適用省份本套試卷依據(jù)最新修訂的《普通高中數(shù)學課程標準》和北京市對于高考命題的整體要求，在考查內(nèi)容，能力層次，題型分布和難易梯度等方面都進行了較為系統(tǒng)，科學的設計，體現(xiàn)了對學生數(shù)學素養(yǎng)與思維能力的綜合考查。全卷共包含兩大部分：第一部分為選擇題，共計10題，合計40分，第二部分為非選擇題(填空題與解答題),合計110分，試卷總分150分，考試時長120分鐘。與往年北京高考數(shù)學試卷相比，本卷在結(jié)構(gòu)上延續(xù)了“一卷多題，能力立意”的方向，保持了相對穩(wěn)定的題型設置，如函數(shù)與方程，數(shù)列與不等本次考試與過往試卷的主要變化與差異有以下四點：解答題的設置更融合，且對知識的交叉考查有了一定程度的加深，提升了問題情境的綜合性。好地銜接了高中數(shù)學學習的主干知識，也針對北京市學生的學情特點，將選考內(nèi)容與必修內(nèi)容做了適度整合，著力考查學生綜合運用多種思維模型解決問題的能力。從整體難度來看，試卷難度層次分明。選擇題部分的前4～5題相對基礎，便于考生建立信心。而后續(xù)部分如幾何的分度仍相對明顯，中等難度題的比例略有提高，能夠更好地檢測學生對基礎內(nèi)容的掌握深度與熟練度。4,新情境與素養(yǎng)考查試卷中多次出現(xiàn)蘊含現(xiàn)實背景或科技前沿情境的題目，例如關于“大語言模型訓練數(shù)據(jù)量與時間的對數(shù)關系”考查了函數(shù)與對數(shù)運算結(jié)合的綜合運用，在立體幾過這些題目的設置，檢驗了學生將數(shù)學知識運用于實際場景的能力，回應了“學科素養(yǎng)”與“跨學科思維”的培養(yǎng)要求。與《高考評價體系》《課程標準》的契合度：1,課程標準要求的落實2,強調(diào)應用意識和創(chuàng)新精神北京地區(qū)在近年來的高考命題中一直注重聯(lián)系社會熱點，產(chǎn)業(yè)創(chuàng)新，科技前沿等元素，并將本套試卷對學生“運用數(shù)學知識解決實際問題”提出了更高的期望：如考查極坐標與向量分析，立體幾何與平面幾何的綜合，隨機抽樣及概率估計等內(nèi)容，均體現(xiàn)了學生對數(shù)學模型的理解與遷移能力，同時也引導學校教學在知識講授過程中3,對教學與評價的啟示滲透到課堂教學與日常練習之中，為學生未來的學科發(fā)展打下堅實的素養(yǎng)基礎。評價：既檢驗了學生對課標主體內(nèi)容的掌握情況，也引導學生將所學知識與生活實踐相融合，體現(xiàn)了選拔與育人的雙重功能。題目的新穎度和開放度有利于激發(fā)學生的思考深度和創(chuàng)新意識。對于后續(xù)教學，應繼續(xù)夯實常規(guī)知識體系，并在此基礎上加強學生對新情境，新題型的分析與應對能力，為未來的數(shù)理綜合素養(yǎng)培養(yǎng)奠定更為堅實的基礎。 1,整體題型結(jié)構(gòu)保持穩(wěn)定仍分為選擇題，填空題，解答題三大部分，題量與分值配置(10道選擇題，5道填空題，6道解答題，共21題，總分150分)與上一年基本一致。貼近實際應用。2,情境融合與考查深度有所增強如第9題引入“大語言模型訓練數(shù)據(jù)量”的背景，第14題運用“3D打印機零件”的空間幾何場景，第18題涉及“統(tǒng)計推斷與概率估計”,明顯增強了與現(xiàn)實科技熱點的結(jié)合。試卷在計算與推理的基礎上，進一步強調(diào)多知識點交叉，如數(shù)列與不等式，幾何與向量，正弦定理3,對思維與能力要求進一步提升多題通過建模，數(shù)據(jù)分析或函數(shù)性質(zhì)研究，考查學生靈活轉(zhuǎn)化和多角度分析問題的能力。