向背離所在截面。壓縮——壓應(yīng)力，為負(fù)值，方向指向所在截面。6、拉壓桿內(nèi)最大的正應(yīng)力：等直桿：變直桿：8、公式的使用條件(1)軸向拉壓桿(2)除外力作用點(diǎn)附近以外其它各點(diǎn)處。（范圍：不超過(guò)桿的橫向尺寸）5、應(yīng)力的計(jì)算公式：F

1、斜截面上應(yīng)力確定(1)內(nèi)力確定：(2)應(yīng)力確定：①應(yīng)力分布——均布②應(yīng)力公式——FNa=FFFFFFNaFNa四、軸向拉壓桿任意斜面上應(yīng)力的計(jì)算2、符號(hào)規(guī)定⑴、a：斜截面外法線與

x軸的夾角。x軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)到n軸“a”規(guī)定為正值；x軸順時(shí)針轉(zhuǎn)到n軸“a”規(guī)定為負(fù)值。⑵、sa：同“s”的符號(hào)規(guī)定⑶、ta：在保留段內(nèi)任取一點(diǎn)，如果ta：對(duì)保留段內(nèi)任一點(diǎn)之矩為順時(shí)針?lè)较蛞?guī)定為正值，反之為負(fù)值。an斜截面上應(yīng)力,橫截面上。

,45°斜截面上。3、斜截面上最大應(yīng)力值的確定FNa（其中n

為安全系數(shù),值＞1）⑶、安全系數(shù)取值考慮的因素：（a）給構(gòu)件足夠的安全儲(chǔ)備。（b）理論與實(shí)際的差異等。⑴、極限應(yīng)力（危險(xiǎn)應(yīng)力、失效應(yīng)力）：材料發(fā)生破壞或產(chǎn)生過(guò)大變形而不能安全工作時(shí)的最小應(yīng)力值?！皊jx”（su、s0）⑵、許用應(yīng)力：構(gòu)件安全工作時(shí)的最大應(yīng)力?！癧s]”1、極限應(yīng)力、許用應(yīng)力以及安全系數(shù)五、拉壓桿的強(qiáng)度計(jì)算2、強(qiáng)度條件：最大工作應(yīng)力小于等于許用應(yīng)力等直桿：變直桿：≤3、強(qiáng)度條件的應(yīng)用：（解決三類(lèi)問(wèn)題）：（3）確定外載荷——已知：[s]、A。求：F。FNmax≤[s]A。→F（2）、設(shè)計(jì)截面尺寸——已知：F、[s]。求：A解：A≥FNmax／[s]。3、強(qiáng)度條件的應(yīng)用：（解決三類(lèi)問(wèn)題）：（1）、校核強(qiáng)度——已知：F、A、[s]。求：解：成立則強(qiáng)度足夠，否則強(qiáng)度不足≤？解：[例]已知一圓桿受拉力F=25kN，直徑d=14mm，許用應(yīng)力

[

]=170MPa，試校核此桿是否滿足強(qiáng)度要求(校核強(qiáng)度)。解：①軸力

FN

=F

=25kN②應(yīng)力：③強(qiáng)度校核：④結(jié)論：此桿滿足強(qiáng)度要求，能夠正常工作。FF25KNXFN例已知簡(jiǎn)單構(gòu)架：桿1、2截面積A1=A2=100mm2，材料的許用拉應(yīng)力

[st]=200MPa，許用壓應(yīng)力[sc]=150MPa

試求：載荷F的許用值[F]解：1.桿1、2軸力分析2.利用強(qiáng)度條件確定[F]軸向拉壓桿的變形1、軸向變形：軸向尺寸的伸長(zhǎng)或縮短。2、橫向變形：橫向尺寸的縮小或擴(kuò)大。六、軸向拉壓桿的變形節(jié)點(diǎn)的位移1、軸向變形：（1）軸向線應(yīng)變：（2）虎克定律:（虎克定律的另一種表達(dá)方式）分析兩種變形

EA－抗拉（壓）剛度

Dl－伸長(zhǎng)為正，縮短為負(fù)ΔL=L1-L，在彈性范圍內(nèi),2、橫向變形：橫向線應(yīng)變：m——橫向變形系數(shù)（泊松比）實(shí)驗(yàn)證明，在彈性范圍內(nèi)：a.等直桿受圖示載荷作用，計(jì)算總變形。（各段EA均相同）

b.階梯桿，各段EA

不同，計(jì)算總變形。c.軸向變形的一般公式例分段求解:試分析桿AC

的軸向變形Dl。C

截面的位移？三）、畫(huà)節(jié)點(diǎn)位移圖求節(jié)點(diǎn)位移二）、求各桿的變形量△li；以垂線代替圖中弧線一）、分析受力確定各桿的內(nèi)力

FNil2ABl1CF

就是C點(diǎn)的近似位移。二、桿系結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移求C點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)位移？C點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)位移圖寫(xiě)出圖2中B點(diǎn)位移與兩桿變形間的關(guān)系分析：F拉壓一、受力分析：二、畫(huà)B點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)位移圖：1）畫(huà)沿原桿伸長(zhǎng)或縮短線；2）作伸長(zhǎng)或縮短線端點(diǎn)垂線；B’點(diǎn)就是節(jié)點(diǎn)B的位移點(diǎn)。B點(diǎn)水平位移：B點(diǎn)垂直位移：B點(diǎn)位移：力學(xué)性能：材料在受力后的表現(xiàn)出的變形和破壞特性。不同的材料具有不同的力學(xué)性能材料的力學(xué)性能可通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到?！仂o載下的拉伸壓縮試驗(yàn)問(wèn)題的提出：要使構(gòu)件安全工作，必須了解構(gòu)件材料的力學(xué)性能（機(jī)械性質(zhì)）。彈性模量E、泊松比μ

