2/24專題07函數(shù)的應(yīng)用（零點與方程的根、函數(shù)模型）題型1求函數(shù)的零點（?？键c）題型9求方程的根及根的個數(shù)（重點）題型2用零點存在性定理判斷零點所在區(qū)間（常考點）題型10二分法的應(yīng)用（重點）題型3零點存在性定理的概念判斷（重點）題型11函數(shù)零點與方程的根的綜合應(yīng)用（難點）題型4根據(jù)零點所在區(qū)間求參數(shù)范圍題型12函數(shù)零點及方程的根解答題（難點）題型5求函數(shù)的零點個數(shù)（?？键c）題型13指數(shù)函數(shù)模型（常考點）題型6根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍（難點）題型14對數(shù)函數(shù)模型（?？键c）題型7比較零點的大小關(guān)系題型15建立擬合函數(shù)模型解決實際問題（重點）題型8求圖象的交點及交點個數(shù)（重點）題型一求函數(shù)的零點（共5小題）1．（24-25高一上·上海嘉定·期末）函數(shù)的零點是.2．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點是.3．（24-25高一上·廣東·期末）若函數(shù)有一個零點是1，則函數(shù)的零點是（

）A． B． C． D．4．（24-25高一上·陜西榆林·期末）已知函數(shù)的零點為，的零點為，則.5．（23-24高一下·貴州畢節(jié)·期末）已知是函數(shù)的零點，是函數(shù)的零點，則的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6題型二用零點存在性定理判斷零點所在區(qū)間（共4小題）6．（24-25高一上·河北唐山·期末）設(shè)函數(shù)，則的零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．7．（24-25高一上·廣東廣州·期末）函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是（

）A． B． C． D．8．（24-25高一上·山東泰安·期末）函數(shù)在上的零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．9．（24-25高一上·云南昆明·期末）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．題型三零點存在性定理的概念判斷（共5小題）10．（24-25高一上·廣東茂名·期末）“函數(shù)滿足”是“函數(shù)在區(qū)間上有零點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．（24-25高一上·上?！て谀┮阎瘮?shù)在上連續(xù)，則“”是“方程在內(nèi)至少有兩個解”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充分必要條件 D．非充分非必要條件12．（24-25高一上·黑龍江大慶·期末）已知函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷地，設(shè)，在區(qū)間中至少存在一個零點，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件13．（24-25高一上·山西·月考）已知函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷，則“”是“在區(qū)間（1，3）上有零點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件14．（22-23高一上·北京海淀·期末）函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的，則“”是“函數(shù)在區(qū)間上沒有零點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件題型四根據(jù)零點所在區(qū)間求參數(shù)范圍（共4小題）15．（23-24高三上·廣東深圳·期末）已知函數(shù)在內(nèi)有零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．16．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．17．（24-25高一上·河南開封·期末）已知是函數(shù)的零點，且，，則（

）A． B． C． D．18．（23-24高一上·山西晉中·期末）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是.題型五求函數(shù)的零點個數(shù)（共5小題）19．（24-25高一上·新疆·期末）函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．320．（24-25高一上·福建福州·期末）函數(shù)的零點個數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．621．（24-25高一上·云南昆明·期末）函數(shù)的零點個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．322．（24-25高一上·江蘇無錫·期末）函數(shù)的零點個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．323．（24-25高一上·陜西·期末）當(dāng)時，函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7題型六根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍（共8小題）24．（24-25高一上·四川·期末）已知函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．25．（24-25高一下·貴州遵義·期末）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．26．（24-25高一上·陜西西安·期末）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．27．（24-25高一上·山西呂梁·期末）已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．28．（24-25高一上·黑龍江齊齊哈爾·期末）已知函數(shù)，若有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．29．（24-25高一上·四川綿陽·期末）已知函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．30．（24-25高一上·湖北隨州·期末）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．31．（24-25高一上·吉林長春·期末）設(shè)函數(shù)有個不同零點，則正實數(shù)的范圍為（

）A． B． C． D．題型七比較零點的大小關(guān)系（共3小題）32．（24-25高一下·廣東揭陽·期末）已知函數(shù)的零點分別為，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．33．（23-24高一上·山東日照·期末）若，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．34．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函數(shù)的零點分別為，則大小順序為.（按由小到大排列）題型八求圖象的交點及交點個數(shù)（共8小題）35．（23-24高一上·重慶·期末）函數(shù)的交點所在的一個區(qū)間是（

）A． B．C． D．36．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）函數(shù)與的圖象的交點個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．637．（24-25高一上·湖南衡陽·期末）函數(shù)的圖象與x軸的交點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．438．（24-25高一上·云南玉溪·期末）當(dāng)時，曲線與的交點個數(shù)為．39．（24-25高一上·福建廈門·期末）設(shè)函數(shù)，，若曲線與恰有3個交點，則（

）．A． B．1 C．或1 D．240．（24-25高一上·浙江寧波·期末）若函數(shù)與函數(shù)的圖象有交點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型九求方程的根及根的個數(shù)（共7小題）41．（23-24高一上·江西吉安·期末）下列區(qū)間內(nèi)存在方程的根的是（

）A． B． C． D．42．（24-25高一上·廣東潮州·期末）方程的根的個數(shù)是（

）A．5 B．4 C．3 D．243．（24-25高一上·河南·期中）方程的根的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．444．（24-25高一上·上?！て谀┖瘮?shù)，其中是一個常數(shù)，計算知，則方程的根所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．無法確定45．（24-25高一上·河南濮陽·期末）已知函數(shù)，若，且，則方程的根的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．446．（23-24高一上·湖北·月考）已知函數(shù)，當(dāng)時，方程的根的個數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．647．（22-23高一上·浙江臺州·期中）設(shè)方程的根為，方程的根為，則的值為（

）A．4 B．2 C．0 D．題型十二分法的應(yīng)用（共6小題）48．（24-25高一上·安徽銅陵·期末）某同學(xué)用二分法求函數(shù)的零點時，用計算器算得部分函數(shù)值如下表所示：則該函數(shù)零點的近似值（精確度為0.1）可以是（

）A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.3249．（24-25高一上·貴州畢節(jié)·期末）已知函數(shù)，現(xiàn)用二分法求函數(shù)在內(nèi)的零點的近似值，則使用兩次二分法后，零點所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．50．（24-25高一上·湖南岳陽·期末）下列函數(shù)中，不能用二分法求其零點近似值的是（

