大二數(shù)學(xué)分析試卷及答案考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：100分班級(jí)：__________姓名：__________學(xué)號(hào)：__________得分：__________試卷名稱(chēng)：大二數(shù)學(xué)分析試卷考核對(duì)象：數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)大二學(xué)生題型分值分布：-單選題（10題，每題2分，共20分）-填空題（10題，每題2分，共20分）-判斷題（10題，每題2分，共20分）-簡(jiǎn)答題（3題，每題4分，共12分）-應(yīng)用題（2題，每題9分，共18分）總分：100分---一、單選題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在點(diǎn)x=0處連續(xù)的是（）。A.f(x)=|x|/xB.f(x)=sin(1/x)C.f(x)=e^(-1/x)D.f(x)={1,x≠0;0,x=0}2.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞增，則f(x)在[a,b]上的值域?yàn)椋ǎ?。A.[a,b]B.(a,b)C.[a,b)D.[a,b]∪(a,b)3.極限lim(x→∞)(x-sin(x)/x)的值為（）。A.0B.1C.∞D(zhuǎn).不存在4.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=c處可導(dǎo)，且f'(c)=2，則lim(h→0)[f(c+h)-f(c)]/h的值為（）。A.1B.2C.4D.05.下列級(jí)數(shù)中，收斂的是（）。A.∑(n=1→∞)1/nB.∑(n=1→∞)1/n^2C.∑(n=1→∞)sin(1/n)D.∑(n=1→∞)ln(n+1)-ln(n)6.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)等于（）。A.(f(b)-f(a))/(b-a)B.f(a)+f(b)/2C.0D.f(a)f(b)7.下列函數(shù)中，在x=0處可導(dǎo)的是（）。A.f(x)=x^2sin(1/x)B.f(x)=|x|^3C.f(x)=x^2ln|x|D.f(x)=e^(-1/x^2)8.若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積，則f(x)在[a,b]上的積分值（）。A.必定存在原函數(shù)B.必定為正C.可能不存在D.必定為09.下列級(jí)數(shù)中，絕對(duì)收斂的是（）。A.∑(n=1→∞)(-1)^n/nB.∑(n=1→∞)1/(n+1)^0.5C.∑(n=1→∞)cos(nπ)D.∑(n=1→∞)(-1)^n/n^210.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞減，則f(x)在[a,b]上的積分值為（）。A.f(a)∫f(b)B.f(b)∫f(a)C.f(a)+f(b)/2D.f(a)∫f(b)∫---二、填空題（每空2分，共20分）1.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=c處可導(dǎo)，且f'(c)=3，則lim(x→c)[f(x)-f(c)]/(x-c)的值為_(kāi)_____。2.極限lim(x→0)(sin(x)/x)的值為_(kāi)_____。3.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則根據(jù)微積分基本定理，f(x)在[a,b]上的積分值為_(kāi)_____。4.級(jí)數(shù)∑(n=1→∞)1/n^p收斂的條件是______。5.若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積，則根據(jù)黎曼積分的定義，f(x)在[a,b]上的積分值等于______的極限。6.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=c處可導(dǎo)，且f'(c)=2，則根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，lim(h→0)[f(c+h)-f(c)]/h的值為_(kāi)_____。7.級(jí)數(shù)∑(n=1→∞)(-1)^n/n^2的斂散性為_(kāi)_____。8.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞增，則f(x)在[a,b]上的值域?yàn)開(kāi)_____。9.若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積，則根據(jù)定積分的性質(zhì)，f(x)在[a,b]上的積分值等于______的極限。10.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則根據(jù)介值定理，f(x)在[a,b]上的值域?yàn)開(kāi)_____。---三、判斷題（每題2分，共20分）1.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=c處連續(xù)，則f(x)在點(diǎn)x=c處可導(dǎo)。（×）2.若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積，則f(x)在[a,b]上連續(xù)。（×）3.若級(jí)數(shù)∑(n=1→∞)a_n收斂，則級(jí)數(shù)∑(n=1→∞)|a_n|也收斂。（×）4.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞增，則f(x)在[a,b]上的積分值大于0。（√）5.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=c處可導(dǎo)，則f(x)在點(diǎn)x=c處連續(xù)。（√）6.若級(jí)數(shù)∑(n=1→∞)a_n絕對(duì)收斂，則級(jí)數(shù)∑(n=1→∞)a_n也收斂。（√）7.若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積，則f(x)在[a,b]上的積分值等于某個(gè)黎曼和的極限。