第1頁(yè)/共1頁(yè)南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期期中初二年級(jí)數(shù)學(xué)試題一．選擇題（共6小題，每題2分，共12分）1.下列圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A. B. C. D.2.去年某市有萬(wàn)名學(xué)生參加聯(lián)招考試，為了了解他們的數(shù)學(xué)成績(jī)，從中抽取2000名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.個(gè)體是每名考生的數(shù)學(xué)成績(jī) B.萬(wàn)名學(xué)生是總體C.2000是樣本容量 D.2000名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)是總體的一個(gè)樣本3.下列說(shuō)法中，不正確的是（）A.“a是實(shí)數(shù)，”是必然事件B.擲質(zhì)地均勻的硬幣10次，正面朝上的次數(shù)一定是5次C.通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，可以用頻率估計(jì)概率D.不可能事件發(fā)生的概率為04.如圖，已知，增加下列條件可以使四邊形成為平行四邊形的是（）A. B. C. D.5.如圖，是的中線(xiàn)，增加下列條件，能判斷是菱形的是（）A. B. C. D.6.如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)E在邊上，且，作分別交于點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（）A. B. C.2.5 D.3二．填空題（共10小題，每題2分，共20分）7.如圖，將小李某月手機(jī)費(fèi)中各項(xiàng)費(fèi)用的情況制成扇形統(tǒng)計(jì)圖，則表示短信費(fèi)的扇形圓心角的度數(shù)為_(kāi)____________．8.在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中，某班50名學(xué)生的成績(jī)分為六組，第一組到第四組的頻數(shù)分別為6，8，9，12，第五組的頻率是0.2，則第六組的頻數(shù)是_______．9.當(dāng)________時(shí)，分式無(wú)意義；當(dāng)________時(shí)，分式的值為零．10填空：①，②，括號(hào)內(nèi)依次填入_____，_____．11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣3，0），（2，0），點(diǎn)D在y軸上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是_______．12.如圖，在菱形中，，則菱形的高_(dá)_____________．13.如圖，在中，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，于于為中點(diǎn)，則取值范圍是_____．14.如圖，H是的邊的中點(diǎn)，平分，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且于點(diǎn)G．已知，，，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．15.在?ABCD中，BC邊上的高為4，AB＝5，AC＝，則?ABCD的周長(zhǎng)等于_____．16.在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，敏敏進(jìn)行了如下操作：如圖，將四邊形紙片沿過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)折疊，使得點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，折痕為；再將分別沿折疊，此時(shí)點(diǎn)落在上的同一點(diǎn)處．請(qǐng)完成下列探究：的大小為_(kāi)_________；當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)的值為_(kāi)_________．三．解答題（共10小題，共68分）17.（1）通分：和；（2）約分：18.某校利用課后延時(shí)服務(wù)時(shí)間，開(kāi)設(shè)“陽(yáng)光球類(lèi)系列課程”，有足球、籃球、乒乓球、羽毛球、排球五大球類(lèi)課程，為了解學(xué)生對(duì)課程的喜愛(ài)情況，隨機(jī)調(diào)查了m名學(xué)生（每名學(xué)生必選且只選其中一門(mén)課程）．根據(jù)以下統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）＿＿＿，＿＿＿；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）“足球”課程在扇形統(tǒng)計(jì)圖中所占扇形區(qū)域的圓心角度數(shù)為＿＿＿．（4）若全校共有3000名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)該校約有多少名學(xué)生喜愛(ài)打乒乓球．19.在一個(gè)不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球共40個(gè)，小穎做摸球試驗(yàn)．她將盒子里面的球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色，然后把它放回盒子中．不斷重復(fù)上述過(guò)程．