清單05三角函數(shù)（14個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】任意角是第一象限角，所以是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第四象限角，所以【清單02】弧度制1、弧度制的定義長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1（單位可以省略不寫）．2、角度與弧度的換算弧度與角度互換公式：1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad）3、弧長(zhǎng)公式：（是圓心角的弧度數(shù)），扇形面積公式：．【清單03】三角函數(shù)定義及象限正負(fù)設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與半徑是的圓交于點(diǎn)，則，那么：（1）做的正弦，記做，即；（2）叫做的余弦，記做，即；（3）叫做的正切，記做，即．三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：【清單04】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及變形（1）平方關(guān)系：（2）商數(shù)關(guān)系：變形1、平方關(guān)系式的變形：，，變形2、商數(shù)關(guān)系式的變形，．【清單05】誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式一～三可用口訣“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”記憶，其中“函數(shù)名不變”是指等式兩邊的三角函數(shù)同名，“符號(hào)”是指等號(hào)右邊是正號(hào)還是負(fù)號(hào)，“看象限”是指把看成銳角時(shí)原三角函數(shù)值的符號(hào)．誘導(dǎo)公式四可用口訣“函數(shù)名改變，符號(hào)看象限”記憶，“函數(shù)名改變”是指正弦變余弦，余弦變正弦，為了記憶方便，我們稱之為函數(shù)名變?yōu)樵瘮?shù)的余名三角函數(shù)．“符號(hào)看象限”同上．因?yàn)槿我庖粋€(gè)角都可以表示為的形式，所以這六組誘導(dǎo)公式也可以統(tǒng)一用“口訣”：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，意思是說角（為常整數(shù)）的三角函數(shù)值：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變，然后的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)視為銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)．誘導(dǎo)公式一：，，，其中誘導(dǎo)公式二：，，，其中誘導(dǎo)公式三：，，，其中誘導(dǎo)公式四：，．，，其中【清單06】利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟用誘導(dǎo)公式可將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，其一般方向是：①化負(fù)角的三角函數(shù)為正角的三角函數(shù)；②化為內(nèi)的三角函數(shù)；③化為銳角的三角函數(shù)．可概括為：“負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了”（有時(shí)也直接化到銳角求值）．【清單07】正弦函數(shù)圖象（1）定義：正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線．（2）圖象用三角函數(shù)圖象解三角不等式的方法1、作出相應(yīng)正弦函數(shù)或余弦函數(shù)在上的圖象；2、寫出適合不等式在區(qū)間上的解集；3、根據(jù)公式一寫出不等式的解集．【清單08】正弦型函數(shù)的性質(zhì)．函數(shù)與函數(shù)可看作是由正弦函數(shù)，余弦函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，因此它們的性質(zhì)可由正弦函數(shù)，余弦函數(shù)類似地得到：（1）定義域：（2）值域：（3）單調(diào)區(qū)間：求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過解不等式的方法去解答，即把視為一個(gè)“整體”，分別與正弦函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間對(duì)應(yīng)解出，即為所求的單調(diào)遞增（減）區(qū)間．比如：由解出的范圍所得區(qū)間即為增區(qū)間，由解出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間．（4）奇偶性：正弦型函數(shù)不一定具備奇偶性．對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)為偶函數(shù)．【清單09】余弦型函數(shù)的性質(zhì)．函數(shù)可看作是由余弦函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，因此它們的性質(zhì)可由余弦函數(shù)類似地得到：（1）定義域：（2）值域：（3）單調(diào)區(qū)間：求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過解不等式的方法去解答，即把視為一個(gè)“整體”，余弦函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間對(duì)應(yīng)解出，即為所求的單調(diào)遞增（減）區(qū)間．（4）奇偶性：余弦型函數(shù)不一定具備奇偶性，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)為奇函數(shù)．（5）周期：函數(shù)的周期與解析式中自變量的系數(shù)有關(guān)，其周期為．（6）對(duì)稱軸和對(duì)稱中心與正弦函數(shù)比較可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值（或最小值），因此函數(shù)的對(duì)稱軸由解出，其對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，即對(duì)稱中心為．