合肥第45中七年級下冊數(shù)學(xué)期末試卷綜合測試（含答案）

一、解答題

1.如圖1,己4811CD,ZC=AA.

（1）求證：ADWBC；

（2）如圖2,若點(diǎn)E是在平行線48,8內(nèi)，4D右側(cè)的任意一點(diǎn)，探究N8AE,ZCDE,

/E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（3）如圖3,若NC=90。，且點(diǎn)E在線段8c上，DF^^Z.EDC,射線OF在/EOC的內(nèi)

部，旦交8c于點(diǎn)交AE延長線于點(diǎn)F,N4ED+NA￡C=180。，

①直接寫出N4ED與NFDC的數(shù)量關(guān)系：

②點(diǎn)P在射線0A上，且滿足N0￡P(guān)=2NF,^DEA-APEA=-^^DEB,補(bǔ)全圖形后，求

NEPD的度數(shù)

2.如圖1,點(diǎn)A在直線MN上，點(diǎn)4在直線sr上，點(diǎn)C在MN,sr之間，且滿足

/MAC+ZACB+NSBC=360°.

（1）證明：MNHST；

（2）如圖2,若ZACB=60。，AD//C4,點(diǎn)E在線段8。上，連接AE,且

NDAE=2/CBT,試判斷NC4E與/OW的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

1QA0

（3）如圖3,若乙4。8=——（〃為大于等于2的整數(shù)），點(diǎn)石在線段8C上，連接4E,

n

若ZM4E=〃NCB7,則/C4E:NC47V=.

圖1圖2圖3

3.如圖，NEBF=50。，點(diǎn)C是NEBF的邊8F上一點(diǎn).幻點(diǎn)A從點(diǎn)8出發(fā)在NE8F的邊8E

上，沿8E方向運(yùn)動，在動點(diǎn)A運(yùn)動的過程中，始終有過點(diǎn)4的射線AOIIBC.

（1）在動點(diǎn)A運(yùn)動的過程中，（填"是"或"否〃）存在某一時刻，使得4。平分NEAC?

（2）假設(shè)存在4。平分NEAC,在此情形下，你能猜想N8和NACB之間有何數(shù)量關(guān)系？并

請說明理由；

（3）當(dāng)人C_LBC時，直接寫出N必。的度數(shù)和此時八。與人C之間的位置關(guān)系.

E

4.點(diǎn)A,C,E在直線/上，點(diǎn)B不在直線/上，把線段48沿直線/向右平移得到線段

備用圖圖2

(1)如圖1,若點(diǎn)E在線段4c上，求證：ZB+ZD=ZflfD；

若點(diǎn)E不在線段AC上，試猜想并證明N8,ND,NBE。之間的等量關(guān)系；

在（1）的條件下，如圖2所示，過點(diǎn)B作P8〃ED,在直線BP,ED之間有點(diǎn)M,使

得NA8￡=NE8M,NCDE=/EDM,同時點(diǎn)F使得NA8E=〃NEBF,NCDE=n/EDF,其中

n>l,設(shè)利用（1）中的結(jié)論求/8FD的度數(shù)（用含m,〃的代數(shù)式表示）.

5.如圖，已知直線45//射線CD,NCEB=110。.f是射線所上一動點(diǎn)，過點(diǎn)q作

PQ〃EC交射線CD于點(diǎn)、Q,連接CP.作NPCF=NPCQ,交直線4B于點(diǎn)尸，CG平分

NECF.

（1）若點(diǎn)P,F,G都在點(diǎn)E的右側(cè).

①求NPCG的度數(shù)；

②若ZEGC-ZECG=3（）°,求NCPQ的度數(shù).（不能使用“三角形的內(nèi)角和是180。”直接解

題）

（2）在點(diǎn)產(chǎn)的運(yùn)動過程中，是否存在這樣的偕形，使/EGC:NEFC=3:2?若存在，直

接寫出NCPQ的度數(shù)；若不存在.請說明理由.

EB

D

備用圖

二、解答題

6.已知：三角形48c和三角形OEF位于直線M/V的兩側(cè)中，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,且

BCLWN,其中N48C=Z4C8,/DEF=/DFE,ZABC+/DFE=9QP,點(diǎn)￡、F均落

在直線MN上.

利用這條輔助線解決了問題.請你根據(jù)小麗的思考，寫出解決這一問題的過程.

(2)將三角形DEF沿著A/M的方向平移，如圖2,求證：DE//AC.

(3)將三角形DEF沿著NM的方向平移，使得點(diǎn)E移動到點(diǎn)畫出平移后的三角形

DEF,并回答問題，若NQPE=a，則NCAB=.(用含。的代數(shù)式表示)

7.如圖1所示：點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，N4=ND,ABWCD

(1)直接寫出N2C8與N8ED的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,ABWCD,8G平分NA8￡,BG的反向延長線與NEDF的平分線交于H點(diǎn)，若

ZDEB比/GHD大60°,求/DEB的度數(shù)：

(3)保持(2)中所求的NDEB的度數(shù)不變，如圖3,8M平分/EBK,O/V平分/CDE,作

BPWDN,則NP8M的度數(shù)是否改變？若不發(fā)生變化，追求它的度數(shù)，若發(fā)生改變，請說明

理由.(本題中的角均為大于0°且小于180。的角).