以及許用應(yīng)力[??]，都是與材料的力學(xué)性能（機(jī)械性質(zhì)）有關(guān)的量。七、材料在拉壓時(shí)的力學(xué)性能拉伸標(biāo)準(zhǔn)試樣88壓縮試件——很短的圓柱型：

h=(1.5—3.0)dhd常溫靜載下的拉伸壓縮試驗(yàn)試驗(yàn)裝置變形傳感器變形傳感器拉伸試驗(yàn)與拉伸圖

(

F-Dl

曲線

)1、

低碳鋼拉伸時(shí)的四個(gè)階段⑴、彈性階段:oAoA’為直線段；AA’為微彎曲線段。—比例極限；—彈性極限。⑵、屈服階段:B’C?！O限屈服段內(nèi)最低的應(yīng)力值。低碳鋼拉伸時(shí)的四個(gè)階段⑴、彈性階段:oA,⑵、屈服階段:B’C。⑶、強(qiáng)化階段：CD??b—強(qiáng)度極限（拉伸過(guò)程中最高的應(yīng)力值）?；凭€⑷、局部變形階段（頸縮階段）：DE。在此階段內(nèi)試件的某一橫截面發(fā)生明顯的變形，至到試件斷裂。縮頸斷裂sb-強(qiáng)度極限

E

=

tana

-

彈性模量sp-比例極限ss-屈服極限由低碳鋼拉伸實(shí)驗(yàn)中獲得的重要指標(biāo)2、卸載定律及冷作硬化e

p－塑性應(yīng)變s

e－彈性極限e

e—彈性應(yīng)變預(yù)加塑性變形,可使s

e

或s

p

提高卸載定律：當(dāng)拉伸超過(guò)屈服階段后，如果逐漸卸載，在卸載過(guò)程中，應(yīng)力——應(yīng)變將按直線規(guī)律變化。冷作硬化：在常溫下將鋼材拉伸超過(guò)屈服階段，卸載后短期內(nèi)又繼續(xù)加載，材料的比例極限提高而塑性變形降低的現(xiàn)象。3、材料的塑性斷后伸長(zhǎng)率殘留的塑性變形程度l－試驗(yàn)段原長(zhǎng)（標(biāo)距）Dl0－試驗(yàn)段殘余變形塑性材料能經(jīng)受較大塑性變形而不破壞的能力延伸率是衡量材料塑性的指標(biāo)注意區(qū)分延伸率斷面收縮率塑性材料：d

≥5%例如結(jié)構(gòu)鋼與硬鋁等脆性材料：d

<5%例如灰口鑄鐵與陶瓷等A

－試驗(yàn)段橫截面原面積A1－斷口的橫截面面積塑性與脆性材料斷后伸長(zhǎng)率殘留的塑性變形程度

斷面收縮率也是衡量材料塑性的指標(biāo)低碳鋼材料d

≈

30%，是典型的塑性材料

有些材料沒(méi)有明顯的屈服階段。

對(duì)于沒(méi)有明顯屈服階段的材料用名義屈服應(yīng)力表示其屈服極限。

產(chǎn)生0.2%的塑性應(yīng)變時(shí)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值。名義屈服極限??0.2：3、鑄鐵的拉伸試驗(yàn)1）無(wú)明顯的直線段；2）無(wú)屈服階段；3）無(wú)頸縮現(xiàn)象；4）延伸率很小。sb—強(qiáng)度極限。E—彈性模量。

鑄鐵試件直到被拉斷才喪失工作能力，延伸率很小，是典型的脆性材料d

≈0.5%斷口特征低碳鋼的壓縮試驗(yàn)

彈性階段，屈服階段均與拉伸時(shí)大致相同。

超過(guò)屈服階段后，外力增加面積同時(shí)相應(yīng)增加，無(wú)破裂現(xiàn)象產(chǎn)生。4、材料在壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)

其它脆性材料壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)大致同鑄鐵，工程上一般作為抗壓材料。2：破壞面大約為450的斜面。鑄鐵的壓縮試驗(yàn)強(qiáng)度指標(biāo)(失效應(yīng)力)塑性材料脆性材料1、概念靜定：結(jié)構(gòu)或桿件的未知力個(gè)數(shù)等于有效靜力方程的個(gè)數(shù)，利用靜力平衡方程就可以求出所有的未知力——靜定問(wèn)題超靜定：結(jié)構(gòu)或桿件的未知力個(gè)數(shù)多于有效靜力方程的個(gè)數(shù)，只利用靜力方程不能求出所有的未知力——超靜定問(wèn)題aaABC12D3八、軸向拉壓桿系的超靜定問(wèn)題=未知力個(gè)數(shù)–平衡方程個(gè)數(shù)。2、超靜定的求解步驟：2、根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件列出變形幾何方程。3、根據(jù)物理關(guān)系寫(xiě)出補(bǔ)充方程。4、聯(lián)立靜力方程與補(bǔ)充方程求出所有的未知力。1、根據(jù)平衡條件列平衡方程（確定超靜定的次數(shù)）。超靜定的次數(shù)aaABC12D3多余約束

、幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程：

、物理方程－變形與受力關(guān)系解：、平衡方程:

、聯(lián)立方程(1)、(2)、(3)可得:ABDC132aa例：圖示桿系結(jié)構(gòu)，

，求：各桿的內(nèi)力。FN1AaaFN2FN3超靜定結(jié)構(gòu)的特征：內(nèi)力按照剛度分配

ABDC132aa討論：----能者多勞的分配原則本章結(jié)束！

鉚釘連接工程實(shí)際中用到各種各樣的連接，如：

銷(xiāo)軸連接第15章剪切一、剪切的概念和實(shí)例

鉚釘連接平鍵連接榫連接剪切受力特點(diǎn)：作用在構(gòu)件兩側(cè)面上的外力合力大小相等、方向相反且作用線相距很近。變形特點(diǎn)：構(gòu)件沿兩力作用線之間的某一截面產(chǎn)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)或錯(cuò)動(dòng)趨勢(shì)。FF鉚釘連接剪床剪鋼板剪切面剪切受力特點(diǎn)：作用在構(gòu)件兩側(cè)面上的外力合力大小相等、方向相反且作用線相距很近。變形特點(diǎn)：構(gòu)件沿兩力作用線之間的某一截面產(chǎn)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)或錯(cuò)動(dòng)趨勢(shì)。FF單剪雙剪剪切面FF連接的破壞形式一般有以下幾種：（1）剪切破壞構(gòu)件兩部分沿剪切面發(fā)生滑移、錯(cuò)動(dòng)（2）擠壓破壞在接觸區(qū)的局部范圍內(nèi)，產(chǎn)生顯著塑性變形