同理，的對(duì)稱軸由解出，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)由解出．【清單10】正切函數(shù)的性質(zhì)1、定義域：2、值域：由正切函數(shù)的圖象可知，當(dāng)且無限接近于時(shí)，無限增大，記作（趨向于正無窮大）；當(dāng)，無限減小，記作（趨向于負(fù)無窮大）．也可以從單位圓上的正切線來考慮．因此可以取任何實(shí)數(shù)值，但沒有最大值和最小值．稱直線，為正切函數(shù)的漸進(jìn)線．3、周期性：周期函數(shù)，最小正周期是4、奇偶性：奇函數(shù)，即．5、單調(diào)性：在開區(qū)間，內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增【清單11】三角恒等變換兩角和的余弦公式：兩角和正弦函數(shù)兩角差的正弦函數(shù)兩角和與差的正切函數(shù)，二倍角的正弦、余弦、正切公式公式的逆用；．．．公式的變形；降冪公式：升冪公式：【清單12】輔助角公式形如的三角函數(shù)式的變形：令，，則（其中角所在象限由的符號(hào)確定，角的值由確定，或由和共同確定．）【清單13】圖像變換由得圖象通過變換得到的圖象1、振幅變換：，（且）的圖象可以看作把正弦曲線上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（）或縮短（）到原來的倍得到的（橫坐標(biāo)不變），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的圖象，再以軸為對(duì)稱軸翻折，稱為振幅．2、周期變換：函數(shù)，（且）的圖象，可看作把正弦曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短或伸長(zhǎng)到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）．若則可用誘導(dǎo)公式將符號(hào)“提出”再作圖．決定了函數(shù)的周期．3、相位變換：函數(shù)，（其中）的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點(diǎn)向左（當(dāng)時(shí)）或向右（當(dāng)時(shí)）平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度而得到．（用平移法注意講清方向：“左加右減”）．【考點(diǎn)題型一】角α/n所在象限的研究技巧：已知的范圍，確定的范圍，一般應(yīng)先將的范圍用不等式表示，然后再兩邊同除以，根據(jù)的取值進(jìn)行分類討論，以確定的范圍，討論角的范圍時(shí)要做到不重不漏，尤其對(duì)象限界角應(yīng)引起注意．【例1】設(shè)是第一象限的角，則所在的象限為（

）A．第一象限 B．第三象限C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限【答案】C【分析】根據(jù)是第一象限的角，求出的范圍判斷即可得解.【詳解】因?yàn)槭堑谝幌笙薜慕牵?，，所以，?dāng)時(shí)，，為第一象限角；當(dāng)時(shí)，，為第三象限角.故選：C【變式1-1】若角是第二象限角，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角【答案】C【分析】根據(jù)第二象限角的范圍確定半角的范圍即可.【詳解】由題意可知，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，終邊為第一象限角平分線，終邊為縱軸正半軸，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，終邊為第三象限角平分線，終邊為縱軸負(fù)半軸，即的終邊落在直線及軸之間，即第一或第三象限.故選：C.【變式1-2】設(shè)是第二象限角，則的終邊在（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限【答案】D【分析】由，得到，對(duì)k賦值判斷.【詳解】解：因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，，?dāng)時(shí)，，在第一象限；當(dāng)時(shí)，，在第二象限；當(dāng)時(shí)，，在第四象限；故選：D【變式1-3】已知為第三象限角，則為第（

）象限角.A．二或四 B．三或四 C．一或二 D．二或三【答案】A【分析】根據(jù)為第三象限角得到的取值范圍，進(jìn)而可得的范圍，即可求解.【詳解】因?yàn)闉榈谌笙藿?，所以所以?dāng)為偶數(shù)時(shí)，記,所以所以為第二象限角，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，記,所以所以為第四象限角，所以為第二或第四象限角，故選:A.【變式1-4】已知角第二象限角，且，則角是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【分析】由是第二象限角，知在第一象限或在第三象限，再由，知，由此能判斷出所在象限．【詳解】因?yàn)榻堑诙笙藿?，所以，所以，?dāng)是偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則，此時(shí)為第一象限角；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，此時(shí)為第三象限角.；綜上所述：為第一象限角或第三象限角，因?yàn)?，所以，所以為第三象限角．故選：C．【考點(diǎn)題型二】區(qū)域角的表示技巧：區(qū)域角的寫法可（1）按逆時(shí)針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；（2）由小到大分別標(biāo)出起始、終止邊界對(duì)應(yīng)的一個(gè)角，，寫出所有與，終邊相同的角；（3）用不等式表示區(qū)域內(nèi)的角，組成集合．【例2】集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】對(duì)分奇偶，結(jié)合終邊相同的角的定義討論判斷即可【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣，故選：C．【變式2-1】集合中的角所表示的范圍（陰影部分）是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】分奇偶討論，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,所以選項(xiàng)C滿足題意.故選：C.【變式2-2】終邊在第四象限的角的集合是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)任意角的定義即可寫出答案.