第十二章

全等三角形

12.2全等三角形的判定12.2.1用“SSS”判定三角形全等1.經(jīng)歷探索三角形全等的判定過(guò)程，通過(guò)減少條件后的圖形比較形成幾何直觀，發(fā)展抽象能力.2.通過(guò)動(dòng)手操作理解基本事實(shí)：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，經(jīng)歷驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的過(guò)程，培養(yǎng)抽象概況能力.3.能用尺規(guī)作圖：作一個(gè)角等于已知角;已知三邊作三角形.并理解尺規(guī)作圖的基本原理.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：“SSS”判定三角形全等.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：探索條件減少的情況下，經(jīng)歷圖形比較得到三角形全等的判定方法.

為了慶祝國(guó)慶節(jié)，老師要求同學(xué)們回家制作三角形彩旗（如圖），那么，老師應(yīng)提供多少個(gè)數(shù)據(jù)，能保證同學(xué)們制作出來(lái)的三角形彩旗全等呢？一定要知道所有的邊長(zhǎng)和所有的角度嗎？1.什么叫全等三角形？能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.2.全等三角形有什么性質(zhì)？全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.知識(shí)點(diǎn)1三角形全等的判定——“邊邊邊”定理溫故知新ABCDEF3.已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的邊與角.①AB=DE③CA=FD②BC=EF④∠A=∠D⑤

∠B=∠E⑥∠C=∠F溫故知新即：三條邊分別相等，三個(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形全等．【思考】如果只滿足這些條件中的一部分,那么能保證△ABC≌△DEF嗎?學(xué)生活動(dòng)一

【一起探究】只給一個(gè)條件①只給一條邊時(shí)；②只給一個(gè)角時(shí)；3cm3cm45?45?結(jié)論:只有一條邊或一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.①兩邊；③兩角.②一邊一角；如果滿足兩個(gè)條件，你能說(shuō)出有哪幾種可能的情況？①如果三角形的兩邊分別為3cm，4cm時(shí)，4cm4cm3cm3cm結(jié)論:兩條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.②三角形的一條邊為4cm,一個(gè)內(nèi)角為30°時(shí):4cm4cm30?30?結(jié)論:一條邊一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.45?30?45?30?③如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是30°，45°時(shí)結(jié)論:兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，則第三角一定確定，所以當(dāng)三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，兩個(gè)三角形不一定全等.兩個(gè)條件①兩角；②兩邊；③一邊一角.結(jié)論：只給出一個(gè)或兩個(gè)條件時(shí)，都不能保證所畫(huà)的三角形一定全等.一個(gè)條件①一角；②一邊；歸納總結(jié)

如果滿足三個(gè)條件，你能說(shuō)出有哪幾種可能的情況？①三角；②三邊；③兩邊一角；④兩角一邊.

已知兩個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為30°，60°，90°它們一定全等嗎？這說(shuō)明有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.①三個(gè)角已知兩個(gè)三角形的三條邊都分別為3cm、4cm、6cm.它們一定全等嗎？②三條邊3cm4cm6cm4cm6cm3cm6cm4cm3cm先任意畫(huà)出一個(gè)△ABC，再畫(huà)出一個(gè)△A′B′C′,使A′B′=AB,B′C′=BC,A′C′=AC.把畫(huà)好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐幔緼BCA′B′C′作法：（1）畫(huà)B′C′=BC；（2）分別以B',C'為圓心，線段AB,AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，兩弧相交于點(diǎn)A'；（3）連接線段A'B',A'C'.做一做作圖的結(jié)果反映了什么規(guī)律？你能用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言概括嗎？想一想文字語(yǔ)言：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

（簡(jiǎn)寫(xiě)為“邊邊邊”或“SSS”）ABCDEF在△ABC和△

DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS）.

AB=DE，

BC=EF，CA=FD，幾何語(yǔ)言：“邊邊邊”判定方法例1

如圖，有一個(gè)三角形鋼架，AB=AC，AD是連接點(diǎn)A與BC中點(diǎn)D的支架．求證：（1）△ABD≌△ACD．CBDA利用“邊邊邊”定理判定三角形全等素養(yǎng)考點(diǎn)1CBDA解題思路：先找隱含條件公共邊AD再找現(xiàn)有條件AB=AC最后找準(zhǔn)備條件BD=CDD是BC的中點(diǎn)證明：∵D是BC中點(diǎn)，

∴BD=DC．

在△ABD與△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS）．CBDAAB=AC(已知）BD=CD

（已證）AD=AD

（公共邊）準(zhǔn)備條件指明范圍擺齊根據(jù)寫(xiě)出結(jié)論(2)∠BAD=∠CAD.由（1）得△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD.