）A． B．C． D．51．（23-24高一上·湖北·期末）下列函數(shù)圖象與x軸均有交點，且已知其解析式，不能用二分法求圖中函數(shù)零點的是（

）A．

B．

C．

D．

52．（24-25高一上·河南濮陽·期末）（多選）下列所給函數(shù)中，不能使用二分法求解其零點所在區(qū)間的有（

）A． B．C． D．53．（24-25高一上·廣東惠州·期末）已知函數(shù)在區(qū)間上有一個零點，如果用二分法求的近似值（精確度為），則應(yīng)將區(qū)間至少等分的次數(shù)為.題型十一函數(shù)零點與方程的根的綜合應(yīng)用（共10小題）單選題54．（24-25高一上·云南曲靖·期末）設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個實根、、、，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．55．（24-25高一上·河南周口·期末）已知函數(shù)，若方程有3個不同的實數(shù)根，，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．56．（24-25高一上·江蘇連云港·期末）已知函數(shù)，若存在實數(shù)，使得方程有個不同的實數(shù)根、、、，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．57．（24-25高一上·浙江嘉興·期末）已知函數(shù)，若存在實數(shù)、、且，使得，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．58．（24-25高一上·河南南陽·期末）設(shè)函數(shù)若恰有兩個零點，則實數(shù)t的取值范圍是（

）A． B．C． D．多選題59．（24-25高一上·浙江杭州·期末）設(shè)，若滿足關(guān)于的方程恰有三個不同的實數(shù)解，則下列選項中，一定正確的是（

）A． B． C． D．60．（24-25高一上·四川巴中·期末）已知函數(shù)實數(shù)滿足，且，則（

）A．B．C．D．函數(shù)有5個互不相等的零點61．（23-24高一上·湖北武漢·期末）已知函數(shù)若函數(shù)有四個零點，從小到大依次為，則下列說法正確的是（

）A． B．的最小值為4C． D．方程最多有10個不同的實根填空題62．（24-25高一上·上海靜安·期末）若關(guān)于的方程有四個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為63．（24-25高一上·河北保定·期末）已知奇函數(shù)，在上單調(diào)，若對任意都有，則解的個數(shù)為.題型十二函數(shù)零點及方程的根解答題（共10小題）64．（24-25高一上·江西九江·期末）已知函數(shù).(1)若為偶函數(shù)，求的值；(2)討論的零點個數(shù).65．（24-25高一上·重慶·期末）若函數(shù).(1)若，求函數(shù)的零點：(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.66．（24-25高一上·黑龍江雞西·期末）已知函數(shù)為偶函數(shù)，.(1)求的值；(2)若方程有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.67．（24-25高一上·江蘇鹽城·期末）已知（），對任意都有．(1)求的值；(2)若當(dāng)時方程有唯一實根，求的范圍．68．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)在區(qū)間上有且僅存一個零點，求實數(shù)的取值范圍．69．（24-25高一上·安徽蕪湖·期末）已知函數(shù)．(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若當(dāng)時，關(guān)于的方程有且僅有一個實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．70．（24-25高一上·廣東深圳·期末）已知函數(shù)，不等式解集為，(1)設(shè)函數(shù)在上存在零點，求實數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，求實數(shù)的值．71．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函數(shù).(1)判斷并用定義證明在上的單調(diào)性；(2)若函數(shù)恰有4個零點，求實數(shù)的取值范圍.72．（24-25高一上·貴州黔南·期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)，.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)的零點；(3)若函數(shù)有零點，求k的取值范圍.73．（24-25高一上·北京順義·期末）已知函數(shù)，且函數(shù)是奇函數(shù).(1)求實數(shù)的值；(2)設(shè)函數(shù)，判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明你的判斷；(3)設(shè)函數(shù)，寫出函數(shù)的零點個數(shù).（結(jié)論不要求證明）題型十三指數(shù)函數(shù)模型（共8小題）74．（24-25高一上·山東威?！て谀┠臣儍羲圃鞆S在凈化水的過程中，每過濾一次可使水中雜質(zhì)減少50%，若要使水中雜質(zhì)減少到原來的2%以下，則至少需要過濾（

）A．4次 B．5次 C．6次 D．7次75．（24-25高一上·云南保山·期末）某市GDP的年平均增長率為，按此增長率，大約經(jīng)過年后該市GDP會翻一番，則為（參考值，）（

）A．14 B．16 C．18 D．2076．（24-25高一上·安徽蕪湖·期末）荷花定律是一個非常著名的定律.據(jù)研究者收集的信息，池塘里荷花開放的程度，有如下規(guī)律，第一天開放的只是一小部分，第二天，它們會以前一天的兩倍速度開放.到第29天時荷花恰好開滿了一半，到第30天才會開滿整個池塘.下列函數(shù)能較好反映池塘里荷花開放的程度y與時間x（1-30天）之間的變化規(guī)律的是（

）A． B． C． D．77．（24-25高一上·河南駐馬店·期末）某放射性物質(zhì)在衰減過程中，其質(zhì)量與年數(shù)滿足關(guān)系式（為初始質(zhì)量，，為常數(shù)，）．已知該放射物質(zhì)經(jīng)過4年，其質(zhì)量變?yōu)槌跏假|(zhì)量的，若再經(jīng)過8年，該放射性物質(zhì)的質(zhì)量變?yōu)槌跏假|(zhì)量的（

）A． B． C． D．78．（24-25高一上·重慶·期末）某催化劑的活性指標(biāo)K（單位：kgPP/gCat）與反應(yīng)溫度t（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系：（其中a，b為常數(shù)），若在20℃時的活性指標(biāo)為13kgPP/gCat，在40℃時的活性指標(biāo)為85kgPP/gCat，則該催化劑在50℃的活性指標(biāo)為（

）A．252kgPP/gCat B．247kgPP/gCatC．227kgPP/gCat D．127kgPP/gCat79．（24-25高一上·四川內(nèi)江·期末）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：mg/L）與時間t（單位：h）間的關(guān)系為（其中，k是正常數(shù)），如果在前5h消除了10%的污染物，則污染物減少50%需要花費的時間約為（

）（本題參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．80．（24-25高一上·貴州黔東南·期末）垃圾分類是指按一定規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲存、投放和搬運，從而轉(zhuǎn)變成公共資源的一系列活動，做好垃圾分類是每一位公民應(yīng)盡的義務(wù).已知某種垃圾的分解率與時間（月）近似滿足關(guān)系（其中，），經(jīng)過24個月，這種垃圾的分解率為,經(jīng)過48個月，這種垃圾的分解率為，則這種垃圾完全分解大約需要經(jīng)過（

）個月.（參考數(shù)據(jù)：）A．80 B．90 C．100 D．12081．（24-25高一上·廣東廣州·期末）把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，那么后物體的溫度（單位：）可由公式求得，其中是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù).現(xiàn)有的物體，放在的空氣中冷卻，以后物體的溫度降為.若將的物體放在的空氣中冷卻，則物體溫度降為所需要的冷卻時間為（

）A． B． C． D．題型十四對數(shù)函數(shù)模型（共7小題）82．（25-26高一上·上?！て谥校┲袊?G技術(shù)領(lǐng)先世界，在5G技術(shù)中，最大數(shù)據(jù)傳輸速率取決于信道帶寬，與滿足，其中稱為信噪比（單位：）．若不改變帶寬，初始信噪比為1000，那么為了使增加，需要將信噪比從1000提升至大約（