(1)若。=30。時，且NBAE=NC4E,求NC4E的度數(shù)；

(2)若點(diǎn)E運(yùn)動到人上方，且滿足N8AE=100。，/BAE:NCAE=5:1,求。的值；

(3)若/BAE:NCAE=M〃>1),求NC4E的度數(shù)(用含〃和。的代數(shù)式表示).

9.已知：△A8C和同一平面內(nèi)的點(diǎn)O.

(1)如圖1,點(diǎn)。在8c邊上，過。作OE//8A交AC于E,DFHCA交AB于F.根據(jù)題

意，在圖1中補(bǔ)全圖形，請寫出NEOF與血C的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖2,點(diǎn)。在BC的延長線上，DF//CA,/EDF=/BAC.請判斷與84的位

置關(guān)系，并說明理由.

(3)如圖3,點(diǎn)D是外部的一個動點(diǎn).過。作小〃區(qū)4交直線AC于E,DFHCA交

直線A8于尸，直接寫出/互不與NWC的數(shù)量關(guān)系，并在圖3中補(bǔ)全圖形.

10.綜合與探究

綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“一個含壽角的直角三角尺和兩條平行線”為背景開展數(shù)學(xué)活

動，如圖，已知兩直線〃，b,AaUb,三角形A8C是直角三角形，NBC4=90。，

4AC=30°,Z/WC=6(?

操作發(fā)現(xiàn)：

(1)如圖1.Zl=48°,求N2的度數(shù)；

(2)如圖2.創(chuàng)新小組的同學(xué)把直線〃向上平移，并把N2的位置改變，發(fā)現(xiàn)

Z2-Zl=120°,請說明理由.

實(shí)踐探究：

(3)填密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)的結(jié)論的基礎(chǔ)上，將圖2中的圖形繼續(xù)變化得到圖3,AC

平分的此時發(fā)現(xiàn)/I與N2又存在新的數(shù)量關(guān)系，請寫出N1與N2的數(shù)量關(guān)系并說明

理由.

三、解答題

11.(1)如圖1,NBA。的平分線AE與N8CD的平分線CE交于點(diǎn)E,A8IICD,

0

ZADC=5QtN48c=40。，求N4EC的度數(shù)；

圖3

(2)如圖2,N%。的平分線AE與N8C。的平分線CE交于點(diǎn)E,ZADC=a°,/A8C邛。，

求NAEC的度數(shù)：

(3)如圖3,PQ_LMN于點(diǎn)。，點(diǎn)4是平面內(nèi)一點(diǎn)，A8、AC交MN于8、C兩點(diǎn)，6。平

ZADP

分N8AC交PQ于點(diǎn)D,請問國/三函的值是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若改

變，請說明理由.

12.閱讀下列材料并解答問題：在一個三角形中，如果一個內(nèi)角的度數(shù)是另一個內(nèi)角度數(shù)

的3倍，那么這樣的三角形我們稱為“夢想三角形〃例如：一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)分別

是120。，40°,20°,這個三角形就是一個“夢想三角形反之，若一個三角形是“夢想三角

形”，那么這個三角形的三個內(nèi)角中一定有一個內(nèi)角的度數(shù)是另一個內(nèi)角度數(shù)的3倍.

(1)如果一個“夢想三角形〃有一個角為108。，那么這個“夢想三角形"的最小內(nèi)角的度數(shù)為

(2)如圖1,已知NMO〃=60。，在射線OM上取一點(diǎn)八，過點(diǎn)4作八8_LOM交ON于點(diǎn)

8，以人為端點(diǎn)作射線AD,交線段OB于點(diǎn)C(點(diǎn)、C不與。、B重合)，若NACB~30°.判

定△408、AAOC是否是“夢想三角形"，為什么？

(3)如圖2,點(diǎn)。在△ABC的邊上，連接。C,作/ADC的平分線交4c于點(diǎn)E,在0C上

取一點(diǎn)F,使得NEFC+NBDC=180。，ND￡F=NB.若△8C0是“夢想三角形”，求N8的度

圖1圖2

13.如圖①，4。平分N8AC,AEJ-BC,ZB=45°,ZC=73°.

(1)求ND4E的度數(shù)；

(2)如圖②，若把“AE_L8C〃變成“點(diǎn)尸在以的延長線上，F(xiàn)E±BC\其它條件不

變，求莊的度數(shù)；

(3)如圖③，若把“A￡_LBC”變成"AE平分N8EC”,其它條件不變，/八4￡的大小是

否變化，并請說明理由.

14.模型與應(yīng)用.

(模型)

(1)如圖①，已知4811c。，求證N1+NMEN+N2=360°.

①

(應(yīng)用)

(2)如圖②，已知A8IICD,則N1+N2+N3+N4+N5+N6的度數(shù)為_.

②

如圖③，已知A8IICD,則N1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+...+Zn的度數(shù)為_.

D

③

（3）如圖④，已知A8IIC0,N4VM42的角平分線Mi。與N的角平分線MQ交

于點(diǎn)O,若NMiOMn=m°.

在（2）的基礎(chǔ)上，求N2+N3+/4+N5+N6+......+/的度數(shù).（用含m、〃的代數(shù)式

表示）

15.如圖1,CE平分乙48,4三平分N8AC,ZE4C+ZACE=90

（1）請判斷AB與CO的位置關(guān)系并說明理由；

（2）如圖2,當(dāng)NE=90且AA與C。的位置關(guān)系保持不變，移動直角頂點(diǎn)E,使

/MCE=NECD,當(dāng)直角頂點(diǎn)E點(diǎn)移動時?，問N8AE與乙WC7）否存在確定的數(shù)量關(guān)系？并

說明理由.

