2024-2025學(xué)年上海市靜安區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）如果，那么下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．2．（4分）下列多項(xiàng)式中，屬于完全平方式的是（）A． B． C． D．3．（4分）將拋物線向左平移1個(gè)單位后得到的拋物線表達(dá)式是（）A． B． C． D．4．（4分）下列兩個(gè)圖形一定相似的是（）A．兩個(gè)菱形 B．兩個(gè)正方形 C．兩個(gè)矩形 D．兩個(gè)梯形5．（4分）以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果為非零向量），那么 D．如果是與非零向量同方向的單位向量，那么．6．（4分）古希臘藝術(shù)家發(fā)現(xiàn)當(dāng)人的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度（上半身的長(zhǎng)度）與肚臍至足底的長(zhǎng)度（下半身的長(zhǎng)度）的比值為“黃金分割數(shù)”時(shí)，人體的身材是最優(yōu)美的．一位女士身高為，她上半身的長(zhǎng)度為，為了使自己的身材顯得更為優(yōu)美，計(jì)劃選擇一雙合適的高跟鞋，使自己的下半身長(zhǎng)度增加．你認(rèn)為選擇鞋跟高為多少厘米的高跟鞋最佳？（）A． B． C． D．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）已知，那么．8．（4分）已知線段，點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)，且，那么線段的長(zhǎng)為．9．（4分）如果兩個(gè)相似三角形的一組對(duì)應(yīng)邊上的高之比為，那么這兩個(gè)三角形的面積比為．10．（4分）計(jì)算：．11．（4分）已知兩個(gè)相似三角形的相似比為，那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)之比為．12．（4分）在△中，點(diǎn)、分別在邊、上，且，如果，那么．13．（4分）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)，點(diǎn)與原點(diǎn)的連線與軸的正半軸的夾角為，那么．14．（4分）如果港口的南偏東方向有一座小島，那么從小島觀察港口的方向是．15．（4分）如圖，小明在教學(xué)樓的樓頂測(cè)得：對(duì)面實(shí)驗(yàn)大樓的頂端的仰角為，底部的俯角為．如果教學(xué)樓的高度為米，那么兩棟教學(xué)樓的高度差為米．16．（4分）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)、分別在邊、上，，如果，，那么的長(zhǎng)等于．17．（4分）如圖，圖中提供了一種求的方法，作△，使，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，聯(lián)結(jié)，即可得，如果設(shè)，則可得，那么，運(yùn)用以上方法，求得的值是．18．（4分）如圖，在△中，，，．是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，將△沿直線翻折，使得點(diǎn)落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)處，線段交邊于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．當(dāng)△是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計(jì)算：．20．（10分）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)．為的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)，交邊于點(diǎn)．設(shè)，．（1）填空：向量；（2）填空：向量，并在圖中畫(huà)出向量在向量和方向上的分向量．（注：本體結(jié)果用含向量、的式子表示，畫(huà)圖不要求寫(xiě)作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）21．（10分）如圖，點(diǎn)在第一象限的反比例函數(shù)圖象上，的延長(zhǎng)線與軸交于點(diǎn)，已知點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為6、2，．（1）求的余弦值；（2）求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式．22．（10分）【問(wèn)題提出】已知拋物線的頂點(diǎn)在第二象限，求的取值范圍．【分析問(wèn)題】用配方法把該二次函數(shù)的解析式化為的形式：，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為．根據(jù)“頂點(diǎn)在第二象限”，得出不等式，解出的取值范圍是；【反思評(píng)價(jià)】我們首先通過(guò)配方法配出該拋物線的頂點(diǎn)（用含的代數(shù)式表示）、接著根據(jù)題意得出對(duì)應(yīng)的不等式，解不等式最后得出答案．請(qǐng)你根據(jù)上述解答的方法，再提出一類似解法的問(wèn)題．（不需要求解）23．（12分）△中，，點(diǎn)、分別為邊、上的點(diǎn)，且，．（1）求證：；（2）聯(lián)結(jié)，取的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，求證：．24．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知拋物線與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)點(diǎn)在軸上，且，直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)．①求點(diǎn)、的坐標(biāo)；②將拋物線沿著射線的方向平移；平移后的拋物線頂點(diǎn)仍在線段上；點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．設(shè)線段與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，如果與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．25．（14分）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在邊上（點(diǎn)與端點(diǎn)、不重合），聯(lián)結(jié)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，與對(duì)角線、邊分別交于點(diǎn)、．設(shè)，．（1）求證：△△，并求的正切值；（2）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出該函數(shù)的定義域；（3）聯(lián)結(jié)，當(dāng)△與△相似時(shí)，求的值．