）A．5000 B．6000 C．7000 D．800083．（24-25高一上·云南德宏·期末）北京時間2024年10月30日4時27分，搭載神舟十九號載人飛船的長征二號遙十九運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射，約10分鐘后，神舟十九號載人飛船與火箭成功分離，進(jìn)入預(yù)定軌道，發(fā)射取得圓滿成功.據(jù)測算，在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度（單位：）和燃料的質(zhì)量（單位：），火箭（除燃料外）的質(zhì)量（單位：）的函數(shù)關(guān)系是.據(jù)悉，此次發(fā)射火箭全長，起飛質(zhì)量（火箭起飛質(zhì)量燃料質(zhì)量火箭質(zhì)量），若火箭的最大速度達(dá)到，則燃料質(zhì)量約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．84．（24-25高一上·廣東陽江·期末）大部分大西洋蛙魚每年都要逆流而上游回出生地產(chǎn)卵.研究蛙魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)蛙魚的游速單位：可以表示為，其中表示魚的耗氧量的單位數(shù).若蛙魚的游速每增加，則它的耗氧量的單位數(shù)是原來的（

）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍85．（24-25高一上·河南許昌·期末）假設(shè)在不考慮空氣阻力的條件下，某型號火箭的最大速度v（單位：）和燃料的質(zhì)量M（單位：）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量m（單位：）的函數(shù)關(guān)系是（k為大于0的常數(shù)）．已知當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的15倍時，火箭的最大速度，則當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的63倍時，火箭的最大速度（

）A． B． C． D．86．（24-25高一上·云南昆明·期中）大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵.研究鮭魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速（單位:）可以表示為，其中表示魚的耗氧量的單位數(shù).若一條鮭魚游速為時耗氧量的單位數(shù)為，那么當(dāng)耗氧量的單位數(shù)為時，鮭魚的游速為（

）A． B． C． D．87．（24-25高一上·廣西柳州·期末）大西洋鮭魚每年都要逆流而上游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研究鮭魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速v(單位：m/s)可以表示為，其中表示鮭魚的耗氧量的單位數(shù)，當(dāng)一條鮭魚以2m/s的速度游動時，它的耗氧量的單位數(shù)為（

）A．8100 B．8000 C．1000 D．110088．（24-25高一上·上海奉賢·期末）如果不考慮空氣阻力，火箭的最大速度（單位：）與燃料質(zhì)量（單位：），火箭（除燃料外）的質(zhì)量（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系是，這里表示以為底的自然對數(shù)．若已知火箭的最大速度為，火箭的質(zhì)量約為，則火箭需要加注的燃料質(zhì)量約為（

）．A． B． C． D．題型十五建立擬合函數(shù)模型解決實際問題（共7小題）89．（24-25高一上·江西·期末）近幾年，直播平臺逐漸被越來越多的人們關(guān)注和喜愛．某平臺從2021年初建立開始，得到了很多網(wǎng)民的關(guān)注，會員人數(shù)逐年增加．已知從2021到2024年，該平臺會員每年年．末的人數(shù)如下表所示：（注：第4年數(shù)據(jù)為截止至2024年10月底的數(shù)據(jù)）建立平臺第年1234會員人數(shù)（千人）16285286(1)請根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，從下列三個模型中選擇一個恰當(dāng)?shù)哪Ｐ凸浪憬⒃撈脚_年后平臺會員人數(shù)（千人），求出你所選擇模型的解析式，并預(yù)測2024年年末會員人數(shù)：①，②且，③且；(2)為了更好的維護(hù)管理平臺，該平臺規(guī)定會員人數(shù)不能超過千人，請根據(jù)（1）中你選擇的函數(shù)模型求的最小值．90．（24-25高一上·廣東·期末）輿論場指數(shù)是一個反映特定時間內(nèi)社會輿論關(guān)注熱點和趨勢的指標(biāo)，它通常通過大數(shù)據(jù)分析技術(shù)，對來自不同媒體平臺的信息進(jìn)行收集、整理和分析，從而得出一個量化的指數(shù)，以揭示公眾對某些事件或話題的關(guān)注程度.對于輿論事件出現(xiàn)起的前天，若某次輿情過程中至少有一天的輿論場指數(shù)大于，則認(rèn)為本次輿情是嚴(yán)重的.某購物平臺利用輿論場指數(shù)就某次輿情進(jìn)行分析，將輿論事件出現(xiàn)起第1，2，3天的輿論場指數(shù)整理成如下表格：天數(shù)123輿論場指數(shù)1248156為研究輿論場指數(shù)的變化情況，技術(shù)人員提出了三種函數(shù)模型用以刻畫數(shù)據(jù)：①；②；③其中含的項的系數(shù)均不為0.(1)請從①，②，③中選擇一個最合適的函數(shù)模型（直接寫結(jié)果，不用證明）；(2)運用（1）中選取的函數(shù)模型，預(yù)測第4天時的輿論場指數(shù)；(3)若本次輿情不是嚴(yán)重的，求的最小值.91．（24-25高一上·貴州黔東南·期末）近年來，國內(nèi)多個城市紛紛加碼布局“夜經(jīng)濟(jì)”，以滿足不同層次的多元消費，并拉動就業(yè)、帶動創(chuàng)業(yè)，進(jìn)而提升區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展活力.某夜市的一位工藝品售賣者，通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去的一個月內(nèi)（以30天計），每件的銷售價格（單位：元）與第天的函數(shù)關(guān)系近似滿足（為常數(shù)，且，，），日銷售量（單位：件）與第天的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：5101520254550555045已知第5天的日銷售收入為459元.給出以下三個函數(shù)模型：①；②；③.(1)請你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為合適的一種函數(shù)模型來描述日銷售量與的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式；(2)設(shè)該工藝品的日銷售收入為（單位：元），求的解析式；(3)該工藝品的日銷售收入哪天最低？最低收入是多少？92．（24-25高一上·江西景德鎮(zhèn)·期末）現(xiàn)代研究成果顯示，茶水的口感與水的溫度有關(guān).經(jīng)實驗表明，用100°C的水泡制，待茶水溫度降至60°C時，飲用口感最佳.某中學(xué)學(xué)生利用課余時間探究室溫下剛泡好的茶水達(dá)到最佳飲用口感的放置時間，每隔測量一次茶水溫度，得到茶水溫度隨時間變化的數(shù)據(jù)如下表：時間/min012345水溫/℃1009284.878.3272.4967.24設(shè)茶水溫度從100°C經(jīng)過后溫度變?yōu)椤鉉，現(xiàn)給出以下三種函數(shù)模型：①；②；③.(1)從上述三種函數(shù)模型中選出最符合上述實驗的函數(shù)模型，并根據(jù)前3組數(shù)據(jù)求出該解析式；(2)根據(jù)（1）中所求函數(shù)模型，求剛泡好的茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時間（精確到0.01）（參考數(shù)據(jù)：，）；93．（24-25高一上·貴州安順·期末）正值安順市創(chuàng)建全國文明城市之際，某單位積極倡導(dǎo)“環(huán)保生活，低碳出行”，其中電動汽車正成為人們購車的熱門選擇.某型號電動汽車，在一段平坦的國道進(jìn)行測試，國道限速.經(jīng)多次測試得到該汽車每小時耗電量（單位：）與速度（單位：）的數(shù)據(jù)如表所示：為了描述國道上該汽車每小時耗電量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：，，.(1)當(dāng)時，請選出你認(rèn)為最符合表格所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)現(xiàn)有一輛該型號汽車從地駛到地，前一段是的國道，后一段是的高速路，若已知高速路上該汽車每小時耗電量（單位：）與速度（單位：）的關(guān)系是：，則如何行駛才能使得總耗電量最少，最少為多少?94．（24-25高一上·云南大理·期末）在密閉培養(yǎng)環(huán)境中，某類細(xì)菌的繁殖在初期會較快，隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會減慢.在一次實驗中，檢測到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量（單位：百萬個）與培養(yǎng)時間（單位：小時）的關(guān)系如下表：236912153.23.53.844.14.2根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)畫出散點圖如下：為了描述從第2小時開始細(xì)菌數(shù)量隨時間變化的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：①；②；③.(1)選出你認(rèn)為最符合實際的函數(shù)模型，并說明理由；(2)請選取表格中的，兩組數(shù)據(jù)，求出你選擇的函數(shù)模型的解析式，并預(yù)測至少培養(yǎng)多少個小時，細(xì)菌數(shù)量達(dá)到5百萬個.95．（24-25高一上·重慶萬州·月考）有關(guān)部門在高速公路上對某型號電動汽車進(jìn)行測試，得到了該電動汽車每小時耗電量（單位：）與速度（單位：）的數(shù)據(jù)，如下表所示：607080901008.81113.616.620為描述該電動汽車在高速公路上行駛時每小時耗電量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下兩種函數(shù)模型供選擇：①；②.(1)請選擇你認(rèn)為最符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型（不需要說明理由），并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式.(2)現(xiàn)有一輛同型號電動汽車從A地出發(fā)經(jīng)高速公路（最低限速，最高限速）勻速行駛到距離為的B地，出發(fā)前汽車電池存量為，汽車到達(dá)B地后至少要保留的保障電量（假設(shè)該電動汽車從靜止加速到速度為的過程中消耗的電量與行駛的路程都忽略不計）.已知該高速公路上有一功率為的充電樁（充電量充電功率充電時間）.（i）求出行駛過程中，耗電量的函數(shù)解析式，并說明其單調(diào)性（不需證明）.（ii）若不充電，該電動汽車能否到達(dá)B地？并說明理由；若需要充電，求該電動汽車從A地到達(dá)B地所用時間（即行駛時間與充電時間之和）的最小值.

