第十一章

三角形11.3多邊形及其內(nèi)角和

11.3.1多邊形1.掌握多邊形的定義及有關(guān)概念，能區(qū)分凹凸多邊形.2.掌握正多邊形的概念.3.會求多邊形的對角線的條數(shù).學(xué)習(xí)重點：掌握正多邊形的概念.學(xué)習(xí)難點：會求多邊形的對角線的條數(shù).在實際生活當(dāng)中，除了三角形，還有許多由線段圍成的圖形.觀察圖片，你能找到由一些線段圍成的圖形嗎？

中國第一奇村諸葛八卦村美國國防部大樓——五角大樓多邊形的定義及相關(guān)概念什么是三角形？由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.知識點1問題1：學(xué)生活動一

【一起探究】觀察畫某多邊形的過程，類比三角形的概念，你能說出什么是多邊形嗎？在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.問題2：【思考】

比較多邊形的定義與三角形的定義，為什么要強調(diào)“在平面內(nèi)”呢？怎樣命名多邊形呢？這是因為三角形中的三個頂點肯定都在同一個平面內(nèi)，而四點，五點，甚至更多的點就有可能不在同一個平面內(nèi).

多邊形用圖形名稱以及它的各個頂點的字母表示.字母要按照頂點的順序書寫，可以按順時針或逆時針的順序.內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角.根據(jù)圖示，類比三角形的有關(guān)概念，說明什么是多邊形的邊、頂點、內(nèi)角、外角．頂點邊外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角.問題3：多邊形按它的邊數(shù)可分為：三角形，四邊形，五邊形等等.其中三角形是最簡單的多邊形.n邊形有n個頂點，n條邊，n個內(nèi)角，2n個外角．請分別畫出下列兩個圖形各邊所在的直線，你能得到什么結(jié)論？（1）（2）

如圖（1）這樣，畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，整個多邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個多邊形就是凸多邊形.ABCDEFGH此類多邊形被一條邊所在的直線分成了兩部分，不在這條直線同側(cè)是凹多邊形.問題4：例

凸六邊形紙片剪去一個角后，得到的多邊形的邊數(shù)可能是多少？畫出圖形說明．多邊形的截角問題素養(yǎng)考點1解：∵六邊形截去一個角的邊數(shù)有增加1、減少1、不變?nèi)N情況，∴新多邊形的邊數(shù)為7、5、6三種情況，如圖所示.一個多邊形截去一個角后，多邊形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少了一條.歸納總結(jié)①從所截角的兩邊截，邊數(shù)增加1.②從所截角的相鄰兩角的頂點截，邊數(shù)減少1.③從所截角的一邊及相鄰角的頂點截，邊數(shù)不變.

下列圖形包含了哪些多邊形？六邊形四邊形五邊形和六邊形多邊形的對角線ABCDE定義：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.

線段AC是五邊形ABCDE的一條對角線，多邊形的對角線通常用虛線表示.知識點2學(xué)生活動二

【一起探究】三角形六邊形四邊形八邊形……五邊形請畫出下列圖形從某一頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)：多邊形三角形四邊形五邊形六邊形八邊形n邊形從同一頂點引出的對角線的條數(shù)分割出的三角形的個數(shù)01235n-312346n-2從n(n≥3)邊形的一個頂點可以作出(n-3)條對角線.將多邊形分成(n-2)個三角形.n(n≥3)邊形共有對角線條.歸納總結(jié)例

過多邊形的一個頂點的所有對角線的條數(shù)與這些對角線分該多邊形所得三角形的個數(shù)的和為21，求這個多邊形的邊數(shù)．利用多邊形的對角線相關(guān)公式求邊數(shù)素養(yǎng)考點2解：設(shè)這個多邊形為n邊形，則有(n-3)條對角線，所分得的三角形個數(shù)為n-2，∴n-3+n-2=21，解得n=13．答：該多邊形的邊數(shù)有13條．