（3）如圖3,P為線段AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)。為直線CO上一動點(diǎn)且A3與CO的位置關(guān)系保持

不變，①當(dāng)點(diǎn)。在射線CO上運(yùn)動時（點(diǎn)。除外），NCPQ+NCQP與N84C有何數(shù)量關(guān)

系?猜想結(jié)論并說明理由.②當(dāng)點(diǎn)。在射線。。的反向延長線上運(yùn)動時（點(diǎn)。除外），

NC、PQ+NCQP與284C有何數(shù)量關(guān)系？直接寫出猜想結(jié)論，不需說明理由.

【參考答案】

一、解答題

1.（1）見解析；（2）ZBAE+ZCDE=ZAED,證明見解析；（3）①NAED-NFDC=45°,

理由見解析：②SO。

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及判定可得結(jié)論：

（2）過點(diǎn)E作EFIIAB,根

解析：（1）見解析；（2）NBAE+NCDE=NAED,證明見解析：（3）?ZAED-

ZFDC=45°,理由見解析；②50°

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及判定可得結(jié)論；

（2）過點(diǎn)￡作"IIA8,根據(jù)平行線的性質(zhì)得A8II811￡戶，然后由兩直線平行內(nèi)錯角相等

可得結(jié)論；

(3)①根據(jù)NAED+AAEC=180°,Z4ED+NDEC+Z.AEB=130°,OF平分NEDC,可得出

2ZAED+(90°-2ZFDC)=180%即可導(dǎo)出角的關(guān)系；

②先根據(jù)NAED=NF+NFDE,NAED-NFDC=45°得出NDEP=2NF=90°,再根據(jù)/?！?-

NPEA=3RDEB,求出NAED=50。，即可得出NEP。的度數(shù).

14

【詳解】

解：(1)證明：48118,

ZA+Z0=180°,

1/ZC=ZA,

ZC+ZD=180°,

/.ADWBC：

(2)Z8AE+NCD￡=ZAED,理由如下：

如圖2,過點(diǎn)E作￡FIIAB,

圖2

,「4811CD

ABWCDIIEF

：.ZBAE=Z.AEF,ZCDE=ZDEF

UPZFEA+Z.FED=4CDE+NBAE

ZBAE+Z.CDE=Z.AED；

(3)@ZAED-AFDC=45C；

ZAED+AAEC=180°,ZAED+NDEC+N4E8=180°,

/.ZAEC"DEC"AEB,

/.ZAED=Z.AEB,

「DF平分NEDC

NDEC=2ZFDC

/.ZDEC=90°-2ZFDC,

2ZAED+(90°-2ZFDC)=180%

/.ZAED-Z.FDC=45°,

故答案為：ZAEDYFDC=45°；

②如圖3,

圖3

?「ZAEDMF+NFDE,ZAED-Z.FDC=45°,

ZF=45°,

ZDEP=2ZF=90°,

55

,/ZDEA-Z.PEA=——4DEB=-NDEA,

147

/.ZPEA=/AED,

9

ZD￡P(guān)=ZPEA+NAED=-ZAED=90°,

ZAED=70°,

,/ZAED+ZAEC=180°,

：.ZDEC+2NAED=180°,

/.ZDEC=40°t

1/ADWBC,

：.ZADE=Z.DEC=40°,

在^PDE中，Z￡P(guān)D=180°-ZDEP-Z.AED=50°,

BPzEPD=50°.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知

識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

2.(1)見解析；(2)見解析；(3)n-1

【分析】

(1)連接AB,根據(jù)已知證明NMAB+NSBA=180。，即可得證；

(2)作CFIIST,設(shè)NCBT=a,表示出NCAN,ZACF,ZBCF,根據(jù)

解析：(1)見解析；(2)見解析；(3)n-1

【分析】

(1)連接A8,根據(jù)已知證明NMA8+/5BA=180°,即可得證；

(2)作CFIIS7,設(shè)NCBT=a,表示出NCAN,NACF,ZBCF,根據(jù)ADIIBC,得到

NDAC=120°,求出NCAE即可得到結(jié)論：

(3)作CFIIST,設(shè)NCBT=6,得到NC8T=N8CF=6,分別表示出NC4V和/CAE,即可得到

比值.

【詳解】

解：(1)如圖，連接A3,

^MAC+ZACB4-ZSBC=360°,

ZACB+ZABC+ZBAC=180°,

.?.ZJW4B+ZSZM=180°,

:.MN!/ST

(2)NC4￡=2NGW,

理由：作b〃▽，則A/N〃CE〃ST,如圖,

設(shè)NCOT=a,則NZM￡=2a.

ZBCF=ZCar=a,ZG4^=ZACF=60°-a,

AD//BC,ZmC=1800-ZACB=l20°,

/.ZC4E=1200-ZDAE=120>—2a=2(60°-a)=2ZCW.

BPZCAE=2ZCAN.

(3)作b〃5T,則MV〃C/〃ST,如圖，設(shè)/。7=/，則NM4E=〃4.

