南京鄭和外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)上冊(cè)壓軸題數(shù)學(xué)模擬試卷含詳細(xì)答案一、壓軸題1．已知ABC，P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)（A、B、C、P中任意三點(diǎn)都不在同一直線上）．連接PB、PC，設(shè)∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y(tǒng)°．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在ABC內(nèi)時(shí)，①若y＝70，s＝10，t＝20，則x＝；②探究s、t、x、y之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你得到的結(jié)論．（2）當(dāng)點(diǎn)P在ABC外時(shí)，直接寫(xiě)出s、t、x、y之間所有可能的數(shù)量關(guān)系，并畫(huà)出相應(yīng)的圖形．2．在《經(jīng)典幾何圖形的研究與變式》一課中，龐老師出示了一個(gè)問(wèn)題：“如圖1，等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別落在三條等距的平行線，，上，，且每?jī)蓷l平行線之間的距離為1，求AB的長(zhǎng)度”.在研究這道題的解法和變式的過(guò)程中，同學(xué)們提出了很多想法：（1）小明說(shuō)：我只需要過(guò)B、C向作垂線，就能利用全等三角形的知識(shí)求出AB的長(zhǎng).（2）小林說(shuō)：“我們可以改變的形狀.如圖2，，，且每?jī)蓷l平行線之間的距離為1，求AB的長(zhǎng).”（3）小謝說(shuō)：“我們除了改變的形狀，還能改變平行線之間的距離.如圖3，等邊三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別落在三條平行線，，上，且與之間的距離為1，與之間的距離為2，求AB的長(zhǎng)、”請(qǐng)你根據(jù)3位同學(xué)的提示，分別求出三種情況下AB的長(zhǎng)度.3．如圖，若要判定紙帶兩條邊線a，b是否互相平行，我們可以采用將紙條沿AB折疊的方式來(lái)進(jìn)行探究．（1）如圖1，展開(kāi)后，測(cè)得，則可判定a//b，請(qǐng)寫(xiě)出判定的依據(jù)_________；（2）如圖2，若要使a//b，則與應(yīng)該滿足的關(guān)系是_________；（3）如圖3，紙帶兩條邊線a，b互相平行，折疊后的邊線b與a交于點(diǎn)C，若將紙帶沿（，分別在邊線a，b上）再次折疊，折疊后的邊線b與a交于點(diǎn)，AB//，，求出的長(zhǎng)．4．探究：如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若∠B＝30°，則∠ACD的度數(shù)是度；拓展：如圖②，∠MCN＝90°，射線CP在∠MCN的內(nèi)部，點(diǎn)A、B分別在CM、CN上，分別過(guò)點(diǎn)A、B作AD⊥CP、BE⊥CP，垂足分別為D、E，若∠CBE＝70°，求∠CAD的度數(shù)；應(yīng)用：如圖③，點(diǎn)A、B分別在∠MCN的邊CM、CN上，射線CP在∠MCN的內(nèi)部，點(diǎn)D、E在射線CP上，連接AD、BE，若∠ADP＝∠BEP＝60°，則∠CAD+∠CBE+∠ACB＝度．5．在等腰中，,為邊上的高，點(diǎn)在的外部且，,連接交直線于點(diǎn)，連接．(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，求證：；(2)如圖②，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(3)如圖③，當(dāng)時(shí),求證：．6．在△ABC中，已知∠A＝α．（1）如圖1，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D．①當(dāng)α＝70°時(shí)，∠BDC度數(shù)＝度（直接寫(xiě)出結(jié)果）；②∠BDC的度數(shù)為（用含α的代數(shù)式表示）；（2）如圖2，若∠ABC的平分線與∠ACE角平分線交于點(diǎn)F，求∠BFC的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）．（3）在（2）的條件下，將△FBC以直線BC為對(duì)稱軸翻折得到△GBC，∠GBC的角平分線與∠GCB的角平分線交于點(diǎn)M（如圖3），求∠BMC的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）．7．閱讀并填空：如圖，是等腰三角形，，是邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，在邊上且聯(lián)接交于，如果，那么，為什么？解：過(guò)點(diǎn)作交于所以（兩直線平行，同位角相等）（________）在與中所以，（________）所以（________）因?yàn)椋ㄒ阎┧裕╛_______）所以（等量代換）所以（________）所以8．如圖，在等邊中，線段為邊上的中線．動(dòng)點(diǎn)在直線上時(shí)，以為一邊在的下方作等邊，連結(jié)．（1）求的度數(shù)；（2）若點(diǎn)在線段上時(shí)，求證：；（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在直線上時(shí)，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，試判斷是否為定值？并說(shuō)明理由．9．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，，，C為AB的中點(diǎn)，P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，D是線段OA上一點(diǎn)，且，于E．