畫一畫：畫出下列多邊形的全部對角線.觀察下列圖形，并閱讀圖形下面的相關(guān)文字，解答下列問題：十邊形有多少條對角線？n邊形呢？解：∵四邊形的對角線條數(shù)為4×(4－3)×＝2.五邊形的對角線條數(shù)為5×(5－3)×＝5.六邊形的對角線條數(shù)為6×(6－3)×＝9.∴十邊形的對角線條數(shù)為10×(10－3)×＝35.n邊形的對角線條數(shù)為n(n－3).正多邊形的概念定義像正方形這樣，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形.正三角形正方形正五邊形正六邊形知識點3下列多邊形是正多邊形嗎？如不是，請說明為什么？（四條邊都相等）（四個角都相等）答：都不是，第一個圖形不符合四個角都相等；第二個圖形不符合各邊都相等.想一想學(xué)生活動三

【一起探究】

判斷一個多邊形是不是正多邊形，各邊都相等，各角都相等，兩個條件必須同時具備.注意1.下列多邊形中，不是凸多邊形的是（）ABCDB2.把一張形狀是多邊形的紙片剪去其中一個角，剩下的部分是一個四邊形，則這張紙片原來的形狀不可能是（）A.六邊形B.五邊形C.四邊形D.三角形A3.九邊形的對角線有（）A.25條

B.31條

C.27條

D.30條C4.若從一個多邊形的一個頂點出發(fā)，最多可以引10條對角線，則這是

邊形.十三5.過八邊形的一個頂點畫對角線，把這個八邊形分割成

個三角形.六多邊形定義前提條件是在一個平面內(nèi)對角線它是多邊形的一條重要線段，在今后通常作對角線把多邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形和四邊形的問題正多邊形定義既是判定也是性質(zhì)學(xué)前溫故新課早知由不在同一條直線上的三條線段

相接所組成的圖形叫做三角形.

首尾順次

學(xué)前溫故新課早知1.在平面內(nèi),由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做

;多邊形按組成它的

分成三角形、四邊形、五邊形……

是最簡單的多邊形.如果一個多邊形由n條線段組成,那么這個多邊形就叫做

.多邊形

線段的條數(shù)

三角形

n邊形

學(xué)前溫故新課早知2.多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的

,如圖,六邊形ABCDEF的內(nèi)角分別是

;多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的

,如圖,

是六邊形ABCDEF的一個外角;連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段,叫做多邊形的

,如圖,線段

是六邊形ABCDEF的一條對角線.

內(nèi)角

∠FAB,∠B,∠BCD,∠CDE,∠E,∠F

外角

∠EDG

對角線

AC學(xué)前溫故新課早知3.如圖,從下面圖形的其中一個頂點出發(fā)作對角線.學(xué)前溫故新課早知4.畫出四邊形ABCD的任何一條邊(例如CD)所在的直線,整個四邊形都在這條直線的同一側(cè),這樣的四邊形叫做

.

5.下列圖形不是凸多邊形的是(

).6.各個角都

,各條邊都

的多邊形叫做正多邊形.

凸四邊形

D相等

相等

1.多邊形的概念【例1】

(1)在如圖所示的圖形中,屬于多邊形的有(

)A.3個

B.4個

C.5個

D.6個(2)下列是正多邊形的是(

)A.三條邊都相等的三角形

B.四個角都是直角的四邊形C.四條邊都相等的四邊形

D.六條邊都相等的六邊形解析:(1)在平面內(nèi),由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形,故圖中第一、二、五個圖形為多邊形,故選A.(2)三條邊都相等的三角形是等邊三角形,它的三個角相等,三條邊相等,是正多邊形.故選A.答案:(1)A

(2)A2.多邊形的對角線【例2】

從十五邊形的一個頂點可引出

條對角線,并把十五邊形分成

個三角形.

解析:因為與每一個頂點不相鄰的頂點數(shù)為12(即15-3),所以從一個頂點可引出12條對角線.結(jié)合圖形(圖略)可知這些對角線將十五邊形分成了13個三角形.答案:12

13123451.位于許昌市襄城縣首山之上的文峰塔,為外十三層、內(nèi)七層樓閣式建筑,平面呈正八邊形.下列圖形為正八邊形的是(

)答案答案關(guān)閉D123452.下列圖形不是凸多邊形的是(

).答案答案關(guān)閉A123453.下列說法正確的是(

).A.四條邊都相等的四邊形是正方形B.四個角都相等的四邊形是正方形C.等邊三角形不是正多邊形D.正方形是正多邊形答案解析解析關(guān)閉正多邊形要求各條邊都相等,各個角也都相等,兩個條