參考答案一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）如果，那么下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．解：，選項(xiàng)不符合題意；，選項(xiàng)不符合題意；，選項(xiàng)不符合題意；，選項(xiàng)符合題意．故選：．2．（4分）下列多項(xiàng)式中，屬于完全平方式的是（）A． B． C． D．解：，故選項(xiàng)符合題意；不符合完全平方公式的特征，故選項(xiàng)不符合題意；不符合完全平方公式的特征，故選項(xiàng)不符合題意；不符合完全平方公式的特征，故選項(xiàng)不符合題意．故選：．3．（4分）將拋物線向左平移1個(gè)單位后得到的拋物線表達(dá)式是（）A． B． C． D．解：由“左加右減”的原則可知，把拋物線向左平移1個(gè)單位，則平移后的拋物線的表達(dá)式為，故選：．4．（4分）下列兩個(gè)圖形一定相似的是（）A．兩個(gè)菱形 B．兩個(gè)正方形 C．兩個(gè)矩形 D．兩個(gè)梯形解：、兩個(gè)菱形，對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角不一定相等，不符合相似的定義，故不符合題意；、兩個(gè)正方形，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊一定成比例，一定相似，故符合題意；、兩個(gè)矩形，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，不符合相似的定義，故不符合題意；、兩個(gè)梯形同一底上的角不一定相等，對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，不符合相似的定義，故不符合題意；故選：．5．（4分）以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果為非零向量），那么 D．如果是與非零向量同方向的單位向量，那么．解：、如果，那么，故本選項(xiàng)符合題意．、如果，那么，故本選項(xiàng)不符合題意．、如果為非零向量），那么與方向相同，則，故本選項(xiàng)不符合題意．、如果是與非零向量同方向的單位向量，那么，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：．6．（4分）古希臘藝術(shù)家發(fā)現(xiàn)當(dāng)人的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度（上半身的長(zhǎng)度）與肚臍至足底的長(zhǎng)度（下半身的長(zhǎng)度）的比值為“黃金分割數(shù)”時(shí)，人體的身材是最優(yōu)美的．一位女士身高為，她上半身的長(zhǎng)度為，為了使自己的身材顯得更為優(yōu)美，計(jì)劃選擇一雙合適的高跟鞋，使自己的下半身長(zhǎng)度增加．你認(rèn)為選擇鞋跟高為多少厘米的高跟鞋最佳？（）A． B． C． D．解：一位女士身高為，她上半身的長(zhǎng)度為，她下半身的長(zhǎng)度為，設(shè)鞋跟高為厘米時(shí)，她身材顯得更為優(yōu)美，根據(jù)題意得，解得．經(jīng)檢驗(yàn)為原方程的解，所以選擇鞋跟高為8厘米的高跟鞋最佳．故選：．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）已知，那么．解：，即．故答案為：．8．（4分）已知線段，點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)，且，那么線段的長(zhǎng)為．解：線段，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，，故答案為：．9．（4分）如果兩個(gè)相似三角形的一組對(duì)應(yīng)邊上的高之比為，那么這兩個(gè)三角形的面積比為．解：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，兩三角形的相似比為，兩三角形的面積比為．故答案為：．10．（4分）計(jì)算：．解：原式．故答案為：．11．（4分）已知兩個(gè)相似三角形的相似比為，那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)之比為．解：兩個(gè)相似三角形的相似比為，它們的周長(zhǎng)比等于相似比，即：．故答案為．12．（4分）在△中，點(diǎn)、分別在邊、上，且，如果，那么．解：如圖，，△△，，，故答案為：．13．（4分）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)，點(diǎn)與原點(diǎn)的連線與軸的正半軸的夾角為，那么．解：作軸于點(diǎn)，如圖所示，點(diǎn)，，，，，，即，故答案為：．14．（4分）如果港口的南偏東方向有一座小島，那么從小島觀察港口的方向是北偏西．解：如圖，，從小島觀察港口的方向是北偏西．故答案為：北偏西．15．（4分）如圖，小明在教學(xué)樓的樓頂測(cè)得：對(duì)面實(shí)驗(yàn)大樓的頂端的仰角為，底部的俯角為．如果教學(xué)樓的高度為米，那么兩棟教學(xué)樓的高度差為米．解：連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，米，在△中，，，，在△中，，（米，答：兩棟教學(xué)樓的高度差為米．故答案為：．16．（4分）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)、分別在邊、上，，如果，，那么的長(zhǎng)等于．【解答】解為等邊三角形，，，，，，，，，，，，，．故答案為：．17．（4分）如圖，圖中提供了一種求的方法，作△，使，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，聯(lián)結(jié)，即可得，如果設(shè)，則可得，那么，運(yùn)用以上方法，求得的值是．