第五單元平面向量及其應(yīng)用、復(fù)數(shù)

基礎(chǔ)課27平面向量的概念及其線性運(yùn)算

考點(diǎn)考課標(biāo)要求真題印證考頻熱度核心素養(yǎng)

向

平面向掌握2023年全國(guó)甲卷（理）T4數(shù)學(xué)運(yùn)算

量的線2023年天津卷T14直觀想象

性運(yùn)算2022年新高考I卷T3

2020年新高考I［卷T3

共線向理解2021年全國(guó)乙卷（文）T13數(shù)學(xué)運(yùn)算

量定理直觀想象

及其應(yīng)

用

命題分從近幾年高考的情況來看，平面向量的概念及其線性運(yùn)算一般以選擇題或

析預(yù)測(cè)填空題的形式出現(xiàn)，常與其他知識(shí)交匯考查，試題較為簡(jiǎn)單.預(yù)計(jì)2025年

高考不會(huì)單獨(dú)命題

.基礎(chǔ)知識(shí).診斷

1夯實(shí)基礎(chǔ):iA

一、向量的有關(guān)概念

名稱定義備注

向量既有①大小又有②方向的量叫作向自由向量

量

長(zhǎng)度（或稱模）向量的大小記作以|或|荏|

零向量長(zhǎng)度為③2_的向量記作0

單位向量

長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量非零向量a的單位向量為

④端

平行向量（共線方向⑤相同或相反的非零向量向量a,b平行，記作⑥以

向量）

lb

相等向量長(zhǎng)度⑦相等且方向相同的向量?jī)蓚€(gè)向量不能比較大小

相反向量長(zhǎng)度⑧相等且方向相反的向量0的相反向量為0

二、向量的線性運(yùn)算

向量運(yùn)定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律

算

加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算（1）交換

律：a+

b=?b+

三角形法則

a.

（2）結(jié)合

律：（a+

平行四邊形法則

b）+c=

⑩a+（b+

c）

減法求兩個(gè)向量差的運(yùn)算a-b

=a

三角形法則

+（-6）

數(shù)乘規(guī)定實(shí)數(shù)2與向量a的（1）Mal=?川以卜=

加加

積是一個(gè)向量，這種運(yùn)

算叫作向量的數(shù)乘，記（2）當(dāng)入＞o時(shí)，N。的方向與a的方向（4+〃）。=

作/laAa+jua；

@aR；當(dāng)；IvO時(shí)，4a的方向與a的

A（a+b）

方向頷目反;當(dāng)4=0時(shí)，Aa=O..

=Aa+Ab

三、共線向量定理

向量a（a工0）與b共線的充要條件：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)4,使?b=Aa.

?知識(shí)》拓展?

1.零向量與任何向量共線.

2.若存在非零實(shí)數(shù);I，使得荏=2元或通=入阮或前=2左，則4,B,C三

點(diǎn)共線.

3.中點(diǎn)公式的向量形式：若P為線段AB的中點(diǎn)，0為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則標(biāo)=

*而+礪）.

4.0A=WB+fiOC（入,〃為實(shí)數(shù)），若點(diǎn)4B,C共線，則4+〃=1.

診斷自測(cè)一V^

題組1走出誤區(qū)

1.判一判.（對(duì)的打“J”，錯(cuò)的打“X”）

（1）若向量而與而是共線向量，則4B,C,。四點(diǎn)在同一條直線上.（X）

（2）向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小.（J）

（3）向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量.（X）

（4）|山與是否相等與a,b的方向無關(guān).（V）

2.（易錯(cuò)題）下列四人說法正確的是（D）.

A.若?！╞,則a=bB.若|a|=|b|,則a=b

C.若|a|=\b\f則a//bD.若a=b,則|a|=\b\

【易錯(cuò)點(diǎn)】忽視理解向量的概念而致誤.

［解析］A中，a=0,6工0,則?！╞,但a工b,故A不正確；B,C中，由于向

量a,b的大小相等，但其方向不確定，故B,C系不正確；D顯然正確.故選D.

題組2走進(jìn)教材

3.（人教A版必修②P14?例6改編）在平行四力形A8CD中，的中點(diǎn)為

M,且而=a,而=b,用a,b表示麗=a+*b.

2

［解析］前=荏+麗=荏+：近=荏+：而=a+：b.

4.（人教A版必修②P16?例8改編）已知a,力是兩個(gè)不共線向量，向量8-

ta與2一沙共線，見實(shí)數(shù)

［解析］由題意知，存在實(shí)數(shù)2,使得b—ta=入a—；b）,則｛—1=：4,

一|2=1,解得￡=

題組3走向高考

5.［2022?新高考I卷］在△ABC中，點(diǎn)。在邊力8上，BO=204記刀=m,

CD=n,則而=（B）.

A.3m-2nB.-2m+371c.3m+2nD.2m+3n

［解析］因?yàn)辄c(diǎn)。在邊43上，DD=2DAf所以而=2萬彳，即而一方=

2（CA-CD）,所以而=3CD-2CA=3n-2m=-2m+3n.故選B.