（1）求的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，PE的值是否變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求PE的值．（3）若，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．10．(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE．①請(qǐng)直接寫(xiě)出∠AEB的度數(shù)為_(kāi)____；②試猜想線段AD與線段BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)拓展探究：圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A、D、E在同－直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．11．（1）在等邊三角形ABC中，①如圖①，D，E分別是邊AC，AB上的點(diǎn)且AE=CD，BD與EC交于點(diǎn)F，則∠BFE的度數(shù)是度；②如圖②，D，E分別是邊AC，BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)且AE=CD，BD與EC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，此時(shí)∠BFE的度數(shù)是度；（2）如圖③，在△ABC中，AC=BC，∠ACB是銳角，點(diǎn)O是AC邊的垂直平分線與BC的交點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在AC，OA的延長(zhǎng)線上，AE=CD，BD與EC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若∠ACB=α，求∠BFE的大小．（用含α的代數(shù)式表示）．12．（概念認(rèn)識(shí)）如圖①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”．其中，BD是“鄰AB三分線”，BE是“鄰BC三分線”．（問(wèn)題解決）（1）如圖②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分線BD交AC于點(diǎn)D，則∠BDC＝°；（2）如圖③，在△ABC中，BP、CP分別是∠ABC鄰AB三分線和∠ACB鄰AC三分線，且BP⊥CP，求∠A的度數(shù)；（延伸推廣）（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分線所在的直線與∠ACD的三分線所在的直線交于點(diǎn)P．若∠A＝m°，∠B＝n°，直接寫(xiě)出∠BPC的度數(shù)．（用含m、n的代數(shù)式表示）13．Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若點(diǎn)P在線段AB上，如圖（1）所示，且∠α=60°，則∠1+∠2=；（2）若點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，如圖（2）所示，則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為；（3）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的延長(zhǎng)線上，如圖（3）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說(shuō)明理由；（4）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC形外，如圖（4）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說(shuō)明理由．14．如圖1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，直線DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A，B分別作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足分別為點(diǎn)D和E，AD=8，BE=6．（1）①求證：△ADC≌△CEB；②求DE的長(zhǎng)；（2）如圖2，點(diǎn)M以3個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度從點(diǎn)C出發(fā)沿著邊CA運(yùn)動(dòng)，到終點(diǎn)A，點(diǎn)N以8個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度從點(diǎn)B出發(fā)沿著線BC—CA運(yùn)動(dòng)，到終點(diǎn)A．M，N兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t＞0)，當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)M作PM⊥DE于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)N作QN⊥DE于點(diǎn)Q；①當(dāng)點(diǎn)N在線段CA上時(shí)，用含有t的代數(shù)式表示線段CN的長(zhǎng)度；②當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)N重合；③當(dāng)△PCM與△QCN全等時(shí)，則t=．15．已知，如圖1，直線l2⊥l1，垂足為A，點(diǎn)B在A點(diǎn)下方，點(diǎn)C在射線AM上，點(diǎn)B、C不與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D在直線11上，點(diǎn)A的右側(cè)，過(guò)D作l3⊥l1，點(diǎn)E在直線l3上，點(diǎn)D的下方．（1）l2與l3的位置關(guān)系是；（2）如圖1，若CE平分∠BCD，且∠BCD＝70°，則∠CED＝°，∠ADC＝°；（3）如圖2，若CD⊥BD于D，作∠BCD的角平分線，交BD于F，交AD于G．