【詳解】終邊在第四象限的角的集合是或.故選：C.【變式2-3】集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°,k∈Z}中的角α的終邊在單位圓中的位置(陰影部分)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用賦值法來求得正確答案.【詳解】當(dāng)k＝2n，n∈Z時(shí),n360°＋45°≤α≤n360°＋90°，n∈Z；當(dāng)k＝2n＋1，n∈Z時(shí)，n360°＋225°≤α≤n360°＋270°，n∈Z.故選：C【變式2-4】若角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，則集合中的角的終邊在圖中的位置（陰影部分）是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】分是奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況進(jìn)行討論即可求解.【詳解】當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則有，角的終邊在介于角終邊所在的區(qū)域內(nèi)；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則有，角的終邊在介于角終邊所在的區(qū)域內(nèi)．故選：C．【考點(diǎn)題型三】扇形中的最值問題技巧：角度與弧度的換算弧度與角度互換公式：1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad）弧長(zhǎng)公式：（是圓心角的弧度數(shù)），扇形面積公式：．【例3】若扇形周長(zhǎng)為10，當(dāng)其面積最大時(shí)，其內(nèi)切圓的半徑r為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)出扇形半徑和圓心角，根據(jù)周長(zhǎng)得到方程，并表示出扇形面積，利用基本不等式求出最值，得到扇形的半徑和圓心角，從而結(jié)合三角函數(shù)得到，求出答案.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，則弧長(zhǎng)，故，則，故扇形面積為，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，此時(shí)，由對(duì)稱性可知，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，因?yàn)?，故，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則，在中，，即，解得.故選：B【變式3-1】如圖，已知扇形的周長(zhǎng)為，當(dāng)該扇形的面積取最大值時(shí)，弦長(zhǎng)（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，弧長(zhǎng)為，可得出，利用基本不等式可求得扇形面積的最大值及其對(duì)應(yīng)的的值，進(jìn)而可求出、，然后線段的中點(diǎn)，可得出，進(jìn)而可求得線段的長(zhǎng).【詳解】設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，弧長(zhǎng)為，則，，由可得，所以，扇形的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，扇形的面積最大，此時(shí)．因?yàn)?，則扇形的圓心角，取線段的中點(diǎn)，由垂徑定理可知，

因?yàn)?，則，所以，.故選：A.【變式3-2】設(shè)扇形的周長(zhǎng)為，則當(dāng)扇形的面積最大時(shí)，其圓心角的弧度數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】設(shè)扇形半徑為，由周長(zhǎng)求出弧長(zhǎng)為，根據(jù)扇形面積公式求出面積最大時(shí)的值，并由此算出圓心角的弧度數(shù)，或使用基本不等式利用半徑的二倍與弧長(zhǎng)的和為定值結(jié)合扇形面積公式進(jìn)行求解.【詳解】方法一：設(shè)扇形的半徑為（），則扇形的弧長(zhǎng)（），扇形的面積，（），由二次函數(shù)知識(shí)，當(dāng)（滿足）時(shí)，扇形的面積取最大值，此時(shí)，扇形的弧長(zhǎng)，扇形圓心角的弧度數(shù).方法二：設(shè)設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為（，），則扇形的周長(zhǎng)，由基本不等式，扇形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，扇形的圓心角的弧度數(shù).故選：B.【變式3-3】如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形，P是圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，且，Q是線段BC上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P固定時(shí)，點(diǎn)Q將運(yùn)動(dòng)到使取到最小值時(shí)的位置；當(dāng)點(diǎn)Q固定時(shí)，點(diǎn)P將運(yùn)動(dòng)到使取到最大值時(shí)的位置.當(dāng)某一時(shí)刻，點(diǎn)P，Q都不再運(yùn)動(dòng)，且滿足上述條件時(shí)，則（

）A． B． C．2 D．不存在【答案】A【分析】由題意點(diǎn)P，Q都不再運(yùn)動(dòng)，且滿足已知條件時(shí)，為的中點(diǎn)，且，則為的中點(diǎn)，連接交于，求出，即可得解.【詳解】當(dāng)點(diǎn)P固定時(shí)，點(diǎn)Q將運(yùn)動(dòng)到使取到最小值時(shí)的位置，此時(shí)，，則要使當(dāng)點(diǎn)P，Q都不再運(yùn)動(dòng)，且滿足題中兩個(gè)條件時(shí)，，且點(diǎn)離最遠(yuǎn)，則為的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，連接交于，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長(zhǎng)為的正方形，所以，為的中點(diǎn)，又因，為的中點(diǎn)，所以，，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以.故選：A.