專題6.2向量基本定理、向量的坐標(biāo)表示及向量的應(yīng)用【清單01】共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa【清單02】平面向量基本定理如果是一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這個平面內(nèi)任意向量，有且只有一對實數(shù)，使.其中，不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．【點撥】(1)由平面向量基本定理可知，在平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線的方向分解成兩個向量的和，且這樣的分解是唯一的，同一個非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝λ1e1＋λ2e2，且λ1＝λ2＝0．(2)對于固定的e1，e2(向量e1與e2不共線)而言，平面內(nèi)任一確定的向量的分解是唯一的，但平面內(nèi)的基底卻不唯一，只要平面內(nèi)的兩個向量不共線，就可以作為基底，它有無數(shù)組．(3)定理推廣：平面內(nèi)任意三個不共線的向量中，任何一個向量都可表示為其余兩個向量的線性組合且形式唯一．【清單03】直線上向量的坐標(biāo)對于直線l上的任意一個向量a，一定存在唯一的實數(shù)x，使得a=xe，此時，x稱為向a的坐標(biāo).【清單04】直線上向量的運算與坐標(biāo)的關(guān)系1.直線上兩個向量相等的充要條件是它們的坐標(biāo)相等.2.如果u,v是兩個實數(shù)，x1,x2分別為向量a,b的坐標(biāo)，那么ua+vb的坐標(biāo)為ux1+vx2;ua-vb的坐標(biāo)為ux1-vx2;3.設(shè)A(x1)，B(x2)，則數(shù)軸上兩點之間的距離公式AB=|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|x2--x1|；中點坐標(biāo)公式【清單05】平面向量的坐標(biāo)1．平面向量的正交分解把一個平面向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解．2．平面向量的坐標(biāo)表示(1)基底：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底．(2)坐標(biāo)：對于平面內(nèi)的一個向量a，__有且只有一__對實數(shù)x、y，使得a＝xi＋yj，我們把有序?qū)崝?shù)對(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做向量a在y軸上的坐標(biāo)．(3)坐標(biāo)表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐標(biāo)表示．(4)特殊向量的坐標(biāo)：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．3．向量與坐標(biāo)的關(guān)系設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yi，則向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐標(biāo)(x，y)就是終點A的坐標(biāo)；反過來，終點A的坐標(biāo)就是向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐標(biāo)(x，y)．因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一有序?qū)崝?shù)對唯一表示．即以原點為起點的向量與實數(shù)對是一一對應(yīng)的．【清單06】平面向量上向量的運算與坐標(biāo)的關(guān)系1.設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，則有下表：文字描述符號表示加法兩個向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)減法兩個向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的差a－b＝(x1－x2，y1－y2)數(shù)乘實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的__相應(yīng)坐標(biāo)__λa＝(λx1，λy1)向量坐標(biāo)公式一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)2.向量的模：【清單07】平面直角坐標(biāo)系中兩點距離公式、中點坐標(biāo)公式設(shè)，A,B的中點M（x,y）,則，..【清單08】向量平行的坐標(biāo)表示平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，當(dāng)且僅當(dāng)__x1y2＝x2y1__時，a∥b．【點撥】兩個向量共線條件的三種表示方法已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)當(dāng)b≠0時，a＝λb．這是幾何運算，體現(xiàn)了向量a與b的長度及方向之間的關(guān)系．(2)x1y2－x2y1＝0．這是代數(shù)運算，用它解決向量共線問題的優(yōu)點在于不需要引入?yún)?shù)“λ”，從而減少未知數(shù)的個數(shù)，而且使問題的解決具有代數(shù)化的特點和，程序化的特征．(3)當(dāng)x2y2≠0時，eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)．即兩向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例，通過這種形式較易記憶向量共線的坐標(biāo)表示，而且不易出現(xiàn)搭配錯誤．【清單09】平面向量線性運算的應(yīng)用1．向量在平面幾何中的應(yīng)用向量在平面幾何中的應(yīng)用主要有以下方面：(1)證明線段相等、平行，常運用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時也用到向量減法的意義．(2)證明線段平行、三角形相似，判斷兩直線(或線段)是否平行，常運用向量平行(共線)的條件：a∥b?a＝λb(或x1y2－x2y1＝0)．（3）向量的坐標(biāo)法，對于有些平面幾何問題，如長方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示，通過代數(shù)運算解決幾何問題．【點撥】向量方法在平面幾何中應(yīng)用的幾點說明：(1)要證明兩線段平行，如AB∥CD，則只要證明存在實數(shù)λ≠0，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))成立，且AB與CD無公共點．(2)要證明A、B、C三點共線，只要證明存在一實數(shù)λ≠0，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))．2．向量在物理中的應(yīng)用數(shù)學(xué)中對物理背景問題主要研究下面兩類：(1)力向量力向量是具有大小、方向和作用點的向量，它與前面學(xué)習(xí)的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不計作用點的情況下，可用向量求和的平行四邊形法則，求兩個力的合力．(2)速度向量速度向量是具有大小和方向的向量，因而可用求向量和的平行四邊形法則，求兩個速度的合速度．【考點題型一】應(yīng)用共線向量定理證明點共線【例1】（2021秋·新疆喀什·高一?？计谀┤鐖D，在中，，，點是的中點，點在上，且，求證：、、三點共線.【答案】證明見解析【分析】用、為一組基底表示出、，即可得到，從而得證.【詳解】證明：設(shè)，，由已知點是的中點，點在上，且，，，、、三點共線.【變式1-1】（23-24高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知平面向量，不共線，，，，則（）A．三點共線 B．三點共線C．三點共線 D．三點共線【答案】D【知識點】平面向量共線定理證明點共線問題【分析】運用向量共線的判定先證明向量共線，再得到三點共線.【詳解】對于A，，與不共線，A不正確；對于B，，，則與不共線，B不正確；對于C，，，則與不共線，C不正確；對于D，，即，又線段AC與CD有公共點C，所以三點共線，D正確．故選：D．【變式1-2】（24-25高二上·重慶九龍坡·期中）若，，且向量，不共線，則一定共線的三點是（