試說(shuō)明：∠DGF＝∠DFG；（4）如圖3，若∠DBE＝∠DEB，點(diǎn)C在射線AM上運(yùn)動(dòng)，∠BDC的角平分線交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，探索∠N:∠BCD的值是否變化，若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變化，請(qǐng)直接寫(xiě)出比值．16．在我們認(rèn)識(shí)的多邊形中，有很多軸對(duì)稱圖形．有些多邊形，邊數(shù)不同對(duì)稱軸的條數(shù)也不同；有些多邊形，邊數(shù)相同但卻有不同數(shù)目的對(duì)稱軸．回答下列問(wèn)題：（1）非等邊的等腰三角形有________條對(duì)稱軸，非正方形的長(zhǎng)方形有________條對(duì)稱軸，等邊三角形有___________條對(duì)稱軸；（2）觀察下列一組凸多邊形（實(shí)線畫(huà)出），它們的共同點(diǎn)是只有1條對(duì)稱軸，其中圖1-2和圖1-3都可以看作由圖1-1修改得到的，仿照類似的修改方式，請(qǐng)你在圖1-4和圖1-5中，分別修改圖1-2和圖1-3，得到一個(gè)只有1條對(duì)稱軸的凸五邊形，并用實(shí)線畫(huà)出所得的凸五邊形；（3）小明希望構(gòu)造出一個(gè)恰好有2條對(duì)稱軸的凸六邊形，于是他選擇修改長(zhǎng)方形，圖2中是他沒(méi)有完成的圖形，請(qǐng)用實(shí)線幫他補(bǔ)完整個(gè)圖形；（4）請(qǐng)你畫(huà)一個(gè)恰好有3條對(duì)稱軸的凸六邊形，并用虛線標(biāo)出對(duì)稱軸．17．（1）如圖1，和都是等邊三角形，且，，三點(diǎn)在一條直線上，連接，相交于點(diǎn)，求證：．（2）如圖2，在中，若，分別以，和為邊在外部作等邊，等邊，等邊，連接、、恰交于點(diǎn)．①求證：；②如圖2，在（2）的條件下，試猜想，，與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．18．完全平方公式：適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學(xué)問(wèn)題．例如：若，求的值．解：因?yàn)樗运缘茫鶕?jù)上面的解題思路與方法，解決下列問(wèn)題：（1）若，求的值；（2）①若,則；②若則；（3）如圖，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，以為邊向兩邊作正方形，設(shè)，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．19．如圖1，直角三角形DEF與直角三角形ABC的斜邊在同一直線上，∠EDF＝30°，∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，將△DEF繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記∠ADF為α（0°＜α＜180°），在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中；（1）如圖2，當(dāng)∠α＝時(shí)，，當(dāng)∠α＝時(shí)，DE⊥BC；（2）如圖3，當(dāng)頂點(diǎn)C在△DEF內(nèi)部時(shí)，邊DF、DE分別交BC、AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M、N，①此時(shí)∠α的度數(shù)范圍是；②∠1與∠2度數(shù)的和是否變化？若不變求出∠1與∠2度數(shù)和；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；③若使得∠2≥2∠1，求∠α的度數(shù)范圍．20．如圖，△ABC是等邊三角形，△ADC與△ABC關(guān)于直線AC對(duì)稱，AE與CD垂直交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∠EAF＝45°，且AF與AB在AE的兩側(cè)，EF⊥AF．（1）依題意補(bǔ)全圖形．（2）①在AE上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)B，點(diǎn)C的距離和最短；②求證：點(diǎn)D到AF，EF的距離相等．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、壓軸題1．（1）①100；②x=y+s+t；（2）見(jiàn)詳解．【解析】【分析】（1）①利用三角形的內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題；②結(jié)論：x=y+s+t．利用三角形內(nèi)角和定理即可證明；（2）分6種情形分別求解即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）①∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∵∠PBA=10°，∠PCA=20°，∴∠PBC+∠PCB=80°，∴∠BPC=100°，∴x=100，故答案為：100．②結(jié)論：x=y+s+t．理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+∠PBA+∠PCA+∠PBC+∠PCB=180°，∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠A+∠PBA+∠PCA=∠BPC，∴x=y+s+t．（2）s、t、x、y之間所有可能的數(shù)量關(guān)系：如圖1：s+x=t+y；如圖2：s+y=t+x；如圖3：y=x+s+t；如圖4：x+y+s+t=360°；如圖5：t=s+x+y；如圖6：s=t+x+y；【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題．2．