剪切與擠壓破壞都是復(fù)雜的情況，這里僅介紹工程上的實(shí)用計(jì)算方法。（3）鋼板拉伸強(qiáng)度破壞鋼板因開(kāi)鉚釘孔使截面被削弱而發(fā)生強(qiáng)度破壞

剪切面上的名義切應(yīng)力計(jì)算公式：

實(shí)用計(jì)算中假設(shè)切應(yīng)力在剪切面（m-m截面）上是均勻分布的FF截面法———剪力剪切面上的內(nèi)力二、剪切的實(shí)用計(jì)算剪切強(qiáng)度條件：剪切強(qiáng)度條件同樣可解三類(lèi)問(wèn)題

剪切面上的名義切應(yīng)力：FFFS

為剪切面上的剪力；A

為剪切面的面積?！x許用切應(yīng)力FF

注意：名義許用切應(yīng)力[

]是通過(guò)直接試驗(yàn)，按上式得到剪切破壞時(shí)材料的極限切應(yīng)力，再除以安全因數(shù)，即得[

]；可在有關(guān)的設(shè)計(jì)規(guī)范中查到，它與鋼材在純剪切應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的容許切應(yīng)力顯然是不同的。

剪切強(qiáng)度條件：對(duì)大多數(shù)的連接件(或連接)來(lái)說(shuō)，剪切變形及剪切強(qiáng)度是主要的。FF

在鉚釘連接中，在鉚釘與鋼板相互接觸的側(cè)面上，將發(fā)生彼此間的局部承壓現(xiàn)象，稱(chēng)為擠壓。在接觸面上的壓力，稱(chēng)為擠壓力Fbs

擠壓力過(guò)大，可能引起螺栓壓扁或鋼板在孔緣壓皺，從而導(dǎo)致連接松動(dòng)而失效

三、擠壓的實(shí)用計(jì)算擠壓力不是內(nèi)力，而是外力

——擠壓面的計(jì)算面積FF

實(shí)用計(jì)算中，名義擠壓應(yīng)力公式

實(shí)際的擠壓面是半個(gè)圓柱面，而在實(shí)用計(jì)算中用其直徑平面Abs來(lái)代替。擠壓強(qiáng)度條件：擠壓強(qiáng)度條件同樣可解三類(lèi)問(wèn)題

——擠壓面的計(jì)算面積名義擠壓應(yīng)力公式FF擠壓強(qiáng)度條件：FF——名義許用擠壓應(yīng)力名義許用擠壓應(yīng)力[

bs]是通過(guò)直接試驗(yàn)，并按上式得到材料的極限擠壓應(yīng)力，從而確定之。擠壓強(qiáng)度條件：剪切強(qiáng)度條件：脆性材料：塑性材料：可從有關(guān)設(shè)計(jì)規(guī)范中查得。例

已知：d

=2mm，b=15mm，d=4mm，[t]=100MPa，

[sbs]=300MPa，[s]=160MPa。試求：[F]解：1、剪切強(qiáng)度解：1、剪切強(qiáng)度2、擠壓強(qiáng)度3、鋼板拉伸強(qiáng)度結(jié)論：[F]=1.257kN本章結(jié)束！

Me主動(dòng)力偶阻抗力偶一、扭轉(zhuǎn)的工程實(shí)例和概念第16章扭轉(zhuǎn)汽車(chē)方向盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸工作時(shí)受扭受力特點(diǎn)：桿兩端作用著大小相等、方向相反的力偶，且力偶作用面垂直于桿的軸線。變形特點(diǎn)：桿任意兩截面繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。主要發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的桿——軸。

Me主動(dòng)力偶阻抗力偶1、外力偶矩計(jì)算設(shè)軸的轉(zhuǎn)速n

轉(zhuǎn)／分(r／min)，其中某一輪傳輸?shù)墓β蕿椋篘千瓦(kW）

二、自由扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力計(jì)算外力偶矩計(jì)算式實(shí)際作用于該輪的外力偶矩m，則mm

T2、扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力（截面法）mmT取右段為研究對(duì)象：取左段為研究對(duì)象：圓軸受扭時(shí)其橫截面上的內(nèi)力偶矩稱(chēng)為扭矩，用符號(hào)T表示。二、自由扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力計(jì)算3、扭矩的符號(hào)規(guī)定：按右手螺旋法則判斷。右手的四指代表扭矩的旋轉(zhuǎn)方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向與截面的外法線方向相同，則扭矩規(guī)定為正值，反之為負(fù)值。T+T-T4、內(nèi)力圖（扭矩圖）