）A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D【答案】A【知識點】平面向量共線定理證明點共線問題【分析】根據(jù)向量共線定理一一分析即可.【詳解】對A，，則共線，又因為有公共點，則A、B、D三點共線，故A正確；對B，因為，故不共線，則A、B、C三點不共線，故B錯誤；對C，因為，故不共線，則B、C、D三點不共線，故C錯誤；對D，，因為，故不共線，則A、C、D三點不共線，故D錯誤.故選：A.【變式1-3】（23-24高一下·四川瀘州·階段練習(xí)）已知平面向量，不共線，，，，則（

）A．A，B，C三點共線 B．A，B，D三點共線C．B，C，D三點共線 D．A，C，D三點共線【答案】B【知識點】平面向量共線定理證明點共線問題【分析】運用向量共線的判定先證明向量共線，再得到三點共線.【詳解】，,則不存在唯一，使得，故A錯誤.，，則.則，則，兩個向量由公共點.故A，B，D三點共線.故B正確.同理，,則不存在唯一，使得，故C也錯誤.，，則，則不存在唯一，使得，故D也錯誤.故選：B.【變式1-4】（23-24高一下·四川樂山·期末）已知是不共線的向量，且，則（

）A．三點共線 B．三點共線C．三點共線 D．三點共線【答案】B【知識點】由坐標(biāo)解決三點共線問題【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的共線的坐標(biāo)表示，列出方程組，即可求解.【詳解】因為向量是不共線的向量，且，對于A中，設(shè)，即，可得，此時方程組無解，所以三點不共線，所以A不正確；對于B中，設(shè)，且，可得，可得，解得，所以三點共線，所以B正確；對于C中，設(shè)，且，可得，可得，此時方程組無解，所以三點不共線，所以C不正確；對于D中，設(shè)，可得，可得，此時方程組無解，所以三點不共線，所以D不正確.故選：B.【考點題型二】應(yīng)用共線向量定理證明（向量）線平行【例2】（23-24高一下·全國·課堂例題）已知、是兩個不平行的向量，向量，，，(1)求證：；(2)判斷三點的位置關(guān)系.【答案】(1)證明見解析；(2)三點共線【知識點】平面向量共線定理證明點共線問題、平面向量共線定理證明線平行問題【分析】（1）求出，找到使成立的即可證明；（2）根據(jù)可知三點共線.【詳解】（1）證明：，因此，（2）由（1）知，又有公共點C，故三點共線.【變式2-1】（多選）（23-24高一下·山東泰安·開學(xué)考試）下列各組向量中，一定能推出的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】ABC【知識點】平面向量共線定理證明線平行問題【分析】根據(jù)共線向量定理，即可判斷選項.【詳解】A.，即，故A正確；B.，即，故B正確；C.，，則，故C正確；D.，，只有當(dāng)或，此時，否則，所以向量不平行，故D錯誤.故選：ABC【變式2-2】（22-23高一·全國·隨堂練習(xí)）判斷下列各小題中的向量，是否共線：(1)，；(2)，（其中兩個非零向量和不共線）；(3)，.【答案】(1)共線；(2)共線；(3)共線.【知識點】平面向量共線定理證明線平行問題、向量數(shù)乘的有關(guān)計算【分析】用向量共線定理判斷.【詳解】（1），，所以，所以，共線.（2），,所以，所以，共線.（3）因為，，所以，所以.所以，共線.【變式2-3】（22-23高一·全國·隨堂練習(xí)）已知，，求證：與共線.【答案】證明見解析【知識點】平面向量共線定理證明線平行問題、平面向量的混合運算【分析】根據(jù)向量的線性運算及共線定理證明.【詳解】因為，所以由共線向量定理知，與共線.【變式2-4】（23-24高一·上?！ふn堂例題）已知、、均為非零向量，其中的任意兩個向量都不平行，且與是平行向量，與是平行向量，求證：與是平行向量．【答案】證明見解析【知識點】平行向量（共線向量）、平面向量共線定理證明線平行問題【分析】借助共線向量的性質(zhì)推導(dǎo)即可得證.【詳解】由題意可設(shè)，，則有，而不共線，即有，即，則，故與是平行向量.【考點題型三】有向量共線（平行）求參數(shù)【例3】（24-25高三上·山東·期中）已知向量，不共線，，，若，，三點共線，則（

