第十二章

全等三角形

12.1全等三角形

1.經(jīng)歷全等形、全等三角形概念的形成過程，理解全等三角形的概念，培養(yǎng)初步的抽象能力.2.能識別全等三角形中的對應(yīng)邊與對應(yīng)角，理解全等三角形的性質(zhì)，形成幾何直觀，發(fā)展推理能力.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：全等三角形的概念的理解.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：準(zhǔn)確識別全等三角形中的對應(yīng)邊，對應(yīng)

角并能應(yīng)用性質(zhì)進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化.

觀察這些圖片，你能找出形狀、大小完全一樣的幾何圖形嗎？

你能再舉出生活中的一些類似例子嗎？下列各組圖形的形狀與大小有什么特點(diǎn)？（1）（2）（3）知識點(diǎn)1全等圖形的定義及性質(zhì)學(xué)生活動(dòng)一

【一起探究】（4）（5）觀察思考：每組中的兩個(gè)圖形有什么特點(diǎn)？①②③

④⑤

全等圖形定義：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等圖形.全等形性質(zhì)：如果兩個(gè)圖形全等，它們的形狀和大小一定都相等.歸納總結(jié)下面哪些圖形是全等圖形？（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（9）（12）（10）（8）大小、形狀完全相同（11）找一找EDF全等三角形的定義及性質(zhì)ABC

像上圖一樣，把△ABC疊到△DEF上，能夠完全重合的兩個(gè)三角形，叫作全等三角形.知識點(diǎn)2學(xué)生活動(dòng)二

【一起探究】把兩個(gè)全等的三角形重疊到一起時(shí)，重合的頂點(diǎn)叫作對應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫作對應(yīng)邊，重合的角叫作對應(yīng)角.你能指出上面兩個(gè)全等三角形的對應(yīng)頂點(diǎn)、對應(yīng)邊、對應(yīng)角嗎？AACBDEABDCABCDBCNMFE【思考】把一個(gè)三角形平移、旋轉(zhuǎn)、翻折，變換前后的兩個(gè)三角形全等嗎？一個(gè)圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，

變化了，但＿＿＿和＿＿＿都沒有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形＿＿.形狀大小全等位置

全等變化歸納總結(jié)

請你利用自制的一對全等三角形拼出有公共頂點(diǎn)或公共邊或公共角的圖形.試用全等符號表示它們，分析每個(gè)圖形，找準(zhǔn)對應(yīng)邊、對應(yīng)角.ABCDABCDABCD有公共邊尋找對應(yīng)邊、對應(yīng)角有什么規(guī)律?ABCDOABCDOABCDEABDCE有公共點(diǎn)1.有公共邊，則公共邊為對應(yīng)邊；2.有公共角（對頂角），則公共角（對頂角）為對應(yīng)角；3.最大邊與最大邊（最小邊與最小邊）為對應(yīng)邊；最大角與最大角（最小角與最小角）為對應(yīng)角；4.對應(yīng)角的對邊為對應(yīng)邊；對應(yīng)邊的對角為對應(yīng)角.ADFCEB12ABDC1423EABCF1234找一找下列全等圖形的對應(yīng)元素？ABCDF△ABC≌△FDEA

BCEDF全等的表示方法“全等”用符號“≌”表示，讀作“全等于”.

記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)的位置上.A

BCEDF∵△ABC≌△DEF(已知），∴AB=DE，

AC=DF，BC=EF(全等三角形對應(yīng)邊相等），∠A=∠D，

∠B=∠E，

∠C=∠F(全等三角形對應(yīng)角相等）.

全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.全等的性質(zhì)∵△ABC≌△FDE，∴AB=FD，AC=FE，BC=DE，（全等三角形對應(yīng)邊相等）∠A=∠F，∠B=∠D，∠C=∠E.（全等三角形對應(yīng)角相等）A

BCEDF全等三角形的性質(zhì)的幾何語言例1

如圖，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出這兩個(gè)全等三角形的對應(yīng)邊；若△ADO≌△AEO，指出這兩個(gè)三角形的對應(yīng)角.識別全等三角形的對應(yīng)元素素養(yǎng)考點(diǎn)1解：△BOD與△COE的對應(yīng)邊為：BO與CO，OD與OE，BD與CE；△ADO與△AEO的對應(yīng)角為：∠DAO與∠EAO，∠ADO與∠AEO，∠AOD與∠AOE.如圖，△ABC與△ADC全等，請用數(shù)學(xué)符號表示出這兩個(gè)三角形全等，并寫出相等的邊和角.解：△ABC≌△ADC;相等的邊為：AB=AD，AC=AC，BC=DC；相等的角為：∠BAC=∠DAC，∠B=∠D，∠ACB=∠ACD.例2

如圖，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度數(shù)和CF的長．利用全等三角形的性質(zhì)求角或線段的值素養(yǎng)考點(diǎn)2解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，∴∠DEF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，∴CF＝BC–BF＝7–4＝3.如右圖，已知△ABD≌△ACE，∠C=45°，

AC=8，AE=5，則∠B=

，

DC=

.AEBCD85545°3例3

如圖，△EFG≌△NMH，EF=2.1cm，EH=1.1cm，NH=3.3cm.（1）試寫出兩三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角；解：（1）對應(yīng)邊有EF和NM，F(xiàn)G和MH，EG和NH；對應(yīng)角有∠E和∠N，

∠F和∠M，

∠EGF和∠NHM.（2）求線段NM及HG的長度；

解：∵△EFG≌△NMH，

∴NM=EF=2.1cm，

EG=NH=3.3cm.

