課時(shí)作業(yè)28數(shù)列的概念與簡單表示法一、選擇題1．(2018·濟(jì)南二模)下列四個(gè)數(shù)列中，既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是()A．1，eq\f(1,3)，eq\f(1,32)，eq\f(1,33)，…B．sineq\f(π,13)，sineq\f(2π,13)，sineq\f(3π,13)，sineq\f(4π,13)，…C．－1，－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，－eq\f(1,4)，…D．1,2,3,4，…，30解析：數(shù)列1，eq\f(1,3)，eq\f(1,32)，eq\f(1,33)，…是無窮數(shù)列，但它不是遞增數(shù)列，而是遞減數(shù)列；數(shù)列sineq\f(π,13)，sineq\f(2π,13)，sineq\f(3π,12)，sineq\f(4π,13)，…是無窮數(shù)列，但它不是遞增數(shù)列，而是擺動(dòng)數(shù)列；數(shù)列－1，－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，－eq\f(1,4)，…是無窮數(shù)列，也是遞增數(shù)列；數(shù)列1,2,3,4，…，30是遞增數(shù)列，但不是無窮數(shù)列．答案：C2．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－2n，則a2＋a18＝()A．36B．35C．34D．33解析：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－3；當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝－1，滿足上式，所以an＝2n－3(n∈N*)，所以a2＋a18＝34.答案：C3．(2018·廣東測試)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝eq\f(3,2)(an－1)(n∈N*)，則an＝()A．3(3n－2n)B．3n＋2C．3nD．3·2n－1解析：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝S1＝\f(3,2)a1－1，,a1＋a2＝\f(3,2)a2－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,a2＝9，))代入選項(xiàng)逐一檢驗(yàn)，只有C符合．答案：C4．(2018·太原市模擬)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－1)n(2n－1)·coseq\f(nπ,2)＋1(n∈N*)，其前n項(xiàng)和為Sn，則S60＝()A．－30B．－60C．90D．120解析：由題意可得，當(dāng)n＝4k－3(k∈N*)時(shí)，an＝a4k－3＝1；當(dāng)n＝4k－2(k∈N*)時(shí)，an＝a4k－2＝6－8k；當(dāng)n＝4k－1(k∈N*)時(shí)，an＝a4k－1＝1；當(dāng)n＝4k(k∈N*)時(shí)，an＝a4k＝8k.所以a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8，所以S60＝8×15＝120.答案：D5．(2018·云南調(diào)研)在數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝eq\f(3an,an＋3)，則a4＝()A.eq\f(3,4)B．1C.eq\f(4,3)D.eqD.\f(3,2)解析：依題意得eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋3,3an)＝eq\f(1,an)＋eq\f(1,3)，eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,3)，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以eq\f(1,a1)＝eq\f(1,3)為首項(xiàng)、eq\f(1,3)為公差的等差數(shù)列，則eq\f(1,an)＝eq\f(1,3)＋eq\f(n－1,3)＝eq\f(n,3)，an＝eq\f(3,n)，a4＝eq\f(3,4)，選A.答案：A6．(2018·福建福州八中質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝aeq\o\al(2,n)－2an＋1(n∈N*)，則a2018＝()A．1B．0C．2018D．－2018解析：∵a1＝1，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，……，可知數(shù)列{an}是以2為周期的數(shù)列，∴a2018＝a2＝0.答案：B7．(2018·洛陽模擬)將石子擺成如圖所示的梯形形狀，稱數(shù)列5,9,14,20，…為“梯形數(shù)”．根據(jù)圖形的構(gòu)成，此數(shù)列的第2014項(xiàng)與5的差，即a2014－5等于()A．2018×2012B．2020×2013C．1009×2012D．1010×2013解析：因?yàn)閍n－an－1＝n＋2(n≥2)，a1＝5，所以a2014＝(a2014－a2013)＋(a2013－a2012)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2016＋2015＋…＋4＋5＝eq\f(2016＋4×2013,2)＋5＝1010×2013＋5，所以a2014－5＝1010×2013，故選D.答案：D8．(2018·玉林月考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－9n，第k項(xiàng)滿足5<ak<8，則k等于()A．9B．8C．7D．6解析：a1＝S1＝－8，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2－9n－(n－1)2＋9(n－1)＝2n－10.由5<ak<8，得eq\f(15,2)<k<9.所以k＝8.故選B.答案：B9．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝3，an＋1an－1＝an(n≥2)，則數(shù)列{an}的前40項(xiàng)和S40等于()A．20B．40C．60D．80解析：由an＋1＝eq\f(an,an－1)(n≥2)，a1＝1，a2＝3，可得a3＝3，a4＝1，a5＝eq\f(1,3)，a6＝eq\f(1,3)，a7＝1，a8＝3，…，這是一個(gè)周期為6的數(shù)列，一個(gè)周期內(nèi)的6項(xiàng)之和為eq\f(26,3)，又40＝6×6＋4，所以S40＝6×eq\f(26,3)＋1＋3＋3＋1＝60.答案：C10．(2018·洛陽月考)已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是()A．a(chǎn)n＝2n－1B．a(chǎn)n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n)))n－1C．