一考點(diǎn)聚焦,突破

考點(diǎn)一平面向量的概念［自主練透］

1.（多選題）下列說法中錯(cuò)誤的是（BC）.

A.平行向量就是共線向量

B,相反向量就是方向相反的向量

C.若a與b同向,且則a>b

D.兩個(gè)向量平行是這兩個(gè)向量相等的必要不充分條件

［解析］由平行向量和共線向量的定義可知，A正確；

因?yàn)橄喾聪蛄渴欠较蛳喾?，長(zhǎng)度相等的兩個(gè)向:S,所以B錯(cuò)誤：

因?yàn)橄蛄渴羌扔写笮∮钟蟹较虻牧?，所以任何兩個(gè)向量都不能比較大小，所以

C錯(cuò)誤；

因?yàn)閮蓚€(gè)向量平行不掂推出兩個(gè)向量相等，而兩個(gè)向量相等可以推出這兩個(gè)向

量平行，因此兩個(gè)向量平行是這兩個(gè)向量相等的必要不充分條件，所以D正確.

故選BC.

2.［2024?度U升學(xué)考試］卜列說法不正確的是(A).

A.零向量是唯一沒有方向的向量

B.零向量的長(zhǎng)度等于0

C.若a,b都為非零向量，則使言+卷=0成立的條件是a與b反向共線

D.若a=b,b=c,則a=c

［解析］對(duì)于A,零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正確；

對(duì)于B,由零向量的定義知，零向量的長(zhǎng)度為0,故B正確；

對(duì)于C,因?yàn)榘着c堤都是單位向量，所以只有當(dāng)言與言是相反向量，即。與b反

|a|\b\\a\\b\

向共線時(shí)，含+需=。才成立，故c正確；

對(duì)于D,由向量相等的定義知D正確.故選A.

3.［2024?河南聯(lián)考］已知四邊形4BCD,下列說法正確的是(A).

A.若麗=覺，則四邊形為平行四邊形

B.若|玄|=|而則四邊形ABCD為矩形

C.若而〃玩，且|照|=|而則四邊形4BCD為矩形

D.若|荏|二|而且而〃前，則四邊形4BC0為梯形

［解析］對(duì)于A,若而=反，則|而|=|方？|且通〃沆，則四邊形A8C0為平行

四邊再，故A正確：

對(duì)于B,若四邊形4BC0為等腰梯形，則|彳？|二|前但是四邊形48co不是矩

形，故B錯(cuò)誤:

對(duì)于C,若而〃麗，x|Zc|=\BD\,則四邊形ABC0可以是等腰梯形，也可以

是矩形,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若|而|二|而且而〃麗，則四邊形A8C0可以是平行四邊形，也可

以是等腰梯形，故D錯(cuò)誤.故選A.

0方法總結(jié)口口口

平面向量相關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)

1.相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性；

2.共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)；

3.向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)

圖象移動(dòng)混為一談；

4.非零向量G與9的關(guān)系：言是。方向上的單位向量.

\a\\a\

考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算［多維探究］

角度1向量的加、減運(yùn)算的幾何意義

典例I設(shè)M為平行四邊形ABCO對(duì)角線的交點(diǎn)，0為平行四邊形4BC0所在平面

內(nèi)的任意一點(diǎn)，則瓦？+赤+0?+麗=(D).

A.0MB.20MC.30MD.4麗

［解析］如圖，在△04C中，M為AC的中點(diǎn)，所以65+方=2而，在ZkOBO中，

0B+0D=20M,所以35+而+沆+而=4麗.故選D.

()

角度2＞：向量的線性運(yùn)算

典例2［2024?成都模擬］在△ABC中，~BD=3DC,BE=2EA,則說=（D）.

A.--AB+—ACB.-AB--ACC.--AB+-ACD.-AB--AC

412412124124

［解析］在△ABC中，由麗=3覺，得麗=?近，由麗=2而，得血=2瓦?,

43

所以屁=而一麗=2而一？品=一2荏一三（近一而）=工前一？近.故

343八7124

選D.

角度3＞利用向量的線性運(yùn)算求參數(shù)

典例3如圖,在平行四邊形4BCD中,E是CD的中點(diǎn)尸為線段上的一個(gè)三等分

點(diǎn)，且。尸>FB^AF=xAE+yDC(x>0,y>0),WJx4-y=-.

6

［解析］由題意知而=2而，

3

所以而=而+而=而+|而=而+|（歷+荏）=3而+|而=

-(AE+ED)+-DC=-AE--DC4--DC=-AE+-DC=xAE+yDC

3336332f

因?yàn)樾?，反不共線，所以％=-,y=-,故％+y=-.

326

。方法總結(jié)口口口

平面向量線性運(yùn)算的常見類型及解題策略

1.向量求和用平行四邊形法則或三角形法則，求差用向量減法的幾何意義;

2.找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平

行四邊形或三角形中求解；

3.求參數(shù)問題可以通過向量的運(yùn)算將向量表示出無，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值.