試卷的設問更注重過程與細節(jié)，往往需要運用嚴謹?shù)臄?shù)學語言，邏輯推理與圖形轉(zhuǎn)換等手段，鼓勵學生在解決問題中體現(xiàn)思維的條理性與創(chuàng)新性?？记榉治霰驹嚲矸譃槿箢}型：選擇題：共10小題，第1～10題，每小題4分，共40分.填空題：共5小題，第11～15題，每小題5分，共25分.解答題：共6小題，第16～21題，共85分。全卷總分為150分，考試時長為120分鐘。整體來看，選擇題與填空題注重知識點的直接測查與運用，解答題考查理解，綜合與推理能力。2,試卷分值與考查內(nèi)容表題號題型析14容易24復數(shù)的模與代數(shù)運算容易34容易44函數(shù)圖象的伸縮變換容易54中等64中等74函數(shù)值域，充分條件與必要條件中等84中等94中等4向量幾何與坐標運算，點的范圍確定略難5容易5復合函數(shù)求值與換元技巧中等5中等55函數(shù)單調(diào)性與不等式恒成立的綜合探討三角形邊角關系，正弦定理，余弦定理及其應用中等四棱錐的空間幾何性質(zhì)，平面與線段中點連接，向量平行四邊形判斷中等概率與統(tǒng)計(獨立事件，期望，頻率估計概率),對比中等中等函數(shù)極值與導數(shù)，切線幾何，函數(shù)圖象上下方位置關系，綜合求范圍數(shù)列與坐標網(wǎng)格中“相鄰”定義的新型問題困難整體來看，本套試卷對高中數(shù)學的各知識塊均有覆蓋，難度分配合理，能區(qū)分不同層次考生的能力水平。通過選擇，填空，解答題的形式層層深入，較好地考查了考生在概念掌握，技能運用以及綜合思維方面的整體水平。及統(tǒng)計與概率均有分布。其中，以下幾點值得特別關注和總結(jié)：在遇到集合與復數(shù)問題時，一定要明確每個集合或復數(shù)所對應的取值范圍或模的計算方式。對于集合運算，務必先找數(shù)列(包括等差數(shù)列和等比數(shù)列)常與方程或不等式結(jié)合出現(xiàn)，解題時可利用數(shù)列的通項和基本性質(zhì)快速鎖定公差，的靈活考查。在立體幾何與空間向量部分，平行，垂直及距離計算是高頻考點，要著重把握“線面平行”“面面平行”的判定與體積運算等知識點。三角函數(shù)部分要格外留意輔助角，正弦定理及余弦定理的運用，以常用技巧在求解三角方程和三角不等式中的靈活應用。概率與統(tǒng)計題型通常結(jié)合對數(shù)，對偶事件及分布列等基礎概念來考查建模能力。對“抽樣統(tǒng)計”類題目做好分類討論與列出事件概率的過程分析，是提高正確率的關鍵。2,常見易錯與易混點容易忽視定義域限制。從而使最終答案超出題意。解函數(shù)方程或不等式，要先確保自變量滿足D。三角變形時，常出現(xiàn)符號失誤或?qū)瘮?shù)周期性的忽略，務必在每次解完后做一次簡要檢驗，或先判斷函數(shù)對應的周期立體幾何中，平面與平面，平面與線的平行或垂直判定常有疏漏，需反復使用向量方法或幾何關系進行印證。統(tǒng)計與概率部分，將“互斥”與“獨立”兩種情形混為一談，是常見錯誤。要注意1-P(A)=P(A)和P(A∩B)=P(A)×P(B)的使用條件是否滿足。3,不同題型的復習重點與答題策略選擇題：先劃定可行范圍，再用排除法或簡易驗證。緊扣題干信息，利用最值，特殊值或代入簡化是快速定位正確選項的關鍵。填空題：注意格式簡潔與準確。遇到需要寫出所有解的題目，先確立主干思路(如先求出通解或通項),再精細化討論是否需要剔除不合法解。解答題：過程規(guī)范，邏輯清晰很重要。①作輔助線或加輔助變量時，要明確標注或說明。②應用向量或幾何方式解決立體問題，建議先畫示意圖。③在函數(shù)問題及不等式的求解中，強調(diào)每一步的理由，用恰當?shù)挠浱?如令t替代sinx,cosx等)簡化表達。