（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）分別過(guò)點(diǎn)B，C向l1作垂線，交l1于M，N兩點(diǎn)，證明△ABM≌△CAN，得到AM=CN，AN=BM，即可得出AB；（2）分別過(guò)點(diǎn)B，C向l1作垂線，交l1于點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)，在l1上取M，N使∠AMB=∠CNA=120°，證明△AMB≌△CAN，得到CN=AM，再通過(guò)△PBM和△QCN算出PM和NQ的值，得到AP，最后在△APB中，利用勾股定理算出AB的長(zhǎng)；（3）在l3上找M和N，使得∠BNC=∠AMC=60°，過(guò)B作l3的垂線，交l3于點(diǎn)P，過(guò)A作l3的垂線，交l3于點(diǎn)Q，證明△BCN≌△CAM，得到CN=AM，在△BPN和△AQM中利用勾股定理算出NP和AM，從而得到PC，結(jié)合BP算出BC的長(zhǎng)，即為AB.【詳解】解：（1）如圖，分別過(guò)點(diǎn)B，C向l1作垂線，交l1于M，N兩點(diǎn)，由題意可得：∠BAC=90°，∵∠NAC+∠MAB=90°，∠NAC+∠NCA=90°，∴∠MAB=∠NCA，在△ABM和△CAN中，，∴△ABM≌△CAN（AAS），∴AM=CN=2，AN=BM=1，∴AB=；（2）分別過(guò)點(diǎn)B，C向l1作垂線，交l1于P，Q兩點(diǎn)，在l1上取M，N使∠AMB=∠CNA=120°，∵∠BAC=120°，∴∠MAB+∠NAC=60°，∵∠ABM+∠MAB=60°，∴∠ABM=∠NAC，在△AMB和△CNA中，，∴△AMB≌△CNA（AAS），∴CN=AM，∵∠AMB=∠ANC=120°，∴∠PMB=∠QNC=60°，∴PM=BM，NQ=NC，∵PB=1，CQ=2，設(shè)PM=a，NQ=b，∴，，解得：，，∴CN=AM==，∴AB===；（3）如圖，在l3上找M和N，使得∠BNC=∠AMC=60°，過(guò)B作l3的垂線，交于點(diǎn)P，過(guò)A作l3的垂線，交于點(diǎn)Q，∵△ABC是等邊三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°，∴∠BCN+∠ACM=120°，∵∠BCN+∠NBC=120°，∴∠NBC=∠ACM，在△BCN和△CAM中，，∴△BCN≌△CAM（AAS），∴CN=AM，BN=CM，∵∠PBN=90°-60°=30°，BP=2，∴BN=2NP，在△BPN中，，即，解得：NP=，∵∠AMC=60°，AQ=3，∴∠MAQ=30°，∴AM=2QM，在△AQM中，，即，解得：QM=，∴AM==CN，∴PC=CN-NP=AM-NP=，在△BPC中，BP2+CP2=BC2，即BC=，∴AB=BC=.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線之間的距離，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用平行線構(gòu)造全等三角形，再利用全等三角形的性質(zhì)以及勾股定理求解.3．（1）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；（2）∠1+2∠2=180°；（3）4或10【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理，即可得到答案；（2）由折疊的性質(zhì)得：∠3=∠4，若a∥b，則∠3=∠2，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，即可得到答案；（3）分兩種情況：①當(dāng)B1在B的左側(cè)時(shí)，如圖2，當(dāng)B1在B的右側(cè)時(shí)，如圖3，分別求出的長(zhǎng)，即可得到答案．【詳解】（1）∵，∴a∥b（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），故答案是：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；（2）如圖1，由折疊的性質(zhì)得：∠3=∠4，若a∥b，則∠3=∠2，∴∠4=∠2，∵∠2+∠4+∠1=180°，∴∠1+2∠2=180°，∴要使a∥b，則與應(yīng)該滿足的關(guān)系是：∠1+2∠2=180°．故答案是：∠1+2∠2=180°；（3）①當(dāng)B1在B的左側(cè)時(shí)，如圖2，∵AB//，a∥b，∴AA1=BB1=3，∴=AC-AA1=7-3=4；②當(dāng)B1在B的右側(cè)時(shí)，如圖3，∵AB//，a∥b，∴AA1=BB1=3，∴=AC+AA1=7+3=10．綜上所述：=4或10．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)定理，折疊的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，掌握“平行線間的平行線段長(zhǎng)度相等”是解題的關(guān)鍵．4．探究：30；（2）拓展：20°；（3）應(yīng)用：120【解析】【分析】（1）利用直角三角形的性質(zhì)依次求出∠A，∠ACD即可；（2）利用直角三角形的性質(zhì)直接計(jì)算得出即可；（3）利用三角形的外角的性質(zhì)得出結(jié)論，直接轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)論．【詳解】（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°；故答案為：30，（2）∵BE⊥CP，∴∠BEC＝90°，∵∠CBE＝70°，∴∠BCE＝90°﹣∠CBE＝20°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝70°，∵AD⊥CP，∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝20°；（3）∵∠ADP是△ACD的外角，∴∠ADP＝∠ACD+∠CAD＝60°，同理，∠BEP＝∠BCE+∠CBE＝60°，∴∠CAD+∠CBE+∠ACB＝∠CAD+∠CBE+∠ACD+∠BCE＝（∠CAD+∠ACD）+（∠CBE+∠BCE）＝120°，故答案為120．