扭矩圖作法：同軸力圖[例]已知：一傳動(dòng)軸，n=300r/min，主動(dòng)輪輸入N1=500kW，從動(dòng)輪輸出N2=150kW，N3=150kW，N4=200kW，試?yán)L制扭矩圖。nABCDm2

m3

m1

m4表示構(gòu)件各橫截面扭矩沿軸線變化的圖形。②求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）解：①計(jì)算外力偶矩n=300r/min，輸入N1=500kW，輸出N2=150kW，N3=150kW，N4=200kWnABCDm2

m3

m1

m4nm2

m3

m1

m433ABCD1122T1T2T39.56xT（kN.m）4.786.37

––③繪制扭矩圖BC段為危險(xiǎn)截面。m41-1截面：2-2截面：3-3截面：?jiǎn)卧w在其兩對(duì)互相垂直的平面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力的狀態(tài)稱(chēng)為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。在相互垂直的兩個(gè)面上，切應(yīng)力總是成對(duì)出現(xiàn)，并且大小相等，方向同時(shí)指向或同時(shí)背離兩個(gè)面的交線。xyabOcddxdydzz

dabc

5、切應(yīng)力互等定理圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力（超靜定問(wèn)題）幾何關(guān)系：由實(shí)驗(yàn)找出變形規(guī)律→應(yīng)變的變化規(guī)律物理關(guān)系：由應(yīng)變的變化規(guī)律→應(yīng)力的分布規(guī)律靜力關(guān)系：由橫截面上的扭矩與應(yīng)力的關(guān)系→應(yīng)力的計(jì)算公式。一）、幾何關(guān)系：1、實(shí)驗(yàn)：三、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力2、變形規(guī)律：圓周線——形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)不同的角度?？v向線——傾斜了同一個(gè)角度，小方格變成了平行四邊形。3、平面假設(shè)：變形前的橫截面，變形后仍為平面，且形狀、大小、間距不變，半徑仍為直線。4、定性分析橫截面上的應(yīng)力（1）（2）因?yàn)橥粓A周上切應(yīng)變相同，所以同一圓周上切應(yīng)力大小相等，并且方向垂直于其半徑方向。5、切應(yīng)變的變化規(guī)律取楔形體O1O2ABCD

為研究對(duì)象DD’AD’A點(diǎn)處的切應(yīng)變a點(diǎn)處的切應(yīng)變二）物理關(guān)系：彈性范圍內(nèi)→→方向垂直于半徑。dj/

dx－扭轉(zhuǎn)角變化率TtmaxtmaxtmaxtmaxT（實(shí)心截面）（空心截面）三）靜力關(guān)系：dA

令代入物理關(guān)系式得：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力計(jì)算式。TO扭轉(zhuǎn)變形計(jì)算式Ip—截面的極慣性矩，單位：橫截面上——抗扭截面模量，整個(gè)圓軸上——等直桿：公式的使用條件：1、等直的圓軸，2、彈性范圍內(nèi)工作。Ip—截面的極慣性矩，單位：圓軸中τmax的確定單位：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的切應(yīng)力計(jì)算式:圓截面的極慣性矩Ip

和抗扭截面系數(shù)Wp實(shí)心圓截面：Odrrd空心圓截面：DdrrOd注意：對(duì)于空心圓截面DdrrOd強(qiáng)度條件：強(qiáng)度條件應(yīng)用：≤≥2）設(shè)計(jì)截面尺寸:3）確定外載荷:≤1、扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度計(jì)算等截面圓軸:變截面圓軸:1）校核強(qiáng)度:四、扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度扭轉(zhuǎn)變形和剛度計(jì)算例已知T=1.5kN.m，[??]=50MPa，試根據(jù)強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)實(shí)心圓軸與α=0.9的空心圓軸。解：1.確定實(shí)心圓軸直徑2.確定空心圓軸內(nèi)、外徑3.重量比較空心軸遠(yuǎn)比實(shí)心軸輕BC段AB段2、計(jì)算軸橫截面上的最大切應(yīng)力并校核強(qiáng)度該軸滿足強(qiáng)度條件。2214T圖（kN·m）MA

MBⅡⅠMC

ACB例圖示階梯狀圓軸，AB段直徑d1=120mm，BC段直徑d2=100mm扭轉(zhuǎn)力偶矩MA=22kN?m，MB=36kN?m，MC=14kN?m。材料的許用切應(yīng)力[τ]=80MPa，試校核該軸的強(qiáng)度。解：1、求內(nèi)力，作出軸的扭矩圖1、扭轉(zhuǎn)變形：（相對(duì)扭轉(zhuǎn)角）扭轉(zhuǎn)角單位：弧度（rad）

GIP——抗扭剛度?！獑挝婚L(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角二、扭轉(zhuǎn)桿的變形和剛度計(jì)算扭轉(zhuǎn)變形與內(nèi)力計(jì)算式扭矩不變的等直軸各段扭矩為不同值的階梯軸——單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角

圓軸受扭時(shí)，除滿足強(qiáng)度條件外，還須滿足一定的剛度要求。通常是限制單位長(zhǎng)度上的最大扭轉(zhuǎn)角不超過(guò)規(guī)范給定的許用值。圓軸受扭時(shí)剛度條件可寫(xiě)作2、剛度條件應(yīng)用1)、校核剛度：≤3)、確定外載荷:2)、設(shè)計(jì)截面尺寸:二、扭轉(zhuǎn)桿的變形和剛度計(jì)算例

已知：MA=180N.m，MB=320N.m，MC=140N.m，Ip=3105mm4，l=2m，G=80GPa，[q]=0.5()/m。jAC=?校核軸的剛度。解：1.內(nèi)力、變形分析2.剛度校核軸的剛度足夠例試計(jì)算圖示圓錐形軸的總扭轉(zhuǎn)角解：常見(jiàn)的非圓截面受扭桿為矩形截面桿和薄壁桿件圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)——橫截面保持為平面；非圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)——橫截面由平面變?yōu)榍妫òl(fā)生翹曲）。非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的研究方法：彈性力學(xué)的方法研究五、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的分類(lèi)：1、自由扭轉(zhuǎn)（純扭轉(zhuǎn)），2、約束扭轉(zhuǎn)。自由扭轉(zhuǎn)：各橫截面翹曲程度不受任何約束（可自由凹凸），任意兩相鄰截面翹曲程度相同。應(yīng)力特點(diǎn)：橫截面上正應(yīng)力等于零，切應(yīng)力不等于零。約束扭轉(zhuǎn)：由于約束條件或受力限制，造成桿各橫截面翹曲程度不同。應(yīng)力特點(diǎn)：橫截面上正應(yīng)力不等于零，切應(yīng)力不等于零。橫截面上角點(diǎn)處，切應(yīng)力為零橫截面邊緣各點(diǎn)處，切應(yīng)力//截面周邊橫截面周邊長(zhǎng)邊中點(diǎn)處，切應(yīng)力最大矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)力分布特點(diǎn)（彈性力學(xué)解）（彈性力學(xué)解）系數(shù)α，