a(chǎn)n＝n2D．a(chǎn)n＝n解析：法一由已知整理，得(n＋1)an＝nan＋1，所以eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(an,n).所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是常數(shù)列，且eq\f(an,n)＝eq\f(a1,1)＝1.所以an＝n.法二n≥2時(shí)，eq\f(an,an－1)＝eq\f(n,n－1)，eq\f(an－1,an－2)＝eq\f(n－1,n－2)，…eq\f(a3,a2)＝eq\f(3,2)，eq\f(a2,a1)＝eq\f(2,1)，以上各式兩邊分別相乘，得eq\f(an,a1)＝n.又因?yàn)閍1＝1，所以an＝n，故選D.答案：D二、填空題11．(2018·邯鄲月考)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝eq\f(1,nn＋2)(n∈N＋)，那么eq\f(1,120)是這個(gè)數(shù)列的第________項(xiàng)．解析：令an＝eq\f(1,120)，得eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,120).解得n＝10或－12，又n∈N＋，則n＝10.答案：1012．下列關(guān)于星星的圖案構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是________．解析：從題圖中可觀察星星的構(gòu)成規(guī)律，n＝1時(shí)，有1個(gè)；n＝2時(shí)，有3個(gè)；n＝3個(gè)，有6個(gè)；n＝4時(shí)，有10個(gè)；……∴an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).答案：an＝eq\f(nn＋1,2)13．(2018·哈爾濱模擬)數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2an，0≤an≤\f(1,2)，,2an－1，\f(1,2)<an<1，))a1＝eq\f(3,5)，則數(shù)列的第2015項(xiàng)為________．解析：由已知可得，a2＝2×eq\f(3,5)－1＝eq\f(1,5)，a3＝2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5)，a4＝2×eq\f(2,5)＝eq\f(4,5)a5＝2×eq\f(4,5)－1＝eq\f(3,5)，∴{an}為周期數(shù)列且T＝4，∴a2015＝a3＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)14．(2016·浙江卷)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝________，S5＝________.解析：解法一：∵an＋1＝2Sn＋1，∴a2＝2S1＋1，即S2－a1＝2a1＋1，又∵S2＝4，∴4－a1＝2a1＋1，解得a1＝1.又an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，即Sn＋1＝3Sn＋1，由S2＝4，可求出S3＝13，S4＝40，S解法二：由an＋1＝2Sn＋1，得a2＝2S1＋1，即S2－a1＝2a1＋1，又S2＝4，∴4－a1＝2a1＋1，解得a1＝1.又an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，即Sn＋1＝3Sn＋1，則Sn＋1＋eq\f(1,2)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Sn＋\f(1,2)))，又S1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Sn＋\f(1,2)))是首項(xiàng)為eq\f(3,2)，公比為3的等比數(shù)列，∴Sn＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)×3n－1，即Sn＝eq\f(3n－1,2)，∴S5＝eq\f(35－1,2)＝121.答案：1121[能力挑戰(zhàn)]15．已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，對(duì)于任意的正整數(shù)n均有an＝n2＋λn恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是()A．[－2，＋∞)B．(－3，＋∞)C．RD．?解析：因?yàn)閿?shù)列{an}是遞增數(shù)列，對(duì)于任意的正整數(shù)n均有an＝n2＋λn恒成立，所以an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，所以λ>－(2n＋1)恒成立，所以λ>－3.所以實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(－3，＋∞)．答案：B16．(2018·武漢調(diào)研)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝eq\f(1,3)，若an(an－1＋2an＋1)＝3an－1·an＋1(n≥2，n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝()A.eq\f(1,2n－1)B.eqB.\f(1,2n－1)C.eq\f(1,3n－1)D.eqD.\f(1,2n－1＋1)解析：本題考查遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式．由an(an－1＋2an＋1)＝3an－1·an＋1，得anan－1－an－1an＋1＝2an－1·an＋1－2anan＋1，eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an－1)))，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1)－\f(1,an)))是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝2·2n－1＝2n，所以eq\f(1,a2)－eq\f(1,a1)＝2，eq\f(1,a3)－eq\f(1,a2)＝4，…，eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝2n－1，所以eq\f(1,an)－eq\f(1,a1)＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，所以eq\f(1,an)＝2n－2＋eq\f(1,a1)＝2n－1，所以an＝eq\f(1,2n－1)，故選B.答案：B解析：本題考查遞推數(shù)列．由題意得a1＋a2＝－1，a3＋a4＝3，a5＋a6＝－5，a7＋a8＝7，…，a2013＋a2014＝－2013，a2015＋a2016＝2015，所以a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2013＋a2014＋a2015＋a2016＝504×2＝1008，所以S2017＝a1