■.CF//ST,

NCBT=NRCF=0,

八5a180。A180。-〃？

ZACF=/CA1N=-----fi=------—,

nn

IX0C

ZG4E=1800-ZMAE-4CAN=180°-+/?--=-—--(i8(r-/?/7),

ZC4E:ZC4N=—:-=zz-l,

nn

故答案為〃-1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平行線的性質(zhì)和判定，解題關(guān)鍵是角度的靈活轉(zhuǎn)換，構(gòu)建數(shù)量關(guān)系式.

3.（1）是；（2）ZB=ZACB,證明見解析；（3）ZBAC=40°,AC±AD.

【分析】

（1）要使AD平分NEAC,則要求NEAD=NCAD,由平行線的性質(zhì)可得NB=

ZEAD,ZACB=ZCAD

解析：（1）是；（2）Z3=^ACB,證明見解析；（3）NB4C=40°,AC±AD.

【分析】

（1）要使4。平分NE4C,則要求NE4?=NC4D,由平行線的性質(zhì)可得/8=NE4。，

Z4CB=ZCAD,則當(dāng)NACB=N8時，有4?平分/EAC；

（2）根據(jù)角平分線可得NEAO=NCAD,由平行線的性質(zhì)可得N8=NE4D,AACB=

ZCAD,則有/ACB=Z.8；

（3）由AC_L8C,有NACB=9U°,則可求N8AC=40。，由平行線的性質(zhì)可得AC_LA。.

【詳解】

解：（1）是，理由如下：

要使AD平分NEAC,

則要求NEAD=ACAD,

由平行線的性質(zhì)可得NB=ZEAD,ZACB=Z.CAD,

則當(dāng)/ACB=N8時，有/。平分/EAC：

故答案為：是：

（2）ZB=ZACB,理由如下:

AD平分NEAC,

ZEAD=NCAD,

■：ADWBC,

：.Z8=NEAD,ZACB=Z.CAD,

/.Z8=NACB.

（3）,/AC±BC,

ZACB=90°,

ZEBF=5Q°,

/.ZBAC=40°,

?：ADWBC,

AD1.AC.

【點(diǎn)睛】

此題考查了角平分線和平行線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線和平行線的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

4.（1）見解析：（2）當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長線上時，ZBED=ZD-ZB；當(dāng)點(diǎn)E

在AC的延長線上時，ZBED=ZBET-ZDET=ZB-ZD；(3)

【分析】

（1）如圖1中，過點(diǎn)E作ETIIAB.利用平行

解析：（1）見解析；（2）當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長線上時，NBED=ND-NB；當(dāng)點(diǎn)E在4C的

延長線上時，ZBED=ZBET-ZDET=ZB-ZD；（3）

2n

【分析】

（1）如圖1中，過點(diǎn)￡作ETIIAB.利用平行線的性質(zhì)解決問題.

（2）分兩種情形：如圖2-1中，當(dāng)點(diǎn)￡在CA的延長線上時，如圖2-2中，當(dāng)點(diǎn)￡在AC的

延長線上時，構(gòu)造平行線，利用平行線的性質(zhì)求解即可.

（3）利用（1）中結(jié)論，可得NBMD=/A8M+/CDM,Z8FD=ZABF+Z.CDF,由此解決問

題即可.

【詳解】

解：（1）證明：如圖1中，過點(diǎn)E作E7IIAB.由平移可得ABIICD,

圖1

AB\lET,ABWCD,

ETWCDIIAB,

Z8=ZBET,ZTED=Z.D,

/.N8E0=NBET+ZDET=ZB+ND.

(2)如圖2-1中，當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長線上時，過點(diǎn)E作ETIIAB.

,/4811ET,ABWCD,

ETWCDIIAB.

ZB-Z.BET,ZTED=Z.D,

ZBED=NDET-4BET=ND-ZB.

如圖2-2中，當(dāng)點(diǎn)E在4c的延長線上時，過點(diǎn)E作ETIMB.

A

圖2-2

?「A8IIET,ABWCD,

/.ETWCDIIAB,

ZB=ZBET,ZTED=Z.D,

/.ZBED=/BET-Z.DET必B-ZD.

(3)如圖，設(shè)2ABE=NEBM=x,/CDE=NEDM=y,

圖2

,/4811CD,

：.ZBMD=AABM+Z.CDM.

m=2x+2y,

i

??x+y=—m,

,/Z8F0=NABF+ACDF,ZABE=n4EBF,ZCDE=nNEDF.

er〃_]n-\n-\,vn-\1

/.ZBFD=------x+------y=-------(x+y)=------x-//：=—i------L.

nnnn22n

【點(diǎn)睛】

本題屬于幾何變換綜合題，考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會條件常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，屬于中考?？碱}型.

5.(1)①35°；(2)55°；(2)存在，或

【分析】

(1)①依據(jù)平行線的性質(zhì)以及如平分線的定義，即可得到NPCG的度數(shù)；

②依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到NECG=ZGCF=2O°

解析：(1)①35。；(2)55°；(2)存在，52.5?；?.5。

【分析】

(1)①依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到NPCG的度數(shù)；

②依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到NECG=NGCF=20。，再根據(jù)PQIICE,

即可得出NCPQ=N￡CP=6T;

(2)設(shè)NEGC=3x,ZEFC=2x,則NGCF=3x-2x=x,分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)G、F在點(diǎn)E

的右側(cè)時，②當(dāng)點(diǎn)G、F在點(diǎn)E的左側(cè)時，依據(jù)等量關(guān)系列方程求解即可.