如圖所示為“摸到白球”的頻率折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖．（1）請(qǐng)估計(jì)：當(dāng)n足夠大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近________（結(jié)果精確到0.1），假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率為_(kāi)_______；（2）試估算盒子里白、黑兩種顏色的球各有多少個(gè)；（3）如果要使摸到白球的頻率穩(wěn)定在，需要往盒子里再放_(tái)_______個(gè)白球？20.在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知格點(diǎn)（頂點(diǎn)為網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)）．（1）畫(huà)出關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的；（2）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，畫(huà)出；（3）若點(diǎn)的坐標(biāo)是，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．21.證明文字命題：對(duì)角線(xiàn)互相垂直的矩形是正方形．（畫(huà)出圖形、寫(xiě)出已知、求證與證明）22.如圖，在中，均不相等，點(diǎn)D、E、F分別是的中點(diǎn)．求證：（1）四邊形是平行四邊形．（2）用反證法證明：線(xiàn)段與不垂直．23.如圖，已知△ABC中，AB＝AC．（1）把△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在AB邊上，用尺規(guī)作圖的方法作出△DEC；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2）在（1）的條件下，連接AD，求證：AD＝BC．24.如圖，在中，D是邊上的一點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作的平行線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，且，連接．（1）求證：D是的中點(diǎn)；（2）如果，試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；（3）若四邊形為菱形，則需滿(mǎn)足________（添加合適的條件）．25.如圖，點(diǎn)線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，，以，為對(duì)角線(xiàn)分別作出菱形和菱形且．（1）求證：長(zhǎng)度為定值．（2）連接，若時(shí)，求面積．（3）若再連接DF，分別取六邊形ADFBEC各邊中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，各邊中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的總長(zhǎng)度為_(kāi)_______．26.廣告語(yǔ)說(shuō)“下雨天巧克力和音樂(lè)更配”，今天下午角平分線(xiàn)配上特殊的四邊形會(huì)擦出什么樣的火花呢？下面我們一起研究吧．（1）如圖，在中，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，若、，求的長(zhǎng)．（2）如圖，在菱形中，和相交于點(diǎn)，若，求證：平分．（3）如圖，在正方形中，點(diǎn)是中點(diǎn)，請(qǐng)用直尺與圓規(guī)在邊上畫(huà)一點(diǎn)，使得恰是平分線(xiàn)（保留作圖痕跡、不寫(xiě)作法）（4）如圖，在矩形中，、，點(diǎn)和分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，連接，若平分，則的最大值為_(kāi)_______．

南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期期中初二年級(jí)數(shù)學(xué)試題一．選擇題（共6小題，每題2分，共12分）1.下列圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義：把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形可得答案．【詳解】解：選項(xiàng)B、C、D均不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來(lái)的圖形重合，所以不是中心對(duì)稱(chēng)圖形；選項(xiàng)A能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來(lái)的圖形重合，所以是中心對(duì)稱(chēng)圖形；故選：A．2.去年某市有萬(wàn)名學(xué)生參加聯(lián)招考試，為了了解他們的數(shù)學(xué)成績(jī)，從中抽取2000名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.個(gè)體是每名考生的數(shù)學(xué)成績(jī) B.萬(wàn)名學(xué)生是總體C.2000是樣本容量 D.2000名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)是總體的一個(gè)樣本【答案】B【解析】【分析】本題考查了總體、個(gè)體、樣本、樣本容量，掌握總體、個(gè)體與樣本的考查對(duì)象是相同的，所不同的是范圍的大?。畼颖救萘渴菢颖局邪膫€(gè)體的數(shù)目，不能帶單位是關(guān)鍵．