【變式3-4】已知一個(gè)扇形的周長(zhǎng)為8，則當(dāng)該扇形的面積取得最大值時(shí)，圓心角大小為（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)扇形面積公式及其基本不等式求出扇形面積取得最大值時(shí)的扇形半徑和弧長(zhǎng)，利用弧度數(shù)公式即可求出圓心角.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，由已知得，扇形面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，則圓心角，故選：D.【考點(diǎn)題型四】已知tanα的值，求關(guān)于sinα、cosα的齊次式的值問題技巧：①減少不同名的三角函數(shù)，或化切為弦，或化弦為切，如涉及、的齊次分式問題，常采用分子分母同除以（），這樣可以將被求式化為關(guān)于的式子，從而完成被求式的求值；②在求形如的值，注意將分母的1化為代入，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式后再求值．【例4】已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將弦的齊次分式化弦為切，代值計(jì)算即得.【詳解】，故選：D.【變式4-1】若，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，把問題轉(zhuǎn)化為“齊次式”求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：C【變式4-2】已知，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)齊次式，弦切互化即可求解.【詳解】∵，∴，∴，解得.故選：D.【變式4-3】已知，則（

）A．3 B．-3 C．2 D．-2【答案】B【分析】由已知可得，即可求值.【詳解】.故選：B.【變式4-4】已知角的終邊在直線上，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由角的終邊，得，由同角三角函數(shù)的關(guān)系得，代入求值即可.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊在直線上，所以.所以.故選：D.【考點(diǎn)題型五】sinα+cosα,sinα-cosα與sinα·cosα關(guān)系的應(yīng)用技巧：三角函數(shù)求值中常見的變形公式（1），，三個(gè)式子中，已知其中一個(gè)，可以求其他兩個(gè)，即“知一求二”，它們的關(guān)系是：；.（2）求或的值，要根據(jù)的范圍注意判斷它們的符號(hào)．【例5】若，，則（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合計(jì)算，并且需要分類討論．【詳解】且，，又，，解得：或，當(dāng)，則，則；當(dāng)，則（舍去）；故選：C．【變式5-1】已知是三角形的內(nèi)角，若，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將兩邊平方，求出，即可得到且，最后根據(jù)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，即，又是三角形的?nèi)角，所以，則，所以.故選：A【變式5-2】若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用與的關(guān)系，結(jié)合換元法求得，從而得解.【詳解】因?yàn)?，設(shè)，則，且，又，所以，即，即，所以，所以，即異號(hào)，所以.故選：B.【變式5-3】若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求出，判斷的范圍，確定，結(jié)合齊次式法求值求出，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，故，即，得，則，且，所以，所以，則，故，故選：B【變式5-4】已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合同角公式求出即可得解.【詳解】由，得，解得，由，得，則，于是，解得，所以.故選：C【考點(diǎn)題型六】誘導(dǎo)公式的應(yīng)用技巧：利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟（1）“負(fù)化正”：用公式一或三來轉(zhuǎn)化．（2）“大化小”：用公式一將角化為到間的角．（3）“小化銳”：用公式二或四將大于的角轉(zhuǎn)化為銳角．（4）“銳求值”：得到銳角的三角函數(shù)后求值．【例6】若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】.故選：C.【變式6-1】已知，，則為第幾象限角（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可根據(jù)象限角的性質(zhì)求解.【詳解】由，可得，，故為第三象限角，故選：C【變式6-2】若，則（

）A．或 B．或 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，將原式上下同時(shí)除以，化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】根據(jù)題意可知，所以，若，則，與矛盾故，將其上下同時(shí)除以，可得，化簡(jiǎn)可得，解之得或.故選：B【變式6-3】已知，關(guān)于等式，以下兩個(gè)命題：①對(duì)任意的，總存在，使得等式成立；②對(duì)任意的，總存在，使得等式成立.則下列判斷正確的是（