β，

γ

與h/b有關(guān)，見(jiàn)教材之表4-2長(zhǎng)邊中點(diǎn)最大切應(yīng)力τmax矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力橫截面上角點(diǎn)處，切應(yīng)力為零橫截面邊緣各點(diǎn)處，切應(yīng)力//截面周邊橫截面周邊長(zhǎng)邊中點(diǎn)處，切應(yīng)力最大T狹窄矩形截面扭轉(zhuǎn)h－中心線總長(zhǎng)推廣應(yīng)用狹長(zhǎng)矩形本章結(jié)束！按疊加原理作彎矩圖第17章彎曲內(nèi)力彎曲的概念剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖彎矩、剪力與分布載荷集度間的微分關(guān)系靜定梁的分類(lèi)10月8日上午，四川隆昌官方舉行“洞坎人家”農(nóng)家樂(lè)單層瓦房木質(zhì)房梁斷裂、屋頂局部垮塌.立柱橫梁檁條一、彎曲實(shí)例彎曲的概念及工程實(shí)例工廠廠房的天車(chē)大梁工廠廠房的天車(chē)大梁：FF樓房的橫梁：陽(yáng)臺(tái)的挑梁：二、彎曲的概念：受力特點(diǎn)——作用于桿件上的外力都垂直于桿的軸線。變形特點(diǎn)——桿軸線由直線變?yōu)橐粭l曲線。

主要產(chǎn)生彎曲變形的桿——梁。三、平面彎曲的概念：受力特點(diǎn):作用于桿件上的外力都垂直于桿的軸線，

且都在梁的縱向?qū)ΨQ(chēng)平面內(nèi)。變形特點(diǎn):桿的軸線在梁的縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)由直線

變?yōu)橐粭l平面曲線。縱向?qū)ΨQ(chēng)面MF1F2q平面彎曲靜定梁的分類(lèi)（三種基本形式）M—集中力偶q(x)—分布力1、懸臂梁：2、簡(jiǎn)支梁：3、外伸梁：—集中力Fq—均布力LLLL（L稱(chēng)為梁的跨長(zhǎng)）一、彎曲內(nèi)力的確定（截面法）：【例】已知：如圖，F(xiàn)，a，l。

求：距A端x處截面上內(nèi)力。FAyFAxFByFABFalAB解：1.求外力剪力方程和彎矩方程xyABFFAyFAxFBymmx2.求內(nèi)力FsMMFsFAyACFByFC研究對(duì)象：m-m

截面的左段：若研究對(duì)象取m-m

截面的右段：l?xxyABFFAyFAxFBymmxFsMMFs1.彎矩：M

構(gòu)件受彎時(shí)，橫截面上存在垂直于截面的內(nèi)力偶矩（彎矩）。AFAyCFByFC2.剪力：Fs

構(gòu)件受彎時(shí)，橫截面上存在切于截面的內(nèi)力（剪力）。彎曲構(gòu)件內(nèi)力：二、彎曲內(nèi)力的符號(hào)規(guī)定:1.剪力Fs:2.彎矩M：Fs(+)Fs(+)Fs(–)Fs(–)M(+)M(+)M(–)M(–)【例】：求1-1、2-2截面處的內(nèi)力。qLM1解qqLab11221-1截面2-2截面qLM2x2C【例】：求圖所示梁1-1、2-2截面處的內(nèi)力。aaaABCDFa11221.3a0.5aF解：1.確定支座約束力2.求內(nèi)力1-1截面取左側(cè)考慮：2-2截面取右側(cè)考慮：1.2kN/m0.8kNAB1.5m1.5m3m2m1.5m1122【例】：梁1-1、2-2截面處的內(nèi)力。解：1.確定支座約束力FAFB2.1-1截面左段右側(cè)截面：2-2截面右段左側(cè)截面：FA三、剪力方程、彎矩方程：剪力方程彎矩方程

反映梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置變化的函數(shù)式

顯示剪力和彎矩隨截面位置變化規(guī)律的圖形則分別稱(chēng)為剪力圖和彎矩圖。lqAB

注意：彎矩圖中正的彎矩值繪在x軸的下方(即彎矩值繪在彎曲時(shí)梁的受拉側(cè))。

F(x)xF解：1.求支座約束力2.求內(nèi)力方程3.根據(jù)方程畫(huà)內(nèi)力圖【例】列出梁內(nèi)力方程并畫(huà)出內(nèi)力圖。FABFAyMA

xM(x)FL注意：彎矩圖中正的彎矩值繪在x軸的下方(即彎矩值繪在彎曲時(shí)梁的受拉側(cè))。AFAyMAFsM在x處截開(kāi)，取左段為研究對(duì)象【例】圖示簡(jiǎn)支梁受集度為q的滿布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：1、求支約束力2、列剪力方程和彎矩方程xFBFAFAM(x)FS(x)xAqBlAqql

2FS

ql28l/2M3、作剪力圖和彎矩圖BlAq*載荷對(duì)稱(chēng)、結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)則剪力圖反對(duì)稱(chēng)，彎矩圖對(duì)稱(chēng)*剪力為零的截面彎矩有極值。

【例】圖示簡(jiǎn)支梁受集中荷載F作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：1、求支座約束力2、列剪力方程和彎矩方程——需分兩段列出BFBFAxlAFabCAC段CB段FAxAM(x)FS(x)FBBFS(x)M(x)BFBFAxlAFabC3、作剪力圖和彎矩圖FS