總體是指考察的對(duì)象的全體，個(gè)體是總體中的每一個(gè)考察的對(duì)象，樣本是總體中所抽取的一部分個(gè)體，而樣本容量則是指樣本中個(gè)體的數(shù)目．我們?cè)趨^(qū)分總體、個(gè)體、樣本、樣本容量，這四個(gè)概念時(shí)，首先找出考察的對(duì)象．從而找出總體、個(gè)體．【詳解】解：A、個(gè)體是每名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)，故說(shuō)法正確，不符合題意；B、5.6萬(wàn)名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)是總體，故說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；C、2000是樣本容量，故說(shuō)法正確，不符合題意；D、2000名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)是總體的一個(gè)樣本，故說(shuō)法正確，不符合題意．故選：B．3.下列說(shuō)法中，不正確的是（）A.“a是實(shí)數(shù)，”是必然事件B.擲質(zhì)地均勻的硬幣10次，正面朝上的次數(shù)一定是5次C.通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，可以用頻率估計(jì)概率D.不可能事件發(fā)生的概率為0【答案】B【解析】【分析】本題考查了隨機(jī)事件，概率的意義，利用頻率估計(jì)概率，熟練掌握這些數(shù)學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)隨機(jī)事件，概率的意義，利用頻率估計(jì)概率逐一判斷即可解答．【詳解】解：A、“a是實(shí)數(shù)，”是必然事件，故A不符合題意；B、任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，正面朝上的次數(shù)不一定是5次，故B符合題意；C、通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，可以用頻率估計(jì)概率，故C不符合題意；D、不可能事件發(fā)生的概率為0，故D不符合題意；故選：B．4.如圖，已知，增加下列條件可以使四邊形成為平行四邊形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知平行四邊形的判定定理．根據(jù)平行四邊形的判定定理即可求解．【詳解】解：A．∵，∴，∴不能判定四邊形是平行四邊形；B．不能判定四邊形是平行四邊形；C．∵，∴∵，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；D．不能判定四邊形是平行四邊形；故選C．5.如圖，是的中線(xiàn)，增加下列條件，能判斷是菱形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、熟練掌握菱形的判定是關(guān)鍵．根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：添加，，，故選項(xiàng)A不能判定四邊形是菱形；添加，∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是矩形，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；添加，可得到，∴，∴四邊形是矩形，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；添加時(shí)，∵是的中線(xiàn)，∴，∴四邊形是菱形，選項(xiàng)D正確；故選：D．6.如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)E在邊上，且，作分別交于點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（）A. B. C.2.5 D.3【答案】C【解析】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)等，添加輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半這一性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．連接．證明，則是直角三角形，利用是斜邊上的中線(xiàn)，可得，因?yàn)?，再利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：連接．如圖所示，∵四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形．∴，且平分．∴．∵．∴．∴是等腰直角三角形．∵為中點(diǎn)．∴．∴是直角三角形．∵．∴．∵．∴四邊形是矩形．∵點(diǎn)為的中點(diǎn)．∴過(guò)點(diǎn)．即點(diǎn)為的中點(diǎn)．在中，．∵．∴在中，．∴．故選：C．二．填空題（共10小題，每題2分，共20分）7.如圖，將小李某月手機(jī)費(fèi)中各項(xiàng)費(fèi)用的情況制成扇形統(tǒng)計(jì)圖，則表示短信費(fèi)的扇形圓心角的度數(shù)為_(kāi)____________．【答案】72°##72度【解析】【分析】扇形統(tǒng)計(jì)圖共有100%，用100%減去月基本費(fèi)、本地話(huà)費(fèi)以及長(zhǎng)途話(huà)費(fèi)即可得到短信費(fèi)的百分比，再用得到的百分比與360°相乘即可得出相應(yīng)度數(shù)．【詳解】短信費(fèi)百分比為：短信費(fèi)的扇形圓心角的度數(shù)：故表示短信費(fèi)的扇形圓心角的度數(shù)為72°．故答案為：72°．