）A．①與②都正確 B．①正確，②不正確C．①不正確，②正確 D．①與②都不正確【答案】B【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值，舉例判斷即可.【詳解】①任意的，當(dāng)時(shí)，，，滿足，故①正確；②當(dāng)時(shí)，，，則不存在，使得等式成立，故②不正確.故選：B.【變式6-4】在有意義的前提下，下列各項(xiàng)與相等的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式和商數(shù)關(guān)系判斷．【詳解】故選：D．【考點(diǎn)題型七】解三角不等式問題技巧：用三角函數(shù)的圖象解（或）的方法（1）作出直線，作出（或）的圖象．（2）確定（或）的x值．（3）確定（或）的解集．【例7】已知函數(shù)，函數(shù)圖象與相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，若任意恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得周期為，根據(jù)周期公式可得.將不等式恒成立的范圍化為的解集的子集，即可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】，由題意可得相鄰最低點(diǎn)距離個(gè)周期，即，，由得：，，即，所以，，，即，，解得：.故選：C.【變式7-1】在上，函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】運(yùn)用正弦函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合圖象解題【詳解】在[0，2π]上，函數(shù)的定義域滿足，即，結(jié)合圖象，知道．故選：B.【變式7-2】已知函數(shù)．若在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用三角函數(shù)性質(zhì)，再進(jìn)行分情況討論，最后對(duì)得出的不同取值范圍取并集即可.【詳解】若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，則此時(shí)需要分情況討論:當(dāng)時(shí)，解得，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，可得.當(dāng)時(shí)，解得.又因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，可得，綜上可知，的取值范圍為故選：D.【變式7-3】已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若，，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用所給條件求出的最小正周期，再轉(zhuǎn)化到給定的函數(shù)值求范圍即可.【詳解】由，是定義在上的奇函數(shù)，可得f4+x=fx，故的最小正周期為4，且已知，故，，，已知，則，解得.故選：D【變式7-4】函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)可將問題轉(zhuǎn)化為，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】的定義域滿足，故，由于，所以，故，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)楣蔬x：C【考點(diǎn)題型八】正余弦函數(shù)的周期、奇偶、對(duì)稱單調(diào)問題技巧：正弦型函數(shù)的性質(zhì)．函數(shù)與函數(shù)可看作是由正弦函數(shù)，余弦函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，因此它們的性質(zhì)可由正弦函數(shù)，余弦函數(shù)類似地得到：（1）定義域：（2）值域：（3）單調(diào)區(qū)間：求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過解不等式的方法去解答，即把視為一個(gè)“整體”，分別與正弦函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間對(duì)應(yīng)解出，即為所求的單調(diào)遞增（減）區(qū)間．比如：由解出的范圍所得區(qū)間即為增區(qū)間，由解出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間．（4）奇偶性：正弦型函數(shù)不一定具備奇偶性．對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)為偶函數(shù)．余弦型函數(shù)的性質(zhì)．函數(shù)可看作是由余弦函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，因此它們的性質(zhì)可由余弦函數(shù)類似地得到：（1）定義域：（2）值域：（3）單調(diào)區(qū)間：求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過解不等式的方法去解答，即把視為一個(gè)“整體”，余弦函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間對(duì)應(yīng)解出，即為所求的單調(diào)遞增（減）區(qū)間．（4）奇偶性：余弦型函數(shù)不一定具備奇偶性，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)為奇函數(shù)．（5）周期：函數(shù)的周期與解析式中自變量的系數(shù)有關(guān)，其周期為．（6）對(duì)稱軸和對(duì)稱中心與正弦函數(shù)比較可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值（或最小值），因此函數(shù)的對(duì)稱軸由解出，其對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，即對(duì)稱中心為．同理，的對(duì)稱軸由解出，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)由解出．【例8】已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減且，(1)求的解析式；(2)求使成立的的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意先可以確定函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而得到的值，進(jìn)而代值計(jì)算，從而求解；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可.【詳解】（1）在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，∴fx的最小正周期，解得.，由“五點(diǎn)法”可知..（2）由（1）可知，，，解得，的取值范圍是.【變式8-1】設(shè)函數(shù)，(1)若將圖象向左平移個(gè)單位，再將平移后圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)，求在上的值域.(2)若，且，求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用三角恒等變換先化簡(jiǎn)，再利用三角函數(shù)的圖象變換求出，進(jìn)而求出指定區(qū)間上的值域.（2）由（1）求出，再由結(jié)合和角的余弦公式求解即可.