【詳解】

解：(1)?,//ABHCD,

???ZCE8+NECQ=180°,

ZCEB=110°f

ZECQ=70°,

?/ZPCF=NPCQ,CG平分/ECF,

：.ZPCG=ZPCF+ZFCG=3NQCF+"FCE=jZECQ=35°；

②,.,48IICD,

ZQCG=NEGC,

ZQCG+ZECG=ZECQ=7。。,

ZEGC+ZECG=70°,

又?「ZFGC-ZECG=30°,

ZEGC=5OV,ZECG=2OW.

ZECG=ZGCF=20°,ZPCF=ZPCQ=1(70°-40°)=15°,

,/PQIICE,

ZCPQ=ZECP=NECQ-NPCQ=700-15o=55°.

(2)52.5?；?.5。,

設(shè)NEGC=3x0,ZEFC=2x\

?「4811CD,

/.ZQCG=NEGC=3x°,ZQCF=NEFC=2x°,

則NGCF=NQCG-ZQCF=3XQ-2X0=X°,

ZPCF=ZPCQ=^-ZFCQ=gNEFC=x°,

則NECG=NGCF=NPCF=NPCD=X。,

,/ZECD=70°f

/.4x=70°,解得x=17.5。,

ZCPQ=3x=52.5°；

②當(dāng)點(diǎn)G、F在點(diǎn)E的左側(cè)時，反向延長C。到H,

ZEGC=3x0,ZEFC=2x°f

：.ZGCH=ZEGC=3x°,ZFCH=NEFC=2x°,

/.ZECG=ZGCF=ZGCH-ZFCH=x°,

/CGF=180°-3x°,ZGCQ=70°+x°,

180-3x=70+x,

解得x=27.5,

ZFCQ=ZECF+ZECQ=27.5°x2+70o=125o,

ZPCQ=g/FCQ=62.5°,

ZCPQ=ZECP=62.5°-55°=7.5°,

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯?角相

等是解題的關(guān)鍵.

二、解答題

6.（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析；.

【分析】

（1）過點(diǎn)C作，得到，再根據(jù)，，得到，進(jìn)而得到，最后證明；

（2）先證明，再證明，得到，問題得證；

（3）根據(jù)題意得到，根據(jù)（2）結(jié)論得到ND

解析：（1）見解析：（2）見解析；（3）見解析；2a.

【分析】

（1）過點(diǎn)C作CG//DF,得到ZDFE=/FCG,再根據(jù)=90°,

ZABC+/DFE=900,得到NABC=NACG,進(jìn)而得到CG〃A8,最后證明OF//48；

（2）先證明NAC4+NO￡產(chǎn)=90。，再證明NAC4+N4C￡：=90。，得到NOM=ZACK,問

題得證：

（3）根據(jù)題意得到在=ND所=a,根據(jù)（2）結(jié)沒得到ND￡F=N，進(jìn)而得到

ZABC=ZACB=9（r-a,根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求解.

【詳解】

解：（1）過點(diǎn)C作CG//Z）/"

:"DFE=/FCG,

BC1MN,

NBCF=90。,

乙BCG+乙FCG=,

:"BCG+/DFE=W,

Z4BC+ZDFE=90°,

/.ZABC=/BCG,

:.CG//AB,

DF//AB；

（2）解：?.ZA3C=ZACB,NDEF=NDFE,

又?.?ZABC+NDFE=90。,

ZACB+ZDEF=90°t

BC工MN,

:.ZBCM=90°,

:.ZACR+ZACE=90°,

ZDEF=ZACE,

：.DE//AC；

（3）如圖三角形。EF即為所求作三角形.

N

D

產(chǎn)ZA

AS3B

NDFE=a,

/.ZDFE=ZDEF=a,

由(2)得，DEWAC,

ZDFF=ZECA=a,

,/NACA+NACE=90。，

zACB=90°-a,

ZABC=ZACB=9(f-a,

ZA=13Q°-ZABC-ZACB=2a.

故答案為為：2a.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線的判定，三角形的內(nèi)角和等知識，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識，根

據(jù)題意畫出圖形是解題關(guān)犍.

7.⑴；⑵；⑶不發(fā)生變化,理由見解析

【分析】

⑴如圖1,延長DE交AB于點(diǎn)F,根據(jù)平行線的性質(zhì)推出；

(2)如圖2,過點(diǎn)E作ESIIAB,過點(diǎn)H作HTIIAB,根據(jù)ABIICD,ABIIE

解析：⑴ZAa+N跳：。=180。；(2)l(X)。；⑶不發(fā)生變化，理由見解析

【分析】

⑴如圖1，延長DE交48于點(diǎn)F,根據(jù)平行線的性質(zhì)推出NAC3+N3E￡)=18()。；

(2)如圖2,過點(diǎn)E作E5IIA8,過點(diǎn)H作片加48,根據(jù)八811c。，A8IIES推出

ABED=ZABE+ZCDE,再根據(jù)48117H,八BIICD推出NG〃￡>=N77/D-N478,最后根

據(jù)NBED比ZBHD大60得出NBED的度數(shù)；

⑶如圖3,過點(diǎn)E作EQIION,根據(jù)N￡>E8=NCD石+4BE得出/一。的度數(shù)，根據(jù)條件

再逐步求出NPBM的度數(shù).