FblxFalMxFablBFBFAxlAFabC*在集中力F作用處，剪力圖有突變，突變值為集中力的大?。粡澗貓D有轉(zhuǎn)折畫(huà)剪力圖和彎矩圖的步驟：1、利用靜力方程確定支座約束力。2、根據(jù)載荷分段列出剪力方程、彎矩方程。3、根據(jù)剪力方程、彎矩方程判斷剪力圖、彎矩圖的形狀描點(diǎn)繪出剪力圖、彎矩圖。4、確定最大的剪力值、彎矩值。注意：不能用一個(gè)函數(shù)表達(dá)的要分段，分段點(diǎn)為：集中力作用點(diǎn)、集中力偶作用點(diǎn)、分布力的起點(diǎn)、終點(diǎn)?！纠繄D示簡(jiǎn)支梁在C點(diǎn)受矩為Me

的集中力偶作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解:1、求支座約束力Me

FA

FBBlACab2、列剪力方程和彎矩方程剪力方程無(wú)需分段：彎矩方程——兩段：AC段：CB段：FA

FBxAFAM(x)FS(x)xFBBFS(x)M(x)BlACab3、作剪力圖和彎矩圖FslxMelMxMealMeb*集中力偶作用點(diǎn)處剪力圖無(wú)影響，彎矩圖有突變，突變值的大小等于集中力偶的大小。BlACab解：1、支座約束力2、寫(xiě)出內(nèi)力方程1kN/m2kNABCD1m1m2mx1x3x2FAFB【例】畫(huà)出梁的內(nèi)力圖。AMx1FAFsAMx2FAFs2kNx3FBFsM3、根據(jù)方程畫(huà)內(nèi)力圖xFs(x)x2kN2kN2kN?m2kN?mM(x)1kN/m2kNABCD1m1m2mx1x3x2FAFB

彎矩、剪力與分布載荷集度間的微分關(guān)系一、彎矩、剪力與分布載荷集度間的微分關(guān)系1、支座約束力：LqFAFB2、內(nèi)力方程3、討論如下x對(duì)dx段進(jìn)行平衡分析，有：dxxq(x)q(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs

(x)Fs(x)M(x)dxAy幾何意義：剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大小。xyq(x)M(x)+dM(x)Fs(x)M(x)dxAy幾何意義：彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處剪力的大小。Fs(x)+dFs

(x)q、Fs和M三者的微分關(guān)系

FS

l/2MBlAq

二、微分關(guān)系的應(yīng)用--作Fs

圖和M

圖（用于定形）2、分布力q(x)=常數(shù)時(shí)1、分布力q(x)=0時(shí)Fs圖：M圖：剪力圖為一條水平線彎矩圖為一條斜直線。剪力圖為一條斜直線；彎矩圖為一條二次曲線。（1）當(dāng)分布力的方向向上時(shí)剪力圖為斜向上的斜直線；彎矩圖為上凸的二次曲線。（2）當(dāng)分布力的方向向下時(shí)Fs圖：M圖：M(x)剪力圖為斜向下的斜直線；彎矩圖為下凹的二次曲線。Fs圖：M圖：M(x)2、分布力q(x)=常數(shù)時(shí)q=0q=C

↓

↑q=kx

↓

↑FMeFs二次曲線遞增或遞減突變變化值即F不變M

Fs>0

Fs<0二次曲線三次曲線連續(xù)不光滑突變變化值即Me載荷與對(duì)應(yīng)的剪力圖、彎矩圖特征幾何意義：梁上任意兩截面的剪力差等于兩截面間載荷圖所包圍的面積。集中力單獨(dú)考慮幾何意義：梁上任意兩截面的彎矩差等于兩截面間剪力圖所包圍的面積。集中力偶單獨(dú)考慮3.剪力、彎矩與分布載荷間的積分關(guān)系-用于定量利用微分關(guān)系定形后，(1)利用剪力、彎矩、分布荷載間積分關(guān)系定值，(2)利用特殊點(diǎn)（集中力、力偶）的內(nèi)力值來(lái)定值。M2Fs2q(x)Fs1M1x2x1左端點(diǎn)：剪力圖有突變，突變值等于集中力的大小。右端點(diǎn)：彎矩圖有突變，突變值等于集中力偶的大小。qa–xaaqaq解：1、確定支座約束力AB：BC：2、畫(huà)內(nèi)力圖FCyMCq>0,Mqa2(Fs<0,所以M圖向負(fù)方向斜)(q>0,所以Fs圖向正方向斜)積分關(guān)系：FsB=FsA+0(MC=MB+(-1/2qa?a)=-1.5qa2)

(MB=MA+(-qa?a)=-qa2)(FsC=FsB+qa=0)【例】用簡(jiǎn)易作圖法畫(huà)下列各圖示梁的內(nèi)力圖。控制點(diǎn):端點(diǎn)、分段點(diǎn)(外力變化點(diǎn))和駐點(diǎn)(極值點(diǎn))等。三、簡(jiǎn)易法作內(nèi)力圖：基本步驟：1、確定梁上所有外力（求支座約束力）；2、分段3、利用微分規(guī)律判斷各段內(nèi)力圖形狀；4、確定控制點(diǎn)內(nèi)力的數(shù)值大小及正負(fù)；5、畫(huà)內(nèi)力圖，先定Fs(x)圖，再定M(x)圖。6、Fs，

M上凸或下凹，關(guān)鍵看斜率：Fs看q；M看Fs。作圖時(shí)應(yīng)注意結(jié)合以下幾點(diǎn)*集中力偶處：剪力圖無(wú)變化；彎矩圖有突變，突變值的大小等于集中力偶的大小。*彎矩極值處：剪力為零的截面、集中力及集中力偶作用的截面。*集中力處：剪力圖有突變，突變值等于集中力的大??；彎矩圖有折角。*端部無(wú)集中力，剪力為零；端部無(wú)集中力偶，彎矩為零。利用微分關(guān)系定形，利用特殊點(diǎn)的內(nèi)力值、積分關(guān)系定值Fsx2kN2kN解：1、支座約束力2、畫(huà)內(nèi)力圖AC段：剪力圖為一條水平線；BD段：剪力圖為斜向下的斜直線；CD段：剪力圖為零；A、C、B截面剪力圖有突變；突變值的大小為其集中力的值。1kN/mABCD2kN2m1m1mFAyFByxM(x)2kN?m2kN?m彎矩圖為一條斜直線彎矩圖為一條水平線。彎矩圖為下凸的二次曲線。解：求支座約束力Fsxqa/2––qa/2+qa2qaABCDxqFAyFDyaaaMqa2/2qa2/2qa2/23qa2/8qa/2EE【例】已知Fs圖，求外載荷及M圖（梁上無(wú)集中力偶）。Fs(kN)x1m1m2m2315kN1kNq=2kN/m+–+q=2kN/mM(kN·m)x11.25