）A． B．. C．1 D．2【答案】D【知識點】已知向量共線（平行）求參數(shù)【分析】因為，，三點共線，則與共線，由此可以根據(jù)向量共線的性質(zhì)列出等式，進(jìn)而求出與的關(guān)系，最后得出的值.【詳解】由于，，三點共線，所以與共線.存在實數(shù)，使得，即.因為，不共線，根據(jù)向量相等的性質(zhì)，若，則.由，將其代入可得.故選：D.【變式3-1】（24-25高三上·浙江·期中）已知，是不共線的單位向量，若，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】已知向量共線（平行）求參數(shù)【分析】根據(jù)向量共線，得到，再結(jié)合條件，得到，即可求解.【詳解】因為，設(shè)，則，即，解得，故選：C.【變式3-2】（24-25高三上·浙江·期中）已知，是不共線的單位向量，若，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】已知向量共線（平行）求參數(shù)【分析】根據(jù)向量共線，得到，再結(jié)合條件，得到，即可求解.【詳解】因為，設(shè)，則，即，解得，故選：C.【變式3-3】（2025·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知向量不共線，，其中，若三點共線，則的最小值為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【知識點】已知向量共線（平行）求參數(shù)、基本不等式求和的最小值【分析】根據(jù)向量共線定理和基本不等式即可求解.【詳解】因為三點共線，所以存在實數(shù)k，使，即，又向量不共線，所以，由，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取“=”號，故選：B【變式3-4】（24-25高三上·江蘇南通·期中）在中，，，，.若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】已知向量共線（平行）求參數(shù)、用基底表示向量【分析】以為基底表示向量，因為，則，建立與的等量關(guān)系，求解即可.【詳解】因為，，所以，又，所以，則，解得：，.故選：C【考點題型四】用基底表示向量【例4】（24-25高二上·貴州貴陽·期中）如圖，在中，是邊BC的中點，是AM上一點，且，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【知識點】用基底表示向量【分析】根據(jù)向量的線性運算求解即可.【詳解】因為是上一點，可設(shè)，由題意知所以解得，所以，故選：A.【變式4-1】（2024高二下·福建·學(xué)業(yè)考試）如圖，已知平行四邊形ABCD，，E為CD中點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】用基底表示向量【分析】根據(jù)平面向量的線性運算求解即可.【詳解】.故選：D.【變式4-2】（24-25高三上·湖北·期中）在中，點，分別為，邊上的中點，點滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】向量加法法則的幾何應(yīng)用、向量的線性運算的幾何應(yīng)用、用基底表示向量【分析】根據(jù)給定條件，利用向量加法及數(shù)乘向量運算求解即得.【詳解】依題意，，而，所以故選：D【變式4-3】（24-25高三上·河南三門峽·期中）如圖，平行四邊形ABCD中，，若，則（

）

A． B．C． D．【答案】C【知識點】用基底表示向量【分析】根據(jù)條件，結(jié)合圖形，利用向量的線性運算，即可求出結(jié)果.【詳解】因為四邊形為平行四邊形，且，，所以，即①，又，即②，由①②得到，又，，所以.故選：C.【變式4-4】（24-25高一下·全國·隨堂練習(xí)）如圖所示，已知在平行四邊形中，E，F(xiàn)分別是，邊上的中點.若，，試以為一組基表示，【答案】【知識點】平面向量基本定理的應(yīng)用【分析】直接利用平行四邊形法則和三角形法則求解．【詳解】解：由于在中，，分別是，邊上的中點，則，，故答案為；，．【考點題型五】平面向量基本定理的應(yīng)用【例5】（2024高一·全國·專題練習(xí)）如圖，在△ΟAB中，，，F(xiàn)是OA中點，線段OE與BF交于點G，試用基底表示．【答案】【知識點】用基底表示向量、平面向量基本定理的應(yīng)用【分析】根據(jù)平面向量基本定理和共線定理，建立方程組解出參數(shù)，即可得出結(jié)論．【詳解】由點O，G，E共線，設(shè)，易得．由點共線，設(shè)，所以，即．①所以，所以，即，解得，所以．【變式5-1】（2019·山東濱州·二模）在中，為的重心，為上一點，且滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】向量加法的法則、用基底表示向量、平面向量基本定理的應(yīng)用【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合向量的加法和減法即可判斷結(jié)論．【詳解】由題意，畫出幾何圖形如下圖所示：根據(jù)向量加法運算可得,因為G為的重心，所以.又M滿足，即.所以.故選：D.【變式5-2】（多選）（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）在中，在邊上，，是的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】CD【知識點】用基底表示向量、平面向量基本定理的應(yīng)用【分析】根據(jù)向量的線性運算判斷各選項的準(zhǔn)確性.【詳解】如圖：對A：，故A錯誤；對B：，故B錯誤；對C：，故C正確；對D：，故D正確.故選：CD【變式5-3】（23-24高一·上海·課堂例題）如圖，在中，已知D是的中點，G是的重心，設(shè)向量，向量．試用向量、分別表示向量、、．【答案】；；【知識點】向量的線性運算的幾何應(yīng)用、用基底表示向量、平面向量基本定理的應(yīng)用【分析】由平面向量的線性運算，結(jié)合平面向量的基本定理求解即可．【詳解】解：在中，已知是的中點，是的重心．又向量，向量．則；；．【變式5-4】（2023·高一課時練習(xí)）設(shè),是不平行的向量，且，．(1)證明：,是平面向量的一個基；(2)用,的線性組合表示．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平面向量共線定理解決即可；（2）根據(jù)平面向量基本定理解決即可.【詳解】（1）證明：若,平行，則，即，所以．因為,不平行，所以，因為該方程組無解，所以，平行不成立，所以，不平行，所以，是平面向量的一個基．（2）設(shè)，又因為，由向量基本定理，得，解得所以．【考點題型六】利用平面向量基本定理求參數(shù)【例6】（22-23高一下·山東·階段練習(xí)）在中，過重心E任作一直線分別交AB，AC于M，N兩點，設(shè)，，（，），則的最小值是.【答案】【知識點】平面向量基本定理的應(yīng)用、平面向量共線定理的推論、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用平面向量基本定理及共線向量定理的推論求出的關(guān)系，再利用基本不等式求出最小值.【詳解】在中，點為重心，則，而點共線，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值是.故答案為：【變式6-1】（21-22高一下·江蘇揚州·期中）在中，為的中點，為的中點，若，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【知識點】向量加法法則的幾何應(yīng)用、向量的線性運算的幾何應(yīng)用、用基底表示向量、利用平面向量基本定理求參數(shù)【分析】由向量的線性運算結(jié)合圖形特征，求出的值即可.【詳解】在中，為的中點，為的中點，則，所以，.故選：B【變式6-2】（23-24高一下·北京通州·期中）如圖，在中，是AB的中點，是延長線上一點，且，若，則的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【知識點】平面向量基本定理的應(yīng)用、用基底表示向量、向量的線性運算的幾何應(yīng)用【分析】根據(jù)平面向量的線性運算可得結(jié)果.【詳解】因為，所以為的中點，又D是AB的中點，所以，則，.故選：B.【變式6-3】（22-23高一下·山東·階段練習(xí)）在中，，P是直線BN上的一點，若，則實數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】平面向量基本定理的應(yīng)用、平面向量共線定理的推論【分析】根據(jù)給定條件，利用共線向量定理的推論列式計算即得.【詳解】由，得，則，而三點共線，則，所以.故選：B【變式6-4】（24-25高三上·湖南常德·階段練習(xí)）如圖，在中，是邊的中點，是上一點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】向量加法的法則、平面向量基本定理的應(yīng)用【分析】設(shè)，根據(jù)圖形由向量的加法法則運算即可；【詳解】設(shè)，因為是邊的中點，所以，所以，，又，所以，解得，故選：B.【考點題型七】向量的坐標(biāo)運算【例7】（22-23高一下·全國·課后作業(yè)）設(shè)D是所在平面內(nèi)一點，，設(shè)，，則在基下的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】用坐標(biāo)表示平面向量、用基底表示向量、平面向量的混合運算【分析】根據(jù)平面向量線性運算法則及平面向量基本定理計算可得.【詳解】因為，所以，所以，因此向量在基下的坐標(biāo)為.故選：D.【變式7-1】（23-24高一下·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】平面向量線性運算的坐標(biāo)表示【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示運算求解.【詳解】因為，所以.故選：C.【變式7-2】（22-23高一下·全國·課后作業(yè)）已知，則下面說法正確的是（