【點(diǎn)睛】此題是三角形的綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，垂直的定義，解本題的關(guān)鍵是充分利用直角三角形的性質(zhì)：兩銳角互余，是一道比較簡(jiǎn)單的綜合題．5．（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可得AE垂直平分BC，F(xiàn)為垂直平分線AE上點(diǎn)，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可得AE平分∠BAC，∠BAF=20°，由AB=AC=AD，推出，根據(jù)外角性質(zhì)可得計(jì)算即可；（3）在CF上截取CM=DF，連接AM，證明△ACM≌△ADF（SAS），進(jìn)而證得△AFM為等邊三角形即可．【詳解】（1）證明：∵AE為等腰△ABC底邊BC上的高線，AB=AC，，∠AEB=∠AEC=90°，BE=CE，∴AE垂直平分BE，F(xiàn)在AE上，；(2)，，，，由（1）知，AE平分∠BAC，，，故答案為：60°；(3)在CF上截取CM=DF，連接AM，由（1）可知，∠ABC=∠ACB，∠FBC=∠FCB，，，，，在△ACM和△ADF中，∴△ACM≌△ADF（SAS），，，∴△AFM為等邊三角形，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（1）（1）①125°；②，（2）；（3）【解析】【分析】（1）①由三角形內(nèi)角和定理易得∠ABC+∠ACB=110°，然后根據(jù)角平分線的定義，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求∠BDC；②由三角形內(nèi)角和定理易得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，采用①的推導(dǎo)方法即可求解；（2）由三角形外角性質(zhì)得，然后結(jié)合角平分線的定義求解；（3）由折疊的對(duì)稱性得，結(jié)合（1）②的結(jié)論可得答案．【詳解】解：（1）①∵∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣70°）＝125°②∵∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+α．故答案分別為125°，90°+α．（2）∵BF和CF分別平分∠ABC和∠ACE∴，，∴＝即．（3）由軸對(duì)稱性質(zhì)知：，由（1）②可得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形中與角平分線有關(guān)的角度計(jì)算，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，以及三角形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．見(jiàn)解析【解析】【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到角的關(guān)系，然后證明，寫(xiě)出證明過(guò)程和依據(jù)即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作交于，∴（兩直線平行，同位角相等），∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），在與中，∴，（）∴（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵（已知）∴（等邊對(duì)等角）∴（等量代換）∴（等角對(duì)等邊）∴；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)正確找到證明三角形全等的條件，從而進(jìn)行證明.8．（1）30°；（2）證明見(jiàn)解析；（3）是定值，.【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以直接得出結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出，，，，由等式的性質(zhì)就可以，根據(jù)就可以得出；（3）分情況討論：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖1，由（2）可知，就可以求出結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，可以得出而有而得出結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，通過(guò)得出同樣可以得出結(jié)論．【詳解】（1）是等邊三角形，．線段為邊上的中線，，．（2）與都是等邊三角形，，，，，．在和中，；（3）是定值，，理由如下：①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖1，由（2）可知，則，又，，是等邊三角形，線段為邊上的中線平分，即．②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，與都是等邊三角形，，，，，，在和中，，，同理可得：，．③當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，與都是等邊三角形，，，，，，在和中，，，同理可得：，∵，．綜上，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在直線上時(shí)，是定值，．【點(diǎn)睛】此題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形三線合一的性質(zhì)，解題中注意分類討論的思想解題.9．（1）45°；（2）PE的值不變，PE=4，理由見(jiàn)詳解；（3）D(，0)．