【詳解】（1）依題意，，將圖象向左平移個(gè)單位，得，于是，當(dāng)時(shí)，，，則，所以在上的值域?yàn)?（2）由（1）知，由，得，由，得，則，.【變式8-2】已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，點(diǎn)，(1)求的解析式；(2)將的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，求在區(qū)間上的最值.【答案】(1)(2)最小值為，最大值為1【分析】（1）由圖象可得，代入求出，由，結(jié)合圖象可得，求出，求出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)伸縮和平移變換得到，整體法求出函數(shù)在上的最值.【詳解】（1）由圖象知.因?yàn)榈膱D象過點(diǎn)，所以，又，所以，所以.又的圖象過點(diǎn)，由“五點(diǎn)作圖法”可得，所以.所以.（2）由題意知，當(dāng)時(shí)，，所以，則，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為1.【變式8-3】已知向量.(1)若，且，求的值；(2)設(shè)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值以及相應(yīng)的的值.【答案】(1)(2)的最大值為，此時(shí)．【分析】（1）根據(jù)向量共線滿足的坐標(biāo)關(guān)系，即可得，結(jié)合同角關(guān)系即可求解，（2）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合三角恒等變換可得，即可利用整體法求解.【詳解】（1），，，，，，．（2）由題意得，，，故當(dāng)時(shí)，即，取最大值，的最大值為，此時(shí)．【變式8-4】已知函數(shù)，其中，.記的最小正周期為，.(1)求的值；(2)若與軸相鄰交點(diǎn)間的距離為，求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)的最小值為,的最大值為【分析】（1）首先利用和差公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再結(jié)合正弦型函數(shù)的周期性以及即可求得的值；（2）首先根據(jù)題意得出的最小正周期，進(jìn)而可得，再利用正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可求得最值.【詳解】（1）由兩角和與差的正弦公式可得,由于，則的最小正周期為，,因?yàn)?，所以；?）因?yàn)榕c軸相鄰的兩交點(diǎn)間的距離為，所以的最小正周期為，所以，即，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得：當(dāng)即x=0時(shí)，取最小值,當(dāng)即時(shí)，取最大值.【考點(diǎn)題型九】根據(jù)正余弦函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍問題技巧：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間：求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過解不等式的方法去解答，即把視為一個(gè)“整體”，分別與正弦函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間對(duì)應(yīng)解出，即為所求的單調(diào)遞增（減）區(qū)間．比如：由解出的范圍所得區(qū)間即為增區(qū)間，由解出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間．單調(diào)區(qū)間：求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過解不等式的方法去解答，即把視為一個(gè)“整體”，余弦函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間對(duì)應(yīng)解出，即為所求的單調(diào)遞增（減）區(qū)間．【例9】已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)既有最大值，又有最小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由條件求出的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)列不等式可求結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，，所以，由已知，或，所以或，所以的取值范圍?故選：B.【變式9-1】已知為偶函數(shù)，，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．B．若的最小正周期為，則C．若在區(qū)間0,π上有且僅有3個(gè)最值點(diǎn)，則的取值范圍為D．若，則的最小值為2【答案】D【分析】先根據(jù)是偶函數(shù)求判斷A選項(xiàng)；根據(jù)最小正周期公式計(jì)算可以判斷B選項(xiàng)；據(jù)有且僅有3個(gè)最值點(diǎn)求范圍判斷C選項(xiàng)；據(jù)函數(shù)值求參數(shù)范圍結(jié)合給定范圍求最值可以判斷D選項(xiàng).【詳解】為偶函數(shù)，則A選項(xiàng)正確；若的最小正周期為，由則，B選項(xiàng)正確；若在區(qū)間上有且僅有3個(gè)最值點(diǎn)，則,C選項(xiàng)正確；若，則或，，則或，又因?yàn)?，則的最小值為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:D.【變式9-2】函數(shù)在（）內(nèi)沒有最小值，且存在，使得，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】通過取特殊值排除驗(yàn)證即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，，不滿足存在，使得，故排除A,D當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，，，，，此時(shí)不滿足題意，故排除C綜上所述B正確故選：B【變式9-3】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，求出，由此可得的最大、最小值.【詳解】由函數(shù)的值域?yàn)?，得，得，，得，由定義域?yàn)?，所以，，所以的取值范圍?故選：D.