【詳解】

⑴如答圖1所示，延長DE交48于點(diǎn)F.

ABWCD,所以ND=NEFB,

又因?yàn)镹A=",所以NA=NO8,所以ACIIDF,所以NAC3=NCEO.

因?yàn)镹CEZHN8ED=180。，所以NAC8+N8E。=18()。.

⑵如答圖2所示，過點(diǎn)￡作ESIIAB,過點(diǎn)”作HTII48.

設(shè)NABG=/EBG=a,/FDH=4EDH=。，

因?yàn)?811CD,A8IIE5,所以=4SED=NCED,

所以/BED=NBES+ZSED=ZABE+NCDE=2a+18O0-2/7,

因?yàn)锳8IITH,ABWCD,F斤以乙包G=N7HB,4FDH=/DHT,所以

4GHD=ZTHD-4THB=p-a,

因?yàn)镹8EO比大60。，所以2a+18O?！?尸—(￡—a)=60。，所以/—a=40。，所以

NBHD=4O0,所以N8ED=100。

⑶不發(fā)生變化

如答圖3所示.過點(diǎn)E作EQIIDN.

設(shè)4CDN=/EDN=a,々EBM=/KBM=0,

由⑵易知NDE8=NCDE+ZABE,所以2a+180?！?夕=100。，所以4一a二40。，

所以NDEB=ZCDE+NEDN+180°T/EBM+NPBM)=a+180。一〃一NPBM,

所以/PBM=80°-(/?-a)=40°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)，求角的度數(shù)，正確作出相關(guān)的輔助線，根據(jù)條件逐步求出角度

的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

8.(1)60°；(2)50°；(3)或

【分析】

(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得的度數(shù)，應(yīng)用

三角形內(nèi)角和計(jì)算的度數(shù)，由已知條件，可計(jì)算出的度數(shù)；

(2)根據(jù)題意畫出圖形，先

解析：(1)60。；(2)50°；(3)18。。-2a或18()。-2a

〃一I〃+1

【分析】

(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NC8。的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得住的度數(shù)，應(yīng)

用三角形內(nèi)角和計(jì)算㈤。的度數(shù)，由已知條件N8A￡=NC4E,可計(jì)算出NCAE的度數(shù)；

(2)根據(jù)題意畫出圖形，先根據(jù)NB4￡NC4E=5:1可計(jì)算出NC4E的度數(shù)，由

NBAS=100?？捎?jì)算出N欣C的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，計(jì)算出

NC8O的度數(shù)，即可得出結(jié)論；

(3)根據(jù)題意可分兩種情況，①若點(diǎn)E運(yùn)動到4上方，根據(jù)平行線的性質(zhì)由?？捎?jì)算出

NC8O的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，計(jì)算出/BAC的度數(shù)，再

ZBAE：ZCAE=ntZBAE=ZBAC+ZCAE,列出等量關(guān)系求解即可等處結(jié)論；②若點(diǎn)E運(yùn)

動到4下方，根據(jù)平行級的性質(zhì)由?？捎?jì)算出NC5D的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平

行線的性質(zhì)，計(jì)算出“4。的度數(shù)，再NBA￡NC4￡=〃，=NR4C-NC4E列出等量

關(guān)系求解即可等處結(jié)論.

【詳解】

解：（1）v?=30°,AC//BD,

ZCBD=30°,

8C平分NA8O,

:.ZABE=ZCBD=3iT,

.?.Z?4C=I8(F-z64BF-a=180o-30o-30o=120o,

乂Y/BAEUNCAE,

ZC4E=-Z?4C=-xl20o=60o；

22

(2)根據(jù)題意畫圖，如圖1所示，

vZfiA￡=I00°,ZR4E:ZC4E=5:1,

.-.ZC4E=20°,

二N的C=N/MK-NOV?=100°-20°=80°,

AC//BD,

.-.ZABD=1800-Zfi4C=1005,

又8C平分以BD，

；.NCBD=1"BD=lxI00°=50°,

22

a=ZC/?D=50°；

(3)①如圖2所示，

AC//BD,

..ZCBD=ZACB=a,

BC平分乙\BD,

:.ZABD=2ZCBD=2af

/.Z^AC=180°-ZA?D=ISO5-2a,

又NBAE:NCAE=n,

:.(ZBAC+ZCAE):/CAE=n,

(l80o-2a+ZC4￡T):ZCAE=rt,

解得/C4E」80°—2a；

n-

②如圖3所示，

AC//I3D,

:.NCBD=ZACB=a,

8C平分NA8Q，

:.ZABD=2ZCBD=2a,

.?.NA4C=1800-NABQ=180>-2a,

又?/Z.BAE:Z.CAE-n,

/.(ABAC-ZCAE):ZCAE=n,

(180°-2a-ZC4￡：):ZC4E=7?,

綜上NCA石的度數(shù)為半茲或網(wǎng)一.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等.兩直線平行,

同旁內(nèi)角互補(bǔ).兩直線平行，內(nèi)錯角相等.合理應(yīng)用平行線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

9.（1）圖見解析，，理由見解析；（2）,理由見解析；（3）圖見解析，

或.