解：作△，使，，再延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，聯(lián)結(jié)，，，，，設(shè)，則，，，在△中，，．故答案為：．18．（4分）如圖，在△中，，，．是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，將△沿直線翻折，使得點(diǎn)落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)處，線段交邊于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．當(dāng)△是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為2或．解：①方法一：如圖1，當(dāng)時(shí)．在△中，，，，是的中點(diǎn)，，，，，又，△△，，即，解得：，設(shè)，則，，，，，解得．．方法二：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，，則，將△沿直線翻折，，，，；②如圖2中，當(dāng)時(shí)，連接，作交的延長(zhǎng)線于．，，△△，，將△沿直線翻折，，，，，，，，設(shè)，則，，在△中，，，解得，．則的長(zhǎng)為2或．方法二：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，，，，，，，．故答案為：2或．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計(jì)算：．解：原式．20．（10分）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)．為的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)，交邊于點(diǎn)．設(shè)，．（1）填空：向量；（2）填空：向量，并在圖中畫(huà)出向量在向量和方向上的分向量．（注：本體結(jié)果用含向量、的式子表示，畫(huà)圖不要求寫(xiě)作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）解：（1），，．，四邊形是平行四邊形，，，，．故答案為：．（2），，，，．在向量和方向上的分向量分別為和．故答案為：．21．（10分）如圖，點(diǎn)在第一象限的反比例函數(shù)圖象上，的延長(zhǎng)線與軸交于點(diǎn)，已知點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為6、2，．（1）求的余弦值；（2）求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式．解：（1）作軸于，軸于，，△△，，點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別為6、2，．，，，，，；（2）；，，，點(diǎn)、在第一象限的反比例函數(shù)圖象上，，，，，，解得，反比例函數(shù)的解析式為．22．（10分）【問(wèn)題提出】已知拋物線的頂點(diǎn)在第二象限，求的取值范圍．【分析問(wèn)題】用配方法把該二次函數(shù)的解析式化為的形式：，，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為．根據(jù)“頂點(diǎn)在第二象限”，得出不等式，解出的取值范圍是；【反思評(píng)價(jià)】我們首先通過(guò)配方法配出該拋物線的頂點(diǎn)（用含的代數(shù)式表示）、接著根據(jù)題意得出對(duì)應(yīng)的不等式，解不等式最后得出答案．請(qǐng)你根據(jù)上述解答的方法，再提出一類似解法的問(wèn)題．（不需要求解）解：【分析問(wèn)題】，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線頂點(diǎn)在第二象限，，．故答案為：，，，．【反思評(píng)價(jià)】按照上述思路，提出類似問(wèn)題：的頂點(diǎn)在第一象限，求的取值范圍．23．（12分）△中，，點(diǎn)、分別為邊、上的點(diǎn)，且，．（1）求證：；（2）聯(lián)結(jié)，取的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，求證：．【解答】證明：（1），，，，，，，，又，△△，，，；（2）如圖，是直角三角形，點(diǎn)是中點(diǎn)，，，，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，，，又，，．方法二：，，△△，，，是中點(diǎn)，，，，，△△，，．24．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知拋物線與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)點(diǎn)在軸上，且，直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)．①求點(diǎn)、的坐標(biāo)；②將拋物線沿著射線的方向平移；平移后的拋物線頂點(diǎn)仍在線段上；點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．設(shè)線段與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，如果與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）當(dāng)時(shí)，，，設(shè)拋物線的解析式為：，把代入得：，，拋物線的表達(dá)式為：；（2）①如圖1，，，，，，，，設(shè)的解析式為：，則，解得：，的解析式為：，則，解得：或，；②，，同理得直線的解析式為：，，，，，，，，如圖2，同理得：直線的解析式為：，由平移得：，則直線的解析式為：，，，，設(shè)拋物線平移后的頂點(diǎn)為，，則，，拋物線沿著射線的方向平移；平移后的拋物線頂點(diǎn)仍在線段上，，如果與相似，有以下兩種情況：當(dāng)時(shí)，即，解得：，；當(dāng)時(shí)，即，解得：（不符合題意，舍去），綜上，．25．（14分）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在邊上（點(diǎn)與端點(diǎn)、不重合），聯(lián)結(jié)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，與對(duì)角線、邊分別交于點(diǎn)、