【變式9-4】已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合對(duì)稱性解得，對(duì)比選項(xiàng)檢驗(yàn)即可.【詳解】由題意可得：，解得，根據(jù)各選項(xiàng)，代入檢驗(yàn)知：當(dāng)取1時(shí)，，即只有選項(xiàng)C符合題意.故選：C.【考點(diǎn)題型十】正切函數(shù)的周期、奇偶、對(duì)稱單調(diào)問題技巧：1、定義域：2、值域：由正切函數(shù)的圖象可知，當(dāng)且無限接近于時(shí)，無限增大，記作（趨向于正無窮大）；當(dāng)，無限減小，記作（趨向于負(fù)無窮大）．也可以從單位圓上的正切線來考慮．因此可以取任何實(shí)數(shù)值，但沒有最大值和最小值．稱直線，為正切函數(shù)的漸進(jìn)線．3、周期性：周期函數(shù)，最小正周期是4、奇偶性：奇函數(shù)，即．5、單調(diào)性：在開區(qū)間，內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增【例10】已知函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)設(shè)函數(shù)，對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解不等式；（2）首先求函數(shù)的值域，再換元為函數(shù)，轉(zhuǎn)化為討論對(duì)稱軸與定義域的關(guān)系，求函數(shù)的最小值問題，即可求解.【詳解】（1）不等式，即，則，從而，解得，故不等式的解集為.（2）因?yàn)?，所以，所以，所以，?設(shè)，則.設(shè)函數(shù)，則.當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，解得，又，所以，即不符合題意.當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，解得，又，所以.當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，則，解得，又，所以.綜上，的取值范圍是.【變式10-1】設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域、最小正周期和單調(diào)區(qū)間；(2)求不等式的解集；(3)作出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖.【答案】(1)定義域是，最小正周期，單調(diào)增區(qū)間是（）.(2)；(3)答案見解析.【分析】（1）由整體代換即可求出正切函數(shù)的定義域，由周期公式可得最小正周期，由單調(diào)性解不等式可得單調(diào)增區(qū)間.（2）由（1）中的單調(diào)性解不等式，可得其解集.（3）利用五點(diǎn)作圖法即可得一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖.【詳解】（1）由，得（），∴的定義域是,∵，∴最小正周期，由（），得（）.∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（）.所以函數(shù)定義域是，最小正周期，單調(diào)增區(qū)間是（）.（2）由，得（）.解得（）.∴不等式的解集是.（3）令，則；令，則；令，則.∴函數(shù)的圖像與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是，在這個(gè)交點(diǎn)左、右兩側(cè)相鄰的兩條漸近線方程分別是，.從而得函數(shù)y=fx在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖如下：【變式10-2】已知函數(shù)（）的最小正周期為．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若，，求．【答案】(1)，(2)【分析】（1）借助正切函數(shù)的周期性可得的解析式，利用正切型函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可得；（2）借助同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得，結(jié)合誘導(dǎo)公式即可得解.【詳解】（1）由題可知，解得，所以，令，，可得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2），即，因?yàn)?，所以，所以，所以．【變?0-3】已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的最小正周期及其圖象的對(duì)稱中心.(2)若函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)遞增，求的取值范圍.(3)若函數(shù)在（且）上滿足“關(guān)于的方程在上至少存在2024個(gè)根”，且在所有滿足上述條件的中，的最小值不小于2024，求的取值范圍.【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）先寫出函數(shù)的解析式，進(jìn)而求出該函數(shù)的最小正周期和對(duì)稱中心；（2）由題意利用正切函數(shù)的單調(diào)性，求得的范圍；（3）由題意利用正切函數(shù)的周期性和零點(diǎn)，結(jié)合正切函數(shù)圖象的特點(diǎn)，求得的范圍．【詳解】（1）由于，且，所以的最小正周期為，令，求得，，故的圖象的對(duì)稱中心為，，．（2）若函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格遞增，則只需保證，求得，且，即的范圍為．（3）函數(shù)的最小正周期為，關(guān)于的方程在區(qū)間上至少存在2024個(gè)根，故當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程至少有2024個(gè)根，即關(guān)于的方程，，至少有2024個(gè)根，即當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程，，至少有2024個(gè)根．且在所有滿足上述條件的中，的最小值不小于2024，故至少包含2023個(gè)周期，即，所以．【變式10-4】設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域、最小正周期、漸近線及對(duì)稱中心；(2)解不等式.【答案】(1)，，，(2)【分析】（1）根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，采用整體代換的方法，即可求得答案；（2）結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式，即可求得答案.【詳解】（1）由題意知函數(shù)，令，則，故的定義域?yàn)?，最小正周期?令，即，故漸近線為；令，故對(duì)稱中心為；（2）由，得，故，即不等式的解集為【考點(diǎn)題型十一】給角求值、給值求值、給值求角問題技巧：給值求值的解題策略（1）已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系，適當(dāng)?shù)夭鸾桥c湊角．（2）由于和、差角與單角是相對(duì)的，因此解題過程中根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換．