1?+qBADa4aFAyFBy【例】試畫(huà)出梁剪力圖和彎矩圖。解：1．確定約束力根據(jù)梁的整體平衡，由求得A、B二處的約束力qa2．確定控制面

由于AB段上作用有連續(xù)分布載荷，故A、B兩個(gè)截面為控制面，約束力FBy右側(cè)的截面，以及集中力qa左側(cè)的截面，也都是控制面。C按疊加原理作彎矩圖二、疊加原理：多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的內(nèi)力等于每個(gè)

載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的內(nèi)力的代數(shù)和。一、前提條件：小變形、梁的跨長(zhǎng)改變忽略不計(jì)；所求參數(shù)（內(nèi)力、應(yīng)力、位移）必然與載荷滿足線性關(guān)系。即在彈性范圍內(nèi)滿足虎克定律。三、步驟：1、梁上的幾個(gè)載荷分解為單獨(dú)的荷載作用；

2、分別作出各項(xiàng)載荷單獨(dú)作用下梁的彎矩圖；

3、將其相應(yīng)的縱坐標(biāo)疊加即可

（注意：不是圖形的簡(jiǎn)單拼湊）?！纠堪疮B加原理作彎矩圖(AB=2a，力F作用在梁AB的中點(diǎn)處)。qFABFq=+AABB=MxM1x

+M2x+++【例】作下列圖示梁的內(nèi)力圖。FLFFLLLLLLL0.5F0.5F0.5F0.5FF0FsxFs1xFs2x–0.5F0.5F0.5F–+–FF0.5FFLL0.5FFLLLF0M2x0.5FL0.5FLxM10.5FLxMFLFLLL0.5F0.5F

【例】繪制下列圖示梁的彎矩圖。2FaaF=2FF+M1x=+2Fax2FaM2xMFa

FLFL/2xMFL/2xM2+FL/2=FL/4xM1=+FFL/2+--50kN2m2m20kNm20kNm=+50kN20kNm20kNmxM250kNm+x20kNmM1x-20kNmM30kNm20kNm+--+=四、對(duì)稱(chēng)性與反對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用：

對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)在對(duì)稱(chēng)載荷作用下——

Fs

圖反對(duì)稱(chēng)，M圖對(duì)稱(chēng)；

對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱(chēng)載荷作用下——

Fs圖對(duì)稱(chēng)，M圖反對(duì)稱(chēng)。第18章彎曲應(yīng)力彎曲正應(yīng)力及強(qiáng)度條件彎曲中心平面彎曲的充要條件提高彎曲強(qiáng)度的措施彎曲切應(yīng)力及強(qiáng)度條件彎曲正應(yīng)力及其強(qiáng)度條件純彎曲和橫力彎曲的概念純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力公式梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件純彎曲理論的推廣1.

純彎曲梁的橫截面上只有彎矩而無(wú)剪力的彎曲。剪力“FS”——切應(yīng)力“τ”；彎矩“M”——正應(yīng)力“σ

”2.

橫力彎曲（剪切彎曲）梁的橫截面上既有彎矩又有剪力的彎曲。aaFBAFMxFsxFaFF純彎曲和橫力彎曲的概念純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力一、

變形幾何關(guān)系：(1)、觀察實(shí)驗(yàn)：abcdabcdMM(2)、變形規(guī)律：橫向線(ab、cd)：仍為直線，只是相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度且仍與縱向線正交。縱向線：由直線變?yōu)榍€，保持平行；靠近上部的纖維縮短，靠近下部的纖維伸長(zhǎng)。橫向線縱向線中間層與橫截面的交線－－中性軸中性層假設(shè)：梁內(nèi)必然存在一個(gè)縱向?qū)?，變形時(shí)層內(nèi)的纖維既不伸長(zhǎng)也不壓縮，稱(chēng)為中性層。(3)、假設(shè)：平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，且仍垂直于變形后的梁軸線，只是各橫截面繞其上的某軸轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。(4)、縱向線應(yīng)變橫截面上各點(diǎn)的縱向線應(yīng)變與它到中性軸的距離成正比；ABOO1dθ中性層曲率半徑ρyzOO1A1B1MMdx在彈性范圍內(nèi)二、物理關(guān)系：——橫截面上各點(diǎn)的正應(yīng)力沿截面高度按線性規(guī)律變化ABOO1dθ中性層曲率半徑ρyzOO1A1B1MMdx梁彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力分布圖：zyσcmaxσtmax中性軸的位置？中性層的曲率1/ρ?MMyxz三、靜力學(xué)關(guān)系梁橫截面上內(nèi)力已知：MMyxz（中性軸z軸為形心軸）（y、z軸為形心主軸）彎曲變形計(jì)算的基本公式zyσcmaxσtmax彎矩可代入絕對(duì)值，應(yīng)力的符號(hào)由變形來(lái)判斷。當(dāng)M>0時(shí)，下拉上壓；當(dāng)M<0時(shí)，上拉下壓。yxMzyzAσ—