④始終關注解的有效性與最終域的匹配。4,心理調(diào)適與考試心態(tài)保持自信與平穩(wěn)心態(tài)：切忌考試前猛攻太難題而喪失信心，也不要一直糾結(jié)細微漏洞導致精神緊張。規(guī)律作息，勞逸結(jié)合：適當進行體育鍛煉，保證睡眠。緊張復習之余可做簡單放松訓練，例如深呼吸，冥想等?？荚囎鞔饡r，若遇到一時難以突破的題型，可先做標記，迅速轉(zhuǎn)換到自己更有把握的題目，力爭將整體得分最大化。5,后續(xù)命題趨勢與復習側(cè)重從近年來趨勢看，考題會持續(xù)關注函數(shù)模型與實際應用，復合函數(shù)不等式，立體幾何中線面關系的綜合，以及概率統(tǒng)計應用背景題。建議深挖對數(shù)與指數(shù)類考題中常見的函數(shù)變形，多項式與對數(shù)方程混合求解的技巧，結(jié)合三角與數(shù)列交叉的綜合題2025年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(北京卷)一，選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.集合M={x|2x-1>5},N={1,2,3},則M∩N=()A.{1,2,3}B.{2,3}C.{3}B4.為得到函數(shù)y=9的圖象，只需把函數(shù)y=3的圖象上的所有點()所以a2=a?a?,即(-2+3d)2=(-2+2d)(-2+5d),解得d=2或d=0(舍去).A.a2+b2>2abB.【詳解】若函數(shù)f(x)的值域為R,則對任意M∈R,一定存在x?∈D,使得f(x?)=|M|+1.取f(x)=2*,D=R,則對任意M∈R,一定存在x?∈D,使得f(x?)=|M|+1.取x?=x,則|f(x。)=|M|+1>M,但此時函數(shù)f(x)的值域為(0,+),必要性不成立.8.設函數(shù)f(x)=sin(wx)+cos(wx)(w>0),若f(x+π)=f(x)恒成立，且f(x)在上存在零點，則W的最小A.8B.6【詳解】函數(shù)設函數(shù)f(x)的最小正周期為T,由f(x+π)=f(x)可得kT=π,(k∈N').綜上，ω的最小值為4.9.在一定條件下，某人工智能大語言模型訓練N個單位的數(shù)據(jù)量所需要時間T=klog?N(單位：小時),其中k為常數(shù).在此條件下，已知訓練數(shù)據(jù)量N從10?個單位增加到1.024×109個單位時，訓練時間增加20小時，當訓練數(shù)據(jù)量N從1.024×10?個單位增加到4.096×10?個單位時，訓練時間增加(單位：小時)()A.2B.4C.20【詳解】設當N取10?個單位，1.024×10?個單位，4.096×10?個單位時所需時間分別為T?,T?,T?.T?=klog?(1.024×10°)=klog?(2?×10?)=k(10+6log?10).T?=klog?(4.096×10°)=klog?(22×10?)=k(12+6log?10).因為T?-T?=k(10+6log?10)-6klog?10=10k=20,所以k=2.A.[6,14]B.[6,12]C.[8,14]2CA+AB=2(OA-OC)+OB-OA=OA+OB-20C,jo2A+AB2=OA2+OB2+40C2-4=2+2+4×25-4(OA+OB)·OC=104-4(OA第二部分(非選擇題共110分)二，填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.拋物線y2=2px(p>0)的頂點到焦點的距離為3故答案為：6. 12.已知(1-2x)?=a?-2ax+4a?x2-8a?x3+16a?x?,則ao= 又(1-2x)?=a?-2ax+4a?x2-8ax3+16a?x?.