（√）8.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上的值域?yàn)殚]區(qū)間。（×）9.若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積，則f(x)在[a,b]上的積分值等于某個(gè)定積分的值。（√）10.若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞減，則f(x)在[a,b]上的積分值小于0。（×）---四、簡(jiǎn)答題（每題4分，共12分）1.簡(jiǎn)述函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)的定義。答案：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=c處連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)滿足以下三個(gè)條件：（1）f(c)存在；（2）lim(x→c)f(x)存在；（3）lim(x→c)f(x)=f(c)。2.簡(jiǎn)述級(jí)數(shù)收斂的定義。答案：級(jí)數(shù)∑(n=1→∞)a_n收斂，當(dāng)且僅當(dāng)其部分和S_n=∑(k=1→n)a_k的極限lim(n→∞)S_n存在且有限。3.簡(jiǎn)述導(dǎo)數(shù)的幾何意義。答案：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=c處的導(dǎo)數(shù)f'(c)，表示曲線y=f(x)在點(diǎn)(c,f(c))處的切線斜率。---五、應(yīng)用題（每題9分，共18分）1.計(jì)算極限lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2。解題思路：（1）使用洛必達(dá)法則，因?yàn)樵瓨O限為0/0型；（2）求導(dǎo)后得到lim(x→0)(e^x-1)/2x；（3）再次使用洛必達(dá)法則，得到lim(x→0)e^x/2=1/2。答案：1/2。2.計(jì)算定積分∫[0,1]x^2dx。解題思路：（1）根據(jù)定積分的定義，計(jì)算原函數(shù)F(x)=x^3/3；（2）代入積分上下限，得到F(1)-F(0)=1/3-0=1/3。答案：1/3。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、單選題1.D解析：f(x)={1,x≠0;0,x=0}在x=0處連續(xù)，因?yàn)閘im(x→0)f(x)=f(0)=0。其他選項(xiàng)在x=0處不連續(xù)。2.A解析：?jiǎn)握{(diào)遞增函數(shù)的值域?yàn)閇a,b]。3.A解析：lim(x→∞)(x-sin(x)/x)=lim(x→∞)(x(1-sin(x)/x))=lim(x→∞)xlim(x→∞)(1-sin(x)/x)=∞1=0。4.B解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，f'(c)=2即lim(h→0)[f(c+h)-f(c)]/h=2。5.B解析：p=2時(shí)，級(jí)數(shù)∑(n=1→∞)1/n^2收斂（p-級(jí)數(shù)判別法）。6.A解析：根據(jù)拉格朗日中值定理，存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。7.A解析：f(x)=x^2sin(1/x)在x=0處可導(dǎo)，f'(0)=0。其他選項(xiàng)在x=0處不可導(dǎo)。8.C解析：函數(shù)在[a,b]上可積，但未必存在原函數(shù)，也未必為正。9.D解析：∑(n=1→∞)(-1)^n/n^2絕對(duì)收斂，因?yàn)椤?n=1→∞)1/n^2收斂。10.A解析：?jiǎn)握{(diào)遞增函數(shù)的積分值為f(b)-f(a)。---二、填空題1.3解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義。2.1解析：標(biāo)準(zhǔn)極限結(jié)論。3.∫[a,b]f(x)dx解析：微積分基本定理。4.p>1解析：p-級(jí)數(shù)判別法。5.黎曼和解析：黎曼積分的定義。6.2解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義。7.收斂解析：交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別法。8.[a,b]解析：?jiǎn)握{(diào)遞增函數(shù)的值域。9.黎曼和解析：黎曼積分的定義。10.[a,b]解析：介值定理。---三、判斷題1.×解析：連續(xù)不一定可導(dǎo)，如f(x)=|x|在x=0處連續(xù)但不可導(dǎo)。2.×解析：可積函數(shù)不一定是連續(xù)的，如狄利克雷函數(shù)。3.×解析：條件收斂的級(jí)數(shù)絕對(duì)發(fā)散。4.√解析：?jiǎn)握{(diào)遞增且連續(xù)的函數(shù)積分值大于0。5.√解析：可導(dǎo)必連續(xù)。6.√解析：絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)必條件收斂。7.√解析：黎曼積分的定義。8.×解析：值域可能是開(kāi)區(qū)間或半開(kāi)半閉區(qū)間。9.√解析：定積分的定義。10.×解析：?jiǎn)握{(diào)遞減且連續(xù)的函數(shù)積分值大于0。---四、簡(jiǎn)答題1.答案：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=c處連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)滿足以下三個(gè)條件：（1）f(c)存在；（2）lim(x→c)f(x)存在；（3）lim(x→c)f(x)=f(c)。2.答案：級(jí)數(shù)∑(n=1→∞)a_n收斂，當(dāng)且僅當(dāng)其部分和S_n=∑(k=1→n)a_k的極限lim(n→∞)S_n存在且有限。3.答案：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=c處的導(dǎo)數(shù)f'(c)，表示曲線y=f(x)在點(diǎn)(c,f(c))處的切線斜率。---五、應(yīng)用題