彎曲變形計(jì)算的基本公式抗彎剛度EIzWz稱(chēng)為截面的抗彎截面系數(shù)，與截面的幾何形狀相關(guān)。yzzybh純彎曲時(shí)梁橫截面上最大正應(yīng)力幾種簡(jiǎn)單對(duì)稱(chēng)截面的抗彎截面系數(shù)zybhyzdDdyz中性軸z不是橫截面的對(duì)稱(chēng)軸時(shí)OzyytmaxycmaxM純彎曲時(shí)梁橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式橫力彎曲1、由于切應(yīng)力的存在梁的橫截面發(fā)生翹曲；2、橫向力還使各縱向線之間發(fā)生擠壓。平面假設(shè)和縱向線之間無(wú)擠壓的假設(shè)實(shí)際上都不再成立。1m2mBA還能用嗎？純彎曲理論的推廣F彈性力學(xué)的分析結(jié)果表明：對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁（l/h>5），純彎曲時(shí)的正應(yīng)力計(jì)算公式可用于橫力彎曲情況，其結(jié)果仍足夠精確。Fl4lF彎曲正應(yīng)力公式可推廣應(yīng)用于橫力彎曲和小曲率梁【例】圖示簡(jiǎn)支梁由56a號(hào)工字鋼制成，已知F=150kN。試求危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力σmax和同一橫截面上翼緣與腹板交界處a點(diǎn)處的正應(yīng)力σa

。B5

m10

mAFCFA

FB

12.521166560za375kN?m

M解：1、作彎矩圖2、查型鋼表得56號(hào)工字鋼3、求正應(yīng)力

12.521166560zaB5

m10

mAFC375kN.m

Ma點(diǎn)處的正應(yīng)力σa

也可根據(jù)正應(yīng)力沿梁高的線性分布規(guī)律來(lái)求

12.521166560za【例】求圖示懸臂梁的最大拉、壓應(yīng)力。已知：№10槽鋼解：1.畫(huà)彎矩圖2.查型鋼表：3.求最大拉、壓應(yīng)力應(yīng)力：σcmaxσtmaxl【例】厚為t=1.5mm的鋼帶，卷成直徑D＝3m的圓環(huán)。E=210GPa。求：鋼帶橫截面上的最大正應(yīng)力。解：1）研究對(duì)象：?jiǎn)挝粚挆l2）曲率半徑3）求應(yīng)力：梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件[σ]材料的許用彎曲正應(yīng)力

1.塑性材料，中性軸為橫截面對(duì)稱(chēng)軸的等直梁2.拉、壓強(qiáng)度不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁Ozyytmaxycmax充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度zh彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件的任務(wù)1、強(qiáng)度校核—2、設(shè)計(jì)截面尺寸—3、確定外載荷—[]ss￡max[]

sMmaxWz3[]

maxszWM￡解：1、求約束力x0.5m0.5m0.5mABCD2FF【例】矩形截面梁b=60mm，h=120mm，[σ]=160MPa,求：Fmax

。5F/2F/2Mmax

=0.5F3、強(qiáng)度計(jì)算h2、畫(huà)M，Mmax≤M+-【例】圖示為機(jī)車(chē)輪軸的簡(jiǎn)圖。試校核輪軸的強(qiáng)度。已知材料的許用應(yīng)力（3）B截面，C截面需校核（4）強(qiáng)度校核（1）計(jì)算簡(jiǎn)圖（2）繪彎矩圖解：m-m截面：n-n截面：（5）結(jié)論:輪軸安全FaFbMFFFFbanmnm解：1.求約束力【例】T字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的[

t]=30MPa，[

c]=60MPa。其截面形心位于C點(diǎn)，y1=52mm，y2=88mm，Iz=763cm4，試校核此梁的強(qiáng)度。1m1m1mABCD2.5kN?m4k

N?m2.畫(huà)彎矩圖——定危險(xiǎn)截面3.求應(yīng)力B截面—（上拉下壓）MC截面—（下拉上壓）（上拉下壓）（下拉上壓）y2y1z+-C截面—（下拉上壓）:1m1m1mABCDF2=4kNF1=9kN4.強(qiáng)度校核A1A2A3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa2.5kN?m4k

N?

mMB截面—（上拉下壓）:最大拉、壓應(yīng)力不在同一截面上17.04MPay2y1z+-【例】跨長(zhǎng)l=2m的鑄鐵梁受力如圖，已知鑄鐵的許用拉應(yīng)力[σt]=30MPa，許用壓應(yīng)力[σc]=90MPa。試根據(jù)截面最為合理的要求，確定T字形梁橫截面的尺寸d，并校核梁的強(qiáng)度。解：根據(jù)截面最為合理的要求1m2mBAF=80kNCy1y2z60220yO280dFl/4截面對(duì)中性軸的慣性矩為y1y2z60220yO280d1m2mBAF=80kNCy1y2z60220yO280d梁上的最大彎矩Oscmaxstmaxz梁滿足強(qiáng)度要求。y1y2z60yO280dFl/4彎曲切應(yīng)力及強(qiáng)度條件矩形截面梁工字形截面梁圓截面梁薄壁環(huán)形截面梁梁的彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件矩形截面梁1、假設(shè)：⑴橫截面上各點(diǎn)的切應(yīng)力方向與剪力的方向相同。⑵切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布（距中性軸等距離的各點(diǎn)切應(yīng)力大小相等）。zybhyτFsxdx

mnmxyzObdxm’m’hn2、公式推導(dǎo)xdx

圖ammnnyABA1B1τ’τ

nnmmy對(duì)于dx整體，x方向正應(yīng)力合力自然為零。ABB1A1mnxzyym'mnmxyzObdxm'm'hnyABA1B1τ'τFN1FN2dFS'ynnmmynnmm

由切應(yīng)力互等定理可知ABB1A1mnxzyym'FN1FN2dFS'τ'τ3、矩形截面上切應(yīng)力的分布：t

τ沿截面高度按二次拋物線規(guī)律變化；(2)同一橫截面上的最大切應(yīng)力τmax在中性軸處(y=0)；(3)上下邊緣處（y=±h/2)，切應(yīng)力為零。假設(shè):t//腹板側(cè)邊，并沿其厚度均勻分布腹板上的切應(yīng)力仍按矩形截面的公式計(jì)算。—