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖，通過(guò)扇形統(tǒng)計(jì)圖的性質(zhì)求出短信費(fèi)的百分比，使用求出的百分比乘以360°是本題的關(guān)鍵．8.在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中，某班50名學(xué)生的成績(jī)分為六組，第一組到第四組的頻數(shù)分別為6，8，9，12，第五組的頻率是0.2，則第六組的頻數(shù)是_______．【答案】5【解析】【詳解】解：一個(gè)容量為50樣本，把它分成6組，第一組到第四組的頻數(shù)分別為6，8，9，12，根據(jù)第五組的頻率是0.2，求出第五組的頻數(shù)，用樣本容量減去前五組的頻數(shù)，得到第六組的頻數(shù)是50-6-8-9-10-12=5．考點(diǎn)：頻數(shù)與頻率9.當(dāng)________時(shí)，分式無(wú)意義；當(dāng)________時(shí)，分式的值為零．【答案】①.3②.【解析】【分析】本題考查了分式有意義的條件和分式的值為零的條件．若分式的值為零，需同時(shí)具備兩個(gè)條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個(gè)條件缺一不可．分式無(wú)意義：分母等于零；分式的值等于零：分子等于零，分母不等于零．【詳解】解：當(dāng)分母，即時(shí)，分式無(wú)意義；當(dāng)分子，且分母時(shí)，分式的值為零，解得，．故答案為：3；．10.填空：①，②，括號(hào)內(nèi)依次填入_____，_____．【答案】①.②.##【解析】【分析】本題考查了分式的性質(zhì)，分式的分子分母都乘或除以同一個(gè)不為零的整式，分式的值不變．根據(jù)分式的分子分母都乘或除以同一個(gè)不為零的整式，分式的值不變，可得答案．【詳解】解：①；②．故答案為：．11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣3，0），（2，0），點(diǎn)D在y軸上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是_______．【答案】（5，4）【解析】【分析】利用菱形的性質(zhì)以及勾股定理得出DO的長(zhǎng)，進(jìn)而求出C點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：∵菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣3，0），（2，0），點(diǎn)D在y軸上，∴AB=5，∴DO=4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是：（5，4）．故答案為：（5，4）．12.如圖，在菱形中，，則菱形的高_(dá)_____________．【答案】【解析】【分析】利用菱形的面積公式先求解菱形的面積，再利用勾股定理求解菱形的邊長(zhǎng)，再利用等面積法可得答案．【詳解】解：∵菱形，，∴，，，∴，，∵，∴，∴；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記菱形的面積公式是解本題的關(guān)鍵．13.如圖，在中，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，于于為中點(diǎn)，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】連接，由在中，，于，于，可證得四邊形是矩形，即可得，即，然后由當(dāng)時(shí)，可求得最小值，即可得出的最小值.【詳解】解：如圖：當(dāng)與不重合時(shí)，連接，，，，又，四邊形是矩形，，，為中點(diǎn)，，在中，，，，，當(dāng)時(shí)，值最小，此時(shí)，解得，的最小值為，的最小值是，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，最大，此時(shí)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用、勾股定理的運(yùn)用、三角形的面積公式、垂線(xiàn)段最短的性質(zhì)的運(yùn)用等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意求出AP的最小值是解答本題的關(guān)鍵．14.如圖，H是的邊的中點(diǎn)，平分，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且于點(diǎn)G．已知，，，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】49【解析】【分析】本題考查了三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)與定理并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．判斷出是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可得，然后求出是的中位線(xiàn)，根據(jù)三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得，然后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)的定義列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵平分，，，，∴是等腰三角形，∴，又∵是的邊的中點(diǎn)，∴是的中位線(xiàn)，∴，∴的周長(zhǎng)．故答案為：49．15.在?ABCD中，BC邊上的高為4，AB＝5，AC＝，則?ABCD的周長(zhǎng)等于_____．