常見角的變換有：①；②；③；④．（1）給值求角問題的步驟．①求所求角的某個(gè)三角函數(shù)值．②確定所求角的范圍（范圍討論得過大或過小，會(huì)使求出的角不合題意或漏解），根據(jù)范圍找出角．【例11】已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由誘導(dǎo)公式求解．【詳解】，故選：B．【變式11-1】已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，若角的終邊過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，即可由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求解.【詳解】由題意可知，，故選：A【變式11-2】已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】同過誘導(dǎo)公式和同角三家函數(shù)間的基本關(guān)系，即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，故選：C.【變式11-3】已知，則的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)題意利用誘導(dǎo)公式可得，結(jié)合角的范圍分析求解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，可得，且，所以或.故選：AD.【變式11-4】若，，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式計(jì)算即得.【詳解】依題意，.故選：A【考點(diǎn)題型十二】輔助角公式的應(yīng)用技巧：通過應(yīng)用公式（或），將形如（不同時(shí)為零）收縮為一個(gè)三角函數(shù)（或）．這種恒等變形實(shí)質(zhì)上是將同角的正弦和余弦函數(shù)值與其他常數(shù)積的和變形為一個(gè)三角函數(shù)，這樣做有利于函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值等．【例12】已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用差角公式展開，再切化弦，借助輔助角公式和誘導(dǎo)公式計(jì)算即可.【詳解】．【變式12-1】若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用輔助角公式，二倍角公式及其誘導(dǎo)公式綜合化簡(jiǎn)求值即可【詳解】由于，代入原式中得：，解得：；又.故選：D【變式12-2】若函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助三角恒等變換公式可將原函數(shù)化為正弦型函數(shù)，結(jié)合正弦型函數(shù)的零點(diǎn)計(jì)算即可得解.【詳解】由，令，則，則由題意知，解得.故選：A.【變式12-3】已知函數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)與的關(guān)系，可采用換元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)最大值的求解問題，根據(jù)的范圍和二次函數(shù)性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】，，令，則，則，，即的最大值為.故選：A.【變式12-4】曲線與的交點(diǎn)中，與y軸最近的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先構(gòu)造關(guān)于x的三角方程，利用輔助角公式求得x的值，進(jìn)而求得與y軸最近的點(diǎn)的橫坐標(biāo).【詳解】由，可得，即，則，則，即，故取最小值時(shí)，.故選：B【考點(diǎn)題型十三】根據(jù)三角函數(shù)圖象求解析式技巧：確定函數(shù)（）的解析式的步驟（1）求A，B，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則，．（2）求，確定函數(shù)的周期，則．（3）求，常用方法有①代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入（此時(shí)要注意該點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上）或把圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入．②五點(diǎn)法：確定值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的特殊點(diǎn)作為突破口．【例13】已知函數(shù)，如圖，是直線與曲線y=fx的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)的位置特征，不妨令，，又，故，解得，在函數(shù)圖象上，代入計(jì)算，求出，從而求出.【詳解】令，解得或，是與曲線的兩個(gè)相鄰的交點(diǎn)，且在單調(diào)遞增區(qū)間上，在單調(diào)遞減區(qū)間上，在左邊，不妨設(shè)，，兩式相減得，又，故，所以，解得，故，又圖象可知，在函數(shù)圖象上，故，解得，所以.故選：C【變式13-1】已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將該函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=fx的圖象.若函數(shù)y=fx為奇函數(shù)，則的最小值是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合函數(shù)圖像求出函數(shù)的圖像距離原點(diǎn)最近的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可確定的值.【詳解】如圖設(shè)函數(shù)的部分圖像與軸的交點(diǎn)為，

由圖可知，所以，所以點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，則，解得，因?yàn)閷⒑瘮?shù)函數(shù)的圖象向左平移（）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=fx的圖象，且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以平移后的函數(shù)y=fx為奇函數(shù)，即相當(dāng)于把的圖象與軸最近的交點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)即可，由圖可知此點(diǎn)為，所以，故選：B.【變式13-2】函數(shù)的圖象如下，則其解析式可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】結(jié)合圖象可知，由此可判斷BCD不可能，結(jié)合函數(shù)周期說明A中圖象可能正確，即可得答案.【詳解】結(jié)合題意以及各選項(xiàng)可知A可為2，結(jié)合圖象可知，則對(duì)于B，，由此可判斷B中解析式不可能；對(duì)于C，，由此可