∴HG=EG–EH=3.3–1.1=2.2（cm）.（3）觀察圖形中對應(yīng)線段的數(shù)量或位置關(guān)系，試提出一個(gè)正確的結(jié)論并證明.解：結(jié)論：EF∥NM證明：

∵△EFG≌△NMH，∴∠E=∠N.∴EF∥NM.想一想：你還能得出其他結(jié)論嗎？如圖，△ABC≌△CDA，AB與CD，BC與DA是對應(yīng)邊，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）．

A.∠

BAC

=∠

DCA

；

B.AB∥DC；

C.∠BCA=∠DCA；

D.BC∥DA

．CABCD1.下列四組圖形中，是全等圖形的一組是(

)D2.如圖，△ABE和△ACD是由△ABC分別沿著AB，AC邊翻折形成的，若∠BAC=140°，則∠α=_______.80°αABCDE全等三角形定義能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形基本性質(zhì)對應(yīng)邊相等對應(yīng)角相等對應(yīng)元素確定方法對應(yīng)邊對應(yīng)角長對長，短對短，中對中公共邊一定是對應(yīng)邊大角對大角，小角對小角公共角一定是對應(yīng)角對頂角一定是對應(yīng)角學(xué)前溫故新課早知1.三角形:由不在同一條直線上的三條線段

相接組成的圖形.

2.構(gòu)成三角形的元素:(1)

;(2)三條邊;(3)

.

3.一個(gè)圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后,位置變化了,但

、

都沒有改變.

首尾順次

三個(gè)頂點(diǎn)

三個(gè)內(nèi)角

形狀

大小

學(xué)前溫故新課早知1.形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.能夠

的兩個(gè)圖形叫做全等形,能夠

的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.

兩個(gè)全等三角形可以通過

、

、

得到.

2.觀察圖中的各個(gè)圖形,其中的全等圖形為

.(用編號表示)

完全重合

完全重合

平移

翻折

旋轉(zhuǎn)

①和⑥,②和⑤,③和⑧

學(xué)前溫故新課早知3.全等用符號“

”表示,讀作“

”.

4.如圖,若把△BEC沿著直線BC向左平移,就得到△CFA,則△FAC與△ECB的關(guān)系是

.

5.全等三角形的

相等,對應(yīng)角相等.

6.如圖,若兩個(gè)三角形全等,則∠α等于(

).A.72° B.60° C.58° D.50°≌

全等于

全等

對應(yīng)邊

D1.確定全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角【例1】

如圖,△ABC≌△A'B'C',其中∠A=36°,∠C'=24°,則∠B=

.

解析:∵△ABC≌△A'B'C',∴∠C=∠C'=24°.∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-36°-24°=120°.答案:

120°2.全等三角形性質(zhì)的應(yīng)用【例2】

如圖,已知△ACE≌△DBF.(1)若AD=8,BC=3,求AC的長;(2)求證:CE∥BF.分析:全等三角形→對應(yīng)邊相等→求AC的長;全等三角形→對應(yīng)角相等→利用角的相等關(guān)系證明CE∥BF.(1)解∵△ACE≌△DBF,∴AC=DB.∴AC-BC=DB-BC,即AB=DC.∴AC=AB+BC=2.5+3=5.5.(2)證明∵△ACE≌△DBF,∴∠ACE=∠DBF.∴CE∥BF.1234561.下列說法正確的是(

).A.形狀相同的兩個(gè)三角形全等B.面積相等的兩個(gè)三角形全等C.完全重合的兩個(gè)三角形全等D.所有的等邊三角形全等答案解析解析關(guān)閉形狀和大小完全相同,能夠重合的兩個(gè)三角形全等;面積只跟三角形的底與高的乘積有關(guān),與形狀無關(guān);邊長不同的等邊三角形不全等.答案解析關(guān)閉C1234562.如圖,點(diǎn)E,F在線段BC上,△ABF與△DCE全等,點(diǎn)A與點(diǎn)D,點(diǎn)B與點(diǎn)C是對應(yīng)頂點(diǎn),AF與DE交于點(diǎn)M,則∠DCE=(

).A.∠B B.∠A C.∠EMF D.∠AFB答案答案關(guān)閉A1234563.在△ABC中,∠B=∠C,如果與△ABC全等的一個(gè)三角形中有一個(gè)角為95°,那么95°的角在△ABC中的對應(yīng)角是(

).A.∠A

B.∠BC.∠B或∠C D.∠A或∠C答案答案關(guān)閉A1234564.如圖,△ABC≌△DEF,BE=4,AE=1,則DE的長是

.

答案解析解析關(guān)閉∵△ABC≌△DEF,∴AB=DE.∵AB=AE+BE=1+4=5,