【分析】

（1）根據(jù)平行線的畫法補(bǔ)全圖形即可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由此即可

得；

（2）如圖（見解析），先根據(jù)平行線的性質(zhì)可

解析：（1）圖見解析，NEDF=/BAC,理由見解析；（2）DE//BA,理由見解析；

（3）圖見解析，/石。尸=/胡?；?瓦＞尸+/班。=180。.

【分析】

（1）根據(jù)平行線的畫法補(bǔ)全圖形即可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得

NEDF=/BFD"BFD=NBAC,由此即可得；

（2）如圖（見解析），先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/助C=NAOD,再根據(jù)等量代換可得

/EDF=/BOD,然后根據(jù)平行線的判定即可得；

（3）先根據(jù)點(diǎn)D的位置畫出如圖（見解析）的兩種情況，再分別利用平行線的性質(zhì)、對

頂角相等即可得.

【詳解】

（1）由題意，補(bǔ)全圖形如下：

/EDF=/BAC,理由如下：

DEUBA,

:"EDF=/BFD,

-DF//CA,

/BFD=/BAC,

NEDF=NBAC；

(2)DEUBA,理由如下：

如圖，延長BA交DF于點(diǎn)0,

?:DFHCA,

;./BAC=/BOD,

/EDF=/BAC,

/EDF=/BOD,

DEUBA；

(3)由題意，有以下兩種情況：

①如圖3-1,NEDF=NBAC,理由如下:

DE//BA,

ZE+ZE4F=180°,

?.-DF//C4,

/.ZE+ZEDF=180°,

；"EAF=/EDF,

由對頂角相等得：ZBAC=ZEAF,

/EDF=NBAC；

D

②如圖32ZEDF+ZE4C=180°,理由如下:

DEUBA,

ZEDF+ZF=180°,

?;DFHCA,

NB4C=",

:"EDF+NBAC=180°.

3-2

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，較難的是題（3）,正確分兩種情況討論是解題

關(guān)鍵.

10.（1）；（2）理由見解析；（3）,理由見解析.

【分析】

（1）由平角定義求出N3=42。，再由平行線的性質(zhì)即可得出答案；

（2）過點(diǎn)B作BDIIa.由平行線的性質(zhì)得N2+NABD=180。，N1=N

解析：（1）N2=42。；12）理由見解析；（3）Z1=Z2,理由見解析.

【分析】

（1）由平角定義求出/3=42。，再由平行線的性質(zhì)即可得出答案；

（2）過點(diǎn)B作BDIIa.由平行線的性質(zhì)得N2+/ABD=180。，Z1=ZDBC,則/ABD=

ZABC-ZDBC=60°-Z1,進(jìn)而得出結(jié)論；

（3）過點(diǎn)C作CPUa,由角平分線定義得NCAM=ZBAC=30°,ZBAM=2ZBAC=60°,

由平行線的性質(zhì)得N1=NBAM=60。，ZPCA=ZCAM=30°,Z2=ZBCP=60°,即可得出

結(jié)論.

【詳解】

解：（1）如圖1vZl=48°,N8G4=90。，

/.N3=180°-/BCA-Zl=42°,

a//b,

Z2=Z3=42°；

A

圖1

(2)理由如下：如圖2.過點(diǎn)B作BD//a,

.-.^2+ZABD=180°,

?:aUb,

：.b//BD,

Z1=Z￡)BC,

/.ZABD=ZABC-ZDBC=60°-Z1,

/.Z2+600-ZI=180°,

/.Z2-Zl=120°；

(3)Z1=Z2,

理由如下：如圖3,過點(diǎn)C作“//a,

AC平分ZBAM,

/.NC4M=N8AC=30。，

N8AM=2N8AC=60。，

又，：al/b,

:.CP//b,

Zl=ZfiAM=60°,

NPCA-ZCAM-30°，

/./BCP=NBCA-NPCA=90°-30°=60。，

又?:CP〃a,

N2=NBCP=60。,

【點(diǎn)睛】

本題是三角形綜合題目，考查了平移的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、

角平分線定義、平角的定義等知識；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握平移的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

11.(1)ZE=45°；(2)ZE=；(3)不變化，

【分析】

(1)由三角形內(nèi)角和定理，可得ND+NECD=NE+NEAD,

ZB+ZEAB=ZE+ZECB,由角平分線的性質(zhì)，可得NECD=NECB=N

解析：(1)NE=45。；(2)NE=2干；(3)不變化，;

【分析】

(1)由三角形內(nèi)角和定理，可得ND+NECD=NE+NEAD,ZB+ZEAB=ZE+ZECB,由角平

分線的性質(zhì)，可得NECD=NECB=?NBCD,NEAD=NEAB=1/BAD,則可得NE=g

222

(zD+NB),繼而求得答案；

(2)首先延長BC交AD于點(diǎn)F,由三角形外角的性質(zhì)，可得NBCD=NB+NBAD+ND,乂

由角平分線的性質(zhì)，即可求得答案.

(3)由三角形內(nèi)角和定理，可得

ZADP+900=ZACB+ZDACZADP+ZDFO=ZABC+AOEB,利用角平分線的性質(zhì)與三

角形的外角的性質(zhì)可得答案.