【答案】20或12##12或20【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，連接AC，如圖1，勾股定理求出EC，BE的長(zhǎng)，得到BC即可求出的周長(zhǎng)；如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，連接AC，勾股定理求出EC，BE的長(zhǎng)，得到BC即可求出的周長(zhǎng)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，連接AC，如圖1，∵在?ABCD中，AE=4，AB＝5，AC＝，∴，，∴BC=2+3=5，∴的周長(zhǎng)=2（AB+BC）=20；如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，連接AC，∵在?ABCD中，AE=4，AB＝5，AC＝，∴，，∴BC=BE-EC=3-2=1，∴的周長(zhǎng)=2（AB+BC）=12；故答案為：20或12．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，正確掌握勾股定理的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵，注意應(yīng)根據(jù)平行四邊形的形狀分類(lèi)討論．16.在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，敏敏進(jìn)行了如下操作：如圖，將四邊形紙片沿過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)折疊，使得點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，折痕為；再將分別沿折疊，此時(shí)點(diǎn)落在上的同一點(diǎn)處．請(qǐng)完成下列探究：的大小為_(kāi)_________；當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)的值為_(kāi)_________．【答案】①.30②.【解析】【分析】（1）根據(jù)折疊得到∠D+∠C=180°，推出AD∥BC，，進(jìn)而得到∠AQP=90°，以及∠A=180°-∠B=90°，再由折疊，得到∠DAQ=∠BAP=∠PAQ=30°即可；（2）根據(jù)題意得到DC∥AP，從而證明∠APQ=∠PQR，得到QR=PR和QR=AR，結(jié)合（1）中結(jié)論，設(shè)QR=a，則AP=2a，由勾股定理表達(dá)出AB=AQ=即可解答．詳解】解：（1）由題意可知，∠D+∠C=180°，∴AD∥BC，由折疊可知∠AQD=∠AQR，∠CQP=∠PQR，∴∠AQR+∠PQR=，即∠AQP=90°，∴∠B=90°，則∠A=180°-∠B=90°，由折疊可知，∠DAQ=∠BAP=∠PAQ，∴∠DAQ=∠BAP=∠PAQ=30°，故答案為：30；（2）若四邊形APCD為平行四邊形，則DC∥AP，∴∠CQP=∠APQ，由折疊可知：∠CQP=∠PQR，∴∠APQ=∠PQR，∴QR=PR，同理可得：QR=AR，即R為AP的中點(diǎn)，由（1）可知，∠AQP=90°，∠PAQ=30°，且AB=AQ，設(shè)QR=a，則AP=2a，∴QP=，∴AB=AQ=，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形中的折疊問(wèn)題，涉及了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，熟悉折疊的性質(zhì)．三．解答題（共10小題，共68分）17.（1）通分：和；（2）約分：【答案】（1）；；（2）【解析】【分析】此題考查了通分及約分，通分的關(guān)鍵是找出各分母的最簡(jiǎn)公分母，約分的關(guān)鍵是找出分子分母的公因式．（1）找出兩分母的最簡(jiǎn)公分母，通分即可；（2）原式變形后，約分即可得到結(jié)果．【詳解】解：（1）；（2）原式．18.某校利用課后延時(shí)服務(wù)時(shí)間，開(kāi)設(shè)“陽(yáng)光球類(lèi)系列課程”，有足球、籃球、乒乓球、羽毛球、排球五大球類(lèi)課程，為了解學(xué)生對(duì)課程的喜愛(ài)情況，隨機(jī)調(diào)查了m名學(xué)生（每名學(xué)生必選且只選其中一門(mén)課程）．根據(jù)以下統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）＿＿＿，＿＿＿；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）“足球”課程在扇形統(tǒng)計(jì)圖中所占扇形區(qū)域的圓心角度數(shù)為＿＿＿．（4）若全校共有3000名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)該校約有多少名學(xué)生喜愛(ài)打乒乓球．【答案】（1）100，5（2）見(jiàn)詳解（3）°（4）學(xué)校約有名學(xué)生喜愛(ài)打乒乓球【解析】【分析】本題考查了扇形圖與條形統(tǒng)計(jì)圖的綜合，用樣本估計(jì)總體、求扇形的圓心角，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）運(yùn)用了籃球的人數(shù)除以它的占比，求出的值，再運(yùn)用排球的人數(shù)除以的值，求出的值，即可作答．（2）用的值減去各個(gè)項(xiàng)目的人數(shù)，得出足球的人數(shù)，即可作答．（3）用足球的占比乘上360°，求出對(duì)應(yīng)的圓心角，即可作答．（4）運(yùn)用樣本估計(jì)總體算出學(xué)校喜愛(ài)打乒乓球的學(xué)生人數(shù)，即可作答．