（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）CBDA①準(zhǔn)備條件：證全等時(shí)要用的條件要先證好；②指明范圍：寫(xiě)出在哪兩個(gè)三角形中；③擺齊根據(jù)：擺出三個(gè)條件用大括號(hào)括起來(lái)；④寫(xiě)出結(jié)論：寫(xiě)出全等結(jié)論.證明的書(shū)寫(xiě)步驟：歸納總結(jié)如圖,C是BF的中點(diǎn)，AB=DC,AC=DF.求證:△ABC≌△DCF.在△ABC

和△DCF中，AB=DC，∴△ABC

≌△DCF(已知)(已證)AC=DF，BC=CF，證明：∵C是BF中點(diǎn)，∴BC=CF.(已知)(SSS).例2已知：如圖，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE.求證：∠BAC＝∠DAE.

利用三角形全等證明線段或角相等素養(yǎng)考點(diǎn)2分析：要證∠BAC＝∠DAE，而這兩個(gè)角所在三角形顯然不全等，我們可以利用等式的性質(zhì)將它轉(zhuǎn)化為證∠BAD＝∠CAE；由已知的三組相等線段可證明△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAD＝∠CAE.證明：在△ABD和△ACE中，

AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，

∴△ABD≌△ACE(SSS)，

∴∠BAD＝∠CAE.

∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，

即∠BAC＝∠DAE.已知：如圖，AB=AD，BC=DC，求證：△ABC≌△ADC，ABCDAC是∠BAD的角平分線.∴

△ABC

≌

△ADC.（SSS）ABCD

AC=AC,(

公共邊)AB=AD,

()BC=DC,

()證明：在△ABC和△ADC中已知已知∴∠BAC=∠DAC.∴AC是∠BAD的角平分線.

已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=∠AOB．例用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角．ODBCAO′C′A′B′D′用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角知識(shí)點(diǎn)2已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=∠AOB．用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角學(xué)生活動(dòng)二

【一起探究】作法：

（1）以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C,D；（2）畫(huà)一條射線O′A′，以點(diǎn)O′為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交O′A′于點(diǎn)C′；（3）以點(diǎn)C′為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與第（2）步中所畫(huà)的弧交于點(diǎn)D′；（4）過(guò)點(diǎn)D′畫(huà)射線O′B′，則∠A′O′B′=∠AOB．依據(jù)是什么？1.如圖,AD＝BC,AC＝BD.求證:∠C＝∠D.(提示:連接AB)證明：連接AB兩點(diǎn),∴△ABD≌△BAC(SSS)AD=BC，BD=AC，AB=BA，在△ABD和△BAC中，∴∠D=∠C.2.如圖，D、F是線段BC上的兩點(diǎn)，AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD，還需要條件

.

BF=CD或BD=FCAE==××BDFC

邊邊邊內(nèi)容有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“SSS”)應(yīng)用思路分析書(shū)寫(xiě)步驟結(jié)合圖形找隱含條件和現(xiàn)有條件，找準(zhǔn)備條件注意四步驟1.說(shuō)明兩三角形全等所需的條件應(yīng)按對(duì)應(yīng)邊的順序書(shū)寫(xiě)2.結(jié)論中所出現(xiàn)的邊必須在所證明的兩個(gè)三角形中

學(xué)前溫故新課早知如圖,△ABC≌△A'B'C',則有:(1)AB=A'B',(2)BC=B'C',(3)

,(4)∠A=∠A',(5)∠B=∠B',(6)

.

AC=A'C'

∠C=∠C‘學(xué)前溫故新課早知1.若兩個(gè)三角形全等,則它們的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等.反過(guò)來(lái),若兩個(gè)三角形滿足三條邊分別相等,三個(gè)角分別相等,那么這兩個(gè)三角形

.

2.

的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”).

3.三角形三條邊的長(zhǎng)度確定了,這個(gè)三角形的

、

也就確定了.

4.下列判斷兩個(gè)三角形全等的條件中,正確的是

(

).A.一條邊對(duì)應(yīng)相等 B.兩條邊對(duì)應(yīng)相等C.三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等 D.三條邊對(duì)應(yīng)相等全等

三邊分別相等

形狀

大小

D利用“邊邊邊”判定兩個(gè)三角形全等【例題】

如圖,已知在四邊形ABCD中,AB=CB,AD=CD.求證:∠C=∠A.分析:要證明∠C=∠A,圖形中沒(méi)有它們所在的三角形,可以連接BD,構(gòu)造△CDB與△ADB,題設(shè)已知條件以及DB是它們的公共邊,可得到△CDB≌△ADB,從而∠C=∠A,問(wèn)題得證.證明:如圖,連接BD.在△CDB與△ADB中,∴△CDB≌△ADB(SSS).∴∠C=∠A.123451.如圖,在△ABC中,AB=AC,BE=CE,則由“SSS”可以直接判定(

)A.△ABD≌△ACDB.△BDE≌△CDEC.△ABE≌△ACED.以上都不對(duì)C123452.如圖,如果AC=BD,BC=AD,那么△ABC≌

,理由是

.

△BAD三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(或SSS)123453.如圖,已知AB=CD,若根據(jù)“SSS”證得△ABC≌△CDA,則需要添加