【解析】【分析】（1）根據(jù)，，得△AOB為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，即可求出∠OAB的度數(shù)；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠AOC=∠BOC=45°，OC⊥AB，再證明△POC≌△DPE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OC=PE，即可得到答案；（3）證明△POB≌△DPA，得到PA=OB=，DA=PB，進(jìn)而得OD的值，即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【詳解】（1），，∴OA=OB=，∵∠AOB=90°，∴△AOB為等腰直角三角形，∴∠OAB=45°；（2）PE的值不變，理由如下：∵△AOB為等腰直角三角形，C為AB的中點(diǎn)，∴∠AOC=∠BOC=45°，OC⊥AB，∵PO=PD，∴∠POD=∠PDO，∵D是線段OA上一點(diǎn)，∴點(diǎn)P在線段BC上，∵∠POD=45°+∠POC，∠PDO=45°+∠DPE，∴∠POC=∠DPE，在△POC和△DPE中，，∴△POC?△DPE(AAS)，∴OC=PE，∵OC=AB=××=4，∴PE=4；（3）∵OP=PD，∴∠POD=∠PDO=(180°?45°)÷2=67.5°，∴∠APD=∠PDO?∠A=22.5°，∠BOP=90°?∠POD=22.5°，∴∠APD=∠BOP，在△POB和△DPA中，∴△POB≌△DPA(AAS)，∴PA=OB=，DA=PB，∴DA=PB=×-=8-，∴OD=OA?DA=-(8-)=，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，0)．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)定理，圖形與坐標(biāo)，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．10．（1）①60°；②AD=BE.證明見(jiàn)解析；（2）∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）①由條件△ACB和△DCE均為等邊三角形，易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點(diǎn)A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數(shù)．②由△ACD≌△BCE，可得AD=BE；（2）首先根據(jù)△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，據(jù)此判斷出∠ACD=∠BCE；然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△ACD≌△BCE，即可判斷出BE=AD，∠BEC=∠ADC，進(jìn)而判斷出∠AEB的度數(shù)為90°；根據(jù)DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，據(jù)此判斷出AE=BE+2CM．【詳解】（1）①∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，,∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°?∠CDE=120°，∴∠AEB=∠CEB?∠CED=60°；②AD=BE.證明：∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．（2）∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；理由如下：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCB=∠DCE－∠DCB，即∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠BEC=∠ADC=135°．∴∠AEB=∠BEC－∠CED=135°－45°=90°．在等腰直角△DCE中，CM為斜邊DE上的高，∴CM=DM=ME，∴DE=2CM．∴AE=DE+AD=2CM+BE．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題時(shí)需注意運(yùn)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解決相似問(wèn)題．11．（1）①60°；②60°；（2）∠BFE=α．【解析】【分析】（1）①先證明△ACE≌△CBD得到∠ACE=∠CBD，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠CBD+∠BCF；②先證明△ACE≌△CBD得∠ACE=∠CBD=∠DCF，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA；（2）證明△AEC≌△CDB得到∠E=∠D，則∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【詳解】（1）如圖①中，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD，∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．故答案為60．（2）如圖②中，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∴∠CAE=∠BCD=′120°∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．故答案為60．（3）如圖③中，∵點(diǎn)O是AC邊的垂直平分線與BC的交點(diǎn)，∴OC=OA，∴∠EAC=∠DCB=α，∵AC=BC，AE=CD，∴△AEC≌△CDB，∴∠E=∠D，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了三角形全等以及三角形外角和定理.12．（1）85或100；（2）45°；（3）m或m或m＋n或m－n或n－m【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得的三分線有兩種情況，畫(huà)圖根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得的度數(shù)；（2）根據(jù)、分別是鄰三分線和鄰三分線，且可得，進(jìn)而可求的度數(shù)；（3）根據(jù)的三分線所在的直線與的三分線所在的直線交于點(diǎn)．