【小問(wèn)1詳解】解：（名）；故答案為：100，5；【小問(wèn)2詳解】解：（名）如圖所示：【小問(wèn)3詳解】解：“足球”課程在扇形統(tǒng)計(jì)圖中所占扇形區(qū)域的圓心角度數(shù)為；【小問(wèn)4詳解】解：（名）∴學(xué)校約有名學(xué)生喜愛(ài)打乒乓球19.在一個(gè)不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球共40個(gè)，小穎做摸球試驗(yàn)．她將盒子里面的球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色，然后把它放回盒子中．不斷重復(fù)上述過(guò)程．如圖所示為“摸到白球”的頻率折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖．（1）請(qǐng)估計(jì)：當(dāng)n足夠大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近________（結(jié)果精確到0.1），假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率為_(kāi)_______；（2）試估算盒子里白、黑兩種顏色的球各有多少個(gè)；（3）如果要使摸到白球的頻率穩(wěn)定在，需要往盒子里再放_(tái)_______個(gè)白球？【答案】（1），（2）估算盒子里白、黑兩種顏色的球各有個(gè)（3）個(gè)【解析】【分析】本題考查了用頻率估計(jì)概率，已知概率求數(shù)量，分式方程的應(yīng)用．熟練掌握用頻率估計(jì)概率，已知概率求數(shù)量，分式方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)用頻率估計(jì)概率求解作答即可；（2）由題意知，盒子里白顏色的球有（個(gè)），則黑顏色的球有（個(gè)）；（3）設(shè)需要往盒子里再放入個(gè)白球，依題意得，，計(jì)算求解，然后作答即可．【小問(wèn)1詳解】解：由統(tǒng)計(jì)圖可知，當(dāng)n足夠大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近，假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率為，故答案為：，；【小問(wèn)2詳解】解：由題意知，盒子里白顏色的球有（個(gè)），黑顏色的球有（個(gè)）；∴估算盒子里白、黑兩種顏色的球各有個(gè)；【小問(wèn)3詳解】解：設(shè)需要往盒子里再放入個(gè)白球，依題意得，，，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，∴需要往盒子里再放入個(gè)白球．20.在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知格點(diǎn)（頂點(diǎn)為網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)）．（1）畫(huà)出關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的；（2）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，畫(huà)出；（3）若點(diǎn)的坐標(biāo)是，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】（1）作圖見(jiàn)解析（2）作圖見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】本題考查作圖軸對(duì)稱(chēng)變換、旋轉(zhuǎn)變換，熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)作圖即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可；（3）由圖可得出答案．【小問(wèn)1詳解】解：如圖所示：

即為所求；【小問(wèn)2詳解】解：如圖所示：

即為所求．【小問(wèn)3詳解】解：如圖所示：點(diǎn)的坐標(biāo)是，故答案為：．21.證明文字命題：對(duì)角線(xiàn)互相垂直的矩形是正方形．（畫(huà)出圖形、寫(xiě)出已知、求證與證明）【答案】見(jiàn)詳解【解析】【分析】本題考查了正方形的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和，矩形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．寫(xiě)出已知、求證，根據(jù)和等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，可得的關(guān)系，根據(jù)正方形的判定，可得答案．【詳解】解：已知，在矩形中，．求證：矩形是正方形．證明：∵四邊形是矩形，∴，，，，，，，∴，∴矩形是正方形．結(jié)論：對(duì)角線(xiàn)互相垂直的矩形是正方形．22.如圖，在中，均不相等，點(diǎn)D、E、F分別是的中點(diǎn)．求證：（1）四邊形是平行四邊形．（2）用反證法證明：線(xiàn)段與不垂直．【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）見(jiàn)詳解【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的判定、菱形的判定與性質(zhì)、三角形中位線(xiàn)定理等知識(shí)；熟練掌握三角形中位線(xiàn)定理和萎形的判定是解題的關(guān)鍵．（1）證是的中位線(xiàn)，是的中位線(xiàn)，得出，即可得出結(jié)論；（2）假設(shè)：與的位置關(guān)系為，得出四邊形是菱形，由三角形中位線(xiàn)定理得出，得出，再根據(jù)，則證得與不垂直．