【詳解】

解：(1),/CE平分/BCD,AE平分/BAD

1I

ZECD=ZECB=-ZBCD,ZEAD=ZEAB=-ZBAD,

22

,/ZD+ZECD=ZE+ZEAD,ZB+ZEAB=ZE+ZECB,

/.ZD+ZECD+ZB+ZEAB=ZE+ZEAD+ZE+ZECB

/.ZD+ZB=2ZE,

1、

ZE=-(zZD+ZB),

2

ZADC=50°,ZABC=40°,

ZAEC=-x(500+40°)=45°；

2

E

圖1

(2)延長BC交AD于點(diǎn)F,

,/ZBFD=ZB+ZBAD,

ZBCD=ZBFD+ZD=ZB+ZBAD+ZD,

,/CE平分NBCD,AE平分/BAD

/.ZECD=ZECB=-ZBCD,ZEAD=ZEAB=-ZBAD,

22

,/ZE+NECB=ZB+ZEAB,

/.ZE=ZB+ZEAB-ZECB=ZB+ZBAE--ZBCD

2

=ZB+ZBAE--(ZB+ZBAD+ZD)

2

二!(NB-ZD),

2

ZADC=a°,ZA8c=0°,

即NAEC="^.

2

圖2

ZADPZADPI

(3)|/AC8—NA8C|的值不發(fā)生變化‘''\ZACB-ZABC\~2'

理由如下：

如圖，記與PQ交于E,A。與C8交于“，

PQA.MN,

NDOC=NBOE=900,

ZADP+90°=ZACB+ZDAC①，

ZADP+ZDFO=ZABC+NOEB（2）,

①一②得：90°-ZDFO=^ACB-^ABC+ADAC-AOEB,

90。-/DFO+4OEB-ZDAC=ZACB-ZA3C,

ZADP=90°-乙DFO,NOEB-NEAD=ZADP,

...AD平分/BACt

/BAD=/CAD,

々OEB-￡CAD=^ADI\

2ZADP=ZACB-ZABC,

.ZADP1

"\ZACB-ZABC\~2'

Q

圖3

【點(diǎn)睛】

此題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)以及常平分線的定義.此題難度較大，

注意掌握整體思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

12.(1)36?；?8。；(2)△AOB.△AOC都是“夢想三角形〃,證明詳見解析；

(3)ZB=36?；騈B=.

【分析】

(1)根據(jù)二角形內(nèi)角和等于180。，如果一個“夢想三角形〃有一個角為108。，

解析：(1)36?；?8。；(2)AAOB、AAOC都是“夢想三角形"，證明詳見解析；(3；

Z8=36°或/

7

【分析】

(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180。，如果一個“夢想三角形"有一個角為108。，可得另兩個

角的和為72。，由三角形中一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的3倍時，可以分別求得最小角為180。

-108。-108+3。=36。，72=(1+3)=18°,由此比較得出答案即可;

(2)根據(jù)垂直的定義、三角形內(nèi)角和定理求出NA8O、NOAC的度數(shù)，根據(jù)“夢想三角形”

的定義判斷即可；

(3)根據(jù)同角的補(bǔ)角相等得到N￡FC=//WC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NO￡F=NAO￡,推

出?？?BC,得至ijNCDE=/BC。，根據(jù)角平分線的定義得到N4)￡=NCDE,求得N8=

Z8CD,根據(jù)“夢想三角形”的定義求解即可.

【詳解】

解：當(dāng)108。的角是另一個內(nèi)角的3倍時，

最小角為180°-108°-108+3°=36°,

當(dāng)180°-108°=72。的角是另一個內(nèi)角的3倍時，

最小角為72。+(1+3)=18。，

因此，這個“夢想三角形〃的最小內(nèi)角的度數(shù)為36?；?8。.

故答案為:18?；?6。.

(2)△AO8、△40C都是“夢想三角形〃

證明：VABA.OM,

Z048=90°,

ZABO=900-ZMON=30°,

N048=3/ABO,

△AOB為"夢想三角形〃,

,.1ZMO/V=60°,ZACB=80°,ZACB=ZOAC+zMON,

：.ZOWC=80°-60°=20°,

/.Z4。8=3/OAC,

△40C是“夢想三角形

(3)解：,/ZEFC+NBDC=180°,ZAOC+/8OC=180°,

ZEFC=NADC,

/.ADWEF,

/.ZDEF=AADE,

■：Z0EF=/8,

/.Z8=NADE,

DEIIBC,

：.ZCOE=NBCD,

,/AE平分NADC,

：.ZA0E=NCDE,

ZB=NBCD,

■「△8CD是“夢想三角形”,

/.Z8DC=3/8,或/8=3/BDC,

,/Z8DC+N8CD+Z8=180°,

/.Z8=36°或N8=(半廠.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、“夢想三角形〃的概念，用分類討論的思想解決問題是解

本題的關(guān)鍵.

13.(1)ZDAE=14°；(2)ZDFE=14°；(3)NDAE的大小不變，NDAE

二14。，證明詳見解析.

【分析】

(1)求出/ADE的度數(shù),利用NDAE=90°-ZADE即可求出/DAE

解析：(1)NDAE=14。；(2)ZDFE=14°；(3)NDAE的大小不變，ZDAE=14°,證明詳

見解析.

【分析】

(1)求出/ADE的度數(shù)，利用/DAE=90°-ZADE即可求出/DAE的度數(shù).

(2)求出/ADE的度數(shù),利用NDFE=90°-ZADE即可求出NDAE的度數(shù).

(3)利用AE平分/BEC,AD平分/BAC,求出NDFE=15。即是最好的證明.

【詳解】

(