）A．A點的坐標(biāo)是 B．B點的坐標(biāo)是C．當(dāng)B點是原點時，A點的坐標(biāo)是 D．當(dāng)A點是原點時，B點的坐標(biāo)是【答案】D【知識點】用坐標(biāo)表示平面向量【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運算逐項判斷即可.【詳解】由平面向量的坐標(biāo)表示可知，當(dāng)A點是原點時，B點的坐標(biāo)是.故選：D.【變式7-3】（17-18高一下·湖南岳陽·期末）已知中，，，對角線、交于點，則的坐標(biāo)為（

）.A． B． C． D．【答案】B【知識點】平面向量線性運算的坐標(biāo)表示【分析】根據(jù)平行四邊形法則可得，根據(jù)即可得結(jié)果.【詳解】∵，，根據(jù)平行四邊形法則可得，則，故選：B.【變式7-4】（23-24高一下·全國·單元測試）已知，，求：(1)；(2).【答案】(1)(2)【知識點】平面向量線性運算的坐標(biāo)表示【分析】（1）（2）由向量線性運算的坐標(biāo)運算，即可得到結(jié)果..【詳解】（1）因為，，所以.（2）因為，，所以.【考點題型八】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求參數(shù)【例8】（24-25高一上·上?！卧獪y試）已知，，且點P在的延長線上，使，則點P的坐標(biāo)為.【答案】【知識點】平面向量線性運算的坐標(biāo)表示、由向量線性運算結(jié)果求參數(shù)【分析】由題意得，設(shè)點，結(jié)合已知即可列方程組求解.【詳解】因為點P在的延長線上，使，所以，設(shè)點，而，所以，解得.故答案為：.【變式8-1】（23-24高一下·新疆·期中）已知，，若，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【知識點】平面向量線性運算的坐標(biāo)表示、由向量線性運算結(jié)果求參數(shù)【分析】由平面向量加法的坐標(biāo)運算求解即可．【詳解】已知向量，，則，解得．故選：B．【變式8-2】（19-20高一下·北京·期末）已知向量，，若，則實數(shù)的值為（

）A．-4 B．4 C．-1 D．1【答案】C【知識點】平面向量線性運算的坐標(biāo)表示【解析】可求出，從而可得出，解出的值即可.【詳解】由題意，向量，，所以，可得，解得.故選：C.【變式8-3】（多選）（23-24高一下·四川綿陽·期中）點，向量，，點是線段的三等分點，則點坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】AD【知識點】平面向量線性運算的坐標(biāo)表示、由向量線性運算結(jié)果求參數(shù)【分析】結(jié)合向量的坐標(biāo)運算，并分類討論，即可求解.【詳解】設(shè)點坐標(biāo)為，因為向量，，則，，當(dāng)點為靠近點的三等分點時，則，故，解得：，，故點坐標(biāo)為，當(dāng)點為靠近點的三等分點時，則，故，解得：，，故點坐標(biāo)為，故選：AD【變式8-4】（23-24高一下·上海靜安·期末）已知平面上兩點的坐標(biāo)分別是是直線上的一點，且，則點的坐標(biāo)是．【答案】【知識點】由向量線性運算結(jié)果求參數(shù)【分析】根據(jù)向量線性運算的坐標(biāo)表示可求的坐標(biāo).【詳解】設(shè)，則，故，即，解得，故點的坐標(biāo)為.故答案為：.【考點題型九】向量共線的坐標(biāo)判斷【例9】（23-24高一下·湖南永州·階段練習(xí)）已知，，三點的坐標(biāo)分別為，，，且，．(1)求點，的坐標(biāo)(2)判斷與是否共線．【答案】(1)，(2)共線【知識點】由坐標(biāo)判斷向量是否共線、由向量線性運算結(jié)果求參數(shù)、平面向量線性運算的坐標(biāo)表示【分析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運算列方程組求出坐標(biāo)；（2）根據(jù)向量的坐標(biāo)表示判斷向量的共線.【詳解】（1）依題意得，．設(shè)，由，可知，即解得點的坐標(biāo)為由，可知，即解得點的坐標(biāo)為．（2）由（1）可知，又，，故與共線．【變式9-1】（23-24高一下·海南省直轄縣級單位·期末）下列各組向量中，可以作為基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【知識點】基底的概念及辨析、由坐標(biāo)判斷向量是否共線【分析】根據(jù)向量的共線與否，即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】對于A，與共線，所以不能作為基底，故A錯誤，對于B，，故兩向量共線，B錯誤，對于C，，，，兩向量不共線，故可作為基底，C正確，對于D，，兩向量共線，D錯誤，故選：C【變式9-2】（24-25高一下·全國·隨堂練習(xí)）下列各組向量中，不共線的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【知識點】由坐標(biāo)判斷向量是否共線【分析】根據(jù)平面向量共線的充要條件進(jìn)行判斷．【詳解】A．，共線，不符合題意；B．，共線，不符合題意；C．不存在一個實數(shù)使得，不共線，符合題意；D．，共線，不符合題意；故選：C．【變式9-3】（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期中）下列向量中與共線的是（

）．A． B． C． D．【答案】B【知識點】由坐標(biāo)判斷向量是否共線【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示逐項判斷.【詳解】對于A，，所以不共線，A錯誤；對于B，，所以共線，B正確；對于C，，所以不共線，C錯誤；對于D，，所以不共線，D錯誤.故選：B【變式9-4】（2024高一下·全國·專題練習(xí)）下列各組向量是平行向量的有．(填序號)①；②；③；