故(1-2x)?=ao+q(-2x)+a?(-2x)2+a?(-2x)3+a?(-2x)?令t=-2x,則(1+t)?=ao+at+a?t2+azt3+a?t?故答案為：1,15.13.已知α,β∈[0,2π],且sin(a+β)=sin(α-β),cos(a+β)≠cos(α-β),寫出滿足條件的一組α=【詳解】因為sin(a+β)=sin(α-β),cos(α+β)≠cos(α-β).故取可滿足題設要求.故答案為：(答案不唯一)14.某科技興趣小組通過3D打印機的一個零件可以抽象為如,則該多面體的體積為_.【答案】60【分析】如圖，將一半的幾何體分割成直三棱柱ARF-BHT和四棱錐B-HTSE后結(jié)合體積公式可求幾何體的體積.【詳解】先證明一個結(jié)論：如果平面α⊥平面Y,平面β⊥平面Y,平面α∩β=1,則l⊥γ.在平面Y內(nèi)過0作直線m,使得m⊥a,作直線n,使得n⊥b.因為平面α⊥平面Y,mcγ,故mLα,而lca,故m⊥l.同理n⊥l,而m∩n=0,m,n下面回歸問題.連接BE,因為AB⊥BC且AF//BC,故AF⊥AB,同理BC⊥CD,EF⊥ED.在直角梯形ABEF中，過B作BT⊥EF,垂足為T.平面RAF⊥平面ABEF,平面RAF∩平面ABEF=AF,AF⊥AB.ABc平面ABEF,故AB⊥平面RAF.取AF的中點為M,BE的中點為U,CD的中點為V,連接RM,MU,SU,UV.而平面RMUS∩平面VUS=SU,故SU⊥平面ABEF.在平面ABHR中過B作BHIIAR,交RH于H,連接HT.則四邊形ABHR為平行四邊形，且RHI/IAB,R故四邊形RFTH為平行四邊形.而BH⊥AB,BT⊥AB,BT∩BH=B,BT,BHC平面BHT.故AB⊥平面BHT,故平面ARF//平面BHT.而AR=BH,RF=HT,AF=BT,因為AB//EF,故EF⊥平面AR而EFc平面RSEF,故平面ARF⊥平面RSEF.在平面ARF中過A作AG⊥RF,垂足為G,同理可證AG⊥平面RSEF.而,故由對稱性可得幾何體的體積為2×(24+6)=60.故答案為：60.三，解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.(1)求c.【小問1詳解】由正弦定理,解得c=6.【小問2詳解】所以cos∠CAD=cos(∠CAB-∠BAD),sin∠CAD=√1-c所以此時CA,CD也可以唯一確定.這表明此時三角形ABC是存在，且BC邊上的高17.四棱錐P-ABCD中，△ACD與VABC為等腰直角三角形，∠ADC=90°,∠BAC=90°,E為BC的中點.(2)若PA⊥平面ABCD,PA=AC,求AB與平面PCD所成角的正弦值.【分析】(1)取PA的中點N,PB的中點M,連接FN,MN,只需證明FG//MN即可.(2)建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出直線AB的方向向量與面PCD的法向量，根據(jù)向量夾角公式即可求解.【小問1詳解】取PA的中點N,PB的中點M,連接FN,MN.∵△ACD與VABC為等腰直角三角形且∠ADC=90°,∠BAC=90°.∵E,F分別為BC,PD的中點.∴FN//GM,∴四邊形FGMN為平行四邊形.∵FG女平面PAB,MNc平面PAB,∴FG//平面PAB.【小問2詳解】∵PA⊥平面ABCD,∴以A為原點，AC,AB,AP所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.設AD=CD=2,則A(0,0,0),B(0,2√2,0),c(2√2,0,0),D(√2,-√2,0),P(0,0,2√2)AB=(0,2√2,0),DC=(√2,√2,0),CP=(-2√2,0設平面PCD的一個法向量為n=(x,y,z).