多維訓(xùn)練一

1.如圖所示，已知點(diǎn)0到平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)&B,C的向量分別為。力1，則

0D=(A).

［解析歷方=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+C.故選A.

2.已知在△ABC中，麗二河,則而=(A).

A.-AB+-ACB.-AB+-ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

44444334

［解析］在△48C中，因?yàn)槎?」覺，所以而=二說，

34

則而=湘+前=AS+^BC=AB+^(AC-AB)=^AB+^AC.故選A.

3［2024?梅州模擬］(多選題)如圖所示,四邊形48CD為等腰梯形,

CD//AB,CD=^AB,E,F分別為OC,4E的中點(diǎn).若而=2荏+

演則(BC).

［解析］因?yàn)镃D〃4B,CD=^ABfE為DC的中點(diǎn)，所以而=族+而=而一

工福

4

因?yàn)槭瑸?E的中點(diǎn)，所以版=2AF=2（話+而）=2荏+2而，

所以而=2萬+2加一（區(qū)=彳而+2前，所以4=3〃=2.故選8（：.

考點(diǎn)三共線向量定理及其應(yīng)用［師生共研］

典例4（1）［2024??？谀M］如圖，在ZkABC中，E是AB的中點(diǎn)，~BD=

2尻，斤二二標(biāo),EF與4D交于點(diǎn)M,則而7=（A）.

3

A.V而+D.而+；而

［解析］在△4BC中，設(shè)祠=入彳由麗=2反，可得標(biāo)=荏+而=

AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC.故宿=AAD=-AB+-AC.

33'，3333

又E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)C=-AF所以布=2荏，亞=f而，

3f3

所以前=2而=旦荏+%而.

39

由E,M,尸三點(diǎn)共線，可得=+生=1,解得4=2,

3914

故府=—AB+-AC,故選A.

147

(2)［2024?秦皇島?？迹菁褐?Q+5b,BC=-2a+8b,CD=

3（a-b）,a,b為兩個(gè)不共線的向量，則（A）.

A.AfB,。三點(diǎn)共線B.AfB,C三點(diǎn)共線

C.B,C,Z）三點(diǎn)共線D.A,C,。三點(diǎn)共線

［解析］對(duì)于A,阮=錠+而=(-2a+8b)+3(a-b)=a+56,

因?yàn)檐?a+5b,所以荏=麗，則荏與麗共線,

又而與前有公共點(diǎn)B,所以4,B,。三點(diǎn)共線，A正確；

對(duì)于B,設(shè)荏=4配,即｛請(qǐng)iV'解得｛1一5〃則%不存在,

所以南與玩不共線，即4B,C三點(diǎn)不共線，B錯(cuò)誤；

m=

對(duì)于C,設(shè)前=標(biāo)瓦即,之.二解得3

8則m不存在,

m="?

所以說與而不共線，即B,C,0三點(diǎn)不共線，C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,元=荏+正=(a+5b)+(-2a+8b)=-a+13b,

令就=72方，即｛解得｛I二拳則幾不存在，

所以前與而不共線，即/,C,0三點(diǎn)不共線，D錯(cuò)誤.故選A.

0方法總結(jié)口口口

利用共線向量定理解題的策略

證明向?qū)τ谙蛄縨4若存在實(shí)數(shù)九使a=ab（bHO）,則a與b共線

量共線

證明三若存在實(shí)數(shù)九使得荏=2而，則4&C三點(diǎn)共線

點(diǎn)共線

求參數(shù)利用?！╞<=>a=Xb（b。0）,a=（xpyj,fe=（%2，、2）=工。2-必力=0

的值

構(gòu)造含有參數(shù)的方程（組），解方程（組）得到參數(shù)的值.若a與b不共線，

且入a=pib,貝ij/l=〃=0

冬」針對(duì)訓(xùn)練-VA

設(shè)。1，e2是兩個(gè)不共線的向量，已知而=24-8?,CB=ex+3e2,CD=

2et-e2.

（1）求證：A,B,。三點(diǎn)共線.

［解析］由已知得麗=~CD-CB=(2%-e2)一(3+3e2)=ex-4e2,因?yàn)?/p>

AB=2e1—8e2,所以Ag=2BD.

又麗與而有公共點(diǎn)B,所以4,B,。三點(diǎn)共線.

(2)若麗=3e1一左匕，且8，D,廣三點(diǎn)共線，求k的值.

［解析］由(1)可知84=々-462，因?yàn)锽戶=3G-攵0，且&D,F三點(diǎn)共

線，所以可設(shè)前=4而(AER),^3et-ke2=Xex-4Ae2,所以

匕片"解微…

拓展教材深度學(xué)習(xí)?

等和線定理

我們知道，若4P,B三點(diǎn)共線，則赤=4瓦5+〃而，其中;1+〃=1.在此結(jié)

論基礎(chǔ)上，再進(jìn)一步推廣：平面內(nèi)一個(gè)基底57，礪