【小問(wèn)1詳解】證明：∵、、分別是、、的中點(diǎn)，∴是的中位線(xiàn)，是的中位線(xiàn)，∴，∴四邊形是平行四邊形；【小問(wèn)2詳解】解：假設(shè)：與的位置關(guān)系為，如圖所示，則∵，由（1）得：四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形，∵是的中位線(xiàn)，是的中位線(xiàn)，∴，∴，∴，∵，∴四邊形不是菱形，∴與不垂直．23.如圖，已知△ABC中，AB＝AC．（1）把△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在AB邊上，用尺規(guī)作圖的方法作出△DEC；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2）在（1）的條件下，連接AD，求證：AD＝BC．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)題目要求作圖即可得；（2）先證∠CEB=∠B，∠B=∠ACB得∠CEB=∠DCE，據(jù)此知DC∥AB，結(jié)合DC=AC，AB=AC可得四邊形ABCD為平行四邊形，從而證得結(jié)論．【詳解】（1）如圖，△DEC即為所作．（2）∵△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，

∴△ABC≌△DEC，DC=AC，EC=BC，

∵AB=AC，

∴DC=AB，

∵△ABC≌△DEC，

∴∠DCE=∠ACB，

∵EC=BC，

∴∠CEB=∠B，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∴∠CEB=∠DCE，

∴DC∥AB，

又∵DC=AC，AB=AC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC．【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的定義和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．24.如圖，在中，D是邊上的一點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作的平行線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，且，連接．（1）求證：D是的中點(diǎn)；（2）如果，試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；（3）若四邊形為菱形，則需滿(mǎn)足________（添加合適的條件）．【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）四邊形矩形，理由見(jiàn)詳解（3）【解析】【分析】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，矩形的判定，證明是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出，然后利用“角角邊”證明和全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等量關(guān)系即可求解；（2）首先判定四邊形為平行四邊形，再根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得四邊形為矩形；（3）由（1）知平行等于，證四邊形是平行四邊形，而，利用直角三角形的性質(zhì)定理，可證，于是得到結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】證明：∵，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，在和中，，，，，，∴是的中點(diǎn)；【小問(wèn)2詳解】四邊形為矩形；證明：∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴，∴，∴四邊形為矩形；【小問(wèn)3詳解】若滿(mǎn)足時(shí)，四邊形菱形，理由如下：∵，∴，∵，∴；∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，，∴平行四邊形是菱形．25.如圖，點(diǎn)是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，，以，為對(duì)角線(xiàn)分別作出菱形和菱形且．（1）求證：長(zhǎng)度為定值．（2）連接，若時(shí)，求的面積．（3）若再連接DF，分別取六邊形ADFBEC各邊中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，各邊中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的總長(zhǎng)度為_(kāi)_______．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定和性質(zhì)、以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)；（1）利用菱形性質(zhì)先證明和都是等邊三角形，得，，由此即可得出；（2）過(guò)點(diǎn)C作，垂足為H，證明，由勾股定理求出，在利用三角形面積計(jì)算即可，（3）延長(zhǎng)交與點(diǎn)Q，取中點(diǎn)M，取中點(diǎn)N，取中點(diǎn)，取中點(diǎn)K，根據(jù)起點(diǎn)和中點(diǎn)位置求出各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)即可．【小問(wèn)1詳解】證明：在菱形和菱形，，，又∵，∴和都是等邊三角形，∴，，∴，