取x=1,∴y=-1,z=1,n=(1,-1,1).設AB與平面PCD所成角為θ.即AB與平面PCD所成角的正弦值為18.有一道選擇題考查了一個知識點，甲，乙兩校各隨機抽取100人，甲校有80人答對，乙校有75人答對，用頻率估計概率.(1)從甲校隨機抽取1人，求這個人做對該題目的概率.(2)從甲，乙兩校各隨機抽取1人，設X為做對的人數(shù)，求恰有1人做對的概率以及X的數(shù)學期望.(3)若甲校同學掌握這個知識點，則有100%的概率做對該題目，乙校同學掌握這個知識點，則有85%的概率做對該題目，未掌握該知識點的同學都是從四個選項里面隨機選擇一個，設甲校學生掌握該知識點的概率為p?,乙校學生掌握該知識點的概率為P?,試比較P?與P?的大小(結(jié)論不要求證明)【分析】(1)用頻率估計概率后可得從甲校隨機抽取1人做對該題目的概率.(2)利用獨立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做對的概率及X的分布列，從而可求其期望.【小問1詳解】用頻率估計概率，從甲校隨機抽取1人，做對題目的概率為【小問2詳解】設A為“從甲校抽取1人做對”,則P(A)=0.8,P(A)=0.2.設B為“從乙校抽取1人做對”,則P(B)=0.75,P(A)=0.25.設C為“恰有1人做對”,故P(C)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.35依題可知，X可取0,1,2.P(X=0)=P(AB)=0.05,P(X=1)=0.35,P(X=2)=0.8×0.75=0.6.故X的分布列如下表：X012P故E(X)=1×0.35+2×0.6=1.55.【小問3詳解】設D為“甲校掌握這個知識點的學生做該題”.因為甲校掌握這個知識點則有100%的概率做對該題目.未掌握該知識點的同學都是從四個選項里面隨機選擇一個.故叩故叩,故同理有，,故19.已知E:的離心率為,橢圓上的點到兩焦點距離之和為4.(1)求橢圓方程.(2)設0為原點，M(x?,y。)(x?≠0)為橢圓上一點，直線x?x+2yoy-4=0與直線y=2,y=-2交于A,B.△OAM與△OBM的面積為S?,S?,比較的大小.【分析】(1)根據(jù)橢圓定義以及離心率可求出a,c,再根據(jù)a,b,c的關系求出b,即可得到橢圓方程.(2)法一：聯(lián)立直線方程求出點A,B坐標，即可求出,再根據(jù),即可得出它們的大小關系.法二：利用直線的到角公式或者傾斜角之間的關系得到∠AOM=∠BOM,再根據(jù)三角形的面積公式即可解出.【小問1詳解】故橢圓方程為【小問2詳解】又,所以2x2+4y22=8,16-4x2=8y2.故①式可化簡為8y2-16y?y+8y2=0,即(y-y。)2=0,所以y=y?.所以直線x?x+2y?y-4=0與橢圓相切，M為切點.故設x?<x?<x?,易知聯(lián)立,解得,y?=2.故設x?<x?<x.聯(lián)立,解得聯(lián)立又,所以x2+2y2=4.【小問1詳解】設g(x)=f'(x),【小問2詳解】【小問3詳解】因為直線l方程為,易知a≠0.所以直線l?的方程為由(1)知，當x>0時，,所以21.A={1,2,3,4,5,6,7,8},M={(x,y;)Ix;∈A,y,∈A},從M中選出n個有序數(shù)對構(gòu)成一列：(x?,y?)…,(x,yn).相鄰兩項(x,y;),(x;+1,y:+1)滿足：或,稱為k列.(1)若k列的第一項為(3,3),求第二項.(2)若t為k列，且滿足i為奇數(shù)時，x;∈{1,并說明.(3)證明：M中所有元素都不構(gòu)成k列.【分析】(1)根據(jù)新定義即可得解.(2)假設(3,2)與(4,4)能同時在T中，導出矛盾，從而得出(3,2)與(4