④.【答案】①【知識點】由坐標(biāo)判斷向量是否共線【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)公式逐一判斷即可.【詳解】對于①，因為，所以；對于②，因為，所以不平行；對于③，因為，所以不平行；對于④，因為，所以不平行.故答案為：①.【考點題型十】利用向量共線（平行）求參數(shù)【例10】（23-24高一下·廣東茂名·期中）已知點，點在線段AB上，且，則點的坐標(biāo)為.【答案】【知識點】線段的定比分點、平面向量有關(guān)概念的坐標(biāo)表示【分析】由題意轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)坐標(biāo)表示向量，即可求解.【詳解】設(shè)，因為點在線段AB上，且，即，所以，即，解得：，，即點的坐標(biāo)為.故答案為：【變式10-1】（21-22高一下·江蘇鹽城·期中）已知向量，，．若，則．【答案】5【知識點】由向量共線（平行）求參數(shù)、平面向量線性運算的坐標(biāo)表示【分析】根據(jù)給定條件，求出向量的坐標(biāo)，再借助向量共線的坐標(biāo)表示計算作答.【詳解】向量，，，則，因，則有，解得，所以.故答案為：5【變式10-2】（22-23高一下·江蘇揚州·期中）已知點，，且，則點P的坐標(biāo)為．【答案】【知識點】用坐標(biāo)表示平面向量、平面向量線性運算的坐標(biāo)表示、由向量共線（平行）求參數(shù)【分析】設(shè)，由得到方程組，求出，得到答案.【詳解】設(shè)，則由得，所以，解得，故點P的坐標(biāo)為.故答案為：【變式10-3】（21-22高三上·陜西延安·階段練習(xí)）已知向量，且，則實數(shù)的值為.【答案】/【知識點】由向量共線（平行）求參數(shù)【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示列出方程式，解得.【詳解】因為，，且，所以，得.故答案為：.【變式10-4】（23-24高一下·甘肅白銀·階段練習(xí)）設(shè)，是兩個不共線的向量，，，．(1)求證：三點共線；(2)試確定的值，使與共線．【答案】(1)證明見解析.(2).【知識點】已知向量共線（平行）求參數(shù)、平面向量共線定理證明點共線問題【分析】（1）證明和共線即可證三點共線；（2）由向量共線定理求解即可．【詳解】（1）由題意，且，所以,所以和共線，故三點共線.（2）因為與共線，所以存在實數(shù)，使得，又因為不共線，所以，解得或.所以.【考點題型十一】坐標(biāo)運算與三點共線問題【例11】（23-24高一下·上?！て谥校┮阎獮樽鴺?biāo)原點，向量，，，若，，三點共線，且，求實數(shù)，的值．【答案】或【知識點】由坐標(biāo)解決三點共線問題、由向量共線（平行）求參數(shù)、平面向量線性運算的坐標(biāo)表示【分析】根據(jù)已知條件及向量的線性運算，利用向量平行的條件即可求解.【詳解】因為向量，，，所以，,因為，，三點共線，所以平行，所以，即，將代入中，得或.【變式11-1】（23-24高一下·山東濱州·期末）已知點，，，若A，B，C三點共線，則x的值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【知識點】由坐標(biāo)解決三點共線問題、由向量共線（平行）求參數(shù)【分析】運用向量共線可解．【詳解】若A，B，C三點共線，則共線.即，則.故選：C.【變式11-2】（24-25高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知向量，，且實數(shù)，若A，B，C三點共線．則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【知識點】平面向量線性運算的坐標(biāo)表示、由向量共線（平行）求參數(shù)、由坐標(biāo)解決三點共線問題【分析】由三點共線轉(zhuǎn)化為兩個向量共線，即共線，由向量共線的坐標(biāo)表示計算．【詳解】，，因為A，B，C三點共線，所以，則，解得或，，.故選：D.【變式11-3】（23-24高一下·北京·期中）若三點共線，則實數(shù)的值為.【答案】5【知識點】由坐標(biāo)解決三點共線問題、由向量共線（平行）求參數(shù)【分析】由共線即可列方程求解.【詳解】因為，所以，而三點共線，所以共線，所以，解得.故答案為：5.【變式11-4】（23-24高一·上?！ふn堂例題）已知為坐標(biāo)原點，在中，向量，，且，，．求、、三點的坐標(biāo)，并判斷、、三點是否共線．【答案】，，，、、三點共線【知識點】由坐標(biāo)解決三點共線問題、平面向量線性運算的坐標(biāo)表示【分析】根據(jù)平面向量線性運算的坐標(biāo)運算表示出，，，即可求出、、三點的坐標(biāo)，再求出，，即可判斷三點共線.【詳解】因為，，則，所以；又，，則，所以；又，所以；因為，，所以，即，又直線與直線有公共點，所以、、三點共線.【考點題型十二】向量的線性運算應(yīng)用--幾何【例12】（23-24高一·上?！ふn堂例題）在中，已知點分別是三角形的外心、重心和垂心．求證：、、三點共線．（此直線稱為歐拉線）【答案】證明見解析【知識點】平面向量共線定理證明點共線問題、向量在幾何中的其他應(yīng)用【分析】法一：作的外接圓，連接，并延長交外接圓于點，作中線，連接，設(shè)交于點，根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形為平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)可得為的重心，即與重合，即可證明；法二：由平面向量線性運算及三角形重心的性質(zhì)證明即可．【詳解】方法一：證明：作的外接圓，連接，并延長交外接圓于點，作中線，連接，設(shè)交于點，如圖所示，因為為直徑，所以，則，又因為點為的垂心，所以，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為是中點，是中點，所以，，所以，，所以，則，又為的中線，所以點是的重心，即點和點重合，所以、、三點共線．方法二：由法一得，四邊形為平行四邊形，所以，所以，因為點為的重心，所以，所以，即，由，，得，所以、、三點共線．【變式12-1】（19-20高一下·全國·課后作業(yè)）四邊形是正方形，P是對角線DB上一點(不包括端點)，E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，且四邊形是矩形，試用向量法證明：.【答案】證明見解析.【知識點】向量在幾何中的其他應(yīng)用、用向量解決線段的長度問題【分析】根據(jù)給定條件，建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示推理計算即得.【詳解】在正方形中，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為1，則，由P是對角線DB上一點(不包括端點)，令，而，則，即，由四邊形是矩形，得，因此，則，，于是，所以.【變式12-2】（22-23高一·全國·隨堂練習(xí)）用向量的方法證明：梯形的中位線等于兩底和的一半．【答案】證明見解析【知識點】用向量解決線段的長度問題【分析】利用向量加法法則，結(jié)合梯形的特征用兩底邊所表示向量表示出中位線所表示向量，即可證結(jié)論.【詳解】如下圖，梯形ABCD中，且為中位線，則，，又，所以，又同向，所以所以梯形的中位線等于兩底和的一半.

【變式12-3】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）如圖，設(shè)P、Q分別是梯形的對角線與的中點，求證：.【答案】證明見解析【知識點】平面向量共線定理證明線平行問題、向量減法的運算律、向量加法的運算律【分析】根據(jù)梯形特征得出向量關(guān)系再結(jié)合向量加減法，得出向量的數(shù)乘關(guān)系可以