分四種情況畫(huà)圖：情況一：如圖①，當(dāng)和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時(shí)；情況二：如圖②，當(dāng)和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時(shí)；情況三：如圖③，當(dāng)和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時(shí)；情況四：如圖④，當(dāng)和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時(shí)，再根據(jù)，，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：（1）如圖，當(dāng)是“鄰三分線”時(shí)，；當(dāng)是“鄰三分線”時(shí)，；故答案為：85或100；（2），，，又、分別是鄰三分線和鄰三分線，，，，，在中，．（3）分4種情況進(jìn)行畫(huà)圖計(jì)算：情況一：如圖①，當(dāng)和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時(shí)，；情況二：如圖②，當(dāng)和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時(shí)，；情況三：如圖③，當(dāng)和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時(shí)，；情況四：如圖④，當(dāng)和分別是“鄰三分線”、“鄰三分線”時(shí)，①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形的外角性質(zhì)．注意要分情況討論．13．(1)150°；(2)∠1＋∠2＝90°＋α；(3)∠1＝90°＋∠2＋α，理由詳見(jiàn)解析；(4)∠2＝90°＋∠1－α，理由詳見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)先用平角的得出，∠CDP=180°-∠1，∠CEP=180°-∠2，最后用四邊形的內(nèi)角和即可；(2)同(1)方法即可；(3)利用平角的定義和三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；(4)利用三角形的內(nèi)角和和外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：(1)∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α=90°+60°=150°，故答案為：150；(2)∵∠1+∠CDP=180°，∴∠CDP=180°-∠1，同理：∠CEP=180°-∠2，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，∵∠C=90°，∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，∴∠1+∠2=90°+α，故答案為：∠1+∠2=90°+α；(3)∠1＝90°＋∠2＋∠α．理由如下：如圖3，設(shè)DP與BE的交點(diǎn)為F，∵∠2＋∠α＝∠DFE，∠DFE＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α．(4)∠2＝90°＋∠1－∠α，理由如下：如圖4，設(shè)PE與AC的交點(diǎn)為G，∵∠PGD＝∠EGC，∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α．故答案為∠2＝90°＋∠1－∠α．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了四邊形的內(nèi)角和，三角形的內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)，平角的定義，解本題的關(guān)鍵是將∠1，∠2，α轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形或四邊形中，是一道比較簡(jiǎn)單的中考常考題．14．（1）①證明見(jiàn)解析；②DE=14；（2）①8t－10；②t=2；③t=【解析】【分析】（1）①先證明∠DAC＝∠ECB，由AAS即可得出△ADC≌△CEB；②由全等三角形的性質(zhì)得出AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，即可得出DE＝CD＋CE＝14；（2）①當(dāng)點(diǎn)N在線段CA上時(shí)，根據(jù)CN＝CN?BC即可得出答案；②點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)，CM＝CN，即3t＝8t?10，解得t＝2即可；③分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)N在線段BC上時(shí)，△PCM≌△QNC，則CM＝CN，得3t＝10?8t，解得t＝1011；當(dāng)點(diǎn)N在線段CA上時(shí)，△PCM≌△QCN，則3t＝8t?10，解得t＝2；即可得出答案．【詳解】（1）①證明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝∠DCA＋∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；②由①得：△ADC≌△CEB，∴AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，∴DE＝CD＋CE＝6＋8＝14；（2）解：①當(dāng)點(diǎn)N在線段CA上時(shí)，如圖3所示：CN＝CN?BC＝8t?10；②點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)，CM＝CN，即3t＝8t?10，解得：t＝2，∴當(dāng)t為2秒時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)N重合；③分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)N在線段BC上時(shí)，△PCM≌△QNC，∴CM＝CN，∴3t＝10?8t，解得：t＝；當(dāng)點(diǎn)N在線段CA上時(shí)，△PCM≌△QCN，點(diǎn)M與N重合，CM＝CN，則3t＝8t?10，解得：t＝2；綜上所述，當(dāng)△PCM與△QCN全等時(shí)，則t等于s或2s，故答案為：s或2s．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、分類討論等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（1）互相平行；（2）35，20；（3）見(jiàn)解析；（4）不變，【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（4）根據(jù)角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）直線l2⊥l1，l3⊥l1，∴l(xiāng)2∥l3，即l2與l3的位置關(guān)系是互相平行，故答案為：互相平行；（2）∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE＝BCD，∵∠BCD＝70°，∴∠DCE＝35°，∵l2∥l3，∴∠CED＝∠DCE＝35°，∵l2⊥l1，∴∠CAD＝90°，∴∠ADC＝90°﹣70°＝20°；故答案為：35，20；（3）∵CF平分∠BCD，∴∠BCF＝∠DCF，∵l2⊥l1，∴∠CAD＝90°，∴∠BCF+∠AGC＝90°，∵CD⊥BD，∴∠DCF+∠CFD＝90°，∴∠AGC＝∠CFD，∵∠AGC＝∠DGF，∴∠DGF＝∠DFG；（4）∠N:∠BCD的值不會(huì)變化，等于；理由如下：∵l2∥l3，∴∠BED＝∠EBH，∵∠DBE＝∠DEB，∴∠DBE＝∠EBH，∴∠DBH＝2∠DBE，∵∠BCD+∠BDC＝∠DBH，∴∠BCD+∠BDC＝2∠DBE，∵∠N+∠BDN＝∠DBE，∴∠BCD+∠BDC＝2∠N+2∠BDN，∵DN平分∠BDC，∴∠BDC＝2∠BDN，∴∠BCD＝2∠N，∴∠N:∠BCD＝．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的綜合題，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，正確的識(shí)別圖形進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵．16．（1）1，2，3；（2）答案見(jiàn)解析；（3）答案見(jiàn)解析；（4）答案見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；（2）中圖1-2和圖1-3都可以看作由圖1-1修改得到的，在圖1-4和圖1-5中，分別仿照類似的修改方式進(jìn)行畫(huà)圖即可；（3）長(zhǎng)方形具有兩條對(duì)稱軸，在長(zhǎng)方形的右側(cè)補(bǔ)出與左側(cè)一樣的圖形，即可構(gòu)造出一個(gè)恰好有2條對(duì)稱軸的凸六邊形；（4）在等邊三角形的基礎(chǔ)上加以修改，即可得到恰好有3條對(duì)稱軸的凸六邊形．【詳解】解：（1）非等邊的等腰三角形有1條對(duì)稱軸，非正方形的長(zhǎng)方形有2條對(duì)稱軸，等邊三角形有3條對(duì)稱軸，故答案為1，2，3；（2）恰好有1條對(duì)稱軸的凸五邊形如圖中所示．（3）恰好有2條對(duì)稱軸的凸六邊形如圖所示．（4）恰好有3條對(duì)稱軸的凸六邊形如圖所示．17．（1）詳見(jiàn)解析；（2）①詳見(jiàn)解析；②，理由詳見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，進(jìn)而得出∠BCE=∠ACD，判斷出（SAS），即可得出結(jié)論；（2）①同（1）的方法判斷出（SAS），（SAS），即可得出結(jié)論；②先判斷出∠APB=60°，∠APC=60°，在PE上取一點(diǎn)M，使PM=PC，證明是等邊三角形，進(jìn)而判斷出（SAS），即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵和都是等邊三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ABC+∠ACE=∠DCE+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴（SAS），∴BE=AD；（2）①證明：∵和是等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，∴（SAS），∴AD=BE，同理：（SAS），∴AD=CF，即AD=BE=CF；②解：結(jié)論：PB+PC+PD=BE，理由：如圖2，AD與BC的交點(diǎn)記作點(diǎn)Q，則∠AQC=∠BQP，由①知，，∴∠CAD=∠CBE，在中，∠CAD+∠AQC=180°-∠ACB=120°，∴∠CBE+∠BQP=120°，在中，∠APB=180°-（∠CBE+∠BQP）=60°，∴∠DPE=60°，同理：∠APC=60°，∠CPD=120°，在PE上取一點(diǎn)M，使PM=PC，∴是等邊三角形，∴，∠PCM=∠CMP=60°，∴∠CME=120°=∠CPD，∵是等邊三角形，∴CD=CE，∠DCE=60°=∠PCM，∴∠PCD=∠MCE，∴（SAS），∴PD=ME，∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．18．（1）12；（2）①6；②17；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)完全平方公式的變形應(yīng)用，解決問(wèn)題；（2）①兩邊平方，再將代入計(jì)算；②兩邊平方，再將代入計(jì)算；（3）由題意可得：，，兩邊平方從而得到，即可算出結(jié)果．【詳解】解：（1）；；；又；，，∴．（2）①，；又，．②由，；又，．（3）由題意可得，，；，；，；圖中陰影部分面積為直角三角